专题2.4 一元一次不等式（组）及其应用（举一反三专项训练）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

专题2.4 一元一次不等式（组）及其应用（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 不等式的相关概念及其性质】 2 【题型1 根据不等式的性质判断正误或比较大小】 2 【题型2 不等式的性质与数轴的综合应用】 4 【题型3 不等式的性质的实际应用】 6 【考点二 一元一次不等式（组）的解法】 9 【题型4 一元一次不等式（组）的解法】 9 【题型5 求一元一次不等式（组）的整数解】 11 【题型6 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 12 【题型7 方程与一元一次不等式（组）的综合运用】 15 【考点三 一元一次不等式（组）的解】 18 【题型8 根据一元一次不等式（组）的解集的情况求参数】 18 【题型9 根据两个一元一次不等式的解之间的关系求参数】 20 【题型10 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 23 【题型11 根据不等式（组）的整数解的个数求参数取值范围】 25 【题型12 不等式组的有解或无解问题】 28 【考点四 一元一次不等式（组）的应用】 30 【题型13 根据实际问题抽象出一元一次不等式】 30 【题型14 一元一次不等式的应用】 31 【题型15 根据实际问题抽象出一元一次不等式组】 35 【题型16 一元一次不等式组的应用】 37 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 不等式的相关概念及其性质】 【题型1 根据不等式的性质判断正误或比较大小】 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的有关性质．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，A正确，不符合题意； ，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B正确，不符合题意； ，不等号两边同时加上同一个数，不等号方向不变，C正确，不符合题意； ，D错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，，那么 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A. 如果，那么，故该选项说法正确，不符合题意； B. 如果，那么，故该选项说法正确，不符合题意；； C. 当 取负数时， 不一定成立。例如，取 ，满足 ，但此时 ，不满足 ，故该选项说法错误，符合题意； D. 如果，，那么，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·河南信阳·三模）若，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； 根据不等式的性质逐个分析判断即可． 【详解】不等式两边同时减去1得，，不一定有成立，故选项A不符合题意； 不等式两边同时加上1得，，故选项C不符合题意； 又，所以，故选项B符合题意； 因为满足，但不满足，故选项D不符合题意； 故选：B． 4．（2025·安徽淮南·一模）已知实数x，y，z满足，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由得，即 ；由得，结合条件，可得；，则，由已知可判断，则，题目可解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ， ∴； ， ， 由可知， 则， 又， 故， ； 综上， 且 ． 故选： A． 【题型2 不等式的性质与数轴的综合应用】 5．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数，不等式的性质，由数轴知，，，，然后逐项排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，， ∴，原选项正确，符合题意； 故选：． 6．（2025·吉林长春·二模）已知a、b、c三个实数表示的点在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较实数的大小，不等式的基本性质；由数轴知，再结合不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：由数轴得：； ∵， ∴由不等式基本性质1得：；由不等式基本性质2得：； 即选项A、B正确； ∵， ∴由不等式基本性质1得：； 即选项C正确； ∵， ∴由不等式基本性质3得：； 故选项D错误； 故选：D． 7．（2025·福建福州·一模）如图，数轴上的点表示的数分别是，点在表示，的两点（不包括这两点）之间移动，点在表示，的两点（不包括这两点）之间移动，则下列判断正确的是（   ） A．的值一定小于 B．的值一定小于 C．的值可能比大 D．的值不可能比大 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特点，分式的化简，不等式的性质，掌握以上知识，数学结合分析是解题的关键． 根据题意可得，根据整式的运算，分式的化简判定即可求解． 【详解】解：根据数轴特点可得，， ∴， ∴的值一定大于，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴的值一定小于，故B选项选项正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴的值不可能比大，故C错误，不符合题意； ∵，， ∴，的值可能比大，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 8．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，数轴上两点对应的数分别为，则 （填“>”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较大小，不等式的性质，由题意可得，，，可得，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为： 【题型3 不等式的性质的实际应用】 9．（2025·河北保定·模拟预测）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，相同物体的质量相同．现用天平称了两次，情况如图所示，则在■，●，▲中，质量最小的是（   ）    A．■ B．● C．▲ D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题意设■的质量为，●的质量为，▲的质量为，可列不等式关系，解不等式即可求解． 【详解】解：根据题意得，设■的质量为，●的质量为，▲的质量为， ∴， 由①得，，则；由②得，，即， ∴， ∴最小的是●的质量， 故选：B． 【点睛】本题主要考查不等式的运用，理解图示，掌握不等式的性质是解题的关键． 10．李兵的观点：不等式不可能成立．理由：若在这个不等式两边同时除以则会出现的错误结论，李兵的观点、理由 ．(填“对对”、“对错”、“错对”、“错错”) 【答案】错错 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】∵当时，成立 ∴李兵的观点错 ∵若在这个不等式两边同时除以，当时，则会有 ∴李兵的理由错 故答案为：错错． 【点睛】本题考查了不等式的问题，掌握不等式的性质是解题的关键． 11．（2025·河北·模拟预测）在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，不等式的性质，根据新定义可得，进而根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：C． 12．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，设表示甲图阴影部分面积，表示乙图阴影部分面积，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，分式的化简，不等式的性质，解答的关键是表示出甲乙两图中的阴影部分的面积及熟悉分式的运算． 分别把甲乙两图中的阴影部分的面积表示出来，代入求值，再讨论即可求解． 【详解】解：甲图阴影部分的面积为：， 乙图阴影部分的面积为：， 则 ， ， ∴， ∴， 故选C． 【考点二 一元一次不等式（组）的解法】 【题型4 一元一次不等式（组）的解法】 13．（2025·广西·一模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法；先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 解得： 14．（2025·浙江杭州·一模）以下是芳芳解不等式组的解答过程： 解：由①，得，所以． 由②，得，所以，所以． 所以原不等式组的解是． 芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】有错误，正确解题过程见解析 【分析】本题考查了解不等式组，根据不等式的性质、乘法的分配律等逐步检查即可发现芳芳的错误，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：芳芳的解答过程有错误， 在解不等式①时，两边同乘以，不等号的方向没有改变，故错误； 在解不等式②时，去括号漏乘3，故错误； 正确解答如下： 由①，得，所以． 由②，得，所以，所以． 所以原不等式组的解是． 15．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，不完整的数轴上有两点，分别表示和，且点在点的右侧，则负整数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据数轴得出知，解不等式求出的取值范围，即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ， 解得：， 则负整数的值为， 故答案为：． 16．（2025·湖北·一模）已知一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则被墨迹覆盖的不等式符号是（   ） A．> B． C．< D．≤ 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键，根据一元一次不等式的解法得到，再由题可得，从而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 由图可知，不等式的解集， ∴被墨迹覆盖的不等式符号为：， 故选：B． 【题型5 求一元一次不等式（组）的整数解】 17．（2025·广东广州·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 根据题意将方程组相减得，然后代入不等式求解即可即可得到m的最小整数解． 【详解】解：， 得：， ∵ ∴ 解得：， ∴m的最小整数解为4， 故选：B． 18．（2025·陕西咸阳·模拟预测）不等式的最大整数解是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 先求出不等式的解集，然后求其最大整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 所以最大整数解是1． 故答案为：B． 19．（2025·江苏苏州·模拟预测）一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，该不等式有两个负整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】﹣3＜a≤﹣2 【分析】根据关于x的一元一次不等式x≥a的两个负整数解，由图形可知：只能是-2、-1，求出a的取值范围即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元一次不等式x≥a只有两个负整数解， 又由图可知：关于x的一元一次不等式x≥a的2个负整数解只能是﹣2、﹣1， ∴a的取值范围是﹣3＜a≤﹣2． 故答案为：﹣3＜a≤﹣2． 【点睛】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件． 20．（2025·湖北武汉·模拟预测）求不等式组所有整数解的和． 【答案】所有整数解的和为0 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、确定不等式组的整数解等知识点，正确求得不等着组的解集是解题的关键． 先解不等式组求得解集，然后确定所有整数解，最后求和即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 该不等式组的解集为， 该不等式组的整数解为． 所有整数解的和为0． 【题型6 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 21．（2025·江苏苏州·模拟预测）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见详解 【分析】本题主要考查了不等式的解法，解决此题的关键是正确的计算；根据解不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得到答案 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项和合并同类项，得：， 系数化为1，得:， 把解集表示在数轴上如下： 22．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将不等式组的解集表示在数轴上即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， 所以将不等式组的解集在数轴上表示如下： 故选：D． 23．（2024·湖北恩施·一模）关于的一元一次不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a，b的等式是解题关键．先解不等式组的解集，再结合数轴得出解集得出关于a，b的等式，进而得出答案． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 结合数轴可得：，， ∴ ∴， 故答案为：3． 24．（2025·福建·模拟预测）把不等式组中的两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小无解找，解答即可． 本题考查了不等式组解集的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，数轴表示的解集为； A. 的解集是无解，故本选项不符合题意； B. 的解集是，故本选项不符合题意； C. 的解集是，故本选项符合题意；     D. 的解集是，故本选项不符合题意； 故选：C． 【题型7 方程与一元一次不等式（组）的综合运用】 25．（2025·重庆大足·模拟预测）若数 使关于 的一元一次不等式组 的解集是，且使关于 的分式方程有非负整数解，则符号条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查不等式组与分式方程的求解综合，先根据不等式组的解集为求出m的取值，再根据分式方程有非负整数解得到m的取值，故可得到符合条件的所有整数m的值，即可求解． 【详解】解 由①得， 由②得， ∵解集是， ∴， 解， 去分母得， 解得y=， ∵有非负整数解， ∴且， ∴且， 解得，且， ∴且， ∵m为整数，为非负整数， ∴， 1，3，5， 故， 故答案为6． 26．关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先把两式相加求出的值，再代入中得到关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ①②得，， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组的解以及解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知条件表示出2x+y的值，再得到关于m的不等式． 27．（2025·山东淄博·三模）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”． (1)若不等式组为则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于x的方程是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； (3)若方程和2都是关于x的不等式组的相伴方程，求k的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的相伴方程，理由见解析 (2) (3)k的取值范围是 【分析】本题考查解一元一次方程和解不等式组，读懂题意掌握解方程和不等式的方法是解题的关键． （1）分别解出不等式组和方程，再根据“相伴方程”的定义判断即可； （2）先求出不等式组的解集，解出方程的解，再让方程的解再不等式组的解集范围，然后解不等式或不等式组即可； （3）分别解出两个方程，代入不等式组得到两个不等式组，再分别求解集，再取公共部分即可． 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程，理由如下： 解不等式组，得， 解方程得：； ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程； （2）解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵关于x的方程是不等式组的相伴方程， ∴2.53， 解得：， 即a的取值范围是； （3）解方程，得：， 解方程，得：， ∵方程和2都是关于x的不等式组的相伴方程，， ∴将和代入方程组得到：且， 解得：且， ∴k的取值范围是． 28．（2025·四川乐山·一模）已知关于x的方程的解是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，解一元一次不等式，先根据方程的解求出a的值，然后把a的值代入到不等式中解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， ∴不等式为， 解得． 故选：A． 【考点三 一元一次不等式（组）的解】 【题型8 根据一元一次不等式（组）的解集的情况求参数】 29．（2025·广东深圳·三模）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 故选C． 30．（2025·河南·模拟预测）若关于的不等式组的解集为，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 故， 故选：C． 31．（2025·湖南郴州·模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查不等式的解集；先解出，再根据题意得到，计算求解即可． 【详解】解：， ， ∵不等式的解集是， ∴ 解得：． 故答案为：2． 32．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次不等式组、解分式方程，首先根据二元一次方程组的解是，可知，解分式方程可得：，根据分式方程有非负整数解，可以确定或或，又因为当时，是分式方程的增根，所以舍去，从而可求符合条件的所有整数的值之和． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 又不等式组的解集是， ， 解分式方程 ， 可得：， 关于的分式方程 有非负整数解， 且为整数， 或或， 当时，， 此时， 是分式方程的增根， 或， 符合条件的所有整数的值之和是． 故答案为： ． 【题型9 根据两个一元一次不等式的解之间的关系求参数】 33．（2025·江苏扬州·三模）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，熟练掌握除以或乘以一个负数不等式符号改变这一知识点是解题的关键． 根据题意判断出，然后把其代入到，即可求出的解集． 【详解】解：∵不等式的解集为， ， ， ， ， 故答案为：． 34．（2025·湖北武汉·模拟预测）若关于的不等式组的解集中的任意的值，都能使不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解两个不等式得出且，再分、两种情况，根据解集中的任意的值，都能使不等式成立列出关于的不等式，解之可得答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ①若，即时，， 解得， 此时； ②若，即时，， 解得，与不符，舍去； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 35．（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质等知识点，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键． 求出不等式的解，分类讨论求出不等式的解集，得出关于a的不等式，求出a即可． 【详解】解：解不等式得， ， ∵不等式的解都能使不等式成立， ∴当，即时 不等式， ， ， 可以取任意实数，那么的解必然能使该不等式成立， 所以满足条件． 当，即时 不等式其解为． 因为的解都能使成立， 所以． 解不等式： ，结合前提，这种情况满足条件． 当，即时 不等式其解为． 要使的解都能使成立，那么． 解不等式： ，结合前提，得到． 综合以上三种情况． 故答案为：． 36．（2025·广西南宁·模拟预测）若不等式（组）①的解集中的任意一个解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖，例如：不等式被不等式覆盖；特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式组无解，它被其他任意不等式组覆盖．若关于x的不等式组，被覆盖，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组及其应用．先求出不等式的解集，根据新定义列出关于a的不等式（组），即可求解． 【详解】解：解不等式组得， ∵该解集被覆盖， ∴或， 解得或． 故答案为：或． 【题型10 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 37．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是4和5，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， ∵不等式组的整数解是4和5， ， 解得， 故选：D． 38．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是 ． 【答案】94 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解， 先求出不等式组的解集，再根据题意得出最小整数解，进而得出关于a的不等式组，然后求出整数解，并求和即可. 【详解】解：不等式组， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是. ∴不等式组的最大整数解是9. ∵不等式组的最大整数解和最小整数解的差为3， ∴最小整数解是6， ∴， 解得， ∴， 则. 故答案为：94. 39．（2025·天津和平·模拟预测）已知关于x的不等式组 ． （1）若，则该不等式组的最大整数解为 ； （2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围是 ． 【答案】 1 或 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题； （1）根据，再确定最大整数解即可． （2）根据题意可得不等式组的解集为，再由该不等式组的所有整数解的和为，即可求解． 【详解】解：（1）当时，不等式组为， ∴， ∵不等式组的最大整数解为， 故答案为：1； （2）∵， ∴， ∵该不等式组的所有整数解的和为， 而或； ∴或， 故答案为：或． 40．（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．先解一元一次不等式可得，再根据不是不等式的整数解，可得，然后根据是关于x的不等式的一个整数解，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵不是不等式的整数解， ∴， 解得． ∵是关于x的不等式的一个整数解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型11 根据不等式（组）的整数解的个数求参数取值范围】 41．（2025·黑龙江佳木斯·一模）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 解各不等式得出对应的解集，再根据题意得到它的整数解，然后确定a的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 又原不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是8，9，10， 那么， 解得， 故答案为：． 42．（2025·黑龙江牡丹江·二模）若关于x的一元一次不等式组有两个负整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出关于a的不等式是解此题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的情况即可得出a的范围． 【详解】解：， ∵解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， 又∵关于x的一元一次不等式组有两个负整数解， ∴， 故答案为：． 43．（2025·重庆九龙坡·模拟预测）若实数使关于的不等式组有整数解且至多有个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】解不等式组得，由此可求；解分式方程得：，可求且，即可求解． 【详解】解：不等式组有整数解， 解不等式组得， 有整数解至多有个整数解， ， 解得： 解分式方程得：， ， ， ， 解得：， 解为非负数， ， 解得：且， 且， 是整数， 为或， ， 故答案：． 【点睛】本题考查含参数的一元一次不等式组的整数解问题，含参数的分式方程问题，理解不等式组的解集意义和分式方程的解，掌握解法是解题的关键． 44（2025·重庆·模拟预测）关于的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于的分式方程有整数解，得出或或，再检验得出符合题意的的值，即可得解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴， 解得：， 解关于的分式方程得， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或或， ∵为整数，且，， ∴或或， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 那么符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 【题型12 不等式组的有解或无解问题】 45．（2025·河南周口·二模）关于x的不等式组 有解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，分别解不等式，再根据不等式组解，得出． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组有解， ， 故答案为：． 46．（2025·黑龙江大庆·三模）若关于的不等式组，无解，则所有满足条件的正整数的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组无解求参数，先把每个不等式的解集求出来，再根据不等式组无解求出的取值范围，进而求出的正整数值即可，理解不等式组无解即组成不等式组的两个不等式的解集无公共部分是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 不等式组无解， ∴， ∴正整数的值为或． ∴所有满足条件的正整数的和为； 故答案为： 47．（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组无解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数，反比例函数的图象和性质，求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于的不等式，利用反比例函数的图象和性质，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组无解， ∴，，， 令， ∵， ∴反比例函数的图象在第四象限，随着的增大而增大， 当时，， ∴当时，； 故选B． 48．（2025·重庆·模拟预测）若关于的不等式组有解且至多4个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解不等式组并结合题意确定a的范围，再解出分式方程确定a的范围，进而确定a的所有取值，最后相加即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式组有解且至多4个奇数解， ∴ 解得：． 解分式方程得：． ∵分式方程的解为整数，且（时原分式方程无意义） ∴符合条件的所有整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 【考点四 一元一次不等式（组）的应用】 【题型13 根据实际问题抽象出一元一次不等式】 49．（2025·浙江金华·二模）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加，现有糯米斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列一元一次不等式，根据做成清明粿质量超过20斤，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，可列出不等式为：； 故选C． 50．（2024·浙江杭州·一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可以搬运货物x箱．根据“额定限载量为1000千克”列出不等式即可． 【详解】解：设每次搬x箱重物，根据题意得，， 故选：B． 51．（2025·江西九江·模拟预测）一辆匀速行驶的汽车在上午距离A地，要在中午之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是，根据题意可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式．设车速是，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：分钟小时， 设车速是，根据题意可列不等式． 故答案为： 52．（2025·山东滨州·模拟预测）把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式9x+7＜11x，则横线上的信息可以是 A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 【答案】C 【分析】根据不等式表示的意义解答即可． 【详解】由不等式9x+7＜11x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够； 故选C． 【点睛】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 【题型14 一元一次不等式的应用】 53．（2025·贵州·模拟预测）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共12亩，所需学生人数不超过65人，至多种植甲作物多少亩？ 【答案】(1)种植1亩甲作物需要7名学生，种植1亩乙作物需要2名学生 (2)至多种植甲作物亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生”列方程组求解即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过65人”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物需要7名学生，种植1亩乙作物需要2名学生； （2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， ∵种植1亩甲作物需要7名学生， ∴种植甲作物的亩数是整数， ∴a的最大值为． 答：至多种植甲作物亩． 54．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）敏衣中学计划为绘画小组购买A、B两种型号的颜料．购买1盒A型颜料和2盒B型颜料需用56元．购买2盒A型颜料和1盒B型颜料需用64元． (1)求1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各是多少元； (2)敏衣中学如果决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3912元，那么该中学最多可以购买多少盒A型颜料？ 【答案】(1)每盒A型颜料24元，每盒B型颜料16元 (2)该中学最多可以购买89盒A型颜料 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为x、y元，由题意可得方程组为，进而求解即可； （2）设该中学可以购买m盒A型颜料，则购买B型颜料为盒，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为x、y元，由题意得： ， 解得：； 答：1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各为24、16元． （2）解：设该中学可以购买m盒A型颜料，则购买B型颜料为盒，由题意得： ， 解得：； 答：该中学最多可以购买89盒A型颜料． 55．（2025·安徽滁州·模拟预测）某厂生产一种零件，每个成本为元，销售单价为元．该厂为鼓励客户购买这种零件，决定当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，但不能低于元． (1)当一次购买多少个零件时，销售单价恰为元？ (2)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？ (3)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？利润售价成本 【答案】(1)个 (2)元 (3)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设当一次购买个零件时，销售单价恰为元，进行列出方程，再进行解方程，即可作答． （2）结合当一次购买个零件时，销售单价恰为元，根据客户一次购买个零件，进行列式计算，即可作答． （3）根据当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，且客户一次购买个零件，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵每个成本为元，销售单价为元，决定当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，但不能低于元， 设当一次购买个零件时，销售单价恰为元， 依题意得： 解之得：； 依题意，， ， 故符合题意， 即当一次购买个零件时，销售单价恰为元； （2）解：由（1）得当一次购买个零件时，销售单价恰为元； ∵， 当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是：（元） （3）解：当客户一次购买个零件时， 该厂获得的利润是： 56．（2025·广西·模拟预测）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人． (1)求该旅行团中成人是多少人？ (2)因游玩时间充足，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童． ①若由成人人和少年人带队，则当时所需门票的总费用是________元（请用、的代数式表示，结果要求化简），当时所需门票的总费用是________元（请用、的代数式表示，结果要求化简）； ②旅行团经过测算，只有1200元经费剩余可用于购买景区B门票游玩，在经费使用不超额的前提下，如果安排11个成人和尽可能多的若干个少年带队游玩，请问这一次游玩实际购票费用是多少？ 【答案】(1)17人 (2)①，；②1180元 【分析】（1）设少年有x人，根据题意列出方程，解之可得；   （2）①时，儿童全部免费，用成人的费用加上少年的费用可得；时，用成人的费用加上少年的费用，再加个儿童的费用即可； ②直接列不等式可以求得相应的方案以及花费，即可解答本题． 【详解】（1）解：设少年有x人， 由题意可得：， 解得：， 人， ∴该旅行团中成人是17人； （2）①当时，所需门票的总费用是；   当时，所需门票的总费用是；   故答案为：，； ②设可以安排成人人，少年人带队， 若，则费用为，得， 的最大值是1，此时， 实际购票费用为元； 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的知识解答． 【题型15 根据实际问题抽象出一元一次不等式组】 57．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 58．（2025·广西百色·模拟预测）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 59．（2025·湖北武汉·模拟预测）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 60．（2025·江苏无锡·模拟预测）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】船只顺流速度船静水中的速度水流流速， 船只逆流速度船静水中的速度水流流速， 根据“顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时”建立方程，即可得出答案． 【详解】根据题意，得， 故选：． 【点睛】此题是由实际问题抽象出二元一次方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题得关键． 【题型16 一元一次不等式组的应用】 61．（2025·山东青岛·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题关键是理解题意，弄清数量关系． （1）根据“当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只”，列出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式即可； （2）结合（1），根据“利润每只利润销售量”，即可获得答案； （3）首先根据“每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于”，列出方程组，解得的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只， ∴每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ； （2）结合（1），可知每日销售利润； （3）根据公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于， 则有，解得， 由（2）可知，每日销售利润， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为， ∴当时，取最大值，为（万元）， 即应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元． 62．（2025·福建·一模）福建的传统手工艺品独具魅力，油纸伞和角梳是“福州三宝”之二．某工艺品店计划从当地手工艺人处购进油纸伞和角梳用于售卖，已知购买4把油纸伞的费用比购买1把角梳的费用多20元，购买5把油纸伞和2把角梳一共花费220元． (1)求每把油纸伞和角梳的进价分别是多少元？ (2)若油纸伞的售价为30元/把，角梳的售价为75元/把，该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把，且购进商品全部售出，求怎样进货可使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)每把油纸伞的进价为20元，每把角梳的进价为60元 (2)该工艺品店购进油纸伞50把，角梳50把可使利润最大，最大利润是1250元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）每把油纸伞的进价为元，每把角梳的进价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设该工艺品店购进油纸伞把，则购进角梳把，先求出，再求出的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设每把油纸伞的进价为元，每把角梳的进价为元， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：每把油纸伞的进价为20元，每把角梳的进价为60元． （2）解：设该工艺品店购进油纸伞把，则购进角梳把， 由题意得：， ∵该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把， ∴， ∴， 由一次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为， 此时， 答：该工艺品店购进油纸伞50把，角梳50把可使利润最大，最大利润是1250元． 63．（2025·甘肃酒泉·二模）随着人们节能环保意识的增强，绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动摩托成为人们首选的交通工具，某商场计划用不超过元购进、两种不同品牌的电动摩托辆，预计这批电动摩托全部销售后可获得不少于元的利润，、两种品牌电动摩托的进价和售价如下表所示：设该商场计划进品牌电动摩托辆，两种品牌电动摩托全部销售后可获利润元． 品牌 价格 品牌电动摩托 品牌电动摩托 进价元辆 售价元辆 (1)写出与之间的函数关系式； (2)该商场购进品牌电动摩托多少辆时？获利最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)该商场购进品牌电动摩托辆时，获利最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题． （1）根据题中已知条件列出关于的一次函数即可； （2）根据题意列出不等式组，解不等式组便可求出的取值范围，结合一次函数的性质可知当时，所获得的利润最大． 【详解】（1）解：设该商场计划进品牌电动摩托辆，则进品牌电动摩托辆，由题意可知每辆品牌电动摩托的利润为元，每辆品牌电动摩托的利润为元，则； （2）解：由题意可知； 解得； ∵，， y随着x的增大而增大， ∴当时， 该商场购进品牌电动摩托辆时，获利最大，最大利润是元． 64．（2025·黑龙江七台河·一模）某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 【答案】(1) (2)共10种方案，A种车皮9节，B种车皮21节，最低费用为85500元 (3)或或或或或，所以共6种租车方案． 【分析】本题考查了一次函数的应用和解不等式组、二元一次方程的解等知识点，解题关键在于正确建立函数模型并求解． （1）根据关系，列出函数关系式，化简即可； （2）根据题意列出不等式组，计算出x的取值范围，即可知有10种方案且计算出最低费用； （3）列出方程式，解得其整数解即可． 【详解】（1）解：， 和x之间的函数关系式为； （2）解：， 解得， ∵， ∴ x的可能取值为的整数，共10种方案， 费用函数中，y随x增大而减小， 当时，费用最低， 此时元， 对应方案为A种车皮9节，B 种车皮21节， 故答案为：共10种方案，最低费用为85500元； （3）解：解方程， 化简为，满足，， 整数解有：或或或或或，所以共6种租车方案． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 2．（2025·吉林·中考真题）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键． 解一元一次不等式，通过移项即可求解． 【详解】解：不等式为， 移项，得：， 不等式的解集为． 故选：A． 3．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 4．（2025·贵州安顺·模拟预测）如果不等式组有且只有4个整数解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和不等式组有4个整数解确定m的取值范围是解题的关键． 先根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有4个整数解即可解答． 【详解】解：∵不等式组的解集是， 又∵不等式组有且只有4个整数解， ∴该不等式组的整数解为2，1，0，， ∴． 故选：D． 5．三个连续正整数的和小于33，这样的正整数共有（   ） A．8组 B．9组 C．10组 D．11组 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设三个数中最小的数为x，则另外两个数分别为，，根据三个数之和小于33，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出这样的正整数有9组． 【详解】解：设三个数中最小的数为x，则另外两个数分别为，， 依题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以为1，2，3，4，5，6，7，8，9， ∴这样的正整数有9组． 故选B． 二、填空题 6．（2025·上海·二模）不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 求不等式的最大整数解，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可． 【详解】解： ， ∴不等式的最大整数解是， 故答案为：． 7．（2025·广东深圳·三模）若关于的一元一次不等式组无解，则的值可以是 ．（写出一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式组无解，可得出a的范围，进而在范围内选出一个数即可． 【详解】解：若关于的一元一次不等式组无解，则， 的值可以是， 故答案为：答案不唯一． 8．（2025·河南新乡·三模）小明在解关于的不等式组时，不小心把不等式组中的第(2)个不等式污损，若这个不等式组的解集中有三个整数解，请你帮助小明补充一个符合条件(2)的不等式为 ． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，求出不等式(1)的解集，再根据不等式组的解集中有三个整数解得出不等式(2)的解集，从而得出不等式(2)． 【详解】解：解不等式(1)得：， ∵这个不等式组的解集中有三个整数解， ∴不等式(2)的解集可以为， ∴符合条件(2)的不等式可以为， 故答案为： (答案不唯一)． 9．（2025·四川达州·一模）关于x的不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组有解， ∴不等式组的解集为：， 不等式组恰有4个整数解，则整数解为，，，， ， 解得． 故答案为：． 10．（2025·河北·一模）检测游泳池的水质，要求三次检测的平均值不小于7.2．且不大于7.8．已知第一次的检测值为7.2，第二次的检测值为8.1．若该游泳池的水质检测合格，则第三次的检测值可能为 ．（写出一个符合条件的一位小数） 【答案】 【分析】根据算术平均数的定义，不等式组的应用．并结合三次检验的的平均值不小于，且不大于，可得，从而得出答案． 【详解】解：根据题意知， 解得：； 则第三次的检测值可能为； 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 11．（2025·江苏·一模）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤，进行计算得出不等式的解集为，再把在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1得：； 数轴上表示如图： 12．（2025·陕西·模拟预测）解不等式组：，并计算出它的所有整数解之积 【答案】， 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 先求出每一个不等式的解集，再取解集的公共部分得到不等式组的解集，即可求出整数解，最后求出整数解之积． 【详解】解：， 由①得； 由②得， ∴原不等式组的解集为， ∴所有整数解之积为． 13．（2025·陕西西安·模拟预测）已知关于x的不等式组． (1)在“□”内填入数字1，求不等式①的解集，并将解集在图中的数轴上表示出来； (2)甲：“当在“□”中填入的数字大于时，该不等式组无解．”请判断甲的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)甲的说法不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式组的解集情况求参数，在数轴上表示不等式得解集，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出该不等式得解集即可； （2）设“□”中的数字为m，分别求出不等式组中两个不等式得解集，再求出不等式组无解时m的取值范围即可得到结论． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 数轴表示如下所示： （2）解：甲的说法不正确，理由如下： 设“□”中的数字为m， 解不等式①得， 解不等式②得：， 当原不等式组无解时，则， ∴， ∴“当在“□”中填入的数字小于等于时，该不等式组无解， ∴甲的说法不正确； 14．（2025·北京延庆·模拟预测）若不等式（组）只有个正整数解（为自然数），则称这个不等式（组）为阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： (1)是 阶不等式；是 阶不等式组； (2)若关于的不等式组 是4阶不等式组，求的取值范围； (3)关于的不等式组 的正整数解有，，，，…，其中…．如果 是阶不等式组，且关于的方程的解是 的正整数解，直接写出的值以及的取值范围． 【答案】(1)0、1 (2) (3)； 【分析】（1）求出题中的不等式（组）的解集，再根据已知所给定义即可得到解答； （2）首先根据已知求出原不等式组的正整数解并用数轴表示出来，然后可得a的取值范围； （3）根据已知可得关于m的方程，求出m后可以用数轴表示出不等式组的正整数解，根据数轴即可得到的取值范围． 【详解】（1）∵没有正整数解， ∴是0阶不等式， 解可得1<x<3， ∴有一个正整数解2， ∴是1阶不等式组， 故答案为0，1； （2）如图， 由题意可得有4个正整数解：1、2、3、4； ∴的取值范围是； （3）∵， ∴x=，a3=， ∴m为偶数，且am-3=m-1， ∴+m-6=m-1， ∴m=10， ∴可得图如下所示： ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查新定义有理数运算的综合应用，熟练掌握不等式（组）的求解及用数轴表示解集是解题关键． 15．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·安徽·模拟预测）已知实数a，b满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，根据题意可得，再利用不等式的性质逐一判断即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，∴．故选项A正确； ∵，∴，故选项B正确； ∵，∴，故选项C正确； ∵，， ∴，， ∴，故D选项错误． 故选：D． 2．（2022·四川乐山·二模）实数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D．函数中，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴判断代数式符号及大小，涉及不等式性质、绝对值意义、一次函数图象与性质等知识，先由实数在数轴上对应的点的位置得到，再逐项判断代数式符号，结合不等式性质、绝对值意义、一次函数图象与性质判断即可得到答案，熟练掌握利用数轴判断代数式符号及大小、绝对值意义、一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：实数在数轴上对应的点，如图所示，   ， A、， 由不等式性质可知，选项正确，不符合题意； B、， 由不等式性质可知，选项正确，不符合题意； C、， ，由绝对值意义可知，选项错误，符合题意； D、， ， 由一次函数图象与性质可知，函数中，随的增大而减小，选项正确，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·广东韶关·二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练地掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得： 在数轴上表示为： 故选：D． 4．（2025·江苏常州·二模）如果不等式的解集能使关于的一次不等式成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得到关于的不等式是解此题的关键．先求出不等式的解集，再根据不等式用表示出的取值范围，由 即可求出的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， 不等式的解集是， 不等式的解集能使关于的一次不等式成立， ， 解得：， 故选：C． 5．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先求出的解为，从而推出，整理不等式组可得整理得：，根据不等式组无解得到，则，再由整数k和是自然数进行求解即可． 本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【详解】解：由，得， 方程的解为正整数，， 解得：， 解①得， 解②得， ， 不等式组无解， ， 即整数， 为正整数，， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：A． 6．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可； 【详解】解：第一次翻折后2a+∠BDE=180°， 第二次翻折后3a+∠BDC=180°， 第三次翻折后4a+∠BDE=180°， 第四次翻折后5a+∠BDC=180°， 若能进行第五次翻折，则∠BDC≥0，即180°-5a≥0，a≤36°， 若不能进行第六次翻折，则∠BDC≤a，即180°-5a≤a，a≥30°， 当a=36°时，点B落在CD上，当a=30°时，点B落在ED上， ∴30°＜a＜36°， 故选：D； 【点睛】本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键． 二、填空题 7．（2025·河南漯河·模拟预测）如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是 ． 【答案】21 【分析】分是奇数和是偶数两种情况，根据流程图列出不等式，求解不等式并结合正整数条件，找出满足输出值大于的最小正整数．本题主要考查了一元一次不等式的应用以及对流程图的理解，熟练掌握根据不同情况列不等式求解的方法是解题的关键． 【详解】解：当为奇数时： 此时，要使，即， 解得， ∵是正整数且为奇数， ∴此时最小取． 当为偶数时： 此时，要使，即， 移项可得， 解得， ∵是正整数且为偶数， ∴此时最小取． 比较和，， ∴输入的最小正整数是． 故答案为： ． 8．（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键． 9．（2025·全国·一模）阅读理解：记表示不超过的最大整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的求解．由题意，表示不超过的最大整数（根据例子 ，可知），已知且 ，得 ，，进而确定，，，解不等式组得到即可由定义得到答案． 【详解】解：且 ， ， ，， ， 故， 故答案为：2023． 10．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，确定a的取值范围，再解分式方程，根据方程解是整数，求出a的可能取值，最后求出同时满足已知条件的a的值并求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为： ∵关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解， ∴这两个奇数解为1和3， ∴，解得： 解分式方程，解得：， ∵关于y的分式方程的解是整数， ∴是3的倍数，且，即， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为：2． 故答案为：2． 11．（2025·山东日照·模拟预测）对于有理数，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4．若和关于2的“和谐关联数”为1，和关于3的“和谐关联数”为1，…，和关于10的“和谐关联数”为1，…则的最小值为 ． 【答案】55 【分析】本题主要考查了绝对值的计算和绝对值的几何意义、数字类的规律探索等知识点，理解“和谐关联数”的定义是解题的关键． 根据绝对值的几何意义得出、的最小值，易得的最小值为，然后再运算该规律求解即可． 【详解】解：∵和关于2的“和谐关联数”为1， ∴， 当时，则，即， 当时，则，即， ， ， 当时，则，即， ， ； 当时，则，即， ∴的最小值为3； 同理的最小值为， 以此类推，可得的最小值为， ∴的最小值为，的最小值为，的最小值为；的最小值为； ∴的最小值为． 故答案为：55． 三、解答题 12．（2025·天津·二模）求不等式组的解集，并利用数轴找出它的整数解． 【答案】，不等式组的整数解是，数轴见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，一元一次不等式组的整数解等知识点，先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，在数轴上表示出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 在数轴上表示为： ， ∴不等式组的整数解是． 13．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)问方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于x的方程是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； (3)若方程和都是关于x的不等式组 的相伴方程，求k的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的相伴方程，理由见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次不等式组和一元一次方程的解法，掌握相伴方程的定义和分类讨论是解题的关键． （1）求出方程的解和不等式组的解集，根据相伴方程的定义进行判断即可； （2）解不等式组得到，解方程得到，根据关于x的方程是不等式组的相伴方程得到，解不等式组即可得到答案； （3）求出两个方程的解后，根据k的取值范围分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程． 理由如下： 解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程． （2）解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵关于x的方程是不等式组的相伴方程， ∴， 解得：， 即a的取值范围是． （3）解方程，得：， 解方程，得：， ∵方程和都是关于x的不等式组 的相伴方程， ∴分为两种情况： ①当时，解不等式得到：，此时不等式组的解集为：，不符合题意，舍去； ②当时，不等式为：，此时不等式组的解集为：， ∴根据题意，得： ， 解得：， 即k的取值范围为． 14．（2025·广西河池·模拟预测）阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，      又，，． 又， …………①． 同理可得…………②． 由①②得：． 的取值范围是． 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是___________； (2)已知关于，的方程组的解都是正数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，解二元一次方程组，理解题意，熟练掌握题干已知解法是解题关键． （1）仿照已知解法进行求解即可得到答案； （2）先解不等式组，再根据不等式组的解都是正数，即可求出a的取值范围； （3）仿照已知解法结合（2）中结论，进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 又， ①， 同理可得②， 由得：， 的取值范围是， 故答案为：； （2）解：， 解得：， ，， ， 解不等式组得：， 的取值范围为：； （3）解：∵， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴①， 又∵， ∴， ∵， ， ②， 由①②得：， 的取值范围是． 15．（2025·重庆·模拟预测）小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米． (1)请分别求出平开窗和推拉窗的单价； (2)设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？ 【答案】(1)平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元； (2)一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为元，根据将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米建立方程求解即可； （2）设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为平方米，根据用于推拉窗的资金不低于4000元且总费用不超预算建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元； （2）解：设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为平方米， 由题意得，， 解得， ∵a为整数， ∴a的值可以为25或26， 当时，， 当时，， 答：一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 一元一次不等式（组）及其应用（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 不等式的相关概念及其性质】 2 【题型1 根据不等式的性质判断正误或比较大小】 2 【题型2 不等式的性质与数轴的综合应用】 2 【题型3 不等式的性质的实际应用】 3 【考点二 一元一次不等式（组）的解法】 4 【题型4 一元一次不等式（组）的解法】 4 【题型5 求一元一次不等式（组）的整数解】 4 【题型6 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 5 【题型7 方程与一元一次不等式（组）的综合运用】 5 【考点三 一元一次不等式（组）的解】 6 【题型8 根据一元一次不等式（组）的解集的情况求参数】 6 【题型9 根据两个一元一次不等式的解之间的关系求参数】 6 【题型10 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 7 【题型11 根据不等式（组）的整数解的个数求参数取值范围】 7 【题型12 不等式组的有解或无解问题】 7 【考点四 一元一次不等式（组）的应用】 8 【题型13 根据实际问题抽象出一元一次不等式】 8 【题型14 一元一次不等式的应用】 9 【题型15 根据实际问题抽象出一元一次不等式组】 9 【题型16 一元一次不等式组的应用】 10 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 不等式的相关概念及其性质】 【题型1 根据不等式的性质判断正误或比较大小】 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，，那么 3．（2025·河南信阳·三模）若，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽淮南·一模）已知实数x，y，z满足，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型2 不等式的性质与数轴的综合应用】 5．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（2025·吉林长春·二模）已知a、b、c三个实数表示的点在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·福建福州·一模）如图，数轴上的点表示的数分别是，点在表示，的两点（不包括这两点）之间移动，点在表示，的两点（不包括这两点）之间移动，则下列判断正确的是（   ） A．的值一定小于 B．的值一定小于 C．的值可能比大 D．的值不可能比大 8．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，数轴上两点对应的数分别为，则 （填“>”、“”或“”）． 【题型3 不等式的性质的实际应用】 9．（2025·河北保定·模拟预测）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，相同物体的质量相同．现用天平称了两次，情况如图所示，则在■，●，▲中，质量最小的是（   ）    A．■ B．● C．▲ D．无法确定 10．李兵的观点：不等式不可能成立．理由：若在这个不等式两边同时除以则会出现的错误结论，李兵的观点、理由 ．(填“对对”、“对错”、“错对”、“错错”) 11．（2025·河北·模拟预测）在数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号．若为任意数，取不大于的最大整数记为，取与的差记为．例：．若，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 12．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，设表示甲图阴影部分面积，表示乙图阴影部分面积，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点二 一元一次不等式（组）的解法】 【题型4 一元一次不等式（组）的解法】 13．（2025·广西·一模）解不等式：． 14．（2025·浙江杭州·一模）以下是芳芳解不等式组的解答过程： 解：由①，得，所以． 由②，得，所以，所以． 所以原不等式组的解是． 芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 15．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，不完整的数轴上有两点，分别表示和，且点在点的右侧，则负整数的值为 ． 16．（2025·湖北·一模）已知一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则被墨迹覆盖的不等式符号是（   ） A．> B． C．< D．≤ 【题型5 求一元一次不等式（组）的整数解】 17．（2025·广东广州·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（2025·陕西咸阳·模拟预测）不等式的最大整数解是（   ） A． B．1 C． D．2 19．（2025·江苏苏州·模拟预测）一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，该不等式有两个负整数解，则a的取值范围是 ． 20．（2025·湖北武汉·模拟预测）求不等式组所有整数解的和． 【题型6 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 21．（2025·江苏苏州·模拟预测）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 22．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 23．（2024·湖北恩施·一模）关于的一元一次不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为 ． 24．（2025·福建·模拟预测）把不等式组中的两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（   ） A． B． C． D． 【题型7 方程与一元一次不等式（组）的综合运用】 25．（2025·重庆大足·模拟预测）若数 使关于 的一元一次不等式组 的解集是，且使关于 的分式方程有非负整数解，则符号条件的所有整数的值之和为 ． 26．关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 27．（2025·山东淄博·三模）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”． (1)若不等式组为则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于x的方程是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； (3)若方程和2都是关于x的不等式组的相伴方程，求k的取值范围． 28．（2025·四川乐山·一模）已知关于x的方程的解是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【考点三 一元一次不等式（组）的解】 【题型8 根据一元一次不等式（组）的解集的情况求参数】 29．（2025·广东深圳·三模）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2025·河南·模拟预测）若关于的不等式组的解集为，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 31．（2025·湖南郴州·模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则a的值为 ． 32．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数的值之和是 ． 【题型9 根据两个一元一次不等式的解之间的关系求参数】 33．（2025·江苏扬州·三模）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ． 34．（2025·湖北武汉·模拟预测）若关于的不等式组的解集中的任意的值，都能使不等式成立，则的取值范围是 ． 35．（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 36．（2025·广西南宁·模拟预测）若不等式（组）①的解集中的任意一个解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖，例如：不等式被不等式覆盖；特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式组无解，它被其他任意不等式组覆盖．若关于x的不等式组，被覆盖，则a的取值范围是 ． 【题型10 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 37．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 38．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是 ． 39．（2025·天津和平·模拟预测）已知关于x的不等式组 ． （1）若，则该不等式组的最大整数解为 ； （2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围是 ． 40．（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ． 【题型11 根据不等式（组）的整数解的个数求参数取值范围】 41．（2025·黑龙江佳木斯·一模）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 42．（2025·黑龙江牡丹江·二模）若关于x的一元一次不等式组有两个负整数解，则a的取值范围是 ． 43．（2025·重庆九龙坡·模拟预测）若实数使关于的不等式组有整数解且至多有个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 ． 44（2025·重庆·模拟预测）关于的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【题型12 不等式组的有解或无解问题】 45．（2025·河南周口·二模）关于x的不等式组 有解，则实数m的取值范围是 ． 46．（2025·黑龙江大庆·三模）若关于的不等式组，无解，则所有满足条件的正整数的和为 ． 47．（2025·湖南娄底·模拟预测）若不等式组无解，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 48．（2025·重庆·模拟预测）若关于的不等式组有解且至多4个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【考点四 一元一次不等式（组）的应用】 【题型13 根据实际问题抽象出一元一次不等式】 49．（2025·浙江金华·二模）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明粿的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏．在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加，现有糯米斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（   ） A． B． C． D． 50．（2024·浙江杭州·一模）一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 51．（2025·江西九江·模拟预测）一辆匀速行驶的汽车在上午距离A地，要在中午之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是，根据题意可列不等式 ． 52．（2025·山东滨州·模拟预测）把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式9x+7＜11x，则横线上的信息可以是 A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 【题型14 一元一次不等式的应用】 53．（2025·贵州·模拟预测）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共12亩，所需学生人数不超过65人，至多种植甲作物多少亩？ 54．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）敏衣中学计划为绘画小组购买A、B两种型号的颜料．购买1盒A型颜料和2盒B型颜料需用56元．购买2盒A型颜料和1盒B型颜料需用64元． (1)求1盒A型颜料和1盒B型颜料的售价各是多少元； (2)敏衣中学如果决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3912元，那么该中学最多可以购买多少盒A型颜料？ 55．（2025·安徽滁州·模拟预测）某厂生产一种零件，每个成本为元，销售单价为元．该厂为鼓励客户购买这种零件，决定当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，但不能低于元． (1)当一次购买多少个零件时，销售单价恰为元？ (2)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？ (3)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？利润售价成本 56．（2025·广西·模拟预测）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人． (1)求该旅行团中成人是多少人？ (2)因游玩时间充足，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩．景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童． ①若由成人人和少年人带队，则当时所需门票的总费用是________元（请用、的代数式表示，结果要求化简），当时所需门票的总费用是________元（请用、的代数式表示，结果要求化简）； ②旅行团经过测算，只有1200元经费剩余可用于购买景区B门票游玩，在经费使用不超额的前提下，如果安排11个成人和尽可能多的若干个少年带队游玩，请问这一次游玩实际购票费用是多少？ 【题型15 根据实际问题抽象出一元一次不等式组】 57．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为 ． 58．（2025·广西百色·模拟预测）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 59．（2025·湖北武汉·模拟预测）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 60．（2025·江苏无锡·模拟预测）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【题型16 一元一次不等式组的应用】 61．（2025·山东青岛·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 62．（2025·福建·一模）福建的传统手工艺品独具魅力，油纸伞和角梳是“福州三宝”之二．某工艺品店计划从当地手工艺人处购进油纸伞和角梳用于售卖，已知购买4把油纸伞的费用比购买1把角梳的费用多20元，购买5把油纸伞和2把角梳一共花费220元． (1)求每把油纸伞和角梳的进价分别是多少元？ (2)若油纸伞的售价为30元/把，角梳的售价为75元/把，该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把，且购进商品全部售出，求怎样进货可使利润最大，最大利润是多少？ 63．（2025·甘肃酒泉·二模）随着人们节能环保意识的增强，绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动摩托成为人们首选的交通工具，某商场计划用不超过元购进、两种不同品牌的电动摩托辆，预计这批电动摩托全部销售后可获得不少于元的利润，、两种品牌电动摩托的进价和售价如下表所示：设该商场计划进品牌电动摩托辆，两种品牌电动摩托全部销售后可获利润元． 品牌 价格 品牌电动摩托 品牌电动摩托 进价元辆 售价元辆 (1)写出与之间的函数关系式； (2)该商场购进品牌电动摩托多少辆时？获利最大，最大利润是多少？ 64．（2025·黑龙江七台河·一模）某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·吉林·中考真题）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州安顺·模拟预测）如果不等式组有且只有4个整数解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．三个连续正整数的和小于33，这样的正整数共有（   ） A．8组 B．9组 C．10组 D．11组 二、填空题 6．（2025·上海·二模）不等式的最大整数解是 ． 7．（2025·广东深圳·三模）若关于的一元一次不等式组无解，则的值可以是 ．（写出一个答案即可） 8．（2025·河南新乡·三模）小明在解关于的不等式组时，不小心把不等式组中的第(2)个不等式污损，若这个不等式组的解集中有三个整数解，请你帮助小明补充一个符合条件(2)的不等式为 ． 9．（2025·四川达州·一模）关于x的不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是 ． 10．（2025·河北·一模）检测游泳池的水质，要求三次检测的平均值不小于7.2．且不大于7.8．已知第一次的检测值为7.2，第二次的检测值为8.1．若该游泳池的水质检测合格，则第三次的检测值可能为 ．（写出一个符合条件的一位小数） 三、解答题 11．（2025·江苏·一模）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； 12．（2025·陕西·模拟预测）解不等式组：，并计算出它的所有整数解之积 13．（2025·陕西西安·模拟预测）已知关于x的不等式组． (1)在“□”内填入数字1，求不等式①的解集，并将解集在图中的数轴上表示出来； (2)甲：“当在“□”中填入的数字大于时，该不等式组无解．”请判断甲的说法是否正确，并说明理由． 14．（2025·北京延庆·模拟预测）若不等式（组）只有个正整数解（为自然数），则称这个不等式（组）为阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： (1)是 阶不等式；是 阶不等式组； (2)若关于的不等式组 是4阶不等式组，求的取值范围； (3)关于的不等式组 的正整数解有，，，，…，其中…．如果 是阶不等式组，且关于的方程的解是 的正整数解，直接写出的值以及的取值范围． 15．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ B组 培优提升练 一、单选题 1．（2025·安徽·模拟预测）已知实数a，b满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2022·四川乐山·二模）实数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D．函数中，随的增大而减小 3．（2025·广东韶关·二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏常州·二模）如果不等式的解集能使关于的一次不等式成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽·模拟预测）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·河南漯河·模拟预测）如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是 ． 8．（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 9．（2025·全国·一模）阅读理解：记表示不超过的最大整数，如，，应用：已知，且，则的值为 ． 10．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 11．（2025·山东日照·模拟预测）对于有理数，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4．若和关于2的“和谐关联数”为1，和关于3的“和谐关联数”为1，…，和关于10的“和谐关联数”为1，…则的最小值为 ． 三、解答题 12．（2025·天津·二模）求不等式组的解集，并利用数轴找出它的整数解． 13．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)问方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于x的方程是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； (3)若方程和都是关于x的不等式组 的相伴方程，求k的取值范围． 14．（2025·广西河池·模拟预测）阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，      又，，． 又， …………①． 同理可得…………②． 由①②得：． 的取值范围是． 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是___________； (2)已知关于，的方程组的解都是正数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若，，求的取值范围． 15．（2025·重庆·模拟预测）小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米． (1)请分别求出平开窗和推拉窗的单价； (2)设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $