第一章 2 第3课时 等边三角形的判定与含30度角的直角三角形的性质-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(北师大版·新教材)

又全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第3课时 等边三角形的判定 知识要点分类练中： 知识点1等边三角形的判定 1.下列关于等边三角形的描述，错误的是 A.三边相等的三角形是等边三角形 B.三个角相等的三角形是等边三角形 C.有一个角是60°的三角形是等边三角形 D.有两个角是60的三角形是等边三角形 2.新情境如图①，衣架杆0A=OB=18cm.若衣架 收拢时，∠AOB=60°，如图②，则此时A,B两点之 间的距离是 cm. 2题图① 2题图② 3.如图，A,B分别为CD,CE的中点，AE⊥CD于点 A,BD⊥CE于点B. (1)求证：CD=CE; (2)求∠AEC的度数. 3题图 知识点2含30°角的直角三角形的性质 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则（) A.AB=2AC B.AC=2AB C.AB=AC D.AB=3AC 5.如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地 面3m处折断，树顶B恰好碰到地面.经测量， ∠ABC=30°，则树高为 5题图 A.6m B.9m C.10m D.12m 10 见此图标贸微信打码进人初中智意学园自 与含30°角的直角三角形的性质 [答案P4] 6.如图，在△ABC中∠A:∠B:∠BCA=1:2:3, CD⊥AB于点D,AB=12,则DB等于（) A.3 B.4 C.6 D.9 B< 6题图 8题图 7.(福建龙岩期中)等腰三角形的底角是15°，腰长 为10，则其腰上的高为 A.8 B.7 C.5 D.4 8.中国图象图形大会是涵盖图象图形各专业领域的 学术盛会.在“自动化立体库”中有许多几何元 素，其中一个等腰三角形模型的示意图如图所示， 它的顶角为120°，腰长为12m,则腰上的高是 9.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边 BC,AC上，且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC 的延长线于点F (1)求∠F的度数； (2)若CD=4,求DF的长 D 9题图 能力提升综合练学： 10.如图，E是等边三角形ABC的边AC上的点，∠1 =∠2，BE=CD,则△ADE的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.无法确定 10题图 11题图 11.(新疆中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A =30°，AB=8.若点D在直线AB上（不与点A,B 重合)，且∠BCD=30°，则AD的长为 12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°， AD⊥BC于点D,F是BC的垂直平分线与AC的 交点，连接BF交AD于点E. (1)求证：△AEF是等边三角形； (2)若BD=2,求CD的长， D 12题图 微专题2巧用特殊角林 1.(陕西西安期中)如图，在边长为10的等边三 角形ABC中，点M在边AB的延长线上，点N 在边AC上，且MN=MC.若AM=16,则CN的 长为 1题图 A.3 B.4 C.5 D.6 第一章三角形的证明及其应用Y 素养探究创新练学' 13.如图，轮船从A港出发，以28海里/时的速度向 正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的 方向上.半小时后，轮船到达B处，此时测得灯 塔M在北偏东60的方向上. (1)求轮船在B处时与灯塔M的距离； (2)轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小 时后到达C处.此时轮船与灯塔M的距离是 多少？灯塔M在轮船的什么方向上？ 北 609M A 东 13题图 造含30°角的直角三角形 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AC 的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,DE =2,则BC的长为 D E 120° C C A30 2题图 3题图 3.如图，在四边形ABCD中，AD=8,BC=2,∠B= 90°，∠A=30°，∠ADC=120°，则CD的长为 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第3课时等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 【知识要点分类练】 1.C2.18 3.（1)证明：如答图，连接DE. A,B分别为CD,CE的中点， AE⊥CD于点A,BD⊥CE于点B, B .△ECA≌△EDA,△DBC≌△DBE, .CE=DE,CD=DE, ∴.CD=DE=CE (2)解：CD=DE=CE, D 3题答图 ∴.△CDE为等边三角形， .∴.∠C=60°， ∴.∠AEC=90°-∠C=30° 4.A5.B6.A7.C8.65m 9.解：(1)：△ABC是等边三角形，.∠B=60° DE∥AB,.∠EDC=∠B=60 .EF⊥DE,∴.∠DEF=90°， ∴.∠F=180°-∠DEF-∠EDC=30° (2):∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴.△EDC是等边三角形，.ED=CD=4. '∠DEF=90°，∠F=30°， .DF=2DE=8. 【能力提升综合练】 10.B11.6或12 12.(1)证明：F是BC的垂直平分线与AC的交点， .FB=FC,.∠FBC=∠C=30°， .∠AFE=∠FBC+∠C=60°. :AD⊥BC于点D,.∠ADB=∠ADC=90°， ∴∠DAC=90°-∠C=60°，∴.∠EAF=∠AFE=60° ∴.△AEF是等边三角形. (2)解：BD=2,∠BAD=90°-60°=30°， ,.AB=2BD=4. ∠C=30°，∴.BC=2AB=8, ..CD=BC-BD=8-2=6. 【素养探究创新练】 13.解：(1)根据题意，得∠CBM=60°，∠BAM=30°. 因为∠CBM=∠BAM+∠BMA, 所以∠BMA=30°，所以∠BMA=∠BAM, 所以AB=BM. 因为AB=28×0.5=14,所以BM=14. 答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里， (2)连接CM.因为BC=28×0.5=14,BM=BC,且∠CBM =60°， 所以△BMC是等边三角形， 所以CM=BC,∠BCM=60°，所以CM=14. 答：轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南 偏东60°方向上 微专题2巧用特殊角构造含30°角的直角三角形 1.B2.123.4 。4… 专题1等腰三角形中的分类讨论思想 1.15°或75° 2.解：等腰三角形的一个外角等于110°， ∴.与这个外角相邻的内角是180°-110°=70°. ①当70的角是顶角时， 底角是7×(180°-70)=50 此时该等腰三角形的三个内角分别是55°，55°，70°： ②当70的角是底角时， 顶角是180°-70°×2=40° 此时该等腰三角形的三个内角分别是70°，70°，40°. 综上所述，此三角形的三个内角分别是55°，55°，70°或70°， 70°，40° 3.(4.0)或6.04(8.-2)或(-2.2)55m或m 6.解：在△ABC中，AB=AC,BD是中线. 设AB=x,BC=y 当AB+AD=12时，则 1 [+2x=12, 1 ,解得=8， y+2x=15, ly=11, .三角形三边的长分别为8,8,11； 当AB+AD=15时，则 x+2x=15, 1 ,解得厂x=10, y+2x=12, ly=7, ∴.三角形三边的长分别为10,10,7. 经检验，两种情况均符合三角形的三边关系定理， 因此这个三角形三边的长分别为8,8,11或10,10,7 7.15°或75° 8.解：分两种情况讨论： ①若顶角A<90°，如答图①， 'BD⊥AC,∴.∠A+∠ABD=90° .∠4BD=36°，∴.∠4=90°-36°=54. AB=AC, .∠4BC=∠C=7×(180°-54)=63°； B 8题答图① 8题答图② ②若顶角A>90°，如答图②. 同(1)可得∠DAB=90°-36°=54°， .∴.∠BAC=180°-54°=126°. 1 :MB=AC,LABC=LC=2×(180°-126)=279 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为63°或27.