第03讲 一元二次方程及其应用（根系关系与含参数问题）（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学中考复习资料聚焦一元二次方程及其应用，覆盖概念、解法、根与系数关系、含参数问题等中考核心考点，通过“考点深解-命题突破-难点攻坚-分层练测”四环节设计，帮助学生构建知识脉络，突破根系关系应用、参数问题分析等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“根系关系与参数问题”专项突破，如结合判别式验证培养推理意识，应用题设计如增长率问题发展模型意识。分层练测含“测能力/提能力”两级训练，配合即时反馈，助力学生高效提升应考能力，教师可据此精准把控复习节奏。

第二章 数与式 第03讲 一元二次方程及其应用 （根系关系与含参数问题） 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1一元二次方程的概念 考点2一元二次方程的解法 考点3一元二次方程根与系数的关系 考点4一元二次方程的应用 命题突破👉破解常考题型 题型1一元二次方程的概念 题型2一元二次方程的解法 题型3 一元二次方程的判别式 题型4 一元二次方程根与系数的关系 题型5 一元二次方程的应用 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1已知一元二次方程的解求参数 难点2已知一元二次方程的解的情况求参数 难点3已知一元二次方程根与系数的关系求参数 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 一元二次方程的概念 1.一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 3.一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 1. **定义核心**：必须为整式方程，最高次数为2，且二次项系数。 2. **易错形式**：方程需先化为（右边为0）再判断。 3. **系数符号**：是连同符号的，如中。 4. **参数陷阱**：含参时若称“一元二次方程”，必隐含条件。 ◇考点 2 一元二次方程的解法 1.解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2.解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3.解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4.解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 1. 方法选择：优先直接开方（形如 x2=p），次选因式分解，再选配方法或公式法。 2. 公式法通解：求根公式必须满足a≠0且△≥0（实根）。 3. 配方陷阱：配方法需确保二次项系数化为1，同时方程两边同加一次项系数一半的平方。 4. 因式分解：必须使乘积为0，漏解“=0”是常见错误。 5. 结果简化：根需化为最简形式。 ◇考点 3 一元二次方程根与系数的关系 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= -，x1x2 =，直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2.结合判别式△= b2 - 4ac≥0，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参数的准确取值。 韦达定理（根与系数关系）易错点： 1. 符号错误：两根和公式为 x1+x2 = ，不是 。 2. 应用前提：使用前须确认方程有根（讨论△≥0），否则只能用于复数范围。 3. 参数范围：含参时若求实根性质，必须结合△≥0) 确定参数范围。 4. 对称变形：非对称式（如 2x1+3x2 ）需先联立x1+x2 与已知条件解出具体根，再代积求参。 5. 验证勿忘：用韦达定理解出参数后，必须代回验证是否满足原方程及△条件。 ◇考点 4 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 一元二次方程应用题易错点： 1. 审题建模：准确辨别“变化率”与“累计值”，如两次降价后价格为原价×(1-率)²，而非×(1-2×率)。 2. 舍根依据：解必须符合实际意义（长度>0、人数为整数、增长率合理等），负数、零或不合题意的根要舍去。 3. 单位统一：涉及几何、物理问题时必须统一单位再列式，避免出现面积与长度混合错误。 4. 方程合理性：列式后检查等式两边的量纲是否一致，确保方程逻辑正确。 5. 检验步骤：解出答案后必须代回原题情境验证，不仅验证方程，更要验证实际可行性。 ◇题型 1 一元二次方程的有关概念 典例1（2025·四川雅安·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 典例2（2025·上海·模拟预测）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 解｜题｜技｜巧 **定义**：只含一个未知数且最高次为二次的整式方程，标准形式为 ax2 + bx + c = 0 （ a≠0）。 变式1（2025·四川绵阳·一模）一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别是 ． 变式2（2025·四川雅安·一模）关于的方程是一元二次方程，则 ． ◇题型 2 一元二次方程的解法 典例1（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 典例2（2025·陕西渭南·一模）解方程：． 解｜题｜技｜巧 1. **公式法**（万能）：直接代入求根公式。 2. **因式分解法**：将方程化为两式乘积为 0，分别求解。 3. **配方法**：配方为开方求解。 变式1（2025·陕西汉中·一模）解方程： 变式2（2025·新疆昌吉·模拟预测）解下列方程： (1)； (2) (3)； (4)． ◇题型 3 一元二次方程根的判别式 典例1（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 典例2（2025·吉林·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数的取值范围是 ． 解｜题｜技｜巧 Δ > 0：方程有两个不相等的实数根。 Δ = 0：方程有两个相等的实数根。 Δ < 0：方程没有实数根（有两个共轭虚根）。 变式1（2025·云南大理·一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 变式2（2024·湖北·一模）当m取何值时，方程始终有两个不相等的实数根： ． ◇题型 4 一元二次方程的根与系数的关系 典例1（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为 ． 典例2（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 解｜题｜技｜巧 1. 符号错误：两根和公式为 x1+x2 = ，不是 。 2. 应用前提：使用前须确认方程有根（讨论△≥0），否则只能用于复数范围。 3. 参数范围：含参时若求实根性质，必须结合△≥0) 确定参数范围。 4. 对称变形：非对称式（如 2x1+3x2 ）需先联立x1+x2 与已知条件解出具体根，再代积求参。 5. 验证勿忘：用韦达定理解出参数后，必须代回验证是否满足原方程及△条件。 变式1（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 变式2（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 变式3（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． ◇题型 5 一元二次方程的应用 典例1（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 典例2（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 解｜题｜技｜巧 1. 审题建模：准确辨别“变化率”与“累计值”，如两次降价后价格为原价×(1-率)²，而非×(1-2×率)。 2. 舍根依据：解必须符合实际意义（长度>0、人数为整数、增长率合理等），负数、零或不合题意的根要舍去。 3. 单位统一：涉及几何、物理问题时必须统一单位再列式，避免出现面积与长度混合错误。 4. 方程合理性：列式后检查等式两边的量纲是否一致，确保方程逻辑正确。 5. 检验步骤：解出答案后必须代回原题情境验证，不仅验证方程，更要验证实际可行性。 变式1（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 变式2（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 问题解决： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？ (3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ ◇难点 1 已知一元二次方程的解，求参数 典例1（2025·吉林长春·二模）若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是 ． 典例2（2025·宁夏银川·三模）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 变式1（2025·广东深圳·三模）一元二次方程的一个解为，则 ． 变式2（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 ◇难点 2 已知一元二次方程组的解的情况求参数 典例1（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为 ． 典例2（2025·湖南·模拟预测）一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 变式1（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 变式2（2024·湖南岳阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ◇难点 3 已知一元二次方程根与系数的关系求参数 典例1（2025·全国·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为6，求m的值和方程的另一个根． 典例2（2025·湖北恩施·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若、是该方程的两个根，且，求的值． 变式1（2024·四川眉山·二模）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围． 变式2（2024·广东汕头·二模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． ◇测能力 一、单选题 1．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 2．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的解为 ． 5．（2025·青海西宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值 ． 6．（2025·四川成都·模拟预测）已知是一元二次方程的两根，则 ． 三、解答题 7．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)当时，直接写出该方程的根． 8．（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？ ◇提能力 一、单选题 1．（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 2．（2025·河南郑州·模拟预测）已知点在第四象限，则一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等实根 B．有两个不等实根 C．没有实数根 D．无法判定 3．（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 二、填空题 4．（2025·四川绵阳·一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 5．（2025·山东济南·模拟预测）关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根是 ． 6．（2025·江苏南京·三模）设是关于的方程的两个根，且，则的值是 ． 三、解答题 7．（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1) (2) 8．（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 9．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 10．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 9 / 56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 第二章 数与式 第03讲 一元二次方程及其应用 （根系关系与含参数问题） 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1一元二次方程的概念 考点2一元二次方程的解法 考点3一元二次方程根与系数的关系 考点4一元二次方程的应用 命题突破👉破解常考题型 题型1一元二次方程的概念 题型2一元二次方程的解法 题型3 一元二次方程的判别式 题型4 一元二次方程根与系数的关系 题型5 一元二次方程的应用 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1已知一元二次方程的解求参数 难点2已知一元二次方程的解的情况求参数 难点3已知一元二次方程根与系数的关系求参数 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 一元二次方程的概念 1.一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 3.一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 1. **定义核心**：必须为整式方程，最高次数为2，且二次项系数。 2. **易错形式**：方程需先化为（右边为0）再判断。 3. **系数符号**：是连同符号的，如中。 4. **参数陷阱**：含参时若称“一元二次方程”，必隐含条件。 ◇考点 2 一元二次方程的解法 1.解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2.解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3.解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4.解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 1. 方法选择：优先直接开方（形如 x2=p），次选因式分解，再选配方法或公式法。 2. 公式法通解：求根公式必须满足a≠0且△≥0（实根）。 3. 配方陷阱：配方法需确保二次项系数化为1，同时方程两边同加一次项系数一半的平方。 4. 因式分解：必须使乘积为0，漏解“=0”是常见错误。 5. 结果简化：根需化为最简形式。 ◇考点 3 一元二次方程根与系数的关系 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= -，x1x2 =，直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2.结合判别式△= b2 - 4ac≥0，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参数的准确取值。 韦达定理（根与系数关系）易错点： 1. 符号错误：两根和公式为 x1+x2 = ，不是 。 2. 应用前提：使用前须确认方程有根（讨论△≥0），否则只能用于复数范围。 3. 参数范围：含参时若求实根性质，必须结合△≥0) 确定参数范围。 4. 对称变形：非对称式（如 2x1+3x2 ）需先联立x1+x2 与已知条件解出具体根，再代积求参。 5. 验证勿忘：用韦达定理解出参数后，必须代回验证是否满足原方程及△条件。 ◇考点 4 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 一元二次方程应用题易错点： 1. 审题建模：准确辨别“变化率”与“累计值”，如两次降价后价格为原价×(1-率)²，而非×(1-2×率)。 2. 舍根依据：解必须符合实际意义（长度>0、人数为整数、增长率合理等），负数、零或不合题意的根要舍去。 3. 单位统一：涉及几何、物理问题时必须统一单位再列式，避免出现面积与长度混合错误。 4. 方程合理性：列式后检查等式两边的量纲是否一致，确保方程逻辑正确。 5. 检验步骤：解出答案后必须代回原题情境验证，不仅验证方程，更要验证实际可行性。 ◇题型 1 一元二次方程的有关概念 典例1（2025·四川雅安·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解决此题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项即可． 【详解】解：A：当时，方程变为，不是二次方程，不符合题意； B：方程中含有分式，不是整式方程，不符合题意； C：方程中含有两个未知数x和y，不是一元方程，不符合题意； D：方程只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合题意． 故选：D． 典例2（2025·上海·模拟预测）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A．，时不是一元二次方程，不符合题意； B．是分式方程，不符合题意； C．未知数最高次数是3次，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 解｜题｜技｜巧 **定义**：只含一个未知数且最高次为二次的整式方程，标准形式为 ax2 + bx + c = 0 （ a≠0）。 变式1（2025·四川绵阳·一模）一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别是 ． 【答案】2，， 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，明确一元二次方程的“二次项系数、一次项系数、常数项”的定义是解题关键． 一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解： 一元二次方程中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 方程中，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：2，，． 变式2（2025·四川雅安·一模）关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得：未知数的最高次数为，且二次项系数不为零．解题的关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：． ◇题型 2 一元二次方程的解法 典例1（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴， 典例2（2025·陕西渭南·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或, 解得：，． 解｜题｜技｜巧 1. **公式法**（万能）：直接代入求根公式。 2. **因式分解法**：将方程化为两式乘积为 0，分别求解。 3. **配方法**：配方为开方求解。 变式1（2025·陕西汉中·一模）解方程： 【答案】, 【分析】此题考查了一元二次方程的解法．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ∴或， ∴, 变式2（2025·新疆昌吉·模拟预测）解下列方程： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （3）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （4）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， 解得，． ◇题型 3 一元二次方程根的判别式 典例1（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 典例2（2025·吉林·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，然后问题可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为． 解｜题｜技｜巧 Δ > 0：方程有两个不相等的实数根。 Δ = 0：方程有两个相等的实数根。 Δ < 0：方程没有实数根（有两个共轭虚根）。 变式1（2025·云南大理·一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程的根的关系是解题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 由题意得到求解即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：1． 变式2（2024·湖北·一模）当m取何值时，方程始终有两个不相等的实数根： ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程 的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，掌握一元二次方程的根的判别式是解决本题的关键． 根据一元二次方程的一般形式和判别式得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵方程始终有两个不相等的实数根， ∴ ， ∴ 解得， ∵由题意得是一元二次方程， ∴ 解得， 故答案为：且． ◇题型 4 一元二次方程的根与系数的关系 典例1（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 典例2（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 1. 符号错误：两根和公式为 x1+x2 = ，不是 。 2. 应用前提：使用前须确认方程有根（讨论△≥0），否则只能用于复数范围。 3. 参数范围：含参时若求实根性质，必须结合△≥0) 确定参数范围。 4. 对称变形：非对称式（如 2x1+3x2 ）需先联立x1+x2 与已知条件解出具体根，再代积求参。 5. 验证勿忘：用韦达定理解出参数后，必须代回验证是否满足原方程及△条件。 变式1（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 变式2（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 变式3（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． ◇题型 5 一元二次方程的应用 典例1（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 典例2（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 解｜题｜技｜巧 1. 审题建模：准确辨别“变化率”与“累计值”，如两次降价后价格为原价×(1-率)²，而非×(1-2×率)。 2. 舍根依据：解必须符合实际意义（长度>0、人数为整数、增长率合理等），负数、零或不合题意的根要舍去。 3. 单位统一：涉及几何、物理问题时必须统一单位再列式，避免出现面积与长度混合错误。 4. 方程合理性：列式后检查等式两边的量纲是否一致，确保方程逻辑正确。 5. 检验步骤：解出答案后必须代回原题情境验证，不仅验证方程，更要验证实际可行性。 变式1（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 变式2（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 问题解决： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？ (3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)售价为元时，每天最大利润为3310元 【分析】（1）设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x，依素材1列方程求解即可； （2）设应降y元，依素材2可列方程求解； （3）设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得W关于m的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解． 本题考查列一元一次方程和一元二次方程解应用题，以及二次函数性质的应用． 【详解】（1）解：设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x， 依素材1，可得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为． （2）解：设应降y元，依素材2，可列方程， 解得． 答：应降5元． （3）解：设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得： ， 当时，W取得最大值为3310． 答：售价为元时，每天最大利润为3310元． ◇难点 1 已知一元二次方程的解，求参数 典例1（2025·吉林长春·二模）若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】21 【分析】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 根据是关于的一元二次方程的解，可以得到的值，然后代入代数式，即可求得所求式子的值． 【详解】解：是关于的一元二次方程的解， ， ， ， ， 故答案为：21． 典例2（2025·宁夏银川·三模）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】把代入方程求出，代入原式计算即可求出值． 此题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键要明确：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：把代入方程得：， 则原式， 故答案为： 变式1（2025·广东深圳·三模）一元二次方程的一个解为，则 ． 【答案】 【分析】将代入方程列出关于a的方程，解该方程即可．本题考查一元二次方程根的定义，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：由条件可知， 解得：， 故答案为：． 变式2（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． ◇难点 2 已知一元二次方程组的解的情况求参数 典例1（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 典例2（2025·湖南·模拟预测）一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此结合二次项系数不为0列式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 变式1（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 变式2（2024·湖南岳阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式建立不等式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． 故答案为：且 ◇难点 3 已知一元二次方程根与系数的关系求参数 典例1（2025·全国·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为6，求m的值和方程的另一个根． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，根据判断的正负，进而确定根的情况． （2）将已知根代入方程求出的值，再利用韦达定理（一元二次方程两根之和与系数的关系）求出另一个根 ． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，熟练掌握根的判别式判断根的情况以及韦达定理求根与系数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中，，． 根的判别式， 则 ． ， ， ，即 ． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根， 原方程有两个不相等的实数根． （2）解：是方程的一个根， 把代入方程得 ， 即， ， 解得 ． 设方程的另一个根为， 在方程中，，， 已知一个根是，则 ， ． 典例2（2025·湖北恩施·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若、是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根据根的判别式判断一元二次方程根的个数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）计算出的值，根据的取值范围即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，，然后代入中，求出的值即可． 【详解】（1）解：， 方程总有两个实数根； （2）解：根据题意得：，， ， ， 解得：． 变式1（2024·四川眉山·二模）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围． 【答案】(1)m的取值范围是； (2)m的取值范围． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式等知识点， （1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可； （2）求出，再代入计算即可解答； 熟练掌握一元二次的根与系数的关系是解决此题的关键． 【详解】（1）解：方程整理得， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 即m的取值范围是； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故m的取值范围． 变式2（2024·广东汕头·二模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【答案】(1)方程是“邻近根方程”； (2)48 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用等等： （1）利用公式法求出，则，据此可得答案； （2）设关于x的方程的两个实数根为，则由根与系数的关系可得，再根据题意得到，则，据此推出，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 解得， ∴， ∴方程是“邻近根方程”； （2）解：设关于x的方程的两个实数根为， 则由根与系数的关系可得， ∵关于x的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值48，即有最大值48． ◇测能力 一、单选题 1．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 2．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方． 【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：， 故选：B． 二、填空题 4．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解方程即可． 【详解】解： ， ， 故答案为∶ 5．（2025·青海西宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴k的值可以为（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2025·四川成都·模拟预测）已知是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】2029 【分析】本题考查根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：因为、是一元二次方程的两根， 所以， 所以 ， 故答案为：2029． 三、解答题 7．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)当时，直接写出该方程的根． 【答案】(1)见解析； (2),． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）计算该一元二次方程根的判别式，并结合完全平方公式进行整理，即可解题； （2）将代入一元二次方程进行整理，再结合因式分解法解整理后的一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：由题知， ， 该方程总有两个实数根； （2）解：当时，关于x的一元二次方程为， 整理得， 则或， 解得，． 8．（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？ 【答案】每件玩具应降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．每件玩具应降价元，则单价为元，销量为个，根据单价销量销售额（批发额）列方程求解即可． 【详解】解：设每件玩具应降价元． 根据题意得，， 整理得，，即， 解得． 答：每件玩具应降价元． ◇提能力 一、单选题 1．（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式， 需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 2．（2025·河南郑州·模拟预测）已知点在第四象限，则一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等实根 B．有两个不等实根 C．没有实数根 D．无法判定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．先根据点所在的象限可得，则可得，再根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴一元二次方程根的判别式为， ∴这个方程有两个不等实根， 故选：B． 3．（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 【答案】B 【分析】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 二、填空题 4．（2025·四川绵阳·一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和代数式求值，准确计算是解题的关键． 利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入代数式求解． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， , ， ； 故答案为． 5．（2025·山东济南·模拟预测）关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，则． 设方程的另一个根为，根据韦达定理即可得到结论． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据题意得，， 解得：， ∴方程的另一个根为． 故答案为：． 6．（2025·江苏南京·三模）设是关于的方程的两个根，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了用因式分解法和配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用因式分解法和配方法求解一元二次方程的方法和步骤． （1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可． 【详解】（1）解： ，或 解得，，． （2）解： 配方得 ，． 8．（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 【答案】(1)是凤凰方程，理由见解析 (2) 【分析】（）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义判断即可； （）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义得到关于的方程解答即可； 本题考查了一元二次方程的解，理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，，，， ∴， ∴一元二次方程是凤凰方程； （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】(1) (2)的值为8 (3)苗圃的面积不可以达到，理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键在于读懂题意，根据已知列方程求解． （1）根据木栏总长32米，如图所示的两处各留2米宽的门求出长； （2）根据题意得即可得到答案； （3）列出面积表达式，将代入判断即可． 【详解】（1）解：依据题意，， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， （舍去）， ； （3）解：不可以达到．理由如下： 若可以达到，则， 化简得：， ，无解， ∴苗圃的面积不可以达到． 10．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据根与系数之间的关系，得到，结合，得到关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根； （2）解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ． 9 / 56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $