第八章 实数（单元自测·提升卷）数学新教材人教版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 实数·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的性质．根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数，即可求解． 【详解】解：的相反数是 故选：A． 2．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根，积的乘方，立方根，根据相关知识判断各选项即可． 【详解】选项A： 表示算术平方根，值为2，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，则，符合题意； 故选D． 3．数，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 在数，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数有，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1），共3个， 故选：C． 4．下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根的概念，掌握平方根和算术平方根的概念是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：① ∵ ， ∴ ， 故此说法错误； ② ∵ ，且， ∴ ， 故此说法错误； ③ ∵ ， ∴ 4是16的一个平方根， 故此说法正确； ④ ∵ ，且是5的算术平方根， ∴此说法正确； ⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根， ∴此说法错误； 综上，正确个数为2个． 故选：B． 5．如图，实数在数轴上的对应点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据无理数的估算方法得到的取值范围，再根据数轴上的点所表示数的特征进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 观察数轴可知，点表示的数在和之间，故选：D． 6．若，则的立方根为（    ） A．5 B．15 C．25 D． 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数都为零．根据非负数的性质，求出x和y的值，再计算的立方根即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为：． 故选：D． 7．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根、立方根以及绝对值的性质等知识，正确判断符号是正确化简的前提． 根据实数在数轴上对应的点的位置判断出：，的符号，再根据算术平方根、立方根以及绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：，，且， 因此，，， 所以，．， 故选D 8．如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的运算与数值转换器的逻辑，解题的关键是从输出结果反向推导输入值． 从输出的反向推导，先求出第二次取算术平方根前的数，再根据“是有理数则再次输入”的规则，求出第一次取算术平方根前的数． 【详解】解：两次取算术平方根，即， 两边平方得， 再平方得， 故选B． 9．对任意两个实数a，b定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题关键，根据新定义计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵，， ∴ 故 故选：C 10．图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，正方形放入后位置如图所示，图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，同样的正方形放入后位置如图所示，则正方形的边长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的应用、无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求出图1和图2中大正方形和小正方形的边长，进而得到的范围，根据，逐项判断即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 根据图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4， 则图1中大正方形的边长为，小正方形的边长为， 此时， 根据图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1， 则图2中大正方形的边长为，小正方形的边长为1， 此时， 取交集得：， 由于，则， 选项A、，则，不符合题意； 选项B、，则，符合题意； 选项C、，则取不到，不符合题意； 选项D、，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．4的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义，求4的算术平方根即求哪个非负数的平方等于4即可． 【详解】解：由于， 则4的算术平方根是2， 故答案为：2． 12．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，做题关键是要掌握一些比较大小的方法． 比较两个分数的大小，由于分母相同，只需比较分子部分；即比较和的大小． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是 ． 【答案】121 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握一个正数的两个不相等的平方根互为相反数． 根据平方根的性质，正数的两个不相等的平方根互为相反数，列出方程求解参数，再计算平方根的值，最后求原数． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 则一个平方根为， 因此这个正数为． 故答案为：121． 14．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为2， ∴， ∴ 又∵点在点的右边， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 15．现对实数，定义一种运算：．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算的理解与应用，算术平方根、立方根的计算，掌握新定义的运算规则是解题关键． 先计算算术平方根和立方根，再根据新定义运算规则进行计算． 【详解】解：，， 则． 故答案为：． 16．将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 【答案】 【分析】先确定每行使用的自然数范围，再根据行数的奇偶性决定该行是递增还是递减排列． 【详解】①解：第1排： 第2排：，（从左到右依次增大） 第3排：，，（从左到右依次减小） 第4排：，，，（从左到右依次增大） 第5排：，，，，（从左到右依次减小） 奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列． 偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列． 数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的． 前m排数字的总个数：， 前一排（第排）的总个数是， 所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根． 当 m为奇数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：， 当m为偶数时， 第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是， 因此偶数排的第 n个数是：， ，为偶数， ， 所代表的数为， 故答案为：； ②，为偶数，， ， ，为奇数，， ， 它们的平方和为， 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）计算：； （2）求等式中的值：． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用平方根解方程，熟练掌握以上知识点是解题关键． （1）先进行去绝对值，开方运算，再进行加减运算即可； （2）利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原等式变形为， ∵， ∴． ∴或． 18．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个之间依次多个）． (1)整数集合： ； (2)分数集合： ； (3)无理数集合： ． 【答案】(1)②③⑤ (2)①⑥⑦ (3)④⑧ 【分析】本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键． （1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据无理数的定义作答即可． 【详解】（1）解：②是整数，③是整数，⑤是整数， 整数集合：②③⑤， 故答案为：②③⑤； （2）解：①是分数，⑥是分数，⑦是分数， 分数集合：①⑥⑦， 故答案为：①⑥⑦； （3）解：④是无理数，⑧（相邻的两个之间依次多个）是无理数， 无理数集合：④⑧， 故答案为：④⑧． 19．已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) ，，或0； (2) 当时，平方根为；当时，平方根为． 【分析】本题主要考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意、理解相关定义是解题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义求出a，b的值，再根据算术平方根的意义确定c的值即可； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，则， ∴； ∵的算术平方根是2，则，即， ∴； ∵c的算术平方根等于本身， ∴或0， ∴，，或0； （2）解：当，，时，则， ∵的平方根是， ∴的平方根为； 当，，时，则， ∵的平方根是， ∴的平方根为； 综上，当时，平方根为；当时，平方根为． 20．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，， ，其结果 6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)根据题意，直接写出一组“完美组合数”为 ______（不重复题目中出现的完美组合数） (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求 m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，只要三个负数的绝对值都是一个完全平方数即可满足这三个数是一组“完美组合数”，据此求解即可； （2）根据算术平方根的定义可得这三个数中有两个数的乘积为144，再根据这三个数互不相同可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴是一组“完美组合数”； （2）解：∵三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这三个数中有两个数的乘积为， ∵这三个数互不相等，且， ∴， ∴． 21．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 22．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，而， ， 的整数部分是4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：，而， ， 的整数部分，小数部分为， ； （3）解：， ， 又，其中x是整数，且， ， ， 故答案为：. 23．如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当时，_______；当时，_______． (2)当输入的值小于100，且输出的值是时，输入的值可以是_______． (3)是否存在输入某个值后，却始终输不出值？如果存在，写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)3，9，81； (3)存在，1，0． 【分析】本题考查流程图，涉及算术平方根定义与运算、无理数概念等知识，看懂流程图，熟练掌握算术平方根运算是解决问题的关键． （1）按照无理数筛选器的工作流程图，代值运算即可得到答案； （2）按照无理数筛选器的工作流程图，逆运算即可得到答案． （3）根据算术平方根是本身的数是0和1解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是无理数，则； 当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是无理数，则； 故答案为：，； （2）解：根据无理数筛选器的工作流程图，逆运算如下： 当输出y的值是时，则；；； ∴输入x的值可以是3，9，81， 故答案为：3或9或81． （3）解：存在， 当时，，循环取算术平方根始终是0，不能输出无理数； 当时，，循环取算术平方根始终是1，不能输出无理数； 所以，满足要求的x的值是0和1． 24．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根、求代数式的值、数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点的间的距离公式计算即可得出结果； （2）由（1）可得，将其代入所求式子计算即可得出结果； （3）根据非负数的性质求出，，再求出的值，再根据算术平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根为． 25．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 【答案】(1)①4；②100 (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 实数·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．数，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，实数在数轴上的对应点可能是（   ） A． B． C． D． 6．若，则的立方根为（    ） A．5 B．15 C．25 D． 7．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 8．如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 9．对任意两个实数a，b定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于（    ） A． B．3 C．2 D． 10．图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，正方形放入后位置如图所示，图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，同样的正方形放入后位置如图所示，则正方形的边长可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．4的算术平方根是 ． 12．比较大小： ． 13．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是 ． 14．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ． 15．现对实数，定义一种运算：．则的值为 ． 16．将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）计算：； （2）求等式中的值：． 18．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个之间依次多个）． (1)整数集合： ； (2)分数集合： ； (3)无理数集合： ． 19．已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 20．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，， ，其结果 6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)根据题意，直接写出一组“完美组合数”为 ______（不重复题目中出现的完美组合数） (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求 m的值． 21．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 22．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 23．如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当时，_______；当时，_______． (2)当输入的值小于100，且输出的值是时，输入的值可以是_______． (3)是否存在输入某个值后，却始终输不出值？如果存在，写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由． 24．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 25．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 实数·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．数，，，，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，实数在数轴上的对应点可能是（   ） A． B． C． D． 6．若，则的立方根为（    ） A．5 B．15 C．25 D． 7．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 8．如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 9．对任意两个实数a，b定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于（    ） A． B．3 C．2 D． 10．图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，正方形放入后位置如图所示，图2中大正方形的面积为6，小正方形的面积为1，同样的正方形放入后位置如图所示，则正方形的边长可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．4的算术平方根是 ． 12．比较大小： ． 13．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是 ． 14．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ． 15．现对实数，定义一种运算：．则的值为 ． 16．将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则 ①表示的数是 ； ②与表示的两数的平方和为 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）计算：； （2）求等式中的值：． 18．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个之间依次多个）． (1)整数集合： ； (2)分数集合： ； (3)无理数集合： ． 19．已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 20．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，， ，其结果 6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)根据题意，直接写出一组“完美组合数”为 ______（不重复题目中出现的完美组合数） (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求 m的值． 21．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 22．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 23．如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当时，_______；当时，_______． (2)当输入的值小于100，且输出的值是时，输入的值可以是_______． (3)是否存在输入某个值后，却始终输不出值？如果存在，写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由． 24．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 25．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第八章 实数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B D D D B C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．2 12． 13．121 14．/ 15． 16． ； 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：原式；............3分 （2）解：原等式变形为， ∵， ∴． ∴或．............6分 18． 【详解】（1）解：②是整数，③是整数，⑤是整数， 整数集合：②③⑤， 故答案为：②③⑤；............2分 （2）解：①是分数，⑥是分数，⑦是分数， 分数集合：①⑥⑦， 故答案为：①⑥⑦；............4分 （3）解：④是无理数，⑧（相邻的两个之间依次多个）是无理数， 无理数集合：④⑧， 故答案为：④⑧．............6分 19． 【详解】（1）解：∵的立方根是，则， ∴； ∵的算术平方根是2，则，即， ∴； ∵c的算术平方根等于本身， ∴或0， ∴，，或0；............3分 （2）解：当，，时，则， ∵的平方根是， ∴的平方根为； 当，，时，则， ∵的平方根是， ∴的平方根为； 综上，当时，平方根为；当时，平方根为．............6分 20． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴是一组“完美组合数”；............3分 （2）解：∵三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这三个数中有两个数的乘积为， ∵这三个数互不相等，且， ∴， ∴．............6分 21． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，．............4分 （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为．............8分 22． 【详解】（1）解：，而， ， 的整数部分是4，小数部分为， 故答案为：4，；............2分 （2）解：，而， ， 的整数部分，小数部分为， ；............5分 （3）解：， ， 又，其中x是整数，且， ， ， 故答案为：.............8分 23． 【详解】（1）解：根据题意，当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是无理数，则； 当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是有理数，当时，取算术平方根得，是无理数，则； 故答案为：，；............2分 （2）解：根据无理数筛选器的工作流程图，逆运算如下： 当输出y的值是时，则；；； ∴输入x的值可以是3，9，81， 故答案为：3或9或81．............5分 （3）解：存在， 当时，，循环取算术平方根始终是0，不能输出无理数； 当时，，循环取算术平方根始终是1，不能输出无理数； 所以，满足要求的x的值是0和1．............8分 24． 【详解】（1）解：∵有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数， ∴；............3分 （2）解：由（1）可得， ∴ ；............7分 （3）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根为．............12分 25． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②；............4分 （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：；............8分 （3）解： ．............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $