第一章 2 第2课时 等腰三角形的判定与反证法-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(北师大版·新教材)

全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第2课时 等腰三角形的判定与反证法 [答案P3] 知识要点分类练学” 6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,DE∥CB,F是 BD的中点 知识点1等腰三角形的判定 (1)求证：△BDE是等腰三角形； 1.如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的 (2)若∠ABC=50°，求∠DEF的度数 是 ( A.∠B=∠C B.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD C.AD⊥BC,∠BAD=∠ACD D.AD⊥BC,BD=CD 6题图 1题图 2题图 4题图 2.如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=36°，BD平分 ∠ABC,则图中等腰三角形的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 3.（济宁中考)一条船从海岛A出发，以15海里/时 的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处.灯塔 C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北 餐知识点2反证法 偏西84方向上.则海岛B到灯塔C的距离是 7.用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直 ( 角”时，应先假设这个三角形中 () A.15海里 B.20海里 A.至少有两个内角是直角 C.30海里 D.60海里 B.没有一个内角是直角 4.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于点D. C.至少有一个内角是直角 若△ABC的周长为20，CD=6,则AC的长为 D.每一个内角都不是直角 8.(陕西西安期中)用反证法证明“在△ABC中，若 5.如图，AD=BC,AC=BD,AC与BD交于点E.求 ∠A>∠B,则a>b”时，应假设 () 证：△EAB是等腰三角形 A.∠A≤∠B B.∠A<∠B E C.a≤b D.a<b 9.（(山西晋中期末)已知△ABC中，AB=AC,求证： ∠B<90°.下面写出运用反证法证明这个命题的 5题图 四个步骤： ①所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角 和为180°矛盾； ②因此假设不成立，所以∠B<90°； ③假设在△ABC中，∠B≥90°； ④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥ 180. 这四个步骤正确的顺序应是 (请填写 序号) 8 见此图标盟微信打码进人初中智慧学园自 第一章三角形的证明及其应用 能力提升综合练单， 12.如图，在△ABC中，AC>BC,∠A=45°，D是AB 边上一点，且CD=CB,过点B作BF⊥CD于点 10.在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格 E,与AC交于点F 点.已知A,B是两格点，若点C也是图中的格 点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的 (I)求证：∠ABF=分∠BCD 点C的个数是 (2)判断△BCF的形状，并说明理由， 10题图 D A.6B.7 C.8 D.9 12题图 11.(（吉林四平期末)如图，D为△ABC内一点，CD 平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E, ∠A=∠ABE.若AC=7,BC=4,则BD的长为 11题图 微专题1角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 【模型展宗】 【变式训练】 常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型 (淄博中考)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线 有以下两种： 交AC于点D,过点D作DE∥BC交AB于点E. (1)求证：BE=DE; (2)若∠A=80°，∠C=40°，则∠BDE= 图① 图② (1)如图①，BC平分∠ABD,AC∥BD,则AB=AC. (2)如图②，AE∥BC,AE平分∠DAC,则△ABC 变式题图 是等腰三角形 【例】如图，在△ABC中，∠B,∠C的平分线交于 点O,过点O作EF∥BC分别交AB,AC于点E, F.已知EF=6,BE=4,则CF的长为 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 914.B[解析]如答图.AB=AC,∠B=∠C, ∴.∠2+∠y=∠1+∠a, ∴.∠2-∠1=∠a-∠y △DEF是等边三角形， .∴.∠4=∠3=60°， DA ∴.∠2+∠=∠1+∠B=120°， 4 .∠2-∠1=∠B-∠a, .∠a-∠y=∠B-∠a, ∴.2La=∠B+∠Y.故选B. 14题答图 15.A[解析]：△ABC为等边三角形，∴.∠BAC=∠C= 60°.，'AD是等边三角形ABC的中线，.∠CAD= 子∠R4C=30 ADGA0=Ac,LADE=子(Io 30)=75°，∴.∠EDC=∠ADC-∠ADE=15. 16.1 17.(1)证明：在△ABE和△BCD中， AE =BD, ∠A=∠DBC,∴.△ABE≌△BCD(SAS),∴.BE=CD LAB=BC, (2)解：：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=60° :△ABE≌△BCD,∴.∠ABE=∠BCD, ∴.∠EOC=∠BCD+∠CBE=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60° 【素养探究创新练】 18.(1)解：.AB=AC,∠BAC=a, ÷LAcB=LB=(1800-0）=90-7a :∠ACD+∠BAC=45°，.∠ACD=45°-a, .LDCB-LACB-LACD=90-a-(45*-a)= 45+受 (2)证明：如答图，延长DB交AC于点F, 过点A作AE⊥BC于点E. .:∠ABD+∠BAC=180°， H ∠ABD+∠ABF=180°， B E .∠BAC=∠ABF= D AB=BD,∴.∠D=∠DAB 18题答图 易证∠D+∠DAB=∠ABF, ÷LD=∠DMB=7LABF= 2a. .·AB=AC,AE⊥BC, 1 2BC, 、.∠BAE=2∠BAC=2x,BE=1正 .∠DAB=∠BAE. 又.BH⊥AD,AE⊥BC,∴.△ABH≌△ABE, ∴B阴=B,BA=之BC 第2课时等腰三角形的判定与反证法 【知识要点分类练】 1.C2.B3.C4.8 参考答案及解析 5.证明：在△ADB和△BCA中， AD=BC, BD=AC, LAB=BA, .∴.△ADB≌△BCA(SSS), ∴.∠DBA=∠CAB,.AE=BE ∴，△EAB是等腰三角形 6.(1)证明：BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC ·DE∥CB,∴.∠EDB=∠DBC, .∠ABD=∠EDB,.EB=ED .△BDE是等腰三角形 (2)解：：BD平分LABC,∠ABC=50°， .LABD=ZABC=25, EB=ED,F是BD的中点， .∠BEF=∠DEF,∠EFB=90°， ∴.∠DEF=∠BEF=90°-∠ABD=65°. 7.A8.C9.③④①② 【能力提升综合练】 10.C I.是[解]析：CD平分LACB,∠BCD=LECD.B⊥ CD,.∠BDC=∠EDC=90°.又：CD=CD,△BDC≌ △EDC,∴.BC=CE=4,BD=DE..'∠A=∠ABE,∴.AE= BE..AC=7,CE=4,∴.AE=AC-CE=3,∴.BE=AE=3, D=2E= 3 12.(1)证明：如答图，过点C作CG⊥AB于点G, .∴∠DCG+∠CDG=90°. .·CB=CD,∴.∠BCG=∠DCG= 1 -∠BCD. F :BF⊥CD于点E, .∠ABF+∠CDG=90°， 六LABr=LD0G=子LBCD D G B 12题答图 (2)解：△BCF是等腰三角形.理由如下： ∠A=45°，CG⊥AB,LACG=45° .:∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A+∠ABF, .∴.∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF. .:∠BCG=∠DCG=∠ABF,∴.∠BCF=∠BFC, ∴BC=BF,∴△BCF是等腰三角形. 微专题1角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 【例】2 【变式训练】 (1)证明：：BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD DE∥BC,∴∠EDB=∠CBD, ∴.∠EBD=∠EDB,∴.BE=DE. (2)解：30° ·3