专题2.4 一元一次不等式（组）及其应用（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

该初中数学中考复习讲义聚焦一元一次不等式（组）及其应用专题，覆盖不等式性质、解法、含参问题、实际应用四大核心考点，以10个知识点为基础，16个题型为载体，构建“考点梳理-方法指导-真题训练”三阶复习体系，帮助学生系统掌握不等式求解、数轴表示及实际应用等中考必备技能。 亮点在于“真题情境化+思维分层化”设计，如通过天平平衡问题训练不等式性质的实际应用，结合含参不等式组整数解问题培养推理意识，设置“基础变式-综合应用-创新拓展”三级练习。融入数学眼光观察生活不等关系，数学语言表达实际问题，助力学生高效突破考点，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生中考应试能力。

专题2.4 一元一次不等式（组）及其应用（举一反三复习讲义） 【10个知识点+4大考点+16个题型】 【考点一 不等式的相关概念及其性质】 2 【题型1 根据不等式的性质判断正误或比较大小】 4 【题型2 不等式的性质与数轴的综合应用】 4 【题型3 不等式的性质的实际应用】 5 【考点二 一元一次不等式（组）的解法】 6 【题型4 一元一次不等式（组）的解法】 7 【题型5 求一元一次不等式（组）的整数解】 8 【题型6 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 9 【题型7 方程与一元一次不等式（组）的综合运用】 9 【考点三 一元一次不等式（组）的解】 10 【题型8 根据一元一次不等式（组）的解集的情况求参数】 10 【题型9 根据两个一元一次不等式的解之间的关系求参数】 10 【题型10 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 11 【题型11 根据不等式（组）的整数解的个数求参数取值范围】 11 【题型12 不等式组的有解或无解问题】 11 【考点四 一元一次不等式（组）的应用】 12 【题型13 根据实际问题抽象出一元一次不等式】 12 【题型14 一元一次不等式的应用】 12 【题型15 根据实际问题抽象出一元一次不等式组】 13 【题型16 一元一次不等式组的应用】 14 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握不等式性质，熟练解一元一次不等式，并能在数轴上表示解集。掌握解一元一次不等式组的方法，能确定其解集（包括无解情况）。能根据实际问题中的不等关系列出不等式（组）解决简单应用问题，如方案设计、最优化等。 直接解不等式（组）为基础题，考查核心是与实际应用深度融合，常以方案选择、费用优化、材料分配等现实问题为背景，作为解答题考查建模能力。试题对解集的准确表示（尤其数轴表示） 以及从实际问题中抽象出多个不等关系的能力要求较高。 1. 规范解法：类比解方程步骤（去分母注意符号），解集在数轴上规范表示（实心与空心区别）。解不等式组遵循“分开解，集中判”原则。 2. 整数解问题：先求出解集范围，再借助数轴确定其内的整数解，特别注意边界值取舍。 3. 列不等式解应用题：关键在于审题，从“不超过”“至少”等词中明确不等关系，常需设立多个关系式构成不等式组。解出后需检验解的合理性及是否符合整数等实际限制。 【考点一 不等式的相关概念及其性质】 知识点1 不等式概念 不等关系： （1）在日常生活中，数量之间的关系有两种：相等与不相等． （2）常见的不等号 种类 符号 表示意义 读法 举例 小于号 ＜ 小于、不足 小于 大于号 ＞ 大于、高出 大于 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） 大于或等于号 ≥ 不小于、不低于、至少 大于或等于（不小于） 不等于号 ≠ 不等 不等于 （3）不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 如，，，都是不等式． 列不等式： 用不等式表示不等关系叫做列不等式． 例如：“x与3的和小于5”用不等式表示为． 知识点2 不等式的解与解集 1. 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 2. 不等式的解集 一般情况下不等式有无数个解，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集． 3. 解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式． 4. 不等式的解与不等式的解集的区别 对不等式的“解”和“解集”可以从以下三个方面去理解： （1）不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立． （2）不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解． （3）不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是能使不等式成立的未知数的值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的每一个解都是该不等式的解集中的一个元素． 知识点3 不等式解集的两种表示方法 1. 用不等式的表示 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，而这个范围可以用一个具体、简单的不等式来表示． 2. 用数轴表示 不等式的解集在数轴上表示可用下表说明． 不等式的解集 图示 说明 界点用空心圆圈，方向向右 界点用空心圆圈，方向向左 界点用实心圆点，方向向右 界点用实心圆点，方向向左 知识点4 不等式的基本性质 1. 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，那么或；如果，那么或．其中c可以表示一个数（含0），也可以表示一个整式． 2. 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 3. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 【题型1 根据不等式的性质判断正误或比较大小】 【例1】（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·江苏常州·中考真题）若则 0．（填、或）． 【变式1-2】（2025·安徽·模拟预测）若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【题型2 不等式的性质与数轴的综合应用】 【例2】（2025·山东·二模）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·陕西·模拟预测）如图，数轴上有两个点，记作点A，点B，分别表示的数为a，b，点O为坐标原点，则的值可能为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，如图，在数轴上表示代数式的值的点可能是（      ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【变式2-3】（2025·山东烟台·模拟预测）已知数轴上的点，分别表示数，，其中．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【题型3 不等式的性质的实际应用】 【例3】（2025·吉林长春·模拟预测）将质量分别为的物体放入天平中，两个天平均保持平衡，则下列不等关系成立的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·云南昆明·模拟预测）在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 （填A，B，C，D，E） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 【变式3-2】（2025·江苏盐城·一模）【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 【变式3-3】（2025·重庆南岸·模拟预测）俗话说：“好事成双”；“双”在中国传统文化里有吉利、繁荣和团聚的意义；被认为是幸福和好运的象征．规定：一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“成双数”．对于“成双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则 ；若“成双数”千位上的数字与个位上的数字之和为能被7整除，则满足条件的“成双数”中的最大数为 ． 【考点二 一元一次不等式（组）的解法】 知识点5 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0．像这样的不等式，叫做一元一次不等式． 一元一次不等式的标准形式是或 ． 知识点6 一元一次不等式的解法 解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为的形式，其一般步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 知识点7 一元一次不等式组的概念 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组．例如，和，都是一元一次不等式组． 知识点8 不等式组的解集 1. 定义：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．如果不等式的解集没有公共部分，不等式组无解． 2. 确定方法 最简单的一元一次不等式组的四种解的情况． 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小找不到 知识点9 不等式组的解法 1. 解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组． 2. 解不等式组的一般步骤 （1）分别求出不等式组每一个不等式的解集； （2）在数轴上把每个不等式的解集表示出来； （3）写出不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 【题型4 一元一次不等式（组）的解法】 【例4】（2025·江苏盐城·中考真题）解不等式组：． 【变式4-1】（2025·江西·中考真题）不等式的解集为 【变式4-2】（2025·浙江台州·模拟预测）规定min(m，n)表示m，n中较小的数(m，n均为实数，且mn)，例如：min{3，﹣1}=﹣1，、min据此解决下列问题： （1）min=　　　　； （2）若min=2，求x的取值范围； （3）若min{2x﹣5，x+3}=﹣2，求x的值． 【变式4-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【题型5 求一元一次不等式（组）的整数解】 【例5】（2025·河北石家庄·二模）下图为一个“鱼形”计算程序．输入值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到．例：若输入，则，． (1)若得到，求输入的值及相应的值． (2)若输入值后得到的始终大于，求输入的最大整数值是多少． 【变式5-1】（2025·陕西·模拟预测）解不等式组：，并计算出它的所有整数解之积 【变式5-2】（2025·黑龙江大庆·一模）若实数2不是不等式的解，则可取的最大整数为 ． 【变式5-3】（2025·山东聊城·三模）满足不等式组的整数解的个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【题型6 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 【例6】（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 【变式6-1】（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【变式6-2】数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·湖北恩施·一模）关于的一元一次不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为 ． 【题型7 方程与一元一次不等式（组）的综合运用】 【例7】（2025·山东·一模）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是 ． 【变式7-1】（2025·安徽宣城·一模）已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是 ． 【变式7-2】（2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·重庆·模拟预测）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【考点三 一元一次不等式（组）的解】 【题型8 根据一元一次不等式（组）的解集的情况求参数】 【例8】（2025·四川·一模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【变式8-1】（2025·河南驻马店·模拟预测）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【变式8-2】如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是 ． 【变式8-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）若关于的不等式组的解集为，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【题型9 根据两个一元一次不等式的解之间的关系求参数】 【例9】（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 【变式9-1】若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是 ． 【变式9-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）若关于的不等式组的解集中的任意的值，都能使不等式成立，则的取值范围是 ． 【变式9-3】若关于的不等式组的解集中任意的值，都能使不等式成立，则的取值范围是 ． 【题型10 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 【例10】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则的取值范围是 ． 【变式10-1】（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ． 【变式10-2】（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 【变式10-3】（2025·山东日照·模拟预测）若关于的不等式组的所有整数解的和为，且为整数，则的值是 ． 【题型11 根据不等式（组）的整数解的个数求参数取值范围】 【例11】（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【变式11-1】（2025·河南南阳·二模）若关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则m的取值范围为 ． 【变式11-2】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）若关于的一元一次不等式组有解且最多有6个整数解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【变式11-3】（2025·重庆万州·模拟预测）关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【题型12 不等式组的有解或无解问题】 【例12】（2025·河南安阳·模拟预测）关于的不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 【变式12-1】若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 【变式12-2】（2025·广东江门·模拟预测）若整数使关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【变式12-3】（2025·江苏常州·模拟预测）若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 ． 【考点四 一元一次不等式（组）的应用】 知识点10 用一元一次不等式解决问题的一般步骤 列一元一次不等式解决问题与列一元一次方程解决问题类似，一般步骤： （1） 设未知数； （2） 列一元一次不等式； （3） 解不等式； （4） 写出答案． 【题型13 根据实际问题抽象出一元一次不等式】 【例13】（2025·吉林长春·一模）去年某市空气质量优良的天数与全年天数（365天）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过80%，那么明年空气质量优良的天数比去年至少要增加多少天？若设明年空气质量优良的天数比去年增加天，根据题意，可列不等式为 ． 【变式13-1】（2025·河北·一模）某中学男子跑的原记录是，嘉嘉在本次校田径运动会上打破了该项记录，设嘉嘉比赛中跑步的平均速度为，则下列符合题意的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2025·浙江·二模）某种礼花弹导火索燃烧的速度是，点导火索的人需在礼花燃放前跑到以外的安全区域．如果人跑开的速度是，这根导火索至少应多长？设这根导火索的长度为，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，小聪最多可以购买钢笔多少支？设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（　　） A． B． C． D． 【题型14 一元一次不等式的应用】 【例14】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【变式14-1】（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【变式14-2】（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【变式14-3】（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 【题型15 根据实际问题抽象出一元一次不等式组】 【例15】（2025·浙江杭州·模拟预测）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】（2025·贵州毕节·模拟预测）某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】（2025·浙江杭州·模拟预测）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（2025·福建三明·模拟预测）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A． B． C． D． 【题型16 一元一次不等式组的应用】 【例16】（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【变式16-1】（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 【变式16-2】（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【变式16-3】（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 一元一次不等式（组）及其应用（举一反三复习讲义） 【10个知识点+4大考点+16个题型】 【考点一 不等式的相关概念及其性质】 2 【题型1 根据不等式的性质判断正误或比较大小】 4 【题型2 不等式的性质与数轴的综合应用】 6 【题型3 不等式的性质的实际应用】 8 【考点二 一元一次不等式（组）的解法】 12 【题型4 一元一次不等式（组）的解法】 13 【题型5 求一元一次不等式（组）的整数解】 15 【题型6 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 17 【题型7 方程与一元一次不等式（组）的综合运用】 20 【考点三 一元一次不等式（组）的解】 22 【题型8 根据一元一次不等式（组）的解集的情况求参数】 22 【题型9 根据两个一元一次不等式的解之间的关系求参数】 24 【题型10 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 27 【题型11 根据不等式（组）的整数解的个数求参数取值范围】 29 【题型12 不等式组的有解或无解问题】 32 【考点四 一元一次不等式（组）的应用】 34 【题型13 根据实际问题抽象出一元一次不等式】 34 【题型14 一元一次不等式的应用】 36 【题型15 根据实际问题抽象出一元一次不等式组】 40 【题型16 一元一次不等式组的应用】 42 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握不等式性质，熟练解一元一次不等式，并能在数轴上表示解集。掌握解一元一次不等式组的方法，能确定其解集（包括无解情况）。能根据实际问题中的不等关系列出不等式（组）解决简单应用问题，如方案设计、最优化等。 直接解不等式（组）为基础题，考查核心是与实际应用深度融合，常以方案选择、费用优化、材料分配等现实问题为背景，作为解答题考查建模能力。试题对解集的准确表示（尤其数轴表示） 以及从实际问题中抽象出多个不等关系的能力要求较高。 1. 规范解法：类比解方程步骤（去分母注意符号），解集在数轴上规范表示（实心与空心区别）。解不等式组遵循“分开解，集中判”原则。 2. 整数解问题：先求出解集范围，再借助数轴确定其内的整数解，特别注意边界值取舍。 3. 列不等式解应用题：关键在于审题，从“不超过”“至少”等词中明确不等关系，常需设立多个关系式构成不等式组。解出后需检验解的合理性及是否符合整数等实际限制。 【考点一 不等式的相关概念及其性质】 知识点1 不等式概念 不等关系： （1）在日常生活中，数量之间的关系有两种：相等与不相等． （2）常见的不等号 种类 符号 表示意义 读法 举例 小于号 ＜ 小于、不足 小于 大于号 ＞ 大于、高出 大于 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） 大于或等于号 ≥ 不小于、不低于、至少 大于或等于（不小于） 不等于号 ≠ 不等 不等于 （3）不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 如，，，都是不等式． 列不等式： 用不等式表示不等关系叫做列不等式． 例如：“x与3的和小于5”用不等式表示为． 知识点2 不等式的解与解集 1. 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 2. 不等式的解集 一般情况下不等式有无数个解，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集． 3. 解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式． 4. 不等式的解与不等式的解集的区别 对不等式的“解”和“解集”可以从以下三个方面去理解： （1）不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立． （2）不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解． （3）不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是能使不等式成立的未知数的值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的每一个解都是该不等式的解集中的一个元素． 知识点3 不等式解集的两种表示方法 1. 用不等式的表示 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，而这个范围可以用一个具体、简单的不等式来表示． 2. 用数轴表示 不等式的解集在数轴上表示可用下表说明． 不等式的解集 图示 说明 界点用空心圆圈，方向向右 界点用空心圆圈，方向向左 界点用实心圆点，方向向右 界点用实心圆点，方向向左 知识点4 不等式的基本性质 1. 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，那么或；如果，那么或．其中c可以表示一个数（含0），也可以表示一个整式． 2. 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 3. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用数学式子表示：如果，并且，那么，；，并且时，则，． 【题型1 根据不等式的性质判断正误或比较大小】 【例1】（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 【变式1-1】（2025·江苏常州·中考真题）若则 0．（填、或）． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（2025·安徽·模拟预测）若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，根据已知条件结合不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A：由，两式相加，得，即，正确，不符合题意； B：由，两式相加，得，正确，不符合题意； C：由得，代入，可得，即，不能得到，原选项错误，符合题意． D：由得，代入，可得，即，正确，不符合题意； 故选C 【变式1-3】（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 【详解】解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 【题型2 不等式的性质与数轴的综合应用】 【例2】（2025·山东·二模）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，以及不等式的性质．根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置和不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：由数轴知， A、∵， ∴，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴，故本选项不符合题意； C、∵，， ∴，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2-1】（2025·陕西·模拟预测）如图，数轴上有两个点，记作点A，点B，分别表示的数为a，b，点O为坐标原点，则的值可能为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】该题考查了数轴，不等式的性质，根据数轴得出，即可得，从而解答． 【详解】解：根据点A，点B都在坐标原点O的左边， ∴， ∴， ∴， 故的值可能为， 故选：D． 【变式2-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，如图，在数轴上表示代数式的值的点可能是（      ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数即不等式性质，根据范围，确定代数式的范围，进而得出答案． 【详解】解：， ，即， 满足条件的点可能是Q， 故选：D． 【变式2-3】（2025·山东烟台·模拟预测）已知数轴上的点，分别表示数，，其中．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，根据数据比较大小，由， 得出是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴，即 ∴A符合题意；B、C、D都不符合题意； 故选：A． 【题型3 不等式的性质的实际应用】 【例3】（2025·吉林长春·模拟预测）将质量分别为的物体放入天平中，两个天平均保持平衡，则下列不等关系成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题图得到的数量关系，进而即可求解； 【详解】解：由题图知，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查代数式之间的大小比较，正确理解题意是解题的关键． 【变式3-1】（2025·云南昆明·模拟预测）在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 （填A，B，C，D，E） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键．由题意得到关于①②③④⑤的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论． 【详解】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 则，，，，， 得：， ； 得：， ； 得：， ； 得：， ； 得：， ； ，且， B卡片上的数最大． 故答案为：B． 【变式3-2】（2025·江苏盐城·一模）【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 【答案】（1）；（2）；；（3）见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确得到，是解题的关键。 （1）根据盐水加水后会变淡可知加水后的盐水浓度小于未加水时盐水的浓度，据此可得答案； （2）根据盐水浓度等于盐的质量除以盐水的质量可得第一空答案，根据加盐后会变咸可知加盐后的盐水浓度大于未加盐时盐水的浓度，据此可得答案； （3）根据（1）（2）可得，，，，，，再由不等式的性质证明即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得，此时盐水浓度为， ∵盐水变得更咸了， ∴， 故答案为：；； （3）∵在中，三条边的长度分别为x、y、z， ∴， ∴，，， ∴； ∵，，， ∴， ∴． 【变式3-3】（2025·重庆南岸·模拟预测）俗话说：“好事成双”；“双”在中国传统文化里有吉利、繁荣和团聚的意义；被认为是幸福和好运的象征．规定：一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“成双数”．对于“成双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为，则 ；若“成双数”千位上的数字与个位上的数字之和为能被7整除，则满足条件的“成双数”中的最大数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了新定义，二元一次方程和不等式和数学问题，得出和是解本题的关键；根据题意直接计算，即可求出答案；设m的千位数字为a，百位数字为b，得出，（，且为整数）， ，故能被7整除，分类讨论即可． 【详解】解：根据题意：； 设m的千位数字为a，百位数字为b， ∵“成双数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8， ∴m的个位数字为， ∵千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍， ∴百位上的数字与十位上的数字之和为4， ∴m的十位数字为， ∴，（，且为整数）， ∴ ， ∵ ， ∴能被7整除， ∵，且为整数， ∴， ∴或0， ∴或， 当时，由， 故或（舍去）， 则此， 当时， ∴或或（不符合题意）， 或， 所有满足条件的“成双数”中的最大数为， 故答案为：；． 【考点二 一元一次不等式（组）的解法】 知识点5 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0．像这样的不等式，叫做一元一次不等式． 一元一次不等式的标准形式是或 ． 知识点6 一元一次不等式的解法 解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为的形式，其一般步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 知识点7 一元一次不等式组的概念 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组．例如，和，都是一元一次不等式组． 知识点8 不等式组的解集 1. 定义：不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．如果不等式的解集没有公共部分，不等式组无解． 2. 确定方法 最简单的一元一次不等式组的四种解的情况． 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小找不到 知识点9 不等式组的解法 1. 解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组． 2. 解不等式组的一般步骤 （1）分别求出不等式组每一个不等式的解集； （2）在数轴上把每个不等式的解集表示出来； （3）写出不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 【题型4 一元一次不等式（组）的解法】 【例4】（2025·江苏盐城·中考真题）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【变式4-1】（2025·江西·中考真题）不等式的解集为 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式．根据一元一次不等式的解法，先移项，再系数化为，即可求解． 【详解】解：移项，得， 系数化为，得． 故答案为：． 【变式4-2】（2025·浙江台州·模拟预测）规定min(m，n)表示m，n中较小的数(m，n均为实数，且mn)，例如：min{3，﹣1}=﹣1，、min据此解决下列问题： （1）min=　　　　； （2）若min=2，求x的取值范围； （3）若min{2x﹣5，x+3}=﹣2，求x的值． 【答案】（1）；（2）x≥3.5；（3）x=1.5． 【分析】（1）利用题中的新定义确定出所求即可； （2）利用题中的新定义得出≥2，计算即可求出x的取值； （3）利用题中的新定义分类讨论计算即可求出x的值． 【详解】（1）根据题中的新定义得：min=﹣． 故答案为：﹣； （2）由题意≥2， 解得：x≥3.5； （3）若2x﹣5=﹣2，解得：x=1.5，此时x+3=4.5＞﹣2，满足题意； 若x+3=﹣2，解得：x=﹣5，此时2x﹣5=﹣15＜﹣2，不符合题意， 综上，x=1.5． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【变式4-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 【题型5 求一元一次不等式（组）的整数解】 【例5】（2025·河北石家庄·二模）下图为一个“鱼形”计算程序．输入值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到．例：若输入，则，． (1)若得到，求输入的值及相应的值． (2)若输入值后得到的始终大于，求输入的最大整数值是多少． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的运算，不等式的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则进行运算即可； （2）列出不等式运算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ∴把代入可得：， 解得：， ∴； （2）∵， ， ∴由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴取的最大整数为． 【变式5-1】（2025·陕西·模拟预测）解不等式组：，并计算出它的所有整数解之积 【答案】， 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 先求出每一个不等式的解集，再取解集的公共部分得到不等式组的解集，即可求出整数解，最后求出整数解之积． 【详解】解：， 由①得； 由②得， ∴原不等式组的解集为， ∴所有整数解之积为． 【变式5-2】（2025·黑龙江大庆·一模）若实数2不是不等式的解，则可取的最大整数为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，根据不等式的解集可得的取值范围． 【详解】解：∵若实数2不是不等式的解， ∴实数2是不等式的解， 解不等式的解为， ， ∴， ∴可取的最大整数为2， 故答案为：2． 【变式5-3】（2025·山东聊城·三模）满足不等式组的整数解的个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为，共6个， 故选：B． 【题型6 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集】 【例6】（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 【答案】；；；见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集， 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得： 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：， 故答案为：；； 【变式6-1】（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 【变式6-2】数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 根据题意得到，解得，再逐项判断即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， 解得：， 在中只有 ∴的值可以是， 故选：A． 【变式6-3】（2024·湖北恩施·一模）关于的一元一次不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a，b的等式是解题关键．先解不等式组的解集，再结合数轴得出解集得出关于a，b的等式，进而得出答案． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 结合数轴可得：，， ∴ ∴， 故答案为：3． 【题型7 方程与一元一次不等式（组）的综合运用】 【例7】（2025·山东·一模）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可． 【详解】解：分式方程去分母得：，即， 分解因式得：， 解得：或， 经检验是增根， ∴分式方程的解为， 当时，由只有4个整数解，得到． 故答案为：． 【变式7-1】（2025·安徽宣城·一模）已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 先求出方程的解，然后结合解是负数，解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵方程的解是负数， ∴， ∴． 【变式7-2】（2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先用整体法解二元一次方程组，再代入不等式即可求解． 【详解】解：， ，得：， 不等式整理可得：， ∴， ， 解得：． 故选：A ． 【变式7-3】（2025·重庆·模拟预测）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 【考点三 一元一次不等式（组）的解】 【题型8 根据一元一次不等式（组）的解集的情况求参数】 【例8】（2025·四川·一模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题． 【详解】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． 【变式8-1】（2025·河南驻马店·模拟预测）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 先求得2个不等式的解集，然后根据“同小取小”和已知解集得到的取值范围． 【详解】解不等式得， 解不等式得， 关于的不等式组的解集是， ， 故答案为：． 【变式8-2】如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质和解不等式，根据不等式的性质求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式8-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）若关于的不等式组的解集为，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数的值，求代数式的值，先解不等式组，再根据不等式组的解集得出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【题型9 根据两个一元一次不等式的解之间的关系求参数】 【例9】（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质等知识点，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键． 求出不等式的解，分类讨论求出不等式的解集，得出关于a的不等式，求出a即可． 【详解】解：解不等式得， ， ∵不等式的解都能使不等式成立， ∴当，即时 不等式， ， ， 可以取任意实数，那么的解必然能使该不等式成立， 所以满足条件． 当，即时 不等式其解为． 因为的解都能使成立， 所以． 解不等式： ，结合前提，这种情况满足条件． 当，即时 不等式其解为． 要使的解都能使成立，那么． 解不等式： ，结合前提，得到． 综合以上三种情况． 故答案为：． 【变式9-1】若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】≤m≤6 【分析】解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解． 【详解】解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4， ∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立， ①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0•x＜13恒成立； ②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向， ∴m﹣6＜0，即m＜6， ∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞， ∵x＞﹣4都能使x＞成立， ∴﹣4≥， ∴﹣4m+24≤2m+1， ∴m≥， 综上所述，m的取值范围是≤m≤6． 故答案为：≤m≤6． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质． 【变式9-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）若关于的不等式组的解集中的任意的值，都能使不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解两个不等式得出且，再分、两种情况，根据解集中的任意的值，都能使不等式成立列出关于的不等式，解之可得答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ①若，即时，， 解得， 此时； ②若，即时，， 解得，与不符，舍去； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式9-3】若关于的不等式组的解集中任意的值，都能使不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组和一元一次不等式解集的情况求参数的取值范围，先分别求出不等式组和不等式的解集，再根据解集的情况列出关于的不等式即可求解，掌握解一元一次不等式组和一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， 解不等式，得， ∵不等式组解集中的任意的值都能使不等式成立， ∴， ∴， 故答案为： 【题型10 根据不等式（组）的整数解的值求参数范围】 【例10】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的整数解问题，能根据不等式组的整数解得到参数的取值范围是解答的关键，注意端点值的取舍．先求得不等式组的解集，再根据不等式组解集的情况，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 由不等式得， 由不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，且不等式组的最大整数解为， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式10-1】（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．先解一元一次不等式可得，再根据不是不等式的整数解，可得，然后根据是关于x的不等式的一个整数解，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵不是不等式的整数解， ∴， 解得． ∵是关于x的不等式的一个整数解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式10-2】（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解．根据题目中的不等式分三种情况讨论，可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】解：（1）当时，不等式的解集为：， 正整数解一定有无数个．故不满足条件． （2）时，无论取何值，不等式恒成立； （3）当时，不等式的解集为：， ∵不等式的正整数解为1，2，3， ∴， 解得． 故的取值范围是． 故答案为：． 【变式10-3】（2025·山东日照·模拟预测）若关于的不等式组的所有整数解的和为，且为整数，则的值是 ． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，先解不等式，再根据不等式组解的情况得到m的取值范围，进而根据m为整数可得结论． 【详解】解：解不等式组，得， ∵该不等式组的所有整数解的和为， ∴该不等式组的整数解为和或、、、0、1， ∴或， ∴或， ∵为整数， ∴的值是0或3， 故答案为：0或3． 【题型11 根据不等式（组）的整数解的个数求参数取值范围】 【例11】（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， 故答案为：． 【变式11-1】（2025·河南南阳·二模）若关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的整数解，根据有且仅有两个整数解可得m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的不等式组有且仅有两个整数解， ∴， 故答案为：． 【变式11-2】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）若关于的一元一次不等式组有解且最多有6个整数解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．先解不等式组，求出的取值范围，再解分式方程，从而求出的值，最后求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ， ， ， 关于的一元一次不等式组有解且最多有6个整数解， ， 解得：， ， 方程两边同时乘得： ， ， 解得：， 关于的分式方程的解是非负数， ，且 解得：，且， ，且， ∴的值为，而，不是整数，故舍， ∴符合题意的的值为 所有满足条件的整数的值之和， 故答案为：． 【变式11-3】（2025·重庆万州·模拟预测）关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组和分式方程．先解不等式组，根据不等式组至少有个整数解，确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解确定的值，从而求出符合条件的所有整数的和． 【详解】解： 解得，， 解得，， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， 又∵不等式组至少有个整数解， ∴， 解得， 由分式方程两边都乘得，， 整理得，， 当时，方程的解为，且 ， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或或或或， ∴或或或或 ∵， ∴（不合题意，舍去）， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 【题型12 不等式组的有解或无解问题】 【例12】（2025·河南安阳·模拟预测）关于的不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求解参数的取值范围，熟练解一元一次不等式组是解题的关键． 将不等式组解出来，根据不等式组无解，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式组无解， ∴实数的取值范围是：， 解得：， 故答案为：． 【变式12-1】若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出，即可求解． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得， 将不等式两边分别乘以再加4变形得到， ∴不等式的解必有一个整数解2， 整数的个数不可能是0， 故选：A． 【变式12-2】（2025·广东江门·模拟预测）若整数使关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，先解分式方程得到，根据分式方程的解无解和分式有意义的条件求出且，再分别求出两个不等式的解集，根据不等式组无解求出，据此确定a的取值范围，从而确定符合题意的整数a，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵关于x的方程的解为负数， ∴且， ∴且； 解，得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为2，3，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：9． 【变式12-3】（2025·江苏常州·模拟预测）若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 ． 【答案】9 【分析】本题考查解一元一次方程组、解分式方程，理解一元一次不等式组的解和分式方程的解是解答的关键．先求得每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集得到a的不等式，进而可求得a的取值范围；再解分式方程，再根据分式方程的解，以及a的取值条件可得到a的取值，进而求和即可解答． 【详解】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∵原不等式组有解且仅有两个奇数解， ∴这两个奇数解为，， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得：， 解得：， ∵原分式方程的解为非负整数，∴且为整数，解得且为奇数， ∴，即且a为整数， ∴或3或5， 则， 故答案为：9． 【考点四 一元一次不等式（组）的应用】 知识点10 用一元一次不等式解决问题的一般步骤 列一元一次不等式解决问题与列一元一次方程解决问题类似，一般步骤： （1） 设未知数； （2） 列一元一次不等式； （3） 解不等式； （4） 写出答案． 【题型13 根据实际问题抽象出一元一次不等式】 【例13】（2025·吉林长春·一模）去年某市空气质量优良的天数与全年天数（365天）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过80%，那么明年空气质量优良的天数比去年至少要增加多少天？若设明年空气质量优良的天数比去年增加天，根据题意，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天，由去年该市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到且明年（365天）这样的比值要超过，即可得出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天， 依题意得：， 故答案为：． 【变式13-1】（2025·河北·一模）某中学男子跑的原记录是，嘉嘉在本次校田径运动会上打破了该项记录，设嘉嘉比赛中跑步的平均速度为，则下列符合题意的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的运用，理解数量关系，掌握不等式的列式是解题的关键． 根据行程中的数量关系，列不等式即可． 【详解】解：∵嘉嘉比赛中跑步的平均速度为，则要打破原记录，嘉嘉所跑的路程要大于， ∴， 故选：A． 【变式13-2】（2025·浙江·二模）某种礼花弹导火索燃烧的速度是，点导火索的人需在礼花燃放前跑到以外的安全区域．如果人跑开的速度是，这根导火索至少应多长？设这根导火索的长度为，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 根据题目要求列出不等式即可． 【详解】解：根据题意可得导火索燃烧完的时间为，人跑开的时间为． ∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过以外的安全区域， ∴导火索燃烧完的时间要大于人跑开的时间，即， 故选：A． 【变式13-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，小聪最多可以购买钢笔多少支？设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小聪买了x支钢笔，则买了本笔记本，根据“总价=单价×购买数量”结合总价不超过100元，即可得出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设小聪买了x支钢笔，则买了本笔记本， 根据题意得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，审清题意、明确各量间的关系是解题的关键． 【题型14 一元一次不等式的应用】 【例14】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元 (2)20盏 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 【变式14-1】（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【答案】C 【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求解x的最小整数值即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道． 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对12道题． 故选：C． 【变式14-2】（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 【变式14-3】（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． (2)当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式和二元一次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设大号中国结编了个，小号中国结编了个，编织这种中国结恰用绳25米，据此列出二元一次方程，求出整数解即可； （2）设大号编织个，则小号编织个，根据用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结列不等式，解得的取值范围，设总利润为元，得到关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个， 由题意列方程得：， ∴， ∵，均是正整数， ∴当时，， 当时，， 答：大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． （2）解：设大号编织个，则小号编织个， 则， 解得， ∵为正整数， ∴， 设总利润为元，则 ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 【题型15 根据实际问题抽象出一元一次不等式组】 【例15】（2025·浙江杭州·模拟预测）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 【变式15-1】（2025·贵州毕节·模拟预测）某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据给出的用量、找出x的取值范围是解题的关键． 据说明书上的用法用量即可得出关于x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 【变式15-2】（2025·浙江杭州·模拟预测）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均数的定义，并结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得7.2≤≤7.8，从而得出答案． 【详解】解：根据题意知7.2≤≤7.8， ∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3， 故选：A． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握平均数的定义． 【变式15-3】（2025·福建三明·模拟预测）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组． 【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页 由“张力读了一周（7天）还没读完”可得： 由“李永不到一周就已读完” 可得： 故： 故选：A． 【点睛】本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键． 【题型16 一元一次不等式组的应用】 【例16】（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 【变式16-1】（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 【变式16-2】（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【变式16-3】（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元 (2)方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； (3)方案一需要的资金最少，最少资金是2160元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“蜀宝”个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可； （3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $