云南罗平县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年高二上学期期中考试 数学试卷 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，，则下面韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A.       B. C.       D. 2.已知实数，且，则的最小值为（ ） A.     B.    C. 8   D. 12 3.已知是定义域为的奇函数，，且当时，单调递增，则满足不等式的的取值范围是（ ） A.       B. C.       D. 4.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A.       B.       C.       D. 5.已知的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. 1    B.       C.     D. 2 6.已知中，，，，D为BC的中点，则（ ） A. 25    B. 19    C.       D. 7.有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），其中，，，则这块菜地的面积为（ ） A.       B.       C.       D. 8.圆与直线相交所得弦长为（　　） A. 1    B.       C.       D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 两两共面，但不共面 C. 一定存在实数x，y，使得 D. ，，一定能构成空间的一个基底 10.圆与圆相交于、两点，则（ ） A. 的直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 线段的垂直平分线方程为 D. 圆上的点与圆上的点的最大距离为 11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则△ABC为等腰三角形 C. 若，则符合条件的三角形有2个 D. 若△ABC的面积，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是            . 13.已知，z的共轭复数为，则          . 14.若平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为            . 四、解答题 15.已知锐角的终边与单位圆相交于点. （1）求的值； （2）若且求的值. 16.某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动.为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计.所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组 （单位：分），得到如下的频率分布直方图. （1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数； （2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖.（以每组中点作为该组数据的代表） 17.如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，截面将该正方体分成两部分，这两部分的体积分别为，且. （1）求； （2）求点到平面的距离. 18.如图，四边形是矩形，平面，平面，，，点在棱上. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若点到平面的距离为，求线段的长. 19.已知在平面直角坐标系中，，，平面内动点P满足. （1）求点P的轨迹方程； （2）点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：上的动点，直线，与曲线的另一个交点分别为M，N，直线与x轴交点为Q，求的最小值. 一、单选题 1. D【解析】图中阴影部分表示的集合为， 因为，全集， 所以. 又， 所以. 故选：D. 2. C【解析】已知，，且. 则. 当且仅当，即，时等号成立， 因此的最小值为. 故选：C. 3. D【解析】因为是定义域为的奇函数，且时单调递增，所以在时也单调递增. 由，根据奇函数性质，可得. 那么当时，； 当时，；当时，. 对于不等式，则有或. 解得；解得. 所以的取值范围是. 故选：D. 4. A【解析】已知函数在上单调递增. 对于，， 令，递增. 对称轴为， 要在递增，则. 时，， 即，. 同时，递增， 其对称轴需满足. 解，得， 又， 综合得. 故选：A. 5. B【解析】由图象可知. 根据，由可得，进而. 于是. 因为函数图象过点， 所以. 即， 则. 又，取，解得. 所以. 则. 故选：B. 6. C【解析】已知在中，，，. 可得. 因为为中点，可知. 由于. ，. 将，，代入可得： . 因为，所以. 答案是C选项. 7. D【解析】在斜二测直观图直角梯形中， 因为，，， 过作于. 则是等腰直角三角形，， 所以. 又，那么. 由勾股定理可得. 根据斜二测画法规则， 还原后的平面图形是直角梯形，上底，下底，高. 则面积. 8. C【解析】圆，其圆心坐标为，半径. 已知直线，则圆心到直线的距离. 设弦长为，由圆的弦长计算公式可得，即. 将，代入，得，则，所以. 答案是C选项. 二、多选题 9. ABD【解析】选项A： 空间基底中的向量不共面. 若不全为，那么就会满足线性相关关系，即共面， 这与基底定义矛盾，所以若，必有，A正确. 选项B： 空间中任意两个向量必然共面，所以两两共面. 而作为空间的一个基底，是不共面的，B正确. 选项C： 由于构成空间基底，即它们不共面. 若存在实数，使得，则共面， 与基底性质不符，所以不存在这样的，C错误. 选项D： 假设，，共面. 则存在实数，使. 展开得. 可得方程组，此方程组无解. 所以，，不共面，能构成空间的一个基底，D正确. 答案为ABD. 10. AD【解析】A选项： 圆：，圆：. 两式相减：. 展开得. 得到，此即为直线方程，A正确. B选项： 将圆方程化为标准方程：，即， 圆心，半径. 到直线的距离. 由垂径定理，弦长，B错误. C选项： 圆方程化为标准方程：，即，圆心. 两圆相交，线段的垂直平分线就是两圆圆心连线所在直线. 直线的斜率，可得， 即，C错误. D选项： 两圆圆心距. 圆半径，圆半径. 圆上的点与圆上的点的最大距离为，D正确. 答案是AD选项. 11. ACD【解析】选项A：正弦定理有. ，即，两边同乘，可得，A正确. 选项B：由，展开得到 . 化简得，即或. ，， 当时，； 当时，. 所以为直角三角形或等腰三角形，B错误. 选项C：已知，，，. 因为，符合条件的三角形有个，C正确. 选项D：三角形面积，又，则. 所以，即. 因为，，两边同除以得，所以，D正确. 答案为ACD选项. 三、填空题 12. 【解析】设幂函数，因其图象过点，则，所以. 则，定义域为，且在单调递减. 由可得. 解得， 这样实数的取值范围是. 13. 【解析】设，，代入，得. 即. 即. 所以. 解得. 所以，其共轭复数. 则. 14. 【解析】已知，，则. 平面法向量. 由于， 且. 设点到平面的距离为，则. 四、解答题 15. 解：（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得 则； 因为锐角的终边与单位圆相交于点所以 由二倍角公式可得 所以. （2）因为为锐角，所以又 所以故 因为所以 则. 16. 解：（1）由频率分布直方图性质，，解得. 设中位数为频率为频率为，故. 由，得. （2）各组频率：为为为为. 平均值. 得分不低于的频率：频率中的频率为，总频率. 获奖人数. 所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖. 17. 解：（1）正方体棱长为，，是，中点， 则. 为等腰直角三角形， 其面积. 三棱锥的高. 根据三棱锥体积公式， 可得. 正方体体积，则. （2）在中， 由勾股定理，， ， . 取中点，连接， 因为，所以. ， 在中，. . 因为，且. 设点到平面的距离为， 由， 即，解得. 18. （1）证明：在矩形中，. 因为平面，平面，可得平面. 由于平面，平面，所以. 又平面，平面，所以平面. 平面，平面，且，可知平面平面. 因为平面，所以平面. （2）解：因为平面，平面，平面，所以，. 又因为是矩形，所以. 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系. 已知，，则，，. 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，得，，所以. 平面的一个法向量可设为. 根据向量点积公式求两法向量夹角余弦值. 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值是. （3）解：设，，则，所以. 由于，， 设点到平面的距离为 则，即. 当时，，（舍去，因为）； 当时，，解得. 所以. 19. 解：（1）设点的坐标为. 已知，，由，可得：， 两边同时平方：，化简得：， 所以点的轨迹方程是以为圆心，为半径的圆. （2）由，即，解得，，所以，. 设直线的方程为（），把代入得点坐标为. 则直线的斜率，直线的方程为. 联立，将代入得： ，化简得， 已知，由韦达定理， 可得，，即. 联立，将代入得： ，化简得， 已知，由韦达定理， 可得，，即. 当时，直线的斜率. 直线的方程为，整理得， 所以直线过点. 当时，，直线垂直于轴，， 直线方程为，也过点. 因为，，，由圆的性质知，， 所以，则，即. 令，则. 则，当且仅当，即，时取等号， 此时，轴，. 所以的最小值为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $