第一章 专题1 等腰三角形中的分类讨论忍想&专题2“三线合一”巧解题-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(北师大版·新教材)

全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第3课时等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 【知识要点分类练】 1.C2.18 3.(1)证明：如答图，连接DE. A,B分别为CD,CE的中点， AE⊥CD于点A,BD⊥CE于点B, .∴.△ECA≌△EDA,△DBC≌△DBE ∴.CE=DE,CD=DE .∴.CD=DE=CE (2)解：：CD=DE=CE, ,△CDE为等边三角形， 3题答图 ..∠C=60°， ..∠AEC=90°-∠C=30° 4.A5.B6.A7.C8.63m 9.解：(1)△ABC是等边三角形，.∠B=60 .DE∥AB,∴.∠EDC=∠B=60 ,·EF⊥DE,∴.∠DEF=90°， ∴.∠F=180°-∠DEF-∠EDC=30 (2).:∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴，△EDC是等边三角形，.ED=CD=4. ∠DEF=90°，∠F=30°， .DF=2DE=8. 【能力提升综合练】 10.B11.6或12 12.(1)证明：F是BC的垂直平分线与AC的交点， ∴.FB=FC,.∴.∠FBC=∠C=30°， .∴.∠AFE=∠FBC+∠C=60. AD⊥BC于点D,∴.∠ADB=∠ADC=90°， .∠DAC=90°-∠C=60°，.∠EAF=∠AFE=60°， ,△AEF是等边三角形. (2)解：BD=2,∠BAD=90°-60°=30°， .AB=2BD=4. ∠C=30°，.BC=2AB=8, ..CD=BC-BD=8-2=6. 【素养探究创新练】 13.解：(1)根据题意，得∠CBM=60°，∠BAM=30°. 因为∠CBM=∠BAM+∠BMA, 所以∠BMA=30°，所以∠BMA=∠BAM, 所以AB=BM. 因为AB=28×0.5=14,所以BM=14. 答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里， (2)连接CM.因为BC=28×0.5=14,BM=BC,且∠CBM =60°， 所以△BMC是等边三角形， 所以CM=BC,∠BCM=60°，所以CM=14. 答：轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南 偏东60°方向上. 微专题2巧用特殊角构造含30°角的直角三角形 1.B2.123.4 ·4· 专题1等腰三角形中的分类讨论思想 1.15°或75° 2.解：·等腰三角形的一个外角等于110°， ∴.与这个外角相邻的内角是180°-110°=70° ①当70°的角是顶角时， 底角是】×(180°-70)=50 此时该等腰三角形的三个内角分别是55°，55°，70°； ②当70°的角是底角时， 顶角是180°-70°×2=40° 此时该等腰三角形的三个内角分别是70°，70°，40°， 综上所述，此三角形的三个内角分别是55°，55°，70°或70°， 70°，40 3.(4.0)6.0)4(6,-2)或(-2,2)55m或m 6.解：在△ABC中，AB=AC,BD是中线， 设AB=x,BC=y. 当AB+AD=12时，则 1 [x+2=12, 1 ,解得=8， y+2x=15, ly=11, ∴.三角形三边的长分别为8,8,11； 当AB+AD=15时，则 [x+2x=15, 1 解得厂x=10, y+2x=12, y=7, ∴.三角形三边的长分别为10,10,7. 经检验，两种情况均符合三角形的三边关系定理， 因此这个三角形三边的长分别为8,8,11或10,10,7 7.15或75 8.解：分两种情况讨论： ①若顶角A<90°，如答图①. ,'BD⊥AC,.∴.∠A+∠ABD=90° ∠ABD=36°，∠A=90°-36°=54°. AB =AC. LMBc=∠C=3x(180°-549)=63： D B 8题答图① 8题答图② ②若顶角A>90°，如答图②. 同(1)可得∠DAB=90°-36°=54°， .∠BAC=180°-54°=126°. 1 :MB=AC,∠ABC=∠C=2×(180°-126)=279 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为63°或27°. 9.C 10.解：.AB=AC,∠A=40°， ∴.∠ABC=∠C=70°. 当CD=CB时，∠CBD=∠CDB=55°， .∠ABD=∠ABC-∠CBD=15°； 当BD=BC时，∠BDC=∠BCD=70°， .∠DBC=40°， ∴.∠ABD=∠ABC-∠DBC=30° 综上所述，∠ABD的度数为15°或30° 专题2“三线合一”巧解题 1.证明：在△ABE和△DCE中， r∠A=∠D ∠AEB=∠DEC, LAB DC. ∴.△ABE≌△DCE(AAS),.BE=CE. F是BC的中点，∴.EF⊥BC. 2.解：(1)：AB=AC=10,F是BC的中点，.AF⊥BC 根据勾股定理，得BF=√AB2-AF产=6 (2)连接CD. BF=6,F是BC的中点，.BC=12, 六SAC=2C·AF=48 yD是AB的中点Sa0m=5c=24, :AC=10,:.SAACD =AC.DE=5DE, 50E=24,解得D0E=号 3.证明：过点A作AM⊥BC于点M. AB=AC,.∠BAC=2∠BAM. AD=AE,∴.∠D=∠AED、 ∴.∠BAC=∠D+∠AED=2∠D, .∴.∠BAC=2∠BAM=2∠D, ∴.∠BAM=∠D,.DE∥AM. .·AM⊥BC,.DE⊥BC. 4.证明：连接OC.:AC=BC,∠ACB=90°，0为AB的中点， ∴.∠B=∠AC0=∠BC0=45°，OC=OB,∠C0B=90°. 又，∠E0F=90°， .∴.∠EOC+∠COF=∠COF+∠FOB=90°， .∴.∠EOC=∠FOB. 在△EOC和△FOB中， r∠EOC=∠FOB, OC=OB L∠OCE=∠B, ∴.△EOC≌△FOB(ASA),.OE=OF 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 【知识要点分类练】 1.C2.65 参考答案及解析 3.65°[解析]∠BAC=60°，∠C=70°，.∠ABC=180°- ∠BAC-∠C=180°-60°-70°=50°.BE平分∠ABC, ∠BBC=7∠ABC=3×50=25e:AD1BC∠DFB= 90°-∠FBD=90°-25°=65° 4.(1)直角(2)直角(3)钝角(4)直角 5.证明：∠ACB=90°，∠A+∠B=90 ∠ACD=∠B,∴.∠A+∠ACD=90°， .∠ADC=90°，∴.△ACD是直角三角形. 6.解：，∠EFG=90°，∠E=28°， .∠FGE=90°-280=62. ·GE平分∠FGD, .∴.∠FGD=2∠FGE=124. .AB∥CD, .∴.∠BFG=180°-∠FGD=56°， ..∠EFB=90°-56°=34. 7.C8.2.4 9.解：.·CD⊥AB,..∠ADC=∠BDC=90°. 在Rt△BDC中，BC=15,BD=9, CD=BC2-BD=152-92=12. 在Rt△ADC中，AC=20,CD=12, .AD=√AC2-CD2=√202-122=16. 10.A11.B 【能力提升综会练】 12.D[解析]A项，由a=2,b=5,c=3可得a2+b2=c2,能 判定△ABC是直角三角形，不合题意：B项，由∠A+∠B= ∠C可得∠C=90°，能判定△ABC是直角三角形，不合题 意；C项，由(a+b)2+(a-b)2=2c2可得a2+b2=c2,能 判定△ABC是直角三角形，不合题意：D项，由∠A:∠B: ∠C=2:3:4可得∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°，不能判定 △ABC是直角三角形，符合题意. 13.B14.70 15.解：如答图，连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=√AB2+BC=√2+22=5. 在△ACD中，AC2+CD2=5+22=9,AD2=32=9, .AC2+CD2=AD2. ∴，△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°， .Smx1x21x5x25 1 S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=1+5. A 15题答图 【素养探究创新练】 16.解：(1)w101 (2)如答图，设昆虫甲从顶点C,沿棱C,C向顶点C爬行 ·5·Y全程导练·数学·北师版·八年级·下册 专题1等腰三角形中的分类讨论思想 答案P4] 类型1与角度有关的分类讨论 类型4与高有关的分类讨论 1.(绍兴中考)如图，在△ABC中，AB= 7.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这 AC,∠B=70°，以点C为圆心，CA长为 个等腰三角形底角的度数为 半径作弧，交直线BC于点P,连接AP, 8.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 C 36°，求这个等腰三角形的底角的度数. 则∠BAP的度数是 1题图 2.等腰三角形的一个外角等于110°，求此三角形的 各内角的度数 类型5与等腰三角形个数有关的分类讨论 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为边画等 腰三角形BCP,使点P在△ABC的边上，则符合 条件的点P有 () 类型2与点的位置有关的分类讨论 3.在平面直角坐标系xOy中，点A(4,3),点B(3,0), 点C(5,3),点E在x轴上.当CE=AB时，点E的 BC 坐标为」 9题图 A.2个B.3个 C.4个D.5个 4.(山东青岛期末)在平面直角坐标系x0y中， 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，点D为 A(2,0),C(0,-4),AB=AC,∠BAC=90°，则点B AC边上任意一点（不与点A,C重合），当△BCD 的坐标为 为等腰三角形时，求∠ABD的度数. 类型3与中线有关的分类讨论 5.等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将周 长分成差为5cm的两部分，则此三角形的底边长 为 6.等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两 10题图 部分，求该三角形三边的长. 12 见此图标器微信扫码进人初中智巷学园自 第一章三角形的证明及其应用 专题2“三线合一”巧解题 答案P5] 类型1直接利用“三线合一”解决问题 类型2利用“三线合一”作辅助线解决问题 1.如图，∠A=∠D=90°，AB=DC,AC与BD相交于 方法1遇等腰三角形常作底边上的高 点E,F是BC的中点.求证：EF⊥BC. 3.如图，在△ABC中，AB=AC,E为AC上任意一点， 延长BA到点D,使得AE=AD,连接DE.求证：DE ⊥BC. 1题图 3题图 方法2遇等腰三角形中底边中点时，常作底边上 2.如图，在△ABC中，AB=AC=10,F是BC的中点， 的中线 AF=8,D是AB的中点，DE⊥AC于点E. 4.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，O为 (1)求BF的长； AB的中点，OE,OF分别交AC,BC于点E,F,且 (2)求DE的长. OE⊥OF.求证：OE=OF D 4题图 2题图 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 13