第七章 相交线与平行线（必备知识+13大题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材人教版七年级下册

第七章 相交线与平行线（复习讲义） 1. 了解邻补角、对顶角、垂线、点到直线的距离、平行线、命题、平移的意义，体会相交线与平行线相关概念之间的整体联系。 2. 能用对顶角相等、垂线的性质、平行线的判定与性质进行简单的推理和计算；能用平移的性质分析图形的变换。 3. 理解并利用同位角、内错角、同旁内角的数量关系，解决两直线平行的判定与性质相关问题；能区分命题的题设与结论，判断命题真假。 一、相交线 1. 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（互补）。 2. 对顶角：两边互为反向延长线的两个角（相等）。 3. 垂线： - 相交成直角时，两条直线互相垂直。 - 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 - 垂线段最短。 4. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 二、平行线及其判定 1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线。 2. 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3. 判定方法（满足其一即可）： - 同位角相等 → 两直线平行。 - 内错角相等 → 两直线平行。 - 同旁内角互补 → 两直线平行。 三、平行线的性质 1. 两直线平行 → 同位角相等。 2. 两直线平行 → 内错角相等。 3. 两直线平行 → 同旁内角互补。 （判定：由角的关系推平行；性质：由平行推角的关系。） 四、命题与平移 1. 命题： - 定义：判断一件事情的语句。 - 组成：题设（条件）+ 结论。 - 真假命题：判断是否正确的命题。 2. 平移： - 定义：在平面内，图形沿某一方向移动一定距离。 - 性质： - 平移前后，图形的形状、大小不变。 - 对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。 - 对应角相等，对应线段平行且相等。 五、核心要点总结 - 相交线：关注“角的关系”（邻补角、对顶角）。 - 垂线：关注“最短距离”。 - 平行线： 判定：看角 → 证平行。 性质：有平行 → 得角关系。 - 平移：图形运动，形状大小不变，位置改变。 题型一 对顶角、邻补角的识别 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，准确识图，熟练掌握并运用定义是解决本题的关键． 由对顶角的定义去进行逐一判断即可． 【详解】解： A、B、C三个选项中不符合“互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线”的定义，错误，不符合题意； 选项D中的符合对顶角的定义，正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解题的关键． 先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，判断是否满足这些条件． 【详解】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线． A：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； B：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； C：∠1与∠2的和不等于180°，不符合题意； D：∠1与∠2有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉对顶角定义是解题关键. 【详解】解：根据对顶角性质，两个角只有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线； 故选：A. 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】此题考查了邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义求解判断即可． 【详解】解：A、和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； B、和不是邻补角，故此选项不符合题意； C、和是邻补角，故此选项符合题意； D、和不是邻补角，故此选项不符合题意． 故选：C． 题型二 利用对顶角的性质求角 【例2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线a、b相交于点O，， 度． 【答案】50 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键掌握对顶角的性质． 利用对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， 故答案为：50． 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等这条性质是解题的关键． 先计算的度数，后利用对顶角相等确定即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，若加油站E 到公路的距离是， 到公路的距离也是， 且， 则 的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】本题考查了角平分线的判定，先根据题意得是的角平分线，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵加油站E 到公路的距离是， 到公路的距离也是， ∴是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东东营·月考）将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据对顶角相等和直角三角形的两个锐角互余进行求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 利用垂线段最短 【例3】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米， ∴黎明的跳远成绩应该为米， 故答案为：． 【变式3-1】（2025七年级上·全国·专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【变式3-2】（25-26七年级上·北京昌平·期末）如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短． 根据垂线段最短进行解答即可得． 【详解】解：∵线段是垂线段，∴线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 【变式3-3】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，，垂足是点D，，点E是线段上的一个动点（包括端点），连接，那么的长为整数值的线段有 条． 【答案】 【分析】此题考查垂线段最短，关键是根据垂线段最短解答．根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：∵，垂足是点D，， ∴长的范围是， 当点E由A向B运动时，所得的整数值线段长度分别为：8、7、6、5、4、5、6， ∴符合题意的共有7条， 故答案为：． 题型四 相交线中求角的度数问题 【例4】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，直线，相交于点，过点作，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平分，得，再结合对顶角相等，得，即； （2）结合，得，根据平分，得，又因为，得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， 则． 【变式4-1】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解角度之间的和差关系． （1）先由角平分线求出，即可求解，再结合垂直的定义求解即可； （2）由题意可设，则，则，然后表示出，再由垂直的定义建立方程求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为_______； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据邻补角的性质求解即可； （2）首先由（1）可知，结合垂直的定义可得，再结合角平分线的定义可得，然后由求解即可； （3）由（2）知，结合与互余，可求得，然后分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ∵与互余， ∴， ∴， 当射线在内部时，如下图所示： ； 当射线在外部时，如下图， ． 综上所述，的度数为或． 【变式4-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）． (1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________； (2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数． 【答案】(1)  ， (2) 【分析】本题考查了角的相关定义以及角度计算，一元一次方程求解等知识点，解题的关键是准确理解垂角的定义，并根据题目条件列出一元一次方程来求解角度． （1）根据垂角定义两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，即可求得； （2）设的度数为，则的度数为，根据的垂角比大40°，列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：；，． ， ， ，即的垂角是． ，即的垂角是． ， ， ，即的垂角是． ∴的垂角是，的垂角是和． （2）解：设的度数为，则的度数为． 的垂角比大40°， ， 解得，则的度数是． 题型五 画垂线、平行线并求点到直线的距离 【例5】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；；垂线段最短 【分析】本题考查垂线的定义，熟练掌握其定义是解题的关键 （1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）利用点到直线的距离的定义，利用垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：由（1）和（2）的图像可得，线段的长度是点P到的距离， 根据垂线段最短可得：， 故答案为：；；垂线段最短． 【变式5-1】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)射线，线段 (4)，点到直线的距离，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线的定义及点到直线的距离，熟练掌握垂线的定义及点到直线的距离是解题的关键； （1）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （2）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （3）根据点到直线的距离可进行求解； （4）根据点到直线的距离，垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：线段的长度是点到射线的距离，线段的长度是点到直线的距离； 故答案为射线，线段； （4）解：由图可知：，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为，点到直线的距离，垂线段最短． 【变式5-2】（25-26六年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析；①，；②，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 (3) 【分析】此题考查的是网格作图，点到直线的距离，垂线的性质，掌握垂线的性质是解决此题的关键． （1）画出垂线，然后根据图形即可推出结论； （2）画出垂线，然后根据点到直线的距离以及垂线段最短可得结果； （3）作出图形后，再根据余角的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，图中该垂线经过的格点有点、、、． （2）解：如图所示． ①，， ∴线段的长度是点到的距离，是点到的距离． 故答案为：，． ②如图，，， ． ， ． ． 依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （3）如图所示， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均为格点．在方格纸中，完成下列作图． (1)过点画的垂线，与交于点； (2)过点画的平行线； (3)线段、、中最短的线段是___________，依据___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查了作图－基本作图：熟练掌握基本作图是解题的关键． （1）作垂线交于点D即可； （2）根据平行线的作图方法作图即可； （3）根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）如图，直线即为所作； （2）如图，直线即为所作； （3）根据垂线段最短得到最短的线段是， 故答案为：，垂线段最短． 题型六 同位角、内错角、同旁内角的识别 【例6】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列图形中，和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角； 根据同位角的定义对各个选项中和的位置进行分析即可得出答案．本题考查了同位角的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得： A．和是同位角，不符合题意； B．和是同位角，不符合题意； C．和是同位角，不符合题意； D．中的和不是同位角，符合题意； 故选：D． 【变式6-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：A、是内错角，正确； B、不是内错角，错误； C、不是内错角，错误； D、不是内错角，错误； 故选：A． 【变式6-2】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互补 【答案】C 【分析】此题主要考查了对顶角、同位角、内错角，根据对顶角、同位角、内错角对选项进行判断． 【详解】解：A、与是内错角，说法错误； B、与不是内错角，说法错误； C、与是同位角，说法正确； D、与是对顶角不一定互补，说法错误； 故选：C． 【变式6-3】（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，下列结论正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了相交线及其所成的角等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键：同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的异侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同位角，该结论错误，故选项不符合题意； B、与不是内错角，该结论错误，故选项不符合题意； C、与不是同旁内角，该结论错误，故选项不符合题意； D、与是同旁内角，该结论正确，故选项符合题意； 故选：． 题型七 判断条件是否使两直线平行 【例7】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法去判定每项的正确与否即可得到答案． 【详解】解：A、∵，∴直线，故此选项不合题意； B、，不能得出直线，故此选项符合题意； C、∵，∴直线，故此选项不合题意； D、∵，∴直线，故此选项不合题意； 故选：B． 【变式7-1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定定理，准确识别角的位置是解题关键． 根据平行线的判定定理对选项依次进行判断即可． 【详解】解：选项：和是由两条不同的截线形成的角，无法推导出； 选项：和是和被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出； 选项：和的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行； 选项：和的位置不构成同位角、内错角或同旁内角，不能判定． 故选：． 【变式7-2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴， ∴能判断的条件有①④，共2个 故选：B． 【变式7-3】（25-26八年级上·河北张家口·期末）将一块含有的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中一定能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是关键． 如图所示，过点作，得到，，可判定D选项；当时，，此时，但与不一定相等，可判定A选项；同理可判定B选项，由平行线的判定方法得到当时，，可判定C选项，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∴一定能判断，故D选项符合题意； 当时，，此时，但与不一定相等，故不一定能判断， ∴A选项不符合题意； ∵， ∴， 若，则，由A选项可得，B选项不符合题意； ∵， ∴当时，， ∵的度数不确定，故C选项不符合题意； 故选：D ． 题型八 平行线的性质与判定 【例8】（2026七年级下·全国·专题练习）如下图，在三角形ABC中，，点E在BC上，过点E作． (1)试探究CD与EF的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行进行解答即可； （2）先根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，根据平行线的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式8-1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在一副三角板中，，，．解答下列问题： (1)当三角板按如图①的方式摆放时，若，求证：； (2)当三角板按如图②的方式摆放时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、直角三角形的性质． （1）根据直角三角形的性质可以求出，又因为可以求出，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； （2）根据两直线平行，内错角相等可知，再根据角之间的关系求出的度数． 【详解】（1）证明：，， ，     又， 又， ； （2）解：， 又∵，， ∴， ∴． 【变式8-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论； （2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． ∴的度数为． 【变式8-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，E是CD上一点，连接AE，BE并延长分别交BC，AD的延长线于点M，N，已知． (1)请判断直线AN与BM的位置关系，并说明理由． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质和判定定理，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理． （1）利用平行线的性质和等量代换得到同旁内角互补，进而判定两直线平行； （2）根据平行线的性质建立角度关系，设，，根据两直线平行，同旁内角互补，得到关于的方程，解方程，最后通过角度的和差关系求出的度数． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ． ， ， ． （2）解：，， ，， ． 设，． ， ， ， 即， 解得， ，， ． 题型九 判定命题的真假 【例9】（25-26八年级上·山西太原·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了举反例，反例需满足两角互补（和为）但两角不相等，由此即可得出结果，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：命题条件为与互补，即；结论为， A、且，满足结论，不是反例； B、，不满足条件，不是反例； C、，不满足条件，不是反例； D、，但，满足条件但不满足结论，是反例； 故选：D． 【变式9-1】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下列命题中正确的是（    ） A．同位角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 C．两点之间，直线最短 D．过一点作已知直线的平行线，有且只有一条 【答案】B 【分析】此题考查真假命题的判断，根据相关知识逐项进行判断即可． A选项同位角相等需两直线平行才成立，否则不一定；C选项应为两点之间线段最短；D选项过一点作已知直线的平行线，需分点在直线上或外，不一定有且只有一条；B选项根据平行线的判定定理，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确． 【详解】解：A选项：只有当两直线平行时，同位角才相等，否则不一定，∴ A错误． ∵ 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，∴ B选项正确． C选项：两点之间，线段最短，直线是无限长的，∴ C错误． D选项：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；但过直线上一点，不存在与已知直线平行的直线（除本身），∴ D错误． 故选：B． 【变式9-2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）下列命题为真命题的有（   ） ①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，对顶角的性质等知识点． 逐一判断命题真假：①内错角相等需两直线平行，否则不成立；②对顶角相等恒成立；③垂直公理成立；④平行公理要求点不在直线上，否则不成立． 【详解】解：①内错角相等只有在两直线平行时成立，故①为假命题； ②对顶角相等是固有性质，故②为真命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是公理，故③为真命题； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行要求点不在直线上，故④为假命题. ∴真命题有2个， 故选：B． 【变式9-3】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）下列各命题是假命题的是（    ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．同角的余角相等 C．平行同一直线的两条直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】A 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．选项A错误，因为两个锐角之和不一定为钝角，可能为锐角或直角；选项B、C、D均为真命题，符合几何性质． 【详解】解：A、两个锐角之和可能小于（如），不一定为钝角，是假命题，符合题意； B、同角的余角相等，是真命题，不符合题意； C、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意； 故选：A． 题型十 生活中的平移现象 【例10】（25-26七年级上·上海松江·期末）中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平移设计图案，熟练掌握平移的性质是解题的关键．四方连续纹样是指一个单位纹样向上下左右四个方向反复循环排列形成的装饰图案，根据平移的性质判断即可． 【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D， 故选：D． 【变式10-1】（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的定义， 平移是物体沿直线移动且方向不变的运动． 【详解】解：∵A钟摆运动是旋转，B汽车雨刷运动是旋转，D车轮转动是旋转，均不是平移；C传送带上行李箱运动是沿直线移动且方向不变，∴是平移. 故选：C． 【变式10-2】（25-26七年级上·上海虹口·期末）二方连续纹样是指一个单位图案沿上下或左右方向连续排列所形成的横式或纵式带状纹样．以下四个纹样中，属于二方连续纹样的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质判断即可． 【详解】解：属于二方连续纹样的是D， 故选：D． 【变式10-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】A 【分析】本题考查了平移的定义，理解平移的定义：物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变是解题的关键． 根据平移的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：∵平移的定义是物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变. 选项A：升降电梯从一楼升到五楼，是沿直线移动，电梯本身形状不变，符合平移； 选项B：卫星绕地球运动，是圆周运动，方向不断变化，不符合平移； 选项C：树叶从树上随风飘落，运动轨迹不规则，且常有旋转，不符合平移； 选项D：纸张沿着中线对折，是对称折叠，形状改变，不符合平移. ∴属于平移的是A， 故选：A． 题型十一 利用平移的性质求解 【例11】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点、、分别与点、、对应），若四边形周长为，则平移的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，，结合三角形和四边形的周长进行求解即可，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿射线方向平移到的位置， ∴，， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∵周长为，即， ∴， ∴， 即平移的距离为， 故答案为：2． 【变式11-1】（25-26七年级上·上海宝山·期末）如图，将长方形沿着直线平移得到长方形（其中分别对应），联结，如果平移的距离为长度的，且的面积为10，那么长方形的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是关键；由平移得，则，由面积可求得，从而求解． 【详解】解：由平移得， ∵平移的距离为长度的， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， 即， ∴， 即长方形的面积为15． 故答案为：15． 【变式11-2】（25-26七年级上·上海虹口·期末）“方胜”是中国古代的一种发饰图案，象征同心吉祥，由两个相同的正方形交错叠合而成、如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图如果平移距离为3，且，那么点到点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：由平移可得， 所以， 所以， 故答案为：． 【变式11-3】（25-26七年级上·上海宝山·月考）如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么 cm． 【答案】6 【分析】本题考查了平移，理解平移的性质是解题的关键．根据平移能够得到，求得即可求得 【详解】解：由平移，得， ， 可以看作向右平移得到，可以看作向左平移得到， ， ， ， 故答案为：． 题型十二 利用平移解决实际问题 【例12】（25-26七年级上·上海·期末）某公园内有一长方形花坛，现准备在花坛内修筑同样宽的两条小路（阴影部分）供游客赏花，如图，有甲、乙两种设计方案（两种方案中小路宽度一样），甲方案中小路总面积为，乙方案中小路总面积为，则 ．（用“”、“”、“”填空） 【答案】 【分析】本题考查生活中的平移，熟练掌握平移的定义和性质是解题的关键． 将甲设计方案中的小路通过平移变为规则的图形即可求解． 【详解】解：如图，将甲中的一部分小路平移， 观察图形可得，平移后的甲方案中小路总面积和乙方案中小路总面积相等， 则甲乙方案中小路总面积相等，即． 故答案为：． 【变式12-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 【答案】176 【分析】本题考查平移的实际应用，掌握通过平移将曲折线段的长度转化为规则线段的长度进行计算是解题的关键． 观察小路的曲折路线，通过平移线段的方法，将横向线段的总长度转化为长方形的长，纵向线段的总长度等于，再将两部分长度相加得到总路线长． 【详解】解：利用平移的方法：路线中横向线段平移后，总长度等于长方形的长； 路线中纵向线段平移后，总长度等于； 因此，总路线长为． 故答案为：176． 【变式12-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走： ①为折线段，②为折线段，③为折线段． 三条路的长依次为、、，则a，b，c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质、两点之间线段最短，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得，，则可得，再根据两点之间线段最短可得，则，由此即可得． 【详解】解：由平移的性质得：，， ∵路①为折线段：， 路②为折线段：， 由平移的性质可知：，， ∴， 由两点之间线段最短得：， ∵路②为折线段：， 路③为折线段：， ∴， 综上，． 故答案为：． 【变式12-3】（25-26七年级上·广西崇左·月考）某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移性质的应用，列代数式，代数式求值，理解题意，草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，是解题的关键． ①草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，计算面积即可； ②同①计算面积，再将，代入代数式计算即可． 【详解】①解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积， ②解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积； 当，时，． 故答案为：，，． 题型十三 平移与平行线的综合问题 【例13】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段平行、平移距离对应线段的长度是解题的关键． （1）利用平移的性质得到对应线段平行，结合已知角的度数，通过邻补角的关系计算的度数； （2）根据平移距离确定对应线段的长度，结合的长度，通过线段和计算的长． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴， ∴． （2）解：由平移的性质知，． ∵， ∴． 【变式13-1】（24-25七年级下·河北·期末）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由． (3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是平移变换，熟知图形平移不变的性质是解答此题的关键． （1）根据平移的性质和平行线的性质解答即可； （2）根据平行线的性质和平移的性质解答即可． （3）根据平行线的性质和平移的性质解答即可． 【详解】（1）解:由平移的性质可得， 故答案为； （2），理由如下： 根据平移的性质可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点A作，交于点D， 根据平移性质可知， ∴， ∴，， ∴ 即． 【变式13-2】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证； （2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： 证明：根据平移的性质可知，，             如图，过点作， 则， ，， ， ； （2）解：如图，当在的外部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的内部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 【变式13-3】（24-25七年级下·广西南宁·期末）在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线任意平移得到（的对应点分别为），连接． (1)如图1，若平移距离为，则阴影部分的周长为___________； (2)如图2，若，求的度数； (3)若以每秒的速度向右平移．设移动了秒，则为何值时，图2中的四边形的面积是的面积的3倍？ (4)在整个运动过程中，当与中一个角是另一个角的3倍时，则的度数为___________°． 【答案】(1)12 (2) (3)10秒 (4)105或52.5或17.5或35 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移可得，进而可得阴影部分的周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）设的边上的高为，则，由平移性质得四边形底，高为，面积为，根据四边形的面积是的面积的3倍列方程求解即可； （4）分和两种情况，根据平行线的性质以及平移的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵沿着直线l平移得到，平移距离为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：12； （2）解：∵， ∴， ∵，沿着直线l平移得到， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的边上的高为，则， 由平移性质得：四边形底，高为， 所以，四边形面积为， 因为四边形的面积是的面积的3倍列方程求解即可； 所以，， 解得：， 即10秒后四边形的面积是的面积的3倍 （4）解：连接，如图，由平移知，， ∴，当与中一个角是另一个角的3倍时，与中一个角是另一个角的3倍时，设， 当时，， 若，则，解得，即， 若，则，解得， 即， 当时， 若，则，解得，即， 若，则，解得，即， ∴的度数为或或或 故答案为：105或52.5或17.5或35． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； B．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； C．可由圆环沿水平直线方向移动得到，符合题意； D．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．等角的补角相等 D．平行于同一条直线的两条直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查的是真命题的概念，对顶角的定义，平行线的性质，补角的性质，平行线的判定，熟记基础概念与平行线的判定方法与性质是解本题的关键． 通过判断每个命题的真假，基于平行线、对顶角、补角等初中数学性质，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：只有当两条直线平行时，同位角才相等，否则不一定，是假命题，故A选项不符合题意； 选项B：相等的角不一定是对顶角，例如两个直角相等但可能不是对顶角，是假命题，故B选项不符合题意； 选项C：如果两个角相等，则它们的补角也相等，是真命题，故C选项符合题意； 选项D：平行于同一条直线的两条直线互相平行，而不是垂直，是假命题，故D选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线、相交于O，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角的和等于． 根据邻补角的和等于列式求出的度数，再根据对顶角相等解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键. 求出，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质定理得出，再求出 即可. 【详解】解：如图          ， ， ， ， ， . 故选：B． 二、填空题 5．（25-26七年级上·浙江·假期作业）在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平移的概念，正确掌握平移的概念是解题的关键． 根据平移的概念逐一判断即可求解． 【详解】解：根据平移的概念可得①②④是由平移得到的，③无法平移得到． 故答案为：①②④． 6．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线、对顶角的定义，根据对顶角的定义可得，结合平分，即可求解． 【详解】解：直线、相交于点，， ， 平分， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；图中的内错角是 ． 【答案】 和 和 和 【分析】本题考查了内错角的识别，掌握根据角的边确定截线和被截直线，再结合内错角的位置特征判断是解题的关键． 根据内错角的定义，先确定每组被截直线和截线，再找出对应的内错角；最后分析的两边，确定所有能与构成内错角的角． 【详解】解：①直线与 BC 被直线 所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ②直线与被直线所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ③分析的两边： 当截线为时，被截直线为，与是内错角； 当截线为时，被截直线为 ，与是内错角． 即：和． 故答案为：和；和；和． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必不可少的一部分．如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．要使AM与CB平行，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行，是解题的关键． 先根据平行于同一条直线的两条直线平行，由都平行于地面推出；再利用平行线的性质求出的度数；最后根据内错角相等，两直线平行，得到的度数． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴， ， ∴． ∵，， ∴， ∴当时，． 故答案为：． 三、解答题 9．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)___________；（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解； (4)> 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【详解】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：∵， ∴根据垂线段最短，得． 故 答案为：>． 10．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且． (1)若，求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由内错角相等，两直线平行得出，再由两直线平行，同旁内角互补得出，结合题意计算即可得解； （2）由内错角相等，两直线平行得出，再由两直线平行，内错角相等得出，结合题意可得，从而即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线和相交于点，，平分． (1)若，则______°． (2)若， ①求的度数； ②求的度数． 【答案】(1) (2)①； 【分析】本题考查了角的和差计算、对顶角的性质以及角平分线的定义，利用对顶角的性质及角平分线的性质进行角的转化是解题的关键． （1）先由得出，再用角的和差关系即可求出； （2）①先算出的度数，再利用对顶角相等的性质，得到即可；②由平分，得出，再用角的和差关系即可求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴； ②∵平分， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·山西太原·月考）如图，点，分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义． （1）由平行线的性质得，从而得，从而； （2）由邻补角的性质得到，由角平分线定义求出，于是得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 【答案】D 【分析】利用对顶角、垂直的性质、角平分线的定义以及余角和补角的概念，逐一分析每个选项，结合已知条件计算相关角度来判断结论是否正确． 【详解】解：A、和是对顶角，根据对顶角相等，，符合题意； B、由得，平分，故，符合题意； C、，∴与互为补角，符合题意； D、的余角为，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角、垂直的性质、角平分线定义及余角补角的概念，解题关键是结合已知条件，利用相关性质准确计算角度，进而判断选项的正确性． 2．（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，下列推理不正确的有（   ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握其定义． 根据平行线的判定（内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行）和平行线的性质（两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补）判断即可． 【详解】解：若，则，故①正确； 若，则，故②错误； 若，则，故③正确； 若，不能得到，故④错误， 故推理不正确的有②④，共2个， 故选：C． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， 故选：C． 4．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，由平移性质可得，，可判断①；推出阴影部分的周长为三角形的周长可判断②；计算四边形的周长为，的周长为，作差可判断③；过A点作于H，利用面积法求出，根据列方程可解得，从而可判断④． 【详解】解：由平移性质可得，，故①不正确； 阴影部分的周长为，故②正确； 时，四边形的周长为， 的周长为：， 四边形的周长比三角形的周长多，故③不正确； 过A点作于H，如图， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 解得，故④正确， 故选：B． 二、填空题 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，则的度数是 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了平行线的性质及补角的定义，先根据已知条件得出的补角度数，再根据平行线的性质得出同位角相等，进而求得的度数． 【详解】解：∵， ∴的补角为：， 又∵， ∴与的补角是同位角，两角相等， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、相交于点，，垂足为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角度的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键． 由于对顶角相等，得出，结合，进行角度的和差计算，得出的度数即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·四川眉山·期末）如图，已知平分，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了平行线的性质以及平行公理等知识，正确利用平行线的性质分析是解题关键．利用角平分线的性质和三角形的内角和得到，再根据平行线的性质和外角定理可得答案． 【详解】解：平分， ， 平分， ， 又， ， ，故①正确； ， ， ，故②正确； 若， ， ， ， ， ，故④正确； 从现有条件无法推导出③的结论． 故答案为：①②④． 8．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，将一副三角板按照图示放置（有一条直角边重合），含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒，当其中一个三角板转回原位时，两个同时停止转动，当 时，两块三角板的斜边互相平行． 【答案】或或 【分析】本题考查了与三角板有关的角度运算，平行线的性质与判定，一元一次方程的几何应用，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出秒，旋转停止，再进行分类讨论，且逐个情况作图，运用三角形内角和性质，平行线的性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当其中一个三角板转回原位时，两个同时停止转动， ∴时间（秒）， 依题意， ∵两块三角板的斜边互相平行， ∴第一种情况，连接，如图所示： ∵， ∴ 则 ∴， 则， ∵， ∴， ∵含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒， ∴， 解得， ∴第二种情况， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 依题意， ∵ ∴ 解得 ∴第三种情况，连接，如图所示： ∵， 同理得， 则， ∵， ∴， ∵含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒， 则 ∵ ∴， 解得， 综上：当或或，两块三角板的斜边互相平行． 故答案为：或或 三、解答题 9．（25-26七年级上·重庆·月考）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案； （2）设，，则可推出，根据垂线的定义可推出，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ， ， ， ； （2）解：， ∴可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即， ∴，即． 10．（25-26七年级上·云南文山·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)如图①，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图②，射线在直线上方，射线在直线下方，探究和之间的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的计算以及角的和差，熟练掌握以上知识，学会用类比的方法解决问题是解题的关键． （1）先根据平角的定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据即可求出的度数； （2）先根据平角的定义将用含有的式子表示出来，再根据角平分线的定义将用含有的式子表示出来，再根据即可将用含有的式子表示出来； （3）先根据平角的定义得出与的关系，再根据角平分线的定义得出与的关系，再根据即可得出与的关系． 【详解】（1）解：且， ． 平分， ， ； （2）解：，且， ． 平分， ， ； （3）解：，理由如下： ， ． 平分， ， ， 即． 11．（2025七年级上·湖南衡阳·专题练习）如图，已知，，，点在线段上，，点在直线上，． (1)写出一个与图中相等的角______________； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，点（点不与，两点重合）从点出发，沿射线的方向运动，其他条件不变，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键． （1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与相等的角； （2）根据，，可得，再根据，即可得到； （3）分两种情况讨论：当点C在线段上；点C在延长线上，根据平行线的性质，即可得到的度数为或． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ， ； 与相等的角为，，； 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：，， ， ， ； （3）解：分两种情况进行讨论： ①如图1，当点C在线段上时，点F在的延长线上，此时， ， ； ②如图2，当点C在的延长线上时，点F在线段上． ，， ， 综上所述，的度数为或． 12．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）问题感知 （1）如图1，若，平分，求证：； 问题探索 （2）如图2，直线，被直线所截，平分，，点F在射线上，点G在线段上，连接，若，求证：； 问题拓展 （3）在（2）的条件下，将点G移动到线段的延长线上，如图3，其他条件不变，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由角平分线的定义及平行线的性质即可得到，根据等角对等边证明即可； （2）根据角平分线的定义和等量代换得到，即可得到，再根据平行线的性质得到，根据等量代换得到，利用同位角相等，两直线平行得到结论即可． （3）先求出的度数，然后根据平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，再根据角的和差解答即可． 【详解】（1）证明：平分， ． ， ， ； （2）证明：平分， ． ， ， ， ． ， ， ； （3）解：由（2）可知：， ， ，． 由（2）可知， ， ， ， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线（复习讲义） 1. 了解邻补角、对顶角、垂线、点到直线的距离、平行线、命题、平移的意义，体会相交线与平行线相关概念之间的整体联系。 2. 能用对顶角相等、垂线的性质、平行线的判定与性质进行简单的推理和计算；能用平移的性质分析图形的变换。 3. 理解并利用同位角、内错角、同旁内角的数量关系，解决两直线平行的判定与性质相关问题；能区分命题的题设与结论，判断命题真假。 一、相交线 1. 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（互补）。 2. 对顶角：两边互为反向延长线的两个角（相等）。 3. 垂线： - 相交成直角时，两条直线互相垂直。 - 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 - 垂线段最短。 4. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 二、平行线及其判定 1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线。 2. 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3. 判定方法（满足其一即可）： - 同位角相等 → 两直线平行。 - 内错角相等 → 两直线平行。 - 同旁内角互补 → 两直线平行。 三、平行线的性质 1. 两直线平行 → 同位角相等。 2. 两直线平行 → 内错角相等。 3. 两直线平行 → 同旁内角互补。 （判定：由角的关系推平行；性质：由平行推角的关系。） 四、命题与平移 1. 命题： - 定义：判断一件事情的语句。 - 组成：题设（条件）+ 结论。 - 真假命题：判断是否正确的命题。 2. 平移： - 定义：在平面内，图形沿某一方向移动一定距离。 - 性质： - 平移前后，图形的形状、大小不变。 - 对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。 - 对应角相等，对应线段平行且相等。 五、核心要点总结 - 相交线：关注“角的关系”（邻补角、对顶角）。 - 垂线：关注“最短距离”。 - 平行线： 判定：看角 → 证平行。 性质：有平行 → 得角关系。 - 平移：图形运动，形状大小不变，位置改变。 题型一 对顶角、邻补角的识别 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型二 利用对顶角的性质求角 【例2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线a、b相交于点O，， 度． 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则 ． 【变式2-2】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，若加油站E 到公路的距离是， 到公路的距离也是， 且， 则 的度数为 ． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东东营·月考）将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是 ． 题型三 利用垂线段最短 【例3】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 【变式3-1】（2025七年级上·全国·专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【变式3-2】（25-26七年级上·北京昌平·期末）如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 【变式3-3】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，，垂足是点D，，点E是线段上的一个动点（包括端点），连接，那么的长为整数值的线段有 条． 题型四 相交线中求角的度数问题 【例4】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，直线，相交于点，过点作，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式4-1】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式4-2】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为_______； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【变式4-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）． (1)如图，为直线上一点，于点，于点，的垂角是________，的垂角是________； (2)在（1）的条件下，若的垂角比大40°，求的度数． 题型五 画垂线、平行线并求点到直线的距离 【例5】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． (1)过点P画的垂线，垂足为H． (2)过点P画的垂线，交于点C． (3)线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 【变式5-1】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【变式5-2】（25-26六年级上·吉林长春·期末）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 【变式5-3】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均为格点．在方格纸中，完成下列作图． (1)过点画的垂线，与交于点； (2)过点画的平行线； (3)线段、、中最短的线段是___________，依据___________． 题型六 同位角、内错角、同旁内角的识别 【例6】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列图形中，和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互补 【变式6-3】（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，下列结论正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 题型七 判断条件是否使两直线平行 【例7】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A．B．C． D． 【变式7-2】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-3】（25-26八年级上·河北张家口·期末）将一块含有的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中一定能判断的是（   ） A． B． C． D． 题型八 平行线的性质与判定 【例8】（2026七年级下·全国·专题练习）如下图，在三角形ABC中，，点E在BC上，过点E作． (1)试探究CD与EF的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【变式8-1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在一副三角板中，，，．解答下列问题： (1)当三角板按如图①的方式摆放时，若，求证：； (2)当三角板按如图②的方式摆放时，若，求的度数． 【变式8-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【变式8-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，E是CD上一点，连接AE，BE并延长分别交BC，AD的延长线于点M，N，已知． (1)请判断直线AN与BM的位置关系，并说明理由． (2)若，，，求的度数． 题型九 判定命题的真假 【例9】（25-26八年级上·山西太原·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A． B． C．， D．， 【变式9-1】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下列命题中正确的是（    ） A．同位角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 C．两点之间，直线最短 D．过一点作已知直线的平行线，有且只有一条 【变式9-2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）下列命题为真命题的有（   ） ①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-3】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）下列各命题是假命题的是（    ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．同角的余角相等 C．平行同一直线的两条直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补 题型十 生活中的平移现象 【例10】（25-26七年级上·上海松江·期末）中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【变式10-2】（25-26七年级上·上海虹口·期末）二方连续纹样是指一个单位图案沿上下或左右方向连续排列所形成的横式或纵式带状纹样．以下四个纹样中，属于二方连续纹样的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 题型十一 利用平移的性质求解 【例11】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点、、分别与点、、对应），若四边形周长为，则平移的距离为 ． 【变式11-1】（25-26七年级上·上海宝山·期末）如图，将长方形沿着直线平移得到长方形（其中分别对应），联结，如果平移的距离为长度的，且的面积为10，那么长方形的面积为 ． 【变式11-2】（25-26七年级上·上海虹口·期末）“方胜”是中国古代的一种发饰图案，象征同心吉祥，由两个相同的正方形交错叠合而成、如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图如果平移距离为3，且，那么点到点的距离是 ． 【变式11-3】（25-26七年级上·上海宝山·月考）如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么 cm． 题型十二 利用平移解决实际问题 【例12】（25-26七年级上·上海·期末）某公园内有一长方形花坛，现准备在花坛内修筑同样宽的两条小路（阴影部分）供游客赏花，如图，有甲、乙两种设计方案（两种方案中小路宽度一样），甲方案中小路总面积为，乙方案中小路总面积为，则 ．（用“”、“”、“”填空） 【变式12-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 【变式12-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走： ①为折线段，②为折线段，③为折线段． 三条路的长依次为、、，则a，b，c的大小关系为 ． 【变式12-3】（25-26七年级上·广西崇左·月考）某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 题型十三 平移与平行线的综合问题 【例13】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【变式13-1】（24-25七年级下·河北·期末）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由． (3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由． 【变式13-2】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【变式13-3】（24-25七年级下·广西南宁·期末）在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线任意平移得到（的对应点分别为），连接． (1)如图1，若平移距离为，则阴影部分的周长为___________； (2)如图2，若，求的度数； (3)若以每秒的速度向右平移．设移动了秒，则为何值时，图2中的四边形的面积是的面积的3倍？ (4)在整个运动过程中，当与中一个角是另一个角的3倍时，则的度数为___________°． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．等角的补角相等 D．平行于同一条直线的两条直线垂直 3．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线、相交于O，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 二、填空题 5．（25-26七年级上·浙江·假期作业）在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的 ． 6．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为 ． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；图中的内错角是 ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必不可少的一部分．如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．要使AM与CB平行，则的度数为 ． 三、解答题 9．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)___________；（填“>”“<”或“=”） 10．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且． (1)若，求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 11．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线和相交于点，，平分． (1)若，则______°． (2)若， ①求的度数； ②求的度数． 12．（24-25九年级上·山西太原·月考）如图，点，分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 2．（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，下列推理不正确的有（   ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，则的度数是 ． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、相交于点，，垂足为，若，则 ． 7．（25-26七年级上·四川眉山·期末）如图，已知平分，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是 ． 8．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，将一副三角板按照图示放置（有一条直角边重合），含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒，当其中一个三角板转回原位时，两个同时停止转动，当 时，两块三角板的斜边互相平行． 三、解答题 9．（25-26七年级上·重庆·月考）如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 10．（25-26七年级上·云南文山·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)如图①，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图②，射线在直线上方，射线在直线下方，探究和之间的关系． 11．（2025七年级上·湖南衡阳·专题练习）如图，已知，，，点在线段上，，点在直线上，． (1)写出一个与图中相等的角______________； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，点（点不与，两点重合）从点出发，沿射线的方向运动，其他条件不变，求的度数． 12．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）问题感知 （1）如图1，若，平分，求证：； 问题探索 （2）如图2，直线，被直线所截，平分，，点F在射线上，点G在线段上，连接，若，求证：； 问题拓展 （3）在（2）的条件下，将点G移动到线段的延长线上，如图3，其他条件不变，连接，若，求的度数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $