专题8 一元一次不等式(组)及其应用 专项练习-2026年九年级中考数学一轮复习

专题8 　一元一次不等式(组)及其应用 1．不等式的解与不等式的解集的区别与联系： （1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值． （2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值． （3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解． 2．用数轴表示不等式的解集： 大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图． 3．列不等式（组）解应用题的一般步骤： （1）审题； （2）设未知数； （3）找出能够包含未知数的不等量关系； （4）列出不等式（组）； （5）求出不等式（组）的解； （6）在不等式（组）的解中找出符合题意的值； （7）写出答案． 考点1 不等式的性质 典例1 （2025·江苏省苏州）若，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 跟踪训练 1.若，则下列不等式不一定成立的是　　 A． B． C． D． 2.若，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 3.已知，下列不等式的变形不正确的是　　 A． B． C． D． 4.若，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 考点2 不等式的解集 典例2 如果不等式组有解，那么的范围是 　 　． 跟踪训练 1.下列数是不等式的一个解的是　　 A． B．2 C． D．3 2.下列能使不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 3.不等式组的解集是　 　． 4.不等式组的解集是 　 　． 考点3 在数轴上表示不等式的解集 典例3 （2025·浙江）不等式组的解集在数轴上表示为(    ) A. B. C. D. 跟踪训练 1.如图所示，在数轴上表示不等式正确的是　　 A． B． C． D． 2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 3.不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是　　 A． B． C． D． 4.已知点在第四象限，则实数的取值范围在数轴上表示正确的为　　 A． B． C． D． 考点4 解一元一次不等式 典例4 （2025·陕西）不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 跟踪训练 1.不等式的解集是　　 A． B． C． D． 2.已知是不等式的解，的值可以是　　 A．4 B．2 C．0 D． 3.不等式的解集是　　 A． B． C． D． 4.下列各数中，是不等式的解是　　 A． B． C． D．3 5.在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 考点5 一元一次不等式的整数解 典例5 （2025·江苏省盐城）求不等式的正整数解． 跟踪训练 1.下列各数中，能使不等式成立的的整数值是　　 A． B．0 C．2 D．3 2.不等式的最大整数解为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 3.已知关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 4.关于的不等式恰有两个负整数解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 5.已知关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是　 　． 考点6 由实际问题抽象出一元一次不等式 典例6 一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了题，则　　 A． B． C． D． 跟踪训练 1.某批电子产品进价为200元件，售价为350元件，为提高销量，商店准备将这批电子产品降价出售，若要保证单件利润率不低于，则该批电子产品最多可降价多少元？若设该批电子产品可降价元，则可列不等式为　　 A． B． C． D． 2.某业主贷款9万元购进一台机器生产甲，乙两种产品．已知甲产品的销售净利润是每个5元，乙产品的销售净利润是每个6元，2个甲产品和1个乙产品组成一套销售，设销售套能赚回这台机器的贷款，则满足的关系是　　 A． B． C． D． 3.2023年9月23日，第19届亚运会将在我国杭州市举办．为此，某校举行了关于杭州亚运会的知识竞赛，现共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对几道题？若设答对题，则根据题意可列不等式为　　 A． B． C． D． 4.某商店有一款商品，每件进价为100元，标价为150元，现准备打折销售．若要保证利润率不低于，设打折销售，则下列正确的是　　 A．依题意得 B．依题意得 C．该商品最少打7折 D．该商品最多打7折 考点7 一元一次不等式的应用 典例7 （2025·湖南省长沙）刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时天之际，某国际旅游公司计划购买、两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买件种湘绣作品与件种湘绣作品共需要元，购买件种湘绣作品与件种湘绣作品共需要元． 求种湘绣作品和种湘绣作品的单价分别为多少元？ 该国际旅游公司计划购买种湘绣作品和种湘绣作品共件，总费用不超过元，那么最多能购买种湘绣作品多少件？ 跟踪训练 1.某超市销售一批创意闹钟，先以55元个的价格售出60个，然后调低价格，以50元个的价格将剩下的闹钟全部售出，销售总额超过了5500元，这批闹钟至少有　　个． A．44 B．45 C．104 D．105 2.已知地在地的西方，且有一以、两地为端点的东西向直线道路，其全长为400公里，今在此道路上距离地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，如图所示．若某车从此道路上距离地19公里处出发，往东直行320公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离地多少公里？　　 A．309 B．316 C．336 D．339 3.某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有型和型两种分类垃圾桶，型分类垃圾桶500元个，型分类垃圾桶550元个．若购买的总费用不超过3100元，则不同的购买方式有　　 A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 4.洛阳牡丹远近闻名，某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植、两种品种的牡丹，、两种牡丹每棵的价格分别是55元和72元，若购买两种牡丹共90棵，且总价格不超过5460元，则最少可购买种牡丹的数量是　　 A．59棵 B．60棵 C．61棵 D．62棵 5.某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则购买方案种类有　　 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 考点8 解一元一次不等式组 典例8 （2025·四川省眉山）不等式组的解集是(    ) A. B. C. 或 D. 跟踪训练 1.已知点在第四象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2.将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是　　 A． B． C． D． 3.不等式组的解集为　　 A． B． C． D． 4.不等式组的解集是　　 A． B． C． D． 5.已知关于的不等式组无解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 考点9 一元一次不等式组的整数解 典例9 （2025·重庆）若关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 跟踪训练 1.已知关于的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2.关于的不等式组恰好有3个整数解，则满足　　 A． B． C． D． 3.不等式组的所有整数解的和为9，则整数的值有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.不等式组的所有整数解的和为　　 A．0 B．1 C．3 D．6 5.若关于的不等式组共有2个整数解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 考点10 一元一次不等式组的应用 典例10 （2025·四川省泸州）某商场购进，两种商品，已知购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元． 求，两种商品每件进价各为多少元？ 该商场计划购进，两种商品共件，且购进商品的件数不少于商品件数的倍若商品按每件元销售，商品按每件元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于元，则购进商品的件数最多为多少？ 跟踪训练 1.闻宏商店计划用不超过8400元的货款，购进、两种单价分别为120元、200元的商品共50件，据市场行情，销售、商品各一件分别可获利20元、40元，两种商品均售完．若所获利润大于1500元，则该商店进货方案有　　 A．4种 B．5种 C．6种 D．8种 2.每年3月12日是“植树节”，某班为响应“绿水青山就是金山银山”的理念，在植树节这天组织学生开展植树活动，老师提前购买了一定数量的小树苗，在分发树苗的过程中，若每人种3棵，则多出86棵，若每人种5棵，则有一人可分得但不足3棵，则这批小树苗共有　　 A．122棵 B．186棵 C．212棵 D．221棵 答案 考点1 不等式的性质 典例1 【答案】D 【解析】 本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键直接利用不等式的性质逐一判断即可．不等式的性质：不等式的两边同时加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【解答】 解：， A、，故错误，该选项不合题意 B、，故错误，该选项不合题意 C、无法得出，故错误，该选项不合题意 D、，故正确，该选项符合题意 故选D． 跟踪训练 1. 【答案】 【解析】解：， 、两边同时减5，可得，故一定成立，不符合题意； 、两边同时乘，得，故一定成立，不符合题意； 、两边同时乘，当时，当时，故不一定成立，符合题意； 、，两边同时除以，可得，故一定成立，不符合题意； 故选：． 2. 【答案】 【解析】解：，，原变形错误，不符合题意； ，，原变形错误，不符合题意； ，（乘负数，不等号方向改变），正确，符合题意； ，比如，，，，，原变形错误，不符合题意． 故答案为：． 3. 【答案】 【解析】解：．， ，故本选项正确，不符合题意； ．， ，故本选项正确，不符合题意； ．， ，故本选项正确，不符合题意； ．当时，，故本选项错误，符合题意． 故选：． 4. 【答案】 【解析】解：， ， ． ， 选项不成立； ， ， 选项不成立； ， ， 选项一定成立； ， ， ， 选项不成立． 故选：． 考点2 不等式的解集 典例2 【答案】． 【解析】解：如图，不等式组有解， ． 故答案为：． 跟踪训练 1. 【答案】 【解析】解：， ， ， ， 是不等式的一个解， 故选：． 2. 【答案】 【解析】解：由， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：． 3.【解析】解：不等式组的解集为， 故答案为：． 4.【答案】． 【解析】解：不等式组的解集是． 故答案为：． 考点3 在数轴上表示不等式的解集 典例3 【答案】A  【解析】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：． 按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 跟踪训练 1. 【答案】 【解析】解：由题意，得：， 故选：． 2. 【解析】解：，解得； 解，得， 在数轴上表示都向左，故符合题意， 故选：． 3. 【答案】 【解析】解：由题意可知：， 解①得：， 解②得：， 故不等式组的解集为：， 在数轴上表示为 故选：． 4. 【答案】 【解析】解：点在第四象限， ， 解得， 解集在数轴上的表示为： 故选：． 考点4 解一元一次不等式 典例4 【答案】D  【解析】解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 故选：． 去括号，然后移项、合并同类项，把的系数化为，即可得到不等式的解集． 本题考查了解一元一次不等式：有分母，先去分母、去括号，再移项，把含未知数的项移到不等式左边，接着合并同类项，然后把未知数的系数化为即得到不等式组的解集． 跟踪训练 1. 【答案】 【解析】解：， 系数化为1得， 故选：． 2. 【答案】 【解析】解：是不等式的解， ， ， 故选：． 3. 【答案】 【解析】解：， ， ， ， 故选：． 4. 【答案】 【解析】解：， ， ， ， ， 不等式的解可以是：3， 故选：． 5. 【答案】 【解析】解：点在第二象限， ， 解得， 故选：． 考点5 一元一次不等式的整数解 典例5 【答案】解：， ， ， ， ． 所以此不等式的正整数解为：，．  【解析】根据解一元一次不等式的步骤对所给不等式进行求解，并写出正整数解即可． 本题考查一元一次不等式的整数解，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 跟踪训练 1. 【答案】 【解析】解：， ， 能使不等式成立的的整数值是3． 故选：． 2. 【解析】解：移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 可见其最大整数解为3． 故选：． 3. 【答案】 【解析】解：解不等式得：， 不等式有两个正整数解，一定是1和2， 根据题意得：， 解得：． 故选． 4. 【解析】解：解不等式得， 不等式恰有两个负整数解， 不等式的两个负整数解为、， ， 故选：． 5.【解析】解：解不等式，得：， 不等式有最小整数解2， ， 解得：， 故答案为． 考点6 由实际问题抽象出一元一次不等式 典例6 【答案】 【解析】解：设小聪答错了道题，则答对了道题， 依题意得：． 故选：． 跟踪训练 1. 【答案】 【解析】解：根据题意得：． 故选：． 2. 【答案】 【解析】解：设销售套能赚回这台机器的贷款，根据题意可得：， 故选：． 3. 【答案】 【解析】解：由题意可得， ， 故选：． 4. 【答案】 【解析】解：根据题意得：， 解得：， 则最多打7折． 故选：． 考点7 一元一次不等式的应用 典例7 【答案】解：设种湘绣作品的单价为元，种湘绣作品的单价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：种湘绣作品的单价为元，种湘绣作品的单价为元； 设购买种湘绣作品件，则购买种湘绣作品件， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：最多能购买件种湘绣作品．  【解析】设种湘绣作品的单价为元，种湘绣作品的单价为元，根据“购买件种湘绣作品与件种湘绣作品共需要元，购买件种湘绣作品与件种湘绣作品共需要元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设购买种湘绣作品件，则购买种湘绣作品件，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 跟踪训练 1. 【解析】解：设这批创意闹钟有个， 解得， 这批创意闹钟至少有105个， 故选：． 2. 【答案】 【解析】解：设此车停止时前面有个广告牌，根据题意得 ， ， 即此车停止时前面有13个广告牌，并且超过第13个广告牌3千米 所以此车在停止前经过的最后一个广告牌距离地千米 故选：． 3. 【答案】 【解析】解：设购买型分类垃圾桶个，则购买型分类垃圾桶个， 依题意，得：， 解得：． ，均为非负整数， 可以为4，5，6， 共有3种购买方案． 故选：． 4. 【答案】 【解析】解：设购买种牡丹棵，则购买种牡丹棵， 由题意得，， 解得：， 最少可购买种牡丹60棵， 故选：． 5. 【答案】 【解析】解：设：购买甲种奖品件，乙种奖品件， ， 解得， ，且，都是正整数， 是4的整数倍， 时，， 时，， 时，， 时，，不符合题意， 故有3种购买方案， 故选：． 考点8 解一元一次不等式组 典例8 【答案】D  【解析】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为． 故选：． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 跟踪训练 1. 【解析】解：点在第四象限， ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的解集为， 故选：． 2. 【答案】 【解析】解：由得， 所以不等式组的解集为， 在数轴上的表示为： 故选：． 3. 【答案】 【解析】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 故选：． 4. 【答案】 【解析】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为， 故选：． 5. 【解析】解：解不等式，得：， 不等式组无解， ， 故选：． 考点9 一元一次不等式组的整数解 典例9 【答案】 【解析】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 该不等式组的解集为， 该不等式组至少有个整数解， ， 解得； 解分式方程得， ， 由题意得，当时，； 当时，； 当时，不合题意，舍去； 当时，， 所有满足条件的整数的值为、和， ， 所有满足条件的整数的值之和为，故答案为：． 先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数的值，再进行计算求解． 此题考查了含有字母参数的一元一次不等式组和分式方程问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算求解． 跟踪训练 1. 【答案】 【解析】解：解不等式组得：， 不等式组的解集中有且仅有3个整数， 这3个整数只能是，，0， ． 故选． 2. 【答案】 【解析】解：由得：， 由得：， 不等式组恰好有3个整数解， 不等式组的整数解为3、4、5， ，解得， 故选：． 3. 【答案】 【解析】解：由得：， 由得， 所有整数解的和为9， 整数解为4、3、2或4、3、2、1、0、， 或， 解得或， 符合条件的整数的值为2和， 故选：． 4. 【答案】 【解析】解：不等式组整理得：， 解得：， 不等式组的整数解为0，1，2，3， 则不等式组的所有整数解的和为． 故选：． 5. 【答案】 【解析】解：解不等式，得：， 不等式组共有2个整数解， 不等式组的整数解为1、0， 则， 解得， 故选：． 考点10 一元一次不等式组的应用 典例10 【答案】解：设商品的进价是元件，商品的进价是元件， 根据题意得：， 解得：． 商品的进价是元件，商品的进价是元件； 设购进件商品，则购进件商品， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 购进商品的件数最多为件．  【解析】设商品的进价是元件，商品的进价是元件，根据“购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设购进件商品，则购进件商品，根据“购进商品的件数不少于商品件数的倍，且销售完，两种商品后获得的总利润不低于元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之取其最大值，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 跟踪训练 1. 【答案】 【解析】解：设该店购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得：， 解得：， 为整数， ，21，22，23，24， 该店进货方案有5种， 故选：． 2. 【答案】 【解析】解：设有人植树，则这批小树苗共有棵， 由题意得：， 解得：， 又为正整数， ， ， 故选：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $