专题03 平行线中的拐点模型问题（5大题型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03平行线中的拐点模型问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、猪蹄模型(M型)与锯齿模型 题型二、铅笔头模型… 6 题型三、牛角模型 题型四、羊角模型 18 题型五、蛇形模型(“5”字模型) 23 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、猪蹄模型(M型)与锯齿模型 1.(25-26八年级上·全国单元测试)生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关.如图，从光 源点P照射到抛物线上的光线PA,PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP=a,∠DBP=B, 则∠APB的度数为」 D B 2.(25-26七年级上·黑龙江绥化期中)如图，AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BFD=45 ,那么∠BED的度数为 A 3.(2026七年级下·全国.专题练习)根据图象完成题目： E B A -B 0f2 3入 2n-1y 2n D 图① 图② (I)如图①，AB∥CD,E,F分别是AB,CD上任意一点，EO和FO交于点O,则∠1，∠2，∠3的数量关 系是 1/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图②，AB∥CD,则图中∠1，∠2，∠3，∠4，，∠2n-1,∠2n之间的数量关系是 4.(24-25八年级上广东佛山期末)平面内∠A和∠B,存在一个常数k>0,使得∠A+k∠B=180°，则 称∠B为∠A的k倍补角，例如，∠A=120°，LB=30°，则∠B为∠A的2倍补角. A D C D 备用图1 备用图2 (1)∠M是∠N的5倍补角，∠N=3LM,则∠M=-; (②)如图1，在平面内，AB∥CD,点E在BD左侧，连接BE、DE. ①若∠CDE=20°，∠ABE是∠BED的3倍补角，求∠ABE; ②在①的条件下，点F在直线AB、CD之间，且在折线BED右侧，∠EBF为∠ABE的k倍补角，∠EDF为 ∠CDE的k倍补角，求∠F(用k表示). 题型二、铅笔头模型 5.(2025七年级下.全国.专题练习)如图，AB‖CD,∠B+∠C+∠D=() A B E D A.180° B.360° C.540° D.270° 6.(25-26七年级下·全国·单元测试)己知直线AB∥CD,点E为直线AB,CD之间的一点. A A D ① ② (1)如图①所示，若∠B=15°，∠BED=90°，求∠D的度数. (2)如图②所示，若LB=a,LD=B,求∠BED的度数.（用a,B表示） 7.(25-26七年级下·广东揭阳期中)如图，AB∥CD,点E为两直线之间的一点， B A B A B A B E D 图1 图2 图3 图4 2/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图1，若LBAE=35°，LDCE=20°，则∠AEC=; (2)如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+ECD=360°； (3)①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F,判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明 理由； ②如图4，若设∠E=m,∠BAF=∠FAE,∠DCF=上∠FCE,请直接用含m、的代数式表示∠F的度 数 8.(1)如图1，AB∥CD,求∠A+∠AEC+∠C的度数. 解：过点E作EF∥AB. :EF∥AB(己作)， .∠A+∠AEF=180°(). 又：AB‖CD(已知)， 一∥（平行关系的传递性）， ∴.∠CEF+∠ =180°（两直线平行，同旁内角互补）， :∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°（等式性质）， 即∠A+∠AEC+LC=; (2)根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB∥EF,则LB+∠C+∠D+LE= (3)根据(1)和(2)的规律，图3中AB‖GF,猜想：∠B+LC+∠D+∠E+∠F= (4)如图4，AB∥CD,在B,D两点的同一侧有MM,MM,共n个折点，则 ∠B+∠M,+∠M,+..+∠M,+∠D的度数为 (用含n的代数式表示). B 一B M 一D F一 M 图1 图2 图3 图4 D 题型三、牛角模型 9.(25-26八年级上·内蒙古包头期末)如图，己知AB∥DE,点C在AB上方，连接BC,CD ∠ABC=145°. C B B F E D E D 图(1) 图(2) 3/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图(1)，若∠EDC=116°，求∠BCD的度数； (2)如图(2)，CB与DF互相垂直，垂足为F,求∠EDF的度数， 10.(24-25七年级下·陕西咸阳·期末)【知识背景】我们经常过某一点作己知直线的平行线，以便利用平行 线的性质来解决问题。 A B E CG D D 图1 图2 (I)如图1，已知AB∥CD,∠BFE=45°，LEGD=32°，求∠FEG的度数； (2)如图2，已知AB∥CD,∠B=120°，∠CDE=62°，求∠BED的度数. 11.(24-25七年级上河南新乡期末)如图，LAEC=80°，在∠AEC的两边上分别过点A和点C向同方向 作射线AB和CD,且AB∥CD. (1)若∠A=60°，则∠DCE的度数为 (2)若∠EAB和∠ECD的平分线所在的直线交于点P(P与C不重合)，则∠APC的度数为」 E B 12.(24-25七年级下·安徽芜湖·期末)【阅读理解】 如图I,已知AB∥CD,点E,F分别在直线AB、CD上，点P在直线AB、CD之间.求证： LAEP+∠P+LCFP=360°. A E B B D F 图1 图2 图3 /A B CE D CE D 图4 图5 证明：如图2，过点P作PQ∥AB, ∠AEP+∠EPQ=180°. 4/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :PQ∥AB,AB∥CD, .PQ∥CD .∠FPQ+∠CFP=180°. .∠AEP+∠EPQ+∠FPQ+∠CFP=I80°+180°，即LAEP+∠P+∠CFP=360°. 【类比应用】 (1)如图3，己知AB∥CD,∠ABP=125°，∠DEF=115°，求∠P=_°. (2)如图4，已知AB∥CD,点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接AP、EP,试说明： ∠CEP+∠BAP-∠APE=180°； 【拓展应用】 (3)如图5，己知AB∥CD,点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接AP、EP,∠DEP的平分线 与∠BAP的平分线所在直线交于点Q,求2LAQE+LAPE的值， 题型四、羊角模型 13.(24-25七年级上·黑龙江绥化期中)已知，如图，AB∥EF,∠ABC=75°，∠CDF=135°，则∠BCD等 于() A 7500B 0 E F 1350 A.45° B.40° C.35 D.30 14.(25-26八年级上·全国课后作业)(1)如图①，已知AB∥DE，,∠ABC=75°，∠CDE=145°，则 LBCD的度数为 (2)如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角LA=120°，第二次拐角∠B=150°.第 三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C=° A E 图① 图② 15.(24-25七年级下·云南楚雄期中)已知AB∥CD,P为平面内一点（不在AB、CD上）， 探索∠APC,∠A,∠C之间的数量关系. 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作PE∥AB, ∴.∠APE=∠A( ) :AB∥CD,PE∥AB .PE∥CD( .∠CPE=∠C ∴.∠APE+LCPE=LA+LC .∠APC=∠A+∠C. (2)如图2，若∠A=150°，∠P=75°，则∠C的度数为_ (3)如图3，求∠APC,∠A,∠C之间的数量关系， 16.(25-26八年级上·黑龙江绥化：开学考试)下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其中 AB∥CD. B B 女30 A F 50 C D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若LA=30°、∠C=50°，则∠AEC= (2)如图2，若LA=x°、∠C=y°，则∠AEC= (用含°、y°的式子表示)： (3)如图3，若∠A=m°、∠C=n°，那么∠AEC与m°、n°之间有什么数量关系？请加以证明. 题型五、蛇形模型(“5”字模型) 17.(2026七年级下·全国.专题练习)如图，AB∥CD. B C∠ D (1)若∠B=130°，∠C=30°，求∠BEC的度数 (2)探究∠B,∠C,∠BEC三者之间有怎样的数量关系，并说明理由， 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.(24-25七年级下·全国期末)劳动情境·公路修建一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次 拐弯∠M的度数为α.第二次拐弯∠N的度数为B,到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前 的道路平行，则∠P= B 19.(24-25七年级下·贵州黔东南·月考)如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起 舞.数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图②所示的样子. 图① 图② 图③ (1)如图②，AB∥CD,∠B=125°，∠C=25°，求∠BPC的度数： (2)聪明的小明在图②的基础上，将图②变为图③，其中AB∥CD,∠B=125°，∠PQC=65°， ∠C=145°，求∠BPQ的度数 20.(24-25七年级下广东汕头·月考)如图1，已知∠ACB=90°，MA∥BN. M M 图1 图2 备用图 (I)设∠MAC=a,∠CBN=B,直接写出a、B之间的数量关系： (2)如图2，已知∠MAC、∠CBN的平分线交于点P,当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生 变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； (3)在(2)的条件下，若∠MAC=50°，E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F, 连接EP,己知∠FEP=I0°，求∠BPE的度数. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 7/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中)如图，AB∥CD,∠A=35°，∠C=75°，则∠M为() M B D A.30 B.35 C.40° D.45° 2.(24-25七年级下·安徽合肥期末)如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过.如果第 一 次拐的角A是130°，第二次拐的角B是150°，而第三次拐的角是C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前 的道路平行，则∠C等于() B A.130° B.140 C.150 D.160 3.(24-25七年级下·全国·单元测试)如图，AB∥CD,CD∥EF,则∠BCE等于() A 1B D F E A.∠2-∠1 B.∠1+∠2 C.180°+∠1-∠2D.180°-∠1+∠2 4.(2025陕西汉中模拟预测)如图，AB∥CD∥EF,GF∥DH,∠a=52°，∠0=87°，则∠B的度数 为() A C H G F A.35° B.52° C.139° D.87 二、填空题 5.(24-25七年级下湖南张家界·期末)如图，AB∥DE,若∠B=30°，∠D=140°，则∠C的度数是 8/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B D E 6.(24-25七年级下.全国月考)如图，已知直线AB∥CD,则、B、Y之间的关系是 B B 7.(25-26八年级上·全国·课后作业)生活中常见一种折叠拦道闸，如图①.若想求解某些特殊状态下的角 度，需将其抽象为几何图形，如图②.已知BA上AE于点A,CD∥AE,则LABC+LBCD的度数为· D 77777 77777 图① 图② 8.(24-25七年级下·湖北武汉·月考)如图，AB∥CD,∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角 平分线CF的反向延长线交于点H,∠K-∠H=24°，则∠H=一· 三、解答题 9.(24-25七年级下.甘肃甘南·月考)(1)如图1，已知AB∥CD,则∠B,∠D和∠BED之间有怎样的数量关 系，说明理由； (2)如图2，已知AB∥CD,点E的位置变化后，∠B,∠D和∠BED之间有怎样的数量关系，说明理由. A B A E D C D 图1 图2 9/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.(24-25七年级下·福建莆田期中)如图1，己知AB∥CD,∠B=20°，∠D=110°. A B A- B E 图1 图2 (I)探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由： (②)如图2，EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,FG的反向延长线交EP于点P,求∠P的度数. 11.(24-25七年级下·广东·期末)综合探究 丝 ① ()【课题学习】平行线的“等角转化”功能。 如图①，已知点A是BC外一点，连接AB,AC.求LBAC+LB+∠C的度数. 解：过点A作ED∥BC,则∠B=,LC=LDAC, 又：∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°.LB+∠BAC+∠C=-: (2)【方法运用】如图②所示，己知AB∥CD,BE、CE交于点E,LBEC=80°，求LB-∠C的度数， (3)【拓展探究】如图③所示，已知AB∥CD,BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE,且BF、CG所在直线交 于点F,过F作FH∥AB,若LBFC=36°，求∠BEC的度数 12.(24-25七年级下·内蒙古赤峰期末)如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用 凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线AB∥CD,经过凹面镜的反射后，反射光线 BE,DF交于一点P. A M 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，若LABP=60°和LCDP=55°，则∠BPD= (2)如图3，己知AB∥CD,点M,N分别在AB,CD上，点P是AB,CD之间MN右侧任意一点，连接 PM,PN,若∠MPN=a,∠BMP=B,∠DNP=y,请写出o,B,Y之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在(2)的基础上MQ平分∠AMP,NQ平分∠CNP,若∠BMP=m°，∠DNP=n°，请直接求 ∠P+∠Q的值.（不需要写解答过程） 10/12 专题03 平行线中的拐点模型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1 题型二、铅笔头模型 6 题型三、牛角模型 11 题型四、羊角模型 18 题型五、蛇形模型（“5”字模型） 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点P照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与直线平行的方向射出，若，则的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．根据两直线平行，内错角相等可得，，然后相加即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点E，F分别作，．然后运用平行线的性质进行推导． 【详解】解：如图所示，过点E，F分别作，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过点作，结合，得到，推出，，即可得到三个角之间的关系； （2）如图②，取有限个角，并过点作，则．过点作，则，．由（1）的结论得到，于是得到图中，，，，…，，之间的数量关系. 【详解】（1）解：如图①，过点作． ∵， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）解：如图②，取有限个角，并过点作，则． 过点作，则，． ∵， ∴， ∴， ∴， 由此推得． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期末）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、新定义等问题． （1）根据k倍补角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数； ②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的5倍补角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， ∵ 是 的外角， ∴， 同理可得， ∴ ； 综上所述，或． 题型二、铅笔头模型 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造两组互补的同旁内角．过点作直线，根据平行线的性质可得，，然后再计算即可． 【详解】解，如下图所示，过C点作直线， ， ， ，， ， 即. 故选：B． 6．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知直线，点E为直线，之间的一点． (1)如图①所示，若，，求的度数． (2)如图②所示，若，，求的度数．（用，表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）过点作，根据平行线的判定和性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①所示，过点作. ∵， ∴. ∵， ∴. 又∵， ∴. ∵， ∴. （2）解：如图②所示，过点作. ∵， ∴， ∴. 又∵，， ∴. 7．（25-26七年级下·广东揭阳·期中）如图，，点为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，试说明，； (3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点，判断与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①，理由见详解；② 【分析】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义．作辅助线来构造平行关系是解题的关键． （1）过点作，利用推出，根据“两直线平行，内错角相等”，得到，，那么，代入角度值计算即可； （2）过点作，由得，根据“两直线平行，同旁内角互补”，分别得出，，将这两个等式相加，即可推出． （3）①由（1）可得，又因为平分，平分，所以，，再结合中，就能推出； ②根据前面的结论，结合已知的角的比例关系，，，推导出，然后代入到，通过等式变形求出的表达式． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ，即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． ②由①可知， ，，， ， ， ， ， ， ． 8．（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 题型三、牛角模型 9．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【知识背景】我们经常过某一点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)如图1，已知，，，求的度数； (2)如图2，已知，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质求角度问题，数形结合，熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）过点作，如图所示，由平行线的性质得到，再由平行线的判定与性质即可得到答案； （2）过点作，如图所示，由平行线的性质得到，再由平行线的判定与性质即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且． （1）若，则的度数为 ． （2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ． 【答案】 或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，而，可得，证明，，再进一步解答即可； （2）分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得． 【详解】解：（1）过点作，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）①当为锐角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ，即， ，， ，， ，即， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， ②当为钝角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， 综上所述或 故答案案为：或． 12．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 如图1，已知，点 E，F分别在直线、上，点P 在直线、 之间．求证：． 证明：如图2，过点 P 作， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． 【类比应用】 （1）如图3，已知，，，求 ． （2）如图4，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，试说明：； 【拓展应用】 （3）如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点P作，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过P点作，则，由平行线的性质可得，，从而得出，即可得解； （3）过Q点作，则，由平行线的性质可得，，推出，，由角平分线的定义可得，，从而得出，由（2）知，，推出，即可得解． 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过P点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）由示例知，过Q点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴ ， 即． 题型四、羊角模型 13．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质求出的度数，再利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为 °． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °． 【答案】 40 150 【分析】本题主要考查平行线的性质，利用平行线的性质求解即可． （1）过点作的平行线，则，利用平行线的性质求得，结合，求得，进一步利用求得即可； （2）过点作，则，有．可求得和，即可求得． 【详解】解：（1）过点作的平行线，如图， 由题意易知，， 因为， 所以， 所以， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：40． （2）如图，过点作． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：150． 15．（24-25七年级下·云南楚雄·期中）已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其中． (1)如图1，若、，则___________； (2)如图2，若、，则___________（用含的式子表示）； (3)如图3，若、，那么与、之间有什么数量关系？请加以证明． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，解题的关键是由平行线性质得出角相等从而求出答案； （1）先过作，由平行线的性质得，，所以求得的度数． （2）首先过作，根据平行线的性质可得：，，，从而表示出． （3）由平行线的性质得，再根据三角形的外角性质，表示出与、之间的关系． 【详解】（1）解：过作，，， ， 故答案为：． （2）解：过作，，， ， ， ． 故答案为：． （3）证明： 证明：， 又， ． 题型五、蛇形模型（“5”字模型） 17．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)   见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）首先过点向左作，可求出的度数，由，可得，利用平行线的性质，即可求得的度数，继而根据角度的和差关系求得答案； （2）由（1）得，，再由即可求得，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点向左作， 则． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 由（1）得，． 又∵， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的桥梁．本题可以过点作后借助平行线的知识进行解答． 【详解】解：过点作．由题可知， ， ，． ． 故答案为：． 19．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起舞．数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图所示的样子． (1)如图，，，，求的度数； (2)聪明的小明在图的基础上，将图变为图，其中，，，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作，则有，又因为，所以，则，然后通过角度和差即可求解； （）过点作，过点作，所以，所以，，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， 因为， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：如图，过点作，过点作， 因为， 所以， 所以，，， 因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以． 20．（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 一、单选题 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，得到，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故选C． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是，第二次拐的角B是，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，先过点作，再用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补等知识点，根据作这条平行线后，将有三条平行线，根据平行线的性质，角之间的关系即可解答． 【详解】解：过点作， ， ； ， ， ， 又∵， ． 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过点作，得到，再根据平行线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 5．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）如图，，若，，则的度数是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查平行线的性质，关键在于作辅助线平行已知直线，再根据平行线的性质即可求解．先过点作的平行线，然后根据平行线的性质即可求出结果． 【详解】解：如图：过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·月考）如图，已知直线，则、、之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的应用，添加辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．过向左作射线，把分成和，然后根据平行线的性质即可得到解答． 【详解】解：过向左作射线， 则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）生活中常见一种折叠拦道闸，如图①．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②．已知于点A，，则的度数为 ． 【答案】270° 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作．得到，再证明即可． 【详解】解：如图所示，过点作． ， ． ． ， ． ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线的反向延长线交于点，，则 ． 【答案】 【分析】分别过、作的平行线和，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，分别过、作的平行线和， ， ， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）（1）如图1，已知，则和之间有怎样的数量关系，说明理由； （2）如图2，已知，点的位置变化后，和之间有怎样的数量关系，说明理由． 【答案】（1），见解析；（2），见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，由平行线的性质得到，再由角的和差关系可得结论； （2）过点作，则，由平行线的性质得到，则，再由角的和差关系可得结论． 【详解】解：（1），理由如下 如图，过点作， ，， ∴， ， ， ∴； （2），理由如下： 如图，过点作， ，， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 10．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知． (1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）如图，分别过点E，F作，，证明，可得，，证明，可得，从而可得结论； （2）如图，过点F作，由（2）知，，设，则，证明，，证明，，可得，从而可得答案． 【详解】（1）数量关系为， 证明：如图，分别过点E，F作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ， ； （2）如图，过点F作， 由（1）知，， 设，则， 平分，GF平分， ，， ， ，， ∴， ． 11．（24-25七年级下·广东·期末）综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键． （1）过点A作，如图①，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到； （2）过点E作，如图②，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得； （3）过E点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，结合平行线的性质得到，利用代入求解即可． 【详解】（1）解：过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴. （3）解：过E点作，如图，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵ ． 12．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． (1)如图2，若和，则　　　； (2)如图3，已知，点M，N分别在，上，点P是，之间右侧任意一点，连接，，若，请写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在（2）的基础上平分，平分，若，，请直接求的值．（不需要写解答过程） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． （1）作辅助线构造平行线，从而得到，根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”求解即可； （2）作辅助线构造平行线，由平行线的性质可得，，由此可求解； （3）由角平分线的性质可得，，再根据（2）中的结论同理可得，由此可求． 【详解】（1）解：过点P作（点R在点P的左侧），如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点P作（点H在点P的左侧），如图， ∵， ∴， ∴，， ∴, ∵， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， 由（2）中的结论可知，， 同理可得， ∴． 13．（24-25七年级下·全国·期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线、的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 小明得出：、和三个角之间存在的数量关系是． 【分析问题】我们学习过平行线的性质，利用平行线的性质可以把分成两部分进行研究． 【解决问题】请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 【举一反三】 （1）如图①，若，，则 度； （2）如图②，已知，点、分别是、上的点，点位于上方，，．用含α和β的代数式表示下列各角． ①求的大小； ②如图③，在图②的基础上，若和分别平分和，则的大小． 【答案】〖解决问题〗见解析 〖举一反三〗（1） 　（2）①；② 【分析】此题主要考查了平行线的性质，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 〖解决问题〗依题意得，进而根据平行线的性质得，，将两式相加即可得出结论； 〖举一反三〗（1）先根据平角的定义求出，，然后根据即可得出的度数； （2）①过点作，则，由平行线的性质得，，由此得，再将，，代入上式即可得出的度数； ②先由角平分线的定义得，，然后由①的结论得，据此可得出的度数． 【详解】解：〖解决问题〗、和三个角之间存在的数量关系是：，理由如下： 依题意得：， ，， ， 即； 〖举一反三〗（1），， ，， ， ； 故答案为：40． （2）①过点作，如图②所示： ， ， ，， ， ，，， ， ， 故答案为：． ②和分别平分和，，， ，， 由①的结论可知：． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·吉林白城·月考）【猜想】如图①，，点在直线、之间，连结、．若，，则的大小为__________度． 【探究】如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系．并说明理由． 【拓展】如图③，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数＝__________． 【延伸】如图④，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数=__________．（用含的式子表示） 【答案】猜想：；探究：，理由见详解；拓展：；延伸： 【分析】猜想：如图（1），过E点作直线，根据平行线的性质可得，，从而可得的度数； 探究：如图（2），过E点作直线，根据平行线的性质可得，，进而可得； 拓展：运用图（1）的结论可得，，则可得，进而可得，，由此可得． 延伸：如图4，过E点作直线，则可得，．设，则，．进而可得，，利用图（2）的结论即可得的度数． 【详解】解：猜想：如图1，过E点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴． 探究：，理由如下： 如图2，过E点作直线， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 拓展：如图3，， 由图（1）得，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 延伸：如图4，过E点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由图（2）得， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可； （2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论； （3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， ， 的度数为； （2）解：由（1）得：， 同理：， 平分，平分， ，， ， ； ， ； （3）解：，理由如下， ∵平分， ， 平分， ， ，即， ，即， ， ，即， ， 由（2）得：， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $