第一章 三角形的证明及其应用 易错强化训练&章末复习-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(北师大版·新教材)

第一章三角形的证明及其应用 第一章 易错强化训练 [答案P11] 易错点1对“点在垂直平分线上”和“线段的垂直9.（江苏南通期中）数学课上，张老师举了下面的 平分线”区分不清出错 例题： 1.如图，直线1与线段AB交于点O,点P在直线1 例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的 上，且PA=PB,则下列结论中，正确的有（ 度数.（答案：35） ①A0=BO;②PO⊥AB;③∠APO=∠BPO;④点P 例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度 在线段AB的垂直平分线上， 数.（答案：40°，70°或100）》 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的 度数 (1)请你解答该变式题； 1题图 (2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰 易错点2对等边三角形的性质把握不清而出错 三角形ABC中，设∠A=x,当∠B有三个不同 2.等边三角形的角平分线、中线和高共有（ 的度数时，请你探索x的取值范围. A.3条 B.5条 C.7条 D.9条 易错点3忽略平面内三点的位置关系致错 3.到平面内三点A,B,C距离相等的点 A.只有一个 B.有两个 C.有三个或三个以上 D.有一个或没有 易错点④忽略分类讨论而出错 4.在等腰三角形ABC中，若∠A=70°，则∠B的度 数是 () A.40° B.559 C.70° D.40°或55°或70° 5.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36°，则它的顶角为 () A.36° B.54° C.72°或36° D.54°或126° 6若实数x,y满足|x-41+√y-10=0,则以x,y 的值为边长的等腰三角形的周长为 7.已知一个直角三角形的两边长分别为5cm, 12cm,则这个三角形的第三边长为 cm. 8.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C的度数 为 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 29 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第一章 章末复习 [答案P11] 知识体系构建曲 直角 两锐角互余 三角形 三角形三个内角的和等于① 的性质 勾股定理 推论：三角形的一个外角等于和它不相邻 直角 有两个角⑧ 的三角形是 的两个内角的② ；三角形的一个外 任何一个和它不相邻的内角 形 角三 ·三角形一 直角三角形 角③ 的判定 勾股定理的逆定理 n边形的内角和等于(n-2)·180°多边形 角 形 。互逆命题、互逆定理 正n边形每个内角的度数为④ 内角和 和 定 角 直角三角形全等的判定定理“HL” 多边形的外角和都是360°。 多边形 理 正n边形每个外角的度数为⑤ 外角和 线段垂直平分线上的点到这条线段 的 线 。性质 两个端点的距离⑨ 三线合一 证 。判定 到一条线段两个端点距离相等的点， 的 在这条线段的垂直平分线上 互逆定理： *等边对等角性质 等腰 三角形 及 垂 +⑥ 判定 直 三角形三条边的垂直平分线相交于一点， 并且这一点到三个顶点的距离相等 三边相等；三个内角相等，一性质 等 都等于60 等边 分 。尺规一等腰三角形 三个角都相等的三角形是 三角形 用 作图气过平面内一点作已知直线的垂线 等边三角形 判定 有一个角等于60°的等腰 形 角平分线上的点到这个角的两边的 。性质一 三角形是等边三角形 距离0 含30°角 角 30°角所对的直角边等于斜边一 的直角 平 在一个角的内部，到角的两边距离 的⑦ 三角形 分 →判定一 相等的点在这个角的平分线上 线 三角形的三条角平分线相交于一点，并且 反证法 这一点到三条边的距离相等 常考题型训练 考点1)三角形内角和定理 4.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC 1.在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差， 的角平分线，已知LBAC=80°，∠C=40°. 则 (1)求∠DAE的大小； A.必有一个内角等于30 (2)若BF是∠ABC的平分线，求∠AGB的大小. B.必有一个内角等于45° C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90° 2.（乐山中考)如图，已知直线11,2,13两两相交，且 4题图 L1⊥l3,若x=50°，则B的度数为 A.120° B.130° C.140° D.150° 2题图 3题图 3.如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长 线，连接BD,则∠BDM的度数是 30 见此图标盟微信打码进人初中智慧学园自 第一章三角形的证明及其应用 考点2等腰三角形 (2)请判断AE与BD的位置关系，并说明理由， 5.等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等 腰三角形的底边长为 ( A.3 B.5 C.7 D.9 6.如图，P是等边三角形ABC的边AC的中点，E为 10题图 BC延长线上一点，PE=PB,则LCPE的度数为 考点4线段的垂直平分线与角平分线 6题图 A.20° B.25° C.30° D.35° 11.如图，在△ABC中，AB=AC=5,AC的垂直平分 7.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC,D是BC 线分别交AC,AB于点D,E,连接CE,若BE=1, 的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足为E,F求证： 则△AEC的周长为 () △DEF是等边三角形. A.12 B.13 C.14 D.15 7题图 B B4 11题图 12题图 12.如图，在△ABC中，∠B=75°，分别以点A,C为 圆心，大于24C的长为半径作弧，两弧在AC两 侧分别交于点P,Q,作直线PQ,交BC于点D,交 AC于点E,F是AD上一点，且AB=CF,若 考点3直角三角形 LDAC=45°，则∠ACF的度数为 8.下列命题的逆命题是真命题的个数有() 13.如图，已知D,E,F分别是△ABC的三边上的点， ①两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两 CE=BF,且△DCE的面积与△DBF的面积相 边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角 等.求证：AD平分∠BAC. 三角形的两个锐角互余；④全等三角形的对应角 都相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.（陕西西安期末)如图，已知∠AOB= 13题图 60°，点P在边OA上，OP=5,点M,N 在边OB上，PM=PN.若MN=2,则o OM 9题图 10.如图，已知AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD= 90° (1)求证：AE=BD; 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 31.BE=BF-2CF. 2 .·CF=AC-AF=AC-AB. .BE(AC-AB). 3.证明：如答图，延长BA到点E,使AE=AD,连接DE. AB+AD=AC, ∴，BE=AB+AE=AB+AD=AC. ∠BAD=120°，∴.∠DAE=60°， .△ADE是等边三角形， .DE=AD,∠E=60° 又BD=DC, ∴.△BDE≌△CDA, C ∴.∠CAD=∠E=60°， 3题答图 .∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°， .AC平分∠BAD. 4.证明：在边AC上截取AP=AB,连接PD. ·AD是∠BAC的平分线， ∴.∠BAD=∠PAD 在△ABD和△APD中， rAB=AP, ∠BAD=∠PAD. LAD=AD, .△ABD≌△APD(SAS), ∴.∠APD=∠B,.PD=BD .·∠B=2∠C,∠APD=∠PDC+∠C, ∴.∠PDC=∠C,∴.PD=PC,∴.BD=PC, .AB+BD=AP+PC=AC. ☆问题解决策略：反思 【知识要点分类练】 1.C2.D3.5 4.证明：：AM=2MB,AN=2NC, 六M=号a,aw=子C 3 又，'AB=AC,∴.AM=AN. AD平分∠BAC,∴.∠MAD=∠NAD. 又.AD=AD,∴.△AMD≌△AND,.DM=DN 5.解：已知：在△ABC中，AB=AC,BD和CE分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线. 求证：BD=CE. 证明：，AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. ·BD和CE分别是∠ABC和LACB的平分线， ∠DBC=7∠ABC,∠BcB=3∠ACB, ∴.∠DBC=∠ECB. 在△DBC和△ECB中， ∠DCB=∠EBC, BC=CB, L∠DBC=∠ECB, .△DBC≌△ECB(ASA),.BD=CE, 即等腰三角形两底角的平分线相等。 参考答案及解析 (1)等腰三角形两腰上的高相等. 其他结论：两腰上的中线与其底边的夹角相等；两腰上的高 与其底边的夹角相等.（答案不唯一) (2)①.AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB :∠ABD=号∠ABC,∠ACE=号∠ACB, ∴.∠ABD=∠ACE. 又∠A=∠A,.△ABD≌△ACE,BD=CE. 同理可证，当∠ABD=子∠ABC,LACB=4LACB时，BD =CE. 结论：在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC和AB上， 当∠ABD=元∠ABC,LACE=∠ACB(n为正整数，且n ≥2)时，BD=CE. ②如果AD=子4C,AB=号AB,那么BD=CE 如果AD=号AC,AB=号AB,那么BD=CE 结论：在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC和AB上， 当0=六4C,能=8n为正整数，且≥2)时，B0=CE 第一章易错强化训练 1.A2.A3.D4.D5.D 6.247.13或√/1198.20°或70 9.解：(1)若∠A为顶角，则∠B=之(180°-∠A)=50: 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×80°=20°； 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=∠A=80. 综上，∠B的度数为50°，20°或80°. (2)分两种情况： ①当90°≤x<180时，∠A只能为顶角， ·∠B的度数只有一个； ②当0°<x<90时，若LA为顶角，则∠B=180°-￥， 2 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2x: 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x ·∠B有三个不同的度数， 1800-*≠180°-2x且1800-2x≠x且1809-￥≠x, 2 2 .x≠60° 综上，当∠B有三个不同的度数时，x的取值范围是0°<x< 90°且x≠60°. 第一章章未复习 【知识体系构建】 ①180°②和③大于④n-2）·180° ⑤360。 n ⑥等角对等边⑦一半⑧互余⑨相等0相等 【常考题型训练】 1.D2.C3.144° 4.解：(1)：∠BAC=80°，∠C=40°， .∠ABC=180°-∠BAC-∠C=60°. 11· 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 AD是△ABC的高，AE是△ABC的平分线， ∠BAD=90°-LABC=30°，∠BME=7∠BMC=40, ·.∠DAE=∠BAE-∠BAD=10 (2)由(1)得∠ABC=60°，∠BAE=40° BF是∠ABC的平分线LABF=分∠ABC=30, .∠AGB=180°-∠ABF-∠BAE=110°. 5.A6.C 7.证明：∠A=120°，AB=AC,.∠B=∠C=30° 又.DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠BED=∠CFD=90°， ∴.∠BDE=∠CDF=60°，∴.∠EDF=60°. D是BC的中点，.BD=CD. 在△BDE和△CDF中， r∠B=∠C, BD=CD, L∠BDE=∠CDF, ∴.△BDE≌△CDF(ASA),∴.DE=DF, ∴.△DEF是等边三角形 ac 0. 10.(1)证明：∠ACB=∠ECD=90°， ∴.∠ACE+∠ECB=∠BCD+∠ECB, 即∠ACE=∠BCD. 在△ACE和△BCD中， rAC=BC, ∠ACE=∠BCD. CE CD, .△ACE≌△BCD(SAS),∴.AE=BD. (2)解：AE⊥BD.理由如下： 如答图，延长AE交BC于点M,交BD于点N. ∠ACB=90°， .∠CAE+∠AMC=90. 由(1)得∠CAE=∠CBD. 又.·∠AMC=∠BMN, B ·.∠CBD+LBMN=∠CAE+LAMC=9O°，DN .∠MNB=90°，∴.AE⊥BD. 10题答图 11.B12.30 13.证明：如答图，过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于 点N :△DCE的面积与△DBF的面积相等， 2BF:DM=2CE·DN .CE=BF,.∴.DM=DN, ∴.点D在∠BAC的平分线上， .AD平分∠BAC. B 13题答图 ·12· 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 【知识要点分类练】 1.C2.C3.C 4.B[解析]A项，x是负数，可以表示为x<0,不符合题意； B项，x-2是正数，可以表示为x-2>0,符合题意；C项， x-2大于1，可以表示为x-2>1或1<x-2,不符合题意； D项不等于子，可以表示为x≠子，不特合题意。 5.<6.2(2a-5)>03,4(答案不唯-） 【能力提升综合练】 7解：(1)写+2x≤0， (2)设一枚炮弹的杀伤半径为r米，则应有r≥300. (3)设每件上衣为a元，每条长裤为b元， 则应有3a+4b≤268. (4)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克， 则应有a≥b. 【素养探究创新练】 8.解：(1)x辆汽车运A种苹果，则有(10-x)辆汽车运B种苹 果.由题意，得3x+2(10-x)>26. (2)x辆汽车运A种苹果，则有(10-x)辆汽车运B种苹果. 由题意，得1500x+1800(10-x)≥15000. 第2课时不等式的解、解集及其表示 【知识要点分类练】 1.A2.D3.C4.D5.D6.A7.38.A9.A 10.D 11.解：(1)x≥2.(2)x<-1. 12.解：(1)将解集表示在数轴上如答图①. -4-3-2-1012 12题答图① (2)将解集表示在数轴上如答图② -100102030405ò6070→ 12题答图② (3)将解集表示在数轴上如答图③ -3-2-1013234 12题答图③ 第3课时不等式的基本性质 【知识要点分类练】 1.A2.B3.B4.<5.<6.<7.a<-18.D 3*>-10 9.(1)1加}x<1(2)2柔 3 (3)3除以-8x<-2