第四章 3 第2课时 运用完全平方公式因式分解&专题9 因式分解及其应用-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(北师大版·新教材)

第四章 因式分解 第2课时 运用完全平方公式因式分解 [答案26] 知识要点分类练学” 知识点3先提公因式，再运用完全平方公式因式 分解 知识点1完全平方式 7.（贺州中考)多项式2x3-4x2+2x因式分解为 1.下列多项式是完全平方式的是 A.a2-4a+4 B.1+4a2 A.2x(x-1)2 B.2x(x+1)2 C.462+4b-1 D.a2+ab+b2 C.x(2x-1)2 D.x(2x+1)2 2.(1)若多项式x2-12x+k是一个完全平方式，则k8.分解因式： 的值为 (1)(丹东中考)ma2+2mab+mb2=_ (2)若多项式x2+2ax+9是一个完全平方式，则 (2)(菏泽中考）-a3+2a2-a=」 a的值为 9.把下列各式分解因式： ●知识点2直接运用完全平方公式因式分解 (1)++2 1 3.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的 是 A.x2-4 B.x2-2x-1 C.x2-4x+4 D.x2+4x+1 4.(河地中考)将多项式x2-4x+4因式分解的结果 是 A.x(x-4)+4 (2）-8ax2+16axy-8ay2. B.(x+2)(x-2) C.(x+2)2 D.(x-2)2 5.已知下列多项式：①x2+y+y2;②-x2+2xy-y2; ③2+6y-9旷；④-x+子其中，能用完全平 方公式进行因式分解的有 A.②③④ B.①③④ 10.利用因式分解进行计算： C.②④ D.①②③ (1)2372+2×237×363+3632; 6.分解因式： (01+x+: (2)652+552-110×65. (2)(m+n)2-6(m+n)+9. 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 75 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 能力提升综合练典， 素养探究创新练学” 11.对多项式(x-y)2+4xy进行因式分解，结果正 17.阅读下面的文字内容： 确的是 () 对于形如x2+2ax+a2的二次三项式，可以直接 A.x2-2xy+y2 B.x2+2xy+y 用完全平方公式把它分解成(x+a)2的形式.但 C.(x+y)2 D.(x-y)2 对于二次三项式x2+4x-5,不能直接用完全平 12.多项式x2-4x+a可分解为(x+b)2,则a,b的 方公式分解.对此，我们可以添上一项4，使它与 值是 x2+4x能构成一个完全平方式，再减去4，使整 A.a=4,b=-2 B.a=-4,b=-2 个多项式的值不变，即x2+4x-5=(x2+4x+ C.a=4,b=2 D.a=-4,b=2 4)-4-5=(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2- 13.已知a,b,c满足a2+2b=7,b-2c=-1,c2 3)=(x+5)(x-1).像这样，把一个二次三项式 6a=-17,则a+b-c的值为 变成含有完全平方式的方法，叫作配方法 A.1B.-5C.-6 D.-7 请用配方法解决下列问题： 14.(十堰中考)已知y=2,x-3y=3,则2xy- (1)把x2-6x-7分解因式； 12x2y2+18xy3= (2)已知x2+y2+4x-6y+13=0,求y的值. 15.m,n满足1m+21+√n-4=0,分解因式(x2+ y2）-(mxy+n)= 16.(1)分解因式：(x-y)2-4(x-y-1) (2)利用因式分解计算：50×9.52-100×9.5× 7.5+50×7.52. 76】 见此图标照微信打码进人初中智慧学园自 第四章 因式分解 专题9因式分解及其应用 [答案P26] 一、因式分解的方法 类型5整体思想法 类型提公因式法 5.已知4m+n=40,2m-3n=5,求(m+2n)2-(3m 1.把下列各式因式分解： -n)2的值. (1)-3ma3+6ma2-12ma; (2)x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a). 二、因式分解的应用 类型2公式法 6.利用因式分解计算： 2.把下列各式因式分解： (1)1012+492+101×98; (1)3x2-6xy+3y2; (2）4amx3-amx. (2)800-1600×798+7982. 类型3分组分解法 3.因式分解：4x2-2x-y2-y. 7.当n为整数时，(n+1)2-(n-1)2能被4整除 吗？请说明理由。 类型4十字相乘法 4.新考法多项式乘法：(x+a)(x+b)=x2+(a+ b)x+ab,将该式从右到左使用，即可得到“十字 8.新考法已知P=2x2+4y+13,Q=x2-y2+6x- 相乘法”分解因式的公式x2+(a+b)x+ab= 1,比较P,Q的大小 (x+a)(x+b) 示例：分解因式x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3 =(x+2)(x+3). 尝试分解因式： (1)x2+6x-27=_; (2)6x2-7x-3= ； (3)20(x+y)2+7(x+y）-6= 见此图标器微信码进人初中智慧学园自 77能力提升综合练学” 10.在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格 点.已知A,B是两格点，若点C也是图中的格 点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的 点C的个数是 10题图 A.6B.7 C.8 D.9 11.(吉林四平期末)如图，D为△ABC内一点，CD 平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E, A=∠ABE.若AC=7,BC=4,则BD的长为 E 11题图 微专题1角平分线、平 【模型展宗】 常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型 有以下两种： 图① 图② (1)如图①，BC平分∠ABD,AC∥BD,则AB=AC. (2)如图②，AE∥BC,AE平分∠DAC,则△ABC 是等腰三角形 【例】如图，在△ABC中，∠B,∠C的平分线交于 点O,过点O作EF∥BC分别交AB,AC于点E, F.已知EF=6,BE=4,则CF的长为 第一章三角形的证明及其应用又 12.如图，在△ABC中，AC>BC,∠A=45°，D是AB 边上一点，且CD=CB,过点B作BF⊥CD于点 E,与AC交于点F ()求证：∠ABF=方∠BCD: (2)判断△BCF的形状，并说明理由， D 12题图 行线、等腰三角形知二推一 【变式训练】 (淄博中考)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线 交AC于点D,过点D作DE∥BC交AB于点E. (1)求证：BE=DE; (2)若LA=80°，∠C=40°，则∠BDE= 变式题图 见此图标器微信打码：进人初中智慧学园自 又全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第3课时 等边三角形的判定 知识要点分类练中： 知识点1等边三角形的判定 1.下列关于等边三角形的描述，错误的是 A.三边相等的三角形是等边三角形 B.三个角相等的三角形是等边三角形 C.有一个角是60°的三角形是等边三角形 D.有两个角是60的三角形是等边三角形 2.新情境如图①，衣架杆0A=OB=18cm.若衣架 收拢时，∠AOB=60°，如图②，则此时A,B两点之 间的距离是 cm. 2题图① 2题图② 3.如图，A,B分别为CD,CE的中点，AE⊥CD于点 A,BD⊥CE于点B. (1)求证：CD=CE; (2)求∠AEC的度数. 3题图 知识点2含30°角的直角三角形的性质 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则（) A.AB=2AC B.AC=2AB C.AB=AC D.AB=3AC 5.如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地 面3m处折断，树顶B恰好碰到地面.经测量， ∠ABC=30°，则树高为 5题图 A.6m B.9m C.10m D.12m 10 见此图标贸微信打码进人初中智意学园自 与含30°角的直角三角形的性质 [答案P4] 6.如图，在△ABC中∠A:∠B:∠BCA=1:2:3, CD⊥AB于点D,AB=12,则DB等于（) A.3 B.4 C.6 D.9 B< 6题图 8题图 7.(福建龙岩期中)等腰三角形的底角是15°，腰长 为10，则其腰上的高为 A.8 B.7 C.5 D.4 8.中国图象图形大会是涵盖图象图形各专业领域的 学术盛会.在“自动化立体库”中有许多几何元 素，其中一个等腰三角形模型的示意图如图所示， 它的顶角为120°，腰长为12m,则腰上的高是 9.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边 BC,AC上，且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC 的延长线于点F (1)求∠F的度数； (2)若CD=4,求DF的长 D 9题图 能力提升综合练学： 10.如图，E是等边三角形ABC的边AC上的点，∠1 =∠2，BE=CD,则△ADE的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.无法确定 10题图 11题图 11.(新疆中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A =30°，AB=8.若点D在直线AB上（不与点A,B 重合)，且∠BCD=30°，则AD的长为 12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°， AD⊥BC于点D,F是BC的垂直平分线与AC的 交点，连接BF交AD于点E. (1)求证：△AEF是等边三角形； (2)若BD=2,求CD的长， D 12题图 微专题2巧用特殊角林 1.(陕西西安期中)如图，在边长为10的等边三 角形ABC中，点M在边AB的延长线上，点N 在边AC上，且MN=MC.若AM=16,则CN的 长为 1题图 A.3 B.4 C.5 D.6 第一章三角形的证明及其应用Y 素养探究创新练学' 13.如图，轮船从A港出发，以28海里/时的速度向 正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的 方向上.半小时后，轮船到达B处，此时测得灯 塔M在北偏东60的方向上. (1)求轮船在B处时与灯塔M的距离； (2)轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小 时后到达C处.此时轮船与灯塔M的距离是 多少？灯塔M在轮船的什么方向上？ 北 609M A 东 13题图 造含30°角的直角三角形 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AC 的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,DE =2,则BC的长为 D E 120° C C A30 2题图 3题图 3.如图，在四边形ABCD中，AD=8,BC=2,∠B= 90°，∠A=30°，∠ADC=120°，则CD的长为 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 又全程导练·数学·北师版·八年级·下册 专题1 等腰三角 类型1与角度有关的分类讨论 1.（绍兴中考)如图，在△ABC中，AB= AC,∠B=70°，以点C为圆心，CA长为 半径作弧，交直线BC于点P,连接AP, 则∠BAP的度数是 B 1题图 2.等腰三角形的一个外角等于110°，求此三角形的 各内角的度数. 类型2与点的位置有关的分类讨论 3.在平面直角坐标系x0y中，点A(4,3),点B(3,0), 点C(5,3),点E在x轴上.当CE=AB时，点E的 坐标为 4.（山东青岛期末)在平面直角坐标系x0y中， A(2,0),C(0,-4),AB=AC,∠BAC=90°，则点B 的坐标为 类型3与中线有关的分类讨论 5.等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将周 长分成差为5cm的两部分，则此三角形的底边长 为 6.等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两 部分，求该三角形三边的长 12 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 中的分类讨论思想 [答案P4] 类型4与高有关的分类讨论 7.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这 个等腰三角形底角的度数为 8.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36°，求这个等腰三角形的底角的度数. 类型5与等腰三角形个数有关的分类讨论 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为边画等 腰三角形BCP,使点P在△ABC的边上，则符合 条件的点P有 () 9题图 A.2个 B.3个C.4个D.5个 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，点D为 AC边上任意一点（不与点A,C重合），当△BCD 为等腰三角形时，求∠ABD的度数. B 10题图 第一章三角形的证明及其应用 安 专题2“三线合一”巧解题 [答案P5] 类型1直接利用“三线合一”解决问题 类型2利用“三线合一”作辅助线解决问题 1.如图，∠A=∠D=90°，AB=DC,AC与BD相交于 方法1遇等腰三角形常作底边上的高 点E,F是BC的中点.求证：EF⊥BC. 3.如图，在△ABC中，AB=AC,E为AC上任意一点， 延长BA到点D,使得AE=AD,连接DE.求证：DE ⊥BC. 1题图 B 3题图 方法2遇等腰三角形中底边中点时，常作底边上 2.如图，在△ABC中，AB=AC=10,F是BC的中点， 的中线 AF=8,D是AB的中点，DE⊥AC于点E. 4.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，0为 (1)求BF的长； AB的中点，OE,OF分别交AC,BC于点E,F,且 (2)求DE的长. OE⊥OF.求证：0E=OF. 0 0 R 2题图 4题图 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 13 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 3 直 第1课时直角三 知识要点分类练单 。知识点1直角三角形中有关角的性质及判定 1.（攀枝花中考)如图，平行线AB,CD被直线EF所 截，过点B作BG⊥EF于点G,已知∠1=50°，则 ∠B= A.20° B.30° C.40° D.50° 1题图 3题图 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=40°，那么 ∠A= 3.如图，在△ABC中，AD是高，角平分线BE交AD 于点F,若∠BAC=60°，∠C=70°，则∠DFB的度 数为 4.在△ABC中：（下列所填三角形按角分类） (1)若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则此三角形是 三角形； (2)若∠A-∠B=∠C,则此三角形是 三 角形； (3)若∠A=2∠B=3∠C,则此三角形是 三角形； (4)若LA=7∠B=弓∠C,则此三角形是 三角形. 5.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是 AB上一点，且∠ACD=∠B.求证：△ACD是直角 三角形 5题图 14 见此图标盟微信打码进人初中智慧学园自 角三角形 角形的性质与判定 [答案P5] 6.如图，AB∥CD,△EFG的顶点F,G分别落在直线 AB,CD上，GE交AB于点H,GE平分∠FGD.若 ∠EFG=90°，∠E=28°，求∠EFB的度数 C 6题图 ●知识点2直角三角形中有关边的性质及判定 7.新情境如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标 中，摄像头的支架是由水平方向的AB、竖直方向 的BC两段构成的，若BC段长度为8cm,点A,C 之间的距离比AB段长2cm,则AB段的长度为 A.10 cm B.12 cm C.15 cm D.17 cm B -1.8 7题图 8题图 8.(连云港中考)如图，长为3m的梯子靠在墙上， 梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m,则梯子顶 端的高度h为 m. 9.如图，在△ABC中，CD是△ABC的高，AC=20,BC =15,BD=9.求AD和CD的长 D 9题图 知识点3逆命题、逆定理 10.下列说法正确的是 A.任何命题都有逆命题 B.任何定理都有逆定理 C.真命题的逆命题一定是真命题 D.定理的逆命题一定是真命题 11.(江苏苏州期末)下列命题：①同旁内角互补，两 直线平行；②若1al=Ib1,则a=b;③直角都相 等；④相等的角是对顶角.其中逆命题是真命题 的有 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 能力提升综合练中： 12.（天津和平区期末)已知a,b,c是△ABC的三条 边，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的 是 () A.a=2,b=√5，c=3 B.∠A+∠B=∠C C.(a+b)2+(a-b)2=2c2 D.∠A:∠B:∠C=2:3:4 13.给出下列命题：①内错角相等，两直线平行；②若 a2=b2,则a=b;③锐角与钝角互为补角；④等边 三角形三边相等.它们的逆命题是真命题的个数 是 A.4个B.3个C.2个D.1个 14.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D 是AB上一点，将Rt△ACB沿CD折叠，使点B 落在AC边上的B'处，则∠CDB'等于 C 14题图 15.(陕西西安期末)如图，已知四边形ABCD中， ∠B=90°，AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边 形ABCD的面积. 15题图 第一章三角形的证明及其应用又 素养探究创新练学： 16.解答下列各题： (1)如图①，长方体的长、宽、高分别为3m,2m, 1m,如果用一根细线从点A开始经过4个侧 面缠绕一圈到达点C,那么所用细线最短需 要」 m; (2)如图②，长方体中，AB=BC=6cm,AA1= 14cm,假设昆虫甲从盒内顶点C,开始以 1c/s的速度在盒子的内部沿棱C,C向下 爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速 度在盒内的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需 要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ D无盖C A14 B C 3m D -C A B 16题图① 16题图② 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 15 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第2课时 直角 知识要点分类练学： 知识点1用“HL”判定两个直角三角形全等 1.如图，P为∠CAB内一点，且点P到AB,AC的距 离PE=PF,则直接判断△PEA≌△PFA的理由是 A.HL B.SSS C.ASA D.AAS B 1题图 2题图 2.如图，已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE.若直接用 “HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条 件是」 3.如图，小明和小芳以相同的速度分别从A,B同时 出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，并同时到 达C,D.若CB⊥AB,DA⊥AB,则CB与DA相等 吗？为什么？ 3题图 餐知识点2用其他方法判定两个直角三角形全等 4.小明在学习了直角三角形全等后，总结了满足以 下条件的两个直角三角形全等，你认为不正确的 是 A.斜边和一条直角边对应相等 B.两条直角边对应相等 C.一个锐角和斜边对应相等 D.两个锐角对应相等 5.新考向如图，已知AC1BD于点P,AP=CP,请 增加一个条件，使△ABP≌△CDP(不能添加辅 助线). 5题图 (1)添加条件 ,依据是 (2)添加条件 ,依据是 (3)添加条件 ,依据是 (4)添加条件 ,依据是 16 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 角形全等的判定 [答案P6] 知识点3直角三角形全等的判定(HL)与性质的 应用 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE⊥BC,AC =EC.若∠ACB=60°，则∠ACD= A.45° B.30° C.20° D.15° E D B∠ E 6题图 7题图 7.如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上.已知 左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度 DF相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC与 ∠DFE的度数和是 A.60° B.90° C.120°D.180° 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D,交 AC于点E.若BC=BD,AE=4,ED=2,则AC= DB 8题图 9题图 9.如图，在△ABC和△DEC中，∠C=90°，AB= DE,AC=DC,下列结论：①∠A=∠D;②∠A+ ∠DEC=90°；③AE=DB;④OA=OD.正确的是 ·（请填写序号) 10.如图，D,C,F,B四点在一条直线上，AB=DE, AC⊥BD,EF⊥BD,垂足分别为C,F,CD=BF.求 证：AB∥DE. C入 10题图 能力提升综合练学： 11.如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E,DF⊥BC 交AC于点F,BD=CF,BE=CD.若∠AFD= 145°，则∠B的度数为 C P 11题图 12题图 12.如图，有一直角三角形ABC,∠C=90°，AC= 10cm,BC=5cm.一条线段PQ=AB,P,Q两点 分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线 AQ上运动，当AP= 时，△ABC和 △APQ全等 13.如图，已知AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝 角三角形ABE的高，如果AD=AF,AC=AE,求 证：BC=BE. 13题图 14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平 分线，DE⊥AB于点E,点F在AC上，BD=DF. 证明： (1)CF=EB; (2)AB=AF +2EB. ch 14题图 第一章三角形的证明及其应用又 素养探究创新练尊： 15.如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一 起，摆出△ABC,固定住长木棍，转动短木棍，得 到△ABD,这个实验说明了什么？图中△ABC与 △ABD满足两边和其中一边的对角分别相等， 即AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与 △ABD不全等.这说明，有两边和其中一边的对 角分别相等的两个三角形不一定全等.李乐通过 对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这 两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等， 请你判断李乐的说法是否正确。 D 15题图 见此图标器微信码：进人初中智慧学园自 17 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 4 线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 [答案P7] 知识要点分类练中” ●知识点2线段垂直平分线的判定定理 6.如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线交于 知识点1线段垂直平分线的性质定理 点P.求证：点P在AC的垂直平分线上 1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直 线CD上一点，已知PA=5,则PB的长为（) A.6 B.5 C.4 D.3 6题图 B D 1题图 2题图 2.如图，DE,DF分别是线段AB,BC的垂直平分线， 连接DA,DC,则 A.∠A=∠C B.∠B=∠ADC C.DA=DC D.DE=DF 3.如图，已知点A(2,3)和点B(4,1),在x轴或y轴 上有一点P,且点P到点A和点B的距离相等，则 点P的坐标为 A.(1,0)或(0，-1)B.(-1,0)或(0,1) C.(0,3)或(4,0) D.(2,0)或(0,1) 2 A 7.如图，在△ABC中，∠B=∠C,点P,Q,R分别在 线段AB,BC,AC上，且BP=CQ,BQ=CR.求证： 点Q在线段PR的垂直平分线上 3题图 4题图 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线DE 交AC于点D,交AB于点E,如果BC=10,△BDC 的周长为22，那么△ABC的周长是（) 7题图 A.24 B.30 C.32 D.34 5.如图，点D在BC上，DE垂直平分AC,垂足为E, DF垂直平分BA,垂足为F.求证：DB=DC. D 5题图 18 见此图标盟微信码进人初中智慧学园自