第七章 相交线与平行线（必备知识+5大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版七年级下册

第七章 相交线与平行线 一、相交线 1. 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（互补）。 2. 对顶角：两边互为反向延长线的两个角（相等）。 3. 垂线： - 相交成直角时，两条直线互相垂直。 - 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 - 垂线段最短。 4. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 二、平行线及其判定 1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线。 2. 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3. 判定方法（满足其一即可）： - 同位角相等 → 两直线平行。 - 内错角相等 → 两直线平行。 - 同旁内角互补 → 两直线平行。 三、平行线的性质 1. 两直线平行 → 同位角相等。 2. 两直线平行 → 内错角相等。 3. 两直线平行 → 同旁内角互补。 （判定：由角的关系推平行；性质：由平行推角的关系。） 四、命题与平移 1. 命题： - 定义：判断一件事情的语句。 - 组成：题设（条件）+ 结论。 - 真假命题：判断是否正确的命题。 2. 平移： - 定义：在平面内，图形沿某一方向移动一定距离。 - 性质： - 平移前后，图形的形状、大小不变。 - 对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。 - 对应角相等，对应线段平行且相等。 五、核心要点总结 - 相交线：关注“角的关系”（邻补角、对顶角）。 - 垂线：关注“最短距离”。 - 平行线： 判定：看角 → 证平行。 性质：有平行 → 得角关系。 - 平移：图形运动，形状大小不变，位置改变。 易错点1 对同位角、内错角、同旁内角辨别不清 易错总结 1. 找不准前提：必须由两条直线被第三条直线所截形成，忽略“三线八角”结构易错判。 2. 形状位置混淆：同位角呈“F”型（同侧同位置），内错角呈“Z”型（内部交错），同旁内角呈“U”型（内部同侧）。仅凭感觉观察易混。 3. 脱离截线判断：角的“同位”“内错”关系取决于截线，忽视截线则无法准确定位。 4. 注意事项：先确定截线与被截线，再按固定模型（F、Z、U）识别；多画图强化记忆，避免主观臆断。 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列各图中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的概念，熟练掌握同位角的概念是解题的关键； 根据同位角的概念分析是否为同位角即可． 【详解】解：已知同位角的定义：两条直线被第三条直线所截时，在截线同侧，且在被截两直线同一方向的位置上形成的两个角； A、两角不在截线同侧，不是同位角，不符合题意； B、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意； C、符合同位角定义，符合题意； D、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意； 故选：C ． 【变式】（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图所示，下列说法：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是内错角；与是同位角，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【详解】解：与是同位角，此选项正确； 与是内错角，并不是同旁内角,此选项错误； 与是内错角，此选项正确； 与是内错角，此选项正确； 与是同位角，此选项正确； 故正确的有个． 故选：． 易错点2 平行线的判定和性质多结论题 易错总结 1. 判定与性质混淆：判定（由角关系推平行）与性质（由平行推角关系）是互逆过程，审题不清易颠倒使用，导致循环论证。 2. 条件遗漏：在复杂图形中，易忽视“三线八角”基本结构，将非截线形成的角误用于推导。 3. 结论过度引申：平行仅能推出特定的角关系（同位等、内错等、同旁内互补），不能直接得出所有角相等或所有线平行。 4. 注意事项：严格分清题设与结论；先标记已知平行或角等，再逐步推导；多结论题需逐一验证，防止“想当然”。 【例2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，，平分，，，；则下列结论：①；②平分；③，④，其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 根据平行线的性质可得；平行线的性质可得，求得，根据角平分线的定义求得；求得，，即可得到，推得平分；根据题意求得，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分；故②正确； ∵， ∴， ∴；故④正确． 故正确结论的个数有4个． 故选：D． 【变式】（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，，平分交于点，，，、分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（    ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，角平分线的定义，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 先根据平行线的性质得到，再根据等角的余角相等得到，则利用得到，于是可对①进行判断；所以，由于，则，然后利用1不能确定等于可对②进行判断；根据平行线的性质得到即所以从而得到，于是可对③进行判断；根据角平分线的定义得到，，而，所以由，然后根据四边形的内角和可计算出，从而可对④进行判断． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，①正确； ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵不能确定等于， ∴不成立，②错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，③正确； ∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， 在四边形中， ，④正确． 故选：A． 易错点3 旋转使两直线平行的多解题 易错总结 1. 忽略旋转方向：旋转分顺时针与逆时针，仅考虑一种方向会漏解。 2. 终点状态单一：旋转后两直线平行，可同位角相等或内错角相等，对应不同旋转角，易只求一种。 3. 周期性遗漏：旋转角可加减360°整数倍，忽略周期性会丢多组解。 4. 注意事项：明确旋转中心与初始图形；画图分析所有可能平行位置；列出角等关系方程，并考虑旋转周期（±k·360°）。 【例3】（24-25七年级下·江西宜春·期末）五一假期，“绚丽赣江景，多彩英雄城”南昌一江两岸主题灯光秀盛大上演．在赣江边两条笔直且平行的观景栈道上分别设有P，Q两盏激光灯（如图），若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转45秒，光线才开始转动．当光线旋转时间为 秒时，． 【答案】或或 【分析】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质及一元一次方程的应用是解题的关键． 设当光线旋转时间为秒时，．根据运动情形分种情况①当时，延长交于点，②当时，延长交于点，③当时，延长交于点，结合平行线的性质及一元一次方程求解，即可解题． 【详解】解：光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至， 则光线到所用时间为：， 光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边，且光线先转45秒， 则光线到所用时间为：， 设当光线旋转时间为秒时，． ①当时，延长交于点， ， ， ， ， ， 解得， ②当时，延长交于点， ， ， ， ， ， 解得； ③当时，延长交于点， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，或或， 故答案为：或或． 【变式】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况）， ． 【答案】5秒或15秒或35秒或45秒或50秒 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角度计算，掌握平行线的性质是解题的关键． 分①当，②当，③当，④当，⑤当时，分别画出图形即可求解． 【详解】①当时， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； ②当时， ∵，， ∴ ∵， ∴A，D，C共线， ∵， ∴（秒）； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； ④当时，，； ∵ ∴， ∴（秒）； ⑤当时， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，t的值为5秒或15秒或35秒或45秒或50秒， 故答案为：5秒或15秒或35秒或45秒或50秒． 易错点4 平行线的判定和性质综合问题 易错总结 1. 逻辑循环：混淆“判定”与“性质”，错误地使用平行关系来证明其自身成立的条件。 2. 条件借用不当：在复杂图形中，易将某一对平行线的性质结论，错误地用于另一组未经验证的直线关系推导。 3. 模型识别错误：不能从复杂图形中准确分离出“三线八角”基本模型，导致找错同位角、内错角。 4. 注意事项：严格遵循“由因导果”的推理链；用不同标记清晰区分已知条件和待证结论；先标出所有平行线，再逐一推导角关系。 【例4】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且． (1)若，求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由内错角相等，两直线平行得出，再由两直线平行，同旁内角互补得出，结合题意计算即可得解； （2）由内错角相等，两直线平行得出，再由两直线平行，内错角相等得出，结合题意可得，从而即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 易错点5 平行线中的拐点探究问题 易错总结 1. 辅助线误作：过拐点作平行线是通法，但辅助线方向画错或未作，导致无法转化角。 2. 角度关系混乱：将“拐角”与平行线所成角（同位角等）的关系弄反，结论错位。 3. 忽略多拐点：对连续拐点问题，未逐段转化，试图一步到位，易出错。 4. 注意事项：紧扣“过拐点作已知平行线的平行线”这一核心方法；按“作线-转化-建立等量关系”步骤推理；多拐点问题可视为单拐点模型的组合。 【例5】（四川省攀枝花市2025-2026学年七年级上学期期末联考数学试卷）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图1，已知 ，，，则 ； (2)如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点E，若，，求 的度数； (3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若，，请你求出的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，平行公理的推论，解决问题的关键是正确的作出辅助线． （1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案； （3）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点E作， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则 ． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系 ．(不用证明) 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线，三角板中，．三角板如图4位置放置，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变，，理由见解析 （4），证明见解析 【分析】本题综合考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，利用平行线的性质导角是解题的关键． （1）考查平行线的“同位角相等”性质，结合已知和三角尺的角()，利用平角列等式计算角度； （2）考查平行线的“内错角相等”性质，通过作辅助线(过作平行线)，可证明角度和为； （3）考查平行线性质及角度等量代换，通过设未知数表示相关角度，推导的固定值，进而得出的固定值； （4）考查平行线的“同位角相等”、三角形内角和定理，通过设未知数表示，逐步推导与的表达式，最终确定数量关系． 【详解】解：（1）∵， ∴(两直线平行，同位角相等)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：； （2）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （3）不变，，理由如下： ∵、分别平分、， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得， 即； （4）设，则，． ∵， ∴． ∵， ∴，,， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴x． ∵， ∴． ∴x． ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中正确的是（   ）    A．与互余 B．与是同位角 C．与不是对顶角 D．与是同位角 【答案】D 【分析】此题主要考查了对顶角、同旁内角和同位角．根据对顶角、同旁内角、同位角定义分别分析即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，不一定互余，故原题说法错误； B、与是同旁内角，故原题说法错误； C、与是对顶角，故原题说法错误； D、与是同位角，故原题说法正确； 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴ ∵， ∴的度数是． 故选：A ． 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，，，则①，②，③，④．结论不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据，即可判断①；由，得到，即可判断③；过点F作，根据平行线的性质求出，然后根据平行线的性质求出的度数，即可判断②；由即可判断④． 【详解】解：， ，故①正确； ， ，故③不正确； 过点F作，如图， ， ， ， ， ， ，故②正确； ， ， ，故④正确． ∴正确的有3个，不正确的有1个， 故选：B． 4．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如图1，，分别在上，．如图2，将绕点以的速度逆时针转动，将绕点以的速度逆时针转动，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当转至所在射线后，二者同时停止转动，则在旋转过程中，当与互相平行或垂直时，的值为（　　） A．秒或秒 B．秒或6.5秒 C．2秒或6.5秒 D．2秒或秒 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、平行线的判定与性质，当运动时间为t秒时，，，当与互相平行时，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；当与互相垂直时，由，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，综上即可得出答案． 【详解】解：当转动时间为t秒时，，， 当与互相平行时，， 即， 解得：； 当与互相垂直时，， 即， 解得， ∴当与互相平行或垂直时，t的值为秒或秒． 故选：A． 二、填空题 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 【答案】 AB CD BE 同位 AB CD AC 内错 和 【分析】此题主要考查了三线八角，解题的关键是掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角：同旁内角的定义分别进行分析即可． 【详解】解：如图，和是直线，被直线所截得的同位角；和是直线，被直线所截得的内错角；直线，被直线所截得的同旁内角是和． 故答案为：①；②；③；④同位；⑤；⑥；⑦；⑧内错；⑨和． 6．（25-26七年级上·海南海口·期末）如图，小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点C作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有 ． ①；②；③；④    【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，根据可证明，则，，即可判断①正确；根据角之间的关系得到，即可得到，故②正确；由角平分线和等量代换得到，即可判断④正确，无法判断③． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴ ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵平分交于点， ∴ ∴，故④正确； ∴无法证明；故③不正确， 结论正确的有①②④； 故答案为：①②④ 8．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒1度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动，若射线先转动40秒，射线才开始转动，则射线转动 秒后，与平行． 【答案】20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，设射线转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设转动后与交于点，转动后与交于点， 当时，如图1， ， ， ， ， ， 解得； ②当时，如图2， ， ， ， ， 解得， 综上所述，射线转动20或80秒，两射线互相平行； 故答案为：20或80． 三、解答题 9．（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如图，直线，直线交于点，交于点，，是直线上的动点（不与重合），以为直角顶点作直角三角形，且，点在直线右侧，记． (1)当点在点右侧时，若，求的度数； (2)在点运动过程中，若射线、、满足其中一条射线平分另外两条射线所构成的角时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据，，求出，根据平行线的性质求出，根据，求出结果即可； （2）分两种情况：当平分时，当平分时，分别画出图形，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：当平分时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当平分时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知：的度数为或． 10．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【问题提出】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么数量关系？ 【问题探究】已知的两边和的两边分别平行． （1）同学甲画出如图1所示的图形，，，通过测量，猜想，你知道其中的原因是什么吗？请写出证明过程； （2）同学乙在探究中发现存在的情况，在图2中画出一个以点O为顶点且满足条件的，直接写出此时和的数量关系为_______； （3）归纳结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角______或______． 【结论应用】已知的两边分别与的两边平行，则和的角平分线所在直线的位置关系是_______． 【答案】问题探究：（1）见解析；（2）；（3）相等，互补；结论应用：平行或垂直 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 问题探究：（1）由两直线平行，内错角相等得出，，从而即可得证； （2）由两直线平行，内错角相等得出，由两直线平行，同旁内角互补得出，从而即可得出结果； （3）根据（1）（2）即可得出结论； 结论应用：分两种情况，结合角平分线的定义，逐项计算即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图：即为所求， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）归纳结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补； 结论应用：如图，当时，为的角平分线，为的角平分线， ， 令与相交于点，作平分， ∵为的角平分线，为的角平分线，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 如图，当时，为的角平分线，为的角平分线， ， 令与相交于点，作平分，令交于点， ∵为的角平分线，为的角平分线，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的两边分别与的两边平行，则和的角平分线所在直线的位置关系是平行或垂直． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，点P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D． (1)求的大小． (2)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，的大小是_______． 【答案】(1)50° (2)不变，，理由见解析 (3) 【分析】本题围绕平行线的性质以及角平分线的定义展开，分三个小问探究角之间的数量关系．需利用平行线性质转换角的关系，结合角平分线定义推导角的和、倍分关系． 【详解】（1）， . ， . 又平分，平分， . 又， . （2）数量关系不变，理由如下： ， 平分， 又， （3）设， 平分， ， . ， 又平分， 且， ， 解得，即 【点睛】本题核心是运用平行线的性质和角平分线的定义，将复杂角关系转化为和、倍分关系，解题关键：利用角平分线性质“转移”角；结合角平分线定义拆分/合并角，建立已知与未知角得联系． 12．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，射线在内交直线于点O．当N、M分别在点G、H的右侧，且，时，求的度数； (3)如图3，小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查平行线，角平分线．解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的有关计算，分类讨论是解题关键． （1）过点作，根据平行公理可有，再根据平行线的性质，即可得解； （2）延长交于点，易得，再确定，结合可得，进而可得，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可得解； （3）根据平移三角形分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可作答． 【详解】（1）解：如下图，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长交于点，如下图， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即的度数为； （3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴； ②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 综上所述，或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第七章相交线与平行线 思维导图 1.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（互补） 2.对顶角：两边互为反向延长线的两个角（相等） 相交成直角时，两条直线互相垂直 一、 相交线 3.垂线 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段最短 4.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线 相交线 2.基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 二、 平行线及其判定 同位角相等一两直线平行 3.判定方法 内错角相等一两直线平行 与平行 同旁内角互补一两直线平行 1.两直线平行一同位角相等 2.两直线平行一内错角相等 三、 平行线的性质 2.两直线平行一内错角相等 定义：判断一件事情的语句 1.命题 组成：题设（条件）+结论 真假命题：判断是否正确的命题 四、 命题与平移 定义：在平面内，图形沿某一方向移动一定距离 2.平移 平移前后，图形的形状、大小不变 性质 对应点连线平行（或在同一直线上）且相等 对应角相等，对应线段平行且相等 知识清单 一、相交线 1.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（互补）。 2.对顶角：两边互为反向延长线的两个角（相等）。 3.垂线： ·相交成直角时，两条直线互相垂直。 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ·垂线段最短。 4.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 二、平行线及其判定 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线。 2.基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3.判定方法（满足其一即可）： 、 同位角相等→两直线平行。 内错角相等→两直线平行。 ·同旁内角互补→两直线平行。 三、平行线的性质 1.两直线平行→同位角相等。 2.两直线平行→内错角相等。 3.两直线平行→同旁内角互补。 (判定：由角的关系推平行；性质：由平行推角的关系。) 四、命题与平移 1.命题： ·定义：判断一件事情的语句。 . 组成：题设（条件)+结论。 ·真假命题：判断是否正确的命题。 2.平移： ·定义：在平面内，图形沿某一方向移动一定距离。 -性质： ·平移前后，图形的形状、大小不变。 ·对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。 ·对应角相等，对应线段平行且相等。 五、核心要点总结 -相交线：关注“角的关系”（邻补角、对顶角）。 ·垂线：关注“最短距离”。 -平行线： 判定：看角→证平行。 性质：有平行→得角关系。 。平移：图形运动，形状大小不变，位置改变。 易错总结 易错点1对同位角、内错角、同旁内角辨别不清 易错总结 1.找不准前提：必须由两条直线被第三条直线所截形成，忽略“三线八角”结构易错判。 2.形状位置混淆：同位角呈“F”型（同侧同位置），内错角呈“Z”型（内部交错），同旁内角呈“U”型 (内部同侧)。仅凭感觉观察易混。 2/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.脱离截线判断：角的“同位”“内错”关系取决于截线，忽视截线则无法准确定位。 4.注意事项：先确定截线与被截线，再按固定模型(F、Z、)识别；多画图强化记忆，避免主观臆断。 【例1】(2026七年级下.全国.专题练习)下列各图中，∠1和∠2是同位角的是() 食 【变式】(24-25七年级下·四川泸州·月考)如图所示，下列说法：①∠1与∠3是同位角；②∠1与∠2是同旁 内角；③∠3与∠2是内错角；④∠1与∠2是内错角：⑤∠4与∠2是同位角，其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 易错点2平行线的判定和性质多结论题 易错总结 1.判定与性质混淆：判定（由角关系推平行）与性质（由平行推角关系）是互逆过程，审题不清易颠倒使 用，导致循环论证。 2.条件遗漏：在复杂图形中，易忽视“三线八角”基本结构，将非截线形成的角误用于推导。 3.结论过度引申：平行仅能推出特定的角关系（同位等、内错等、同旁内互补），不能直接得出所有角相 等或所有线平行。 4.注意事项：严格分清题设与结论；先标记己知平行或角等，再逐步推导；多结论题需逐一验证，防止“想 当然”。 【例2】(24-25七年级下.全国期中)如图，CD∥AB,OE平分∠A0D,OF⊥0E,0G⊥CD, ∠CD0=50°；则下列结论：①0G⊥AB;②0F平分∠BOD;③∠A0E=65°，④LG0E=∠D0F,其中正 确结论的个数有() 3/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 50y B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式】(25-26七年级上江苏南京·月考)如图，AB⊥BC,DE平分∠ADC交BC于点E,AE⊥DE, AB∥CD,M、N分别是BA,CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F.下列结论：① ∠1+∠2=90°；②∠AEB+∠ADC=180°；③∠DAE=∠1；④F135,其中结论正确的有() M D E A.①③④ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 易错点3旋转使两直线平行的多解题 易错总结 1.忽略旋转方向：旋转分顺时针与逆时针，仅考虑一种方向会漏解。 2.终点状态单一：旋转后两直线平行，可同位角相等或内错角相等，对应不同旋转角，易只求一种。 3.周期性遗漏：旋转角可加减360°整数倍，忽略周期性会丢多组解。 4.注意事项：明确旋转中心与初始图形；画图分析所有可能平行位置；列出角等关系方程，并考虑旋转周 期（±k·360°）。 【例3】(24-25七年级下·江西宜春·期末)五一假期，“绚丽赣江景，多彩英雄城”南昌一江两岸主题灯光秀 盛大上演，在赣江边两条笔直且平行的观景栈道AB,CD上分别设有P,Q两盏激光灯（如图），若光线PB 按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；光线QC按顺时针方向每秒1°的速 度旋转至QD边就停止旋转，此时光线PB也停止旋转.若光线QC先转45秒，光线PB才开始转动.当光线 PB旋转时间为秒时，PB,∥QC,. 4/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B D 【变式】(24-25七年级下：江苏无锡期中)如图，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中 ∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋 转，当点E落在射线AC的反向延长线上时停止旋转.设ADE的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t,若它的 一边与ABC的某一边平行（不含重合情况），t= D B 易错点4平行线的判定和性质综合问题 易错总结 1.逻辑循环：混淆“判定”与“性质”，错误地使用平行关系来证明其自身成立的条件。 2.条件借用不当：在复杂图形中，易将某一对平行线的性质结论，错误地用于另一组未经验证的直线关系 推导。 3.模型识别错误：不能从复杂图形中准确分离出“三线八角”基本模型，导致找错同位角、内错角。 4.注意事项：严格遵循“由因导果”的推理链；用不同标记清晰区分己知条件和待证结论；先标出所有平 行线，再逐一推导角关系。 【例4】(25-26七年级上江苏盐城月考)如图，在四边形BCDE中，A为CB延长线上一点，连接AD交 BE于点F,且∠A=∠ADE. E D B (I)若∠EDC=3∠C,求∠C的度数： (②)若LC=∠E,判断BE与CD的位置关系，并说明理由. 【变式】(25-26七年级下·全国·课后作业)己知直线AB,CD被直线MN所截. 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)如图①，EG平分∠MEB,FH平分∠DFE(平分的是一对同位角)，则∠1与∠2满足 时， AB∥CD; M X D 图① (2)如图②，EG平分∠AEF,FH平分∠DFE(平分的是一对内错角)，则∠1与∠2满足 时， AB∥CD; 公 G 图② (3)【拓展设问】如图③，EG平分∠BEF,FH平分∠DFE(平分的是一对同旁内角)，则∠1与∠2满足什 么条件时，AB∥CD?为什么？ H D 图③ 易错点5平行线中的拐点探究问题 易错总结 1.辅助线误作：过拐点作平行线是通法，但辅助线方向画错或未作，导致无法转化角。 2.角度关系混乱：将“拐角”与平行线所成角（同位角等）的关系弄反，结论错位。 3.忽略多拐点：对连续拐点问题，未逐段转化，试图一步到位，易出错。 4.注意事项：紧扣“过拐点作己知平行线的平行线”这一核心方法；按“作线-转化-建立等量关系”步骤 推理；多拐点问题可视为单拐点模型的组合。 【例5】（四川省攀枝花市2025-2026学年七年级上学期期末联考数学试卷）小明同学在完成七年级上册数 学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下. 6/11 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)如图1，己知AB∥CD,∠BAE=20°，∠DCE=30°，则∠AEC=-: (2)如图2，已知AB∥CD,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在直线交于点E,若 LFAD=60°，∠ABC=40°，求∠BED的度数： (3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD=a°，∠ABC=B°，请你求出 ∠BED的度数（用含a,的式子表示）. 【变式】(24-25七年级下·辽宁大连·月考)综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB,CD和一副直角三角尺”开展数学活动. B M B 图1 图2 图3 图4 【操作发现】 (1)如图1，小明把三角尺60°角的顶点G放在直线CD上，∠F=90°，若∠1=2∠2，则∠1=- (2)如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E,G分别放在直线AB,CD上，请用等式表示 ∠AEF与∠FGC之间满足的数量关系-·（不用证明） 【综合应用】 (3)在图2的基础上，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ=60°，如图3，FM平分∠EFP 交直线AB于点M,FN平分∠QFG交直线CD于点N,将含60°角的三角尺绕着点F转动，且使FG始终 在∠PFQ的内部，请问∠AMF+∠CNF的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由. 【学以致用】 (4)已知：直线ABI‖CD,三角板EFH中∠EFH=90°，∠EHF=60°.三角板EFH如图4位置放置，在 线段EH上取点P,连接FP并延长交直线CD于点T,在线段EF上取点K,连接PK并延长交∠CEH的角 平分线于点Q,若PQ‖FH,且∠EFT=∠ETF.探究∠Q与∠HFT之间的数量关系并说明理由. 7/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 易错训练 一、单选题 1.(24-25七年级下·河北邯郸期末)如图，直线a,b被直线c所截，则下列说法中正确的是() 30 -0 A.∠3与∠4互余 B.∠3与∠4是同位角 C.∠1与∠3不是对顶角 D.∠2与∠4是同位角 2.(25-26八年级上·湖北黄冈·月考)如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光 线BE,DF交于主光轴上一点G,若∠ABE=132°，∠CDF=153°，则∠EGF的度数是() A P A.75 B.70° C.68 D.65 3.(25-26七年级上·黑龙江绥化月考)将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知LGEF=60°， ∠MNP=45°，AB∥CD,则①GE∥MP,②∠BEF=75°，③∠EFN=145°，④∠AEG=∠PMN.结论不 正确的有() B M D A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.(24-25七年级下.湖南岳阳·期末)如图1，P0∥MN,A,B分别在P2,MN上，∠M=40°.如图2，将 AM绕点A以5°/s的速度逆时针转动，将BV绕点B以20°/s的速度逆时针转动，若它们同时开始转动，设 转动时间为t秒，当BN转至BM所在射线后，二者同时停止转动，则在旋转过程中，当AM与BN互相平行 或垂直时，t的值为() 8/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P B M B 图1 图2 A. 3 B. 8秒或6.5秒 C.2秒或6.5秒 D.2秒或25秒 3 二、填空题 5.(25-26七年级下·全国课后作业)如图，∠1和∠4是直线 被直线 所截得的」 角；∠2和∠5是直线 被直线 所截得的 角；直线AC,BC被直线AB 所截得的同旁内角是」 B 6.(25-26七年级上·海南海口·期末)如图，小明观察抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学 问题：已知AB∥CD,∠BAE=88°，∠DCE=122°，则∠E的度数是 E 7.(25-26七年级上，吉林长春期末)如图，∠B=110°，∠C=70°，DE平分∠ADC交BC于点E,点F为线 段CD延长线上一点，∠BAF=∠EDF，则下列结论正确的有一 ①∠BAD+∠ADC=I80°；②AF∥DE；③BC∥AD;④∠DAF=∠F D 9/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(25-26七年级上江苏南京·期末)如图，AB∥CD,点P,Q分别是AB,CD上的一点，射线PB绕点P 顺时针旋转，速度为每秒1度，射线QC绕点Q顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与QD重合便立即回 转，当射线PB旋转至与PA重合时，PB与QC都停止转动，若射线PB先转动40秒，射线QC才开始转动， 则射线QC转动_秒后，QC与PB平行. A -B D 三、解答题 9.(2025七年级上福建泉州专题练习)如图，直线AB∥CD,直线EF交AB于点E,交CD于点F, ∠AEF=50°，G是直线CD上的动点（不与F重合），以E为直角顶点作直角三角形EGH,且∠EGH=30 ,点H在直线EF右侧，记∠DGH=a, B A E b (1)当点G在点F右侧时，若∠AEF=2∠FEG,求a的度数： (②)在点G运动过程中，若射线EA、EF、EG满足其中一条射线平分另外两条射线所构成的角时，求α的 度数 10.(25-26七年级上吉林长春期末)【问题提出】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这 两个角有什么数量关系？ 【问题探究】已知∠1的两边和∠2的两边分别平行. D 1 3 E了2 图1 图2 (1)同学甲画出如图1所示的图形，AB∥DE,BC∥EF,通过测量，猜想∠I=∠2，你知道其中的原因 是什么吗？请写出证明过程 (2)同学乙在探究中发现存在∠1≠∠2的情况，在图2中画出一个以点O为顶点且满足条件的∠2，直接 写出此时∠1和∠2的数量关系为 10/11