第01讲 一次方程（组）及其应用（复习讲义，6考点+37题型+4重点）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次方程（组）及其应用”专题，覆盖等式性质、方程（组）的解与解法、实际应用等中考核心考点，以命题点-题型-典例-变式的架构梳理知识网络，通过考情剖析、知识导航、真题训练等环节，帮助学生系统突破方程应用中的行程、工程、销售等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于融合数学核心素养，如结合《九章算术》古代问题和绿色能源现代情境培养数学眼光，通过新定义题型和规律探究题训练数学思维，设置分层练习和重难突破模块保障复习效果。教师可借助资料精准把控考点，学生能提升建模能力和应考技巧，实现高效复习。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第01讲 一次方程（组）及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 5 03·考点解析·知识通关 7 04·命题洞悉·题型预测 22 命题点一 等式的基本性质 题型01等式的性质相关求解 题型02等式的性质天平类题型 题型03利用等式的性质判断选项是否成立 命题点二 一元一次方程的解 题型01 已知方程的解求参数的值 题型02 解一元一次方程 题型03 判断一元一次方程的解题步骤是否正确 题型04 一元一次方程中程序流程图问题 命题点三 一元一次方程的实际应用 题型01 一元一次方程实际应用配套问题 题型02 一元一次方程实际应用工程问题 题型03 一元一次方程实际应用盈亏问题 题型04 一元一次方程实际应用比赛积分问题 题型05 一元一次方程实际应用方案选择问题 题型06 一元一次方程实际应用数字问题 题型07 一元一次方程实际应用动点问题 题型08 一元一次方程实际应用和差倍问题 题型09 一元一次方程实际应用水费电费问题 题型10 一元一次方程实际应用行程问题 题型11 一元一次方程实际应用日历问题 题型12一元一次方程实际应用古代问题 命题点四 二元一次方程组的解 题型01 二元一次方程（组）的解 题型02 已知二元一次方程（组）的解求参数 题型03 解二元一次方程组（计算题） 题型04 构造二元一次方程组求解 题型05 已知二元一次方程（组）解的情况求参数 题型06 二元一次方程组中同解问题 命题点五 二元一次方程组的实际应用 题型01 二元一次方程（组）实际应用之列方程 题型02 二元一次方程（组）实际应用之方案问题 题型03 二元一次方程（组）实际应用之行程问题 题型04 二元一次方程（组）实际应用之工程问题 题型05 二元一次方程（组）实际应用之数字问题 题型06 二元一次方程（组）实际应用之分配问题 题型07 二元一次方程（组）实际应用之销售利润问题 题型08 二元一次方程（组）实际应用之和差倍问题 题型09 二元一次方程（组）实际应用之几何问题 题型10 二元一次方程（组）实际应用之古代问题 命题点六 三元一次方程组及其应用 题型01 三元一次方程组的定义及其解 题型02 三元一次方程组的实际应用 05·重难突破·思维进阶 133 突破一 一元一次方程中新定义题型 突破二 一元一次方程中新情境类题型 突破三 一次方程中规律类题型 突破四 一次方程（组）实践探究题型 考点 课标要求 考法分析 一元一次方程基础概念及等式的性质 掌握等式的基本性质，理解一元一次方程的定义，能识别一元一次方程，明确方程的解的含义。 常以选择题、填空题形式考查，难度较低。一是考查等式性质的应用，比如判断等式变形的正误，或结合天平平衡等（例如2025·山东滨州卷，四川卷）；二是考查一元一次方程的判定，比如给出含参数的方程，判断其为一元一次方程时参数的取值；三是已知方程的解求参数值（如2025·广东深圳卷，四川遂宁卷等）， 一元一次方程的解法 能熟练运用等式性质，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程。 题型以选择题、填空题或解答题中的基础题为主。一种考法是直接考查解方程，要求写出完整步骤；另一种是判断解题过程的正误，比如指出去分母、移项等步骤中出现的错误；一元一次方程的解法常常单独考查在解答题中2025·四川眉山卷等 二元一次方程（组）的基础概念 理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，清楚二元一次方程的无数组解与方程组的唯一解（或无解等）的区别。 多为选择题、填空题，难度不大。常考查二元一次方程（组）的识别，比如判断给出的方程或方程组是否为二元一次方程（组）；也会考查二元一次方程的解的特征，比如给出一个二元一次方程，判断某个数对是否为它的解，或是根据解的特点求参数范围。2025·山东德州卷、2025·四川泸州卷等 二元一次方程组的解法 掌握代入消元法和加减消元法，能熟练求解二元一次方程组，部分地区要求能解简单的三元一次方程组 是中考基础必考点，题型涵盖选择、填空和解答题。常规考法是直接求解方程组2025·山东淄博卷、2025·山东潍坊卷等；进阶考法包括用整体法简化求解过程、已知方程组同解求参数、根据方程组解的情况（有唯一解、无解等）确定参数值2025·江苏徐州卷等，例如给出两个含参数的方程组同解，求参数的取值。 一次方程（组）的实际应用 能根据现实情境理解方程的意义，针对行程、工程、销售、计费等实际问题，准确提取等量关系并列出一次方程（组）求解。 高频考点，多以选择题或解答题形式考查，难度中等。常见情境有：行程问题（相遇、追及等，围绕路程、速度、时间的关系列方程）2025·黑龙江卷、2025·江苏徐州卷；工程问题（结合工作量、工作效率、工作时间构建模型）2025·江西卷；销售问题（涉及单价、数量、利润等）2025·黑龙江哈尔滨卷、2025·湖南长沙卷等；计费问题（如出租车起步价、话费套餐等分段计费场景）。近年还出现结合跨学科背景或真实生活情境的考题，如结合港珠澳大桥长度、疫情期间物资运输等情境命题，要求先分析题意，找出等量关系，再列方程（组）求解，部分题目还需根据结果给出合理建议。 命题预测 命题趋势：2026年中考一次方程（组）及其应用的命题将延续“基础为本、素养导向” 的核心原则，最显著的趋势是实际应用场景与多学科融合深化，同时强化方程作为工具的综合运用。从近年真题及命题研讨方向来看，传统的行程、工程、销售等经典情境仍会保留，但会更多结合乡村振兴、绿色能源、非遗传承等时代热点，或融入《九章算术》等古代数学文化素材，创设真实且有意义的问题情境。 备考建议：针对命题趋势，最关键的备考策略是聚焦实际应用的核心模型，构建 “审题—建模—求解—验解” 的标准化解题闭环。首先，需分类梳理高频应用场景的核心等量关系，形成 “题型—模型” 对应思维，如销售问题中 “利润=售价-成本、售价=标价×折扣”，行程问题中 “相遇总路程 = 两者路程和” 等，通过专项训练熟练提取题干中“共”“比…… 多”“打折” 等关键词，快速锁定等量关系。其次，强化 “验解” 意识，这是避免实际应用失分的关键 —— 求解后需结合情境验证解的合理性，如人数、数量需为正整数，里程、费用不能为负，确保答案符合实际意义。 考点一 一元一次方程的解求参数 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的 次数是1（最高次项为一次项），等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程； 2.方程的解：使一元一次方程等号两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 3.等式的基本性质（解方程的依据） 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 即如果a=b，则a±c=b±c； 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 即如果a=b，则a×c=b×c； 如果a=b（c≠0），则 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 2．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：4． 3．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入，得， ∴， ∴， 故答案为：2 4．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 考点二 解一元一次方程 一元一次方程的解法（核心技能） 步骤 操作要点 易错提醒 去分母 在方程两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母。 不要漏乘不含分母的项；② 分子是多项式时，要加括号 去括号 按照 “先小括号，后中括号” 的顺序，运用乘法分配律展开括号。 ① 括号前是负号时，括号内各项要变号；② 不要漏乘括号内的每一项。 移项 将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边。 移项要变号（“+” 变 “-”，“-” 变 “+”），未移项的项不变号。 合并同类项 分别合并等号两边的同类项，将方程化为 ax=b(a≠0)的形式。 合并同类项时，系数相加，字母和次数不变 系数化为1 在方程两边同除以未知数的系数 a，得x= ①除数不能为0；②注意符号：a、b同号得正，异号得负 1．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    【答案】99 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 2．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：3． 3（2025·四川眉山·中考真题）（1）计算：     （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的运算，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）先开方，去绝对值，再进行加减运算即可； （2）去括号，移项，合并，系数化1，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：． 考点三 一元一次方程的实际应用 1. 列方程解应用题的一般步骤 审：审题，找出已知量、未知量及等量关系； 设：设未知数（直接设：问什么设什么；间接设：设与所求量相关的量）； 列：根据等量关系列出一元一次方程； 解：解所列方程，求出未知数的值； 验：检验解是否符合实际意义； 答：写出答案（带单位）。 2.常见的应用题型和等量关系 题型 核心等量关系 和差倍问题 较大数 = 较小数 + 差；总量 = 倍数 × 倍量 行程问题 ①相遇：路程和=总路程；②追及：路程差=初始距离；③匀速：路程=速度×时间 工程问题 ①工作总量=工作效率×工作时间；②总工作量=各部分工作量之和（常把总工作量设为1） 利润问题 ①利润=售价-成本；②利润率=；③售价=标价×折扣 配套问题 配套的两种物品数量比等于配套比（例：1个螺栓配2个螺母，则螺栓数×2 =螺母数） 1．（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】设买鸡的人数为，根据两种不同出钱方式下鸡的价钱不变这一关系，分别表示出两种情况下鸡的价钱，建立方程求解即可．本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系（鸡的价钱不变 ）建立方程求解是解题的关键． 【详解】根据题意，每人出9文钱时，总钱数为文，多出11文，故鸡的价钱为文； 每人出6文钱时，总钱数为文，不足16文，故鸡的价钱为文． 列方程： 解得： 故买鸡的人数为9人， 故选：D． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 3．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 由题意得，， 解得， ∴这款风扇每台的标价为350元， 故选：A． 4．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 (2)每天乙文创产品增加的数量是个 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． （2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 5．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 【答案】(1) (2)注水5小时可供发电万千瓦时． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． （1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可； （2）根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式． （2）解：根据题意，得， 解得． 答：注水5小时可供发电万千瓦时． 考点四 根据二元一次方程组的解求解 1.二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 注意：二元一次方程有无数组解，一组解是指一对未知数的值 2.二元一次方程组定义：由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。 标准形式：（、不同时为0，、不同时为0），例：、均为二元一次方程组。 3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组中所有方程左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 注意：二元一次方程组通常只有一组解，特殊情况下无解或有无数组解。 1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 考点五 解二元一次方程组 二元一次方程组的解法 核心思路：消元（将二元转化为一元一次方程求解），常用方法有两种。 解法类型 代入消元法 加减消元法 核心思路 将一个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程 通过加减运算消去一个未知数，转化为一元一次方程 适用场景 1.方程组中某一个方程的某个未知数系数为1或 −1 2. 能轻松将一个方程变形为 x=ay+b 或 y=ax+b 的形式 1.方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数 2.同一个未知数的系数成倍数关系，可通过乘系数转化为相等或相反 解题步骤 1.变形：选一个方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示（如 y=kx+b） 2.代入：把变形后的式子代入另一个方程，消元得一元一次方程 3.求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值 4.回代：将求得的值代入变形后的式子，求出另一个未知数 5. 写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解 1.变形（可选）：若系数不相等或相反，给方程两边同乘适当数，使同一未知数系数相等或相反 2.加减：系数相反用加法，系数相等用减法，消元得一元一次方程 3.求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值 4. 回代：将求得的值代入原方程组任意一个方程，求出另一个未知数 5.写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解 易错点 1. 变形后误代入原变形方程，导致恒等式2. 代入时漏乘括号内的项，或符号错误 1. 加减消元时，系数相等用减法，容易忽略各项变号 2. 变形乘系数时，漏乘方程中的常数项 1．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为： 2．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 3．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 4．（2025·山东潍坊·中考真题）解方程组：． 【答案】（． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． 【详解】解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 考点六 二元一次方程（组）实际应用 1.列方程组解应用题的一般步骤 ①审：审题，找出已知量、未知量，确定两个等量关系； ②舍：设两个未知数（直接设或间接设）； ③列：根据两个等量关系列出二元一次方程组； ④解：解方程组，求出未知数的值； ⑤验：检验解是否符合实际意义 ⑥答：写出答案（带单位） 2.常见应用题及其等量关系 题型 核心等量关系 和差倍分问题 量1±量2=差值；量1=倍数×量2 行程问题 相遇：路程和=总路程；追及：路程差=初始距离；顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速 工程问题 工作总量=工作效率×工作时间；总工作量=各部分工作量之和 利润问题 总利润=单件利润×数量；总销售额=单价×数量 配套问题 配套的两种物品数量比=配套比例（如1张桌子配4把椅子，则桌子数×4=椅子数） 数字问题 两位数=十位数字×10+个位数字；三位数=百位数字× 100 +十位数字× 10 +个位数字 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设每匹马的价格为x，每头牛的价格为y，根据题意可得， ． 故选A． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可． 【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：， ∴， ∵x、y均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案． 故选B． 3．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【答案】游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元”建立方程组求解即可． 【详解】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 由题意得：， 解得：， 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． 4．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． (2)需要准备公斤大米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 命题点一 等式的基本性质 ►题型01 等式的性质相关求解 利用等式的基本性质判断选项是否正确一般方法 1.明确原等式：确定题目给出的原始等式（如a=b）； 2.分析选项的变形操作：看选项是对原等式两边进行了加、减、乘、除中的哪种操作，以及操作的对象是什么； 3.对照性质逐一判断 加减变形：重点看两边是否加 / 减了同一个对象（数或整式），若是则正确；若两边加/减的不是同一个对象，则错误。 乘除变形 乘法：看两边是否乘了同一个数，若是则正确（无特殊限制）。 除法：两个关键点——①两边除以的是同一个对象；②这个对象不能为0。 【典例】（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，代入， 得， ∴，故A错误，不符合题意； B．若，则， ∴，故B正确，符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由得不出，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025·湖北荆州·三模）已知，则下列等式关系不正确的是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于的数，结果仍相等．据此依次对各选项进行分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，原等式关系正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，原等式关系正确，故此选项不符合题意； C．∵， ∴，原等式关系不正确，故此选项符合题意； D．∵， ∴，原等式关系正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，分式的意义，乘方，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据等式的性质，分式的意义，乘方，二次根式的性质解答即可． 【详解】解：A. 若，时，则，选项变形错误，故本选项不符合题意； B. 若，则，正确，故本选项符合题意； C. 若，则，选项变形错误，故本选项不符合题意； D. 若，则，选项变形错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，不等式的性质，根据等式的变形代入计算，然后逐项判断解题即可． 【详解】解：A.等式两边同时减去得，结论正确，不符合题意； B.等式两边同时减去得，结论正确，不符合题意； C.由，，则可得到，结论正确，不符合题意； D.由可得，则，当时，，即，原结论错误，符合题意； 故选：D． ►题型02等式的性质天平类题型 天平问题的本质是等式的直观模型：天平平衡代表等式成立，天平两边的物体质量对应等式两边的代数式或数值。解题的核心是将天平的操作转化为等式的变形，严格遵循等式的两条基本性质 天平状态/操作 等式的等价表述 天平平衡 等式成立（左边质量=右边质量） 天平左边下沉 左边质量＞右边质量 天平右边下沉 坐标质量＜右边质量 两边同时加或减相同质量的问题 等式两边同时加/减同一个数或整式 两边同时乘 / 除以相同的倍数（物体数量成倍数增加 / 减少，且物体规格相同） 等式两边同时乘/除以同一个不为0的数 【典例】（2025·甘肃庆阳·三模）用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键：①等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即：如果，那么；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：如果，那么；如果，那么． 根据题意以及左右两图的含义即可直接得出答案． 【详解】解：由题意可知： 左图的含义为：， 右图的含义为：， 能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为： 如果，那么， 故选：C． 【变式1】（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】考查了等式的性质的应用．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，根据图1列出等式，然后由等式的性质参照图2进行答题． 【详解】解：设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z， 则，即． 所以． 所以 在图2天平的右盘中需放入6个○才能使其平衡． 故选：B． 【变式2】（2024·贵州·模拟预测）如图，在两台天平的左右两边分别放入“□”“ ”“”三种物体．若图①所示的天平保持平衡，要使图②的天平也保持平衡，则需在右盘放入“”的个数是（    ） A． B． C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，代数式的求值．设□表示的数为，表示的数为，表示的数为，由图①可知，，由图②中，可得，即可解答． 【详解】解：设□表示的数为，表示的数为，表示的数为， 由图①知，， ∴， ∴图②中， ∴图②中需在右盘放入“”的个数是， 故选：B． ►题型03 利用等式的性质判断选项是否成立 【典例】（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式的变形计算，等式性质，根据分式的运算，完全平方公式的变形计算，等式性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵，∴， ∴，∴，原选项正确； 、若，由于，， ∵， ∴， ∴， ∴，原选项正确； 、若，∵， ∴，即，原选项正确； 、若，则， ∴， 将代入等式， 左边，右边， 左边右边，原选项错误， 故选：． 【变式1】（2025·安徽安庆·一模）设，，为互不相等的实数，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意可得，进一步可得，而根据现有条件无法得到A、B、D中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故C选项结论正确，符合题意； 根据现有条件无法证明A、B、D三个选项中的结论， 故选：C． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质，实数的性质，根据已知等式，代入各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由，得， 故A选项错误， ， ， ∴，故B选项错误， ，故C选项错误 ， ， ，故D选项正确， 故选：D． 命题点二 一元一次方程的解 ►题型01 已知方程的解求参数的值 【典例】（2025·广西钦州·二模）若是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入中解得a的值即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式1】（2025·江苏无锡·二模）已知是方程，那么m的值是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，掌握方程的解的定义，解一元一次方程的方法是解题关键．根据方程的解得定义把代入方程转化为关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵是方程， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式2】（2025·广东云浮·一模）若是关于的一元一次方程的解，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：D． ►题型02 解一元一次方程 解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体操作 依据 适用场景 去分母 方程两边同时乘所有分母的最小公倍数(常数项也需要乘) 等式性质2 方程中含有分母时 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号；括号前是负号时，括号内各项要变号 去括号法则、乘法分配律 方程中含有括号时 移项 把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边 等式性质1 方程两边同时有未知数项或常数项时 合并同类项 分别合并左右两边的同类项，将方程化为 ax=b（a≠0）的形式 合并同类项法则 方程中有同类项时 系数化为1 方程两边同时除以未知数的系数a（或乘​） 等式性质2 方程化为ax=b形式后 【典例】（2025·广东深圳·模拟预测）解方程： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次方程，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可． 【详解】（1）解； 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 两边同乘，得， 整理，得， 移项、合并同类项，得， 解得． 【变式1】（2025·福建宁德·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号，移项合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】解：． ． ． ． 【变式2】（2025·安徽淮南·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是关键． 【详解】解， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，． 【变式3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）通过移项，合并同类项，一次项系数化为1等步骤解答即可； （2）通过去分母，一次项系数化为1的步骤解答即可； （3）通过移项，合并同类项，一次项系数化为1等步骤解答即可． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得； （2）解：， 两边同乘以，得， 两边同除以4，得； （3）解：移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以2，得． ►题型03判断一元一次方程的解题步骤是否正确 按照“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的顺序，逐一检查每一步的变形是否符号规则 1.检查分母步骤 确定是否给方程的每一项都乘了分母的最小公倍数，重点排查不含分母的常数项或参数项，是否存在漏乘情况 例如：解方程，若步骤写x+1=6，则漏乘了左边的常数项1，错误。 若分子是多项式，检查去分母后是否给分子加了括号，避免因省略括号导致符号或乘法分配律应用错误。 例如：解方程1-，若步骤写2-x-1=2x，则未给分子加括号，忽略了右边漏乘2，正确应为2-（x-1）=4x 2.去括号步骤检查 括号前是负号时，检查括号内的每一项是否都变号，避免只变第一项、漏变后面项的情况。 检查是否应用乘法分配律时漏乘括号内的项，尤其是系数为负数或分数的情况。 3.检查移项步骤 重点看移项的项是否都变号，未移项的项是否保持不变，避免“移项不变号”或“没移项却变号”的错误 【典例】（2025·河北·模拟预测）复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示： 习题1 习题2 …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 即第四步 (1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程． 【答案】(1)习题1从第一步开始出现错误；习题2从第二步开始出现错误； (2)见解析． 【分析】此题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤和方法是关键． （1）根据解方程的步骤进行判断即可； （2）按照正确的步骤和方法解方程即可． 【详解】（1）解：习题1去分母时常数项没有乘以分母的最小公倍数，即从第一步开始出现错误；习题2常数项判断错误，即从第二步开始出现错误； （2） …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 则 即第四步． 【变式1】（2025·河北保定·模拟预测）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 【答案】(1)错误，错误 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）根据解分式方程的步骤进行判断即可； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误， 故答案为：错误，错误； （2）解： 经检验，当时，， ∴是分式方程的解． 【变式2】（2025·贵州黔东南·二模）（1）计算： （2）下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①一；② 【分析】本题考查了零指数幂，实数的混合运算，解一元一次方程. （1）先计算零指数幂，二次根式，绝对值，再计算加减即可； （2）①第一步，去分母错误； ②根据求解一元一次方程的运算法则计算即可. 【详解】解：（1）原式 （2）①第一步，去分母错误， 故答案为：一； ②解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： ►题型04 一元一次方程中程序流程图问题 【典例】（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，理解程序图是解题的关键． （1）根据程序图输入，即可求解； （2）根据程序图可得，从而得到，即可求解； （3）根据得到的m值比n值大，可得到关于x的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：输入，得到，； 故答案为：2；1； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∴； （3）解：由计算程序，可知，． ∵m值比n值大， ∴， 解得：． 【变式1】（2025·河北廊坊·二模）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的积； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求a的值： ②求，4，5，这四个数的平均数． 【答案】(1)60 (2)①；②四个数的平均数为 【分析】本题主要考查了有理数的加法，求平均数，解一元一次方程： （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）①根据题意列出关于a的一元一次方程，求解即可；②由①知a的值，根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， 即这已知的四个数的积为60； （2）解：①∵横排三个数的和与竖列三个数的和相等， ∴， 解得：； ② 即这四个数的平均数为． 【变式2】（2025·河北石家庄·二模）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入值，由上面的一条运算路线从左至右进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右进行运算得到．如：输入，得到． (1)若输入，求m，n的值； (2)若得到，求输入的的值及相应的的值； (3)若得到的的值比值小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，有理数的四则混合计算，正确理解流程图是解题的关键． （1）仿照题意计算求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程求出x的值，进而求出n的值即可； （3）分别用含x的式子表示出m、n，再根据题意建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：由题意得，，解得， ∴； （3）解：由题意得，， ； ∵得到的的值比值小， ∴， 解得． 【变式3】（2025·河北石家庄·二模）下图为一个“鱼形”计算程序．输入值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到．例：若输入，则，． (1)若得到，求输入的值及相应的值． (2)若输入值后得到的始终大于，求输入的最大整数值是多少． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的运算，不等式的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则进行运算即可； （2）列出不等式运算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ∴把代入可得：， 解得：， ∴； （2）∵， ， ∴由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴取的最大整数为． 命题点三 一元一次方程的实际应用 ►题型01 一元一次方程实际应用配套问题 配套问题的本质是比例关系，例如 1个螺栓配2个螺母→螺栓数量：螺母数量=1:2→螺母数量=2×螺栓数量 1张桌子配4把椅子→桌子数量：椅子数量=1:4→椅子数量=4×桌子数量 m个A配n个B→A数量：B数量=m：n→n×A数量=m×B数量（交叉相乘，消去比例） 【典例】（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【答案】应分配名工人生产电压表． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，依题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表， 依题意得， 解得， 答：应分配名工人生产电压表． 【变式1】（2025·陕西西安·三模）某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器人，每台机器人每天可完成件上衣或条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？ 【答案】该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决配套问题，解题关键是找准等量关系． 先设应该安排x台机器人生产上衣，根据“为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子）”列出方程求解． 【详解】解：设应该安排x台机器人生产上衣， 根据题意得，， 解得， （台）， ∴该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子． 【变式2】（2025·陕西西安·三模）太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ 【答案】分配名工人生产镜架，则有人生产镜片． 【分析】本题考查一元一次方程的应用——配套问题，根据套数相等建立方程是解题的关键． 设分配名工人生产镜架，用含的代数式表示镜架和镜片的数量，根据套数相等建立方程，求解即可． 【详解】设分配名工人生产镜架，则有人生产镜片，根据题意列方程 ，得 ， 解得：， ， 答：分配名工人生产镜架，则有人生产镜片． ►题型02 一元一次方程实际应用工程问题 一元一次方程实际应用工程问题解题思路 1.审题：明确工程的完成方式（单独做、合作做、分阶段做），找出已知的工作时间、工作量等条件。 2.设未知数 若求完成时间：设总时间为x（或某阶段时间为x） 若求工作效率/人数：设未知效率或人数为x 3.表示效率与工作量：根据已知条件，用含x的式子表示各主体的工作效率、工作时间、工作量等条件 4.列方程：根据以下等量关系列方程 单独做：效率×时间=1（总工作量）； 合作做：合作效率×合作时间=1； 分阶段做：第一阶段工作量+第二阶段工作量=1 分工做：甲工作量+乙工作量=1 5.解方程：求出未知数的值，注意步骤规范（去分母、移项等避免错误点）。 6.检验+作答：检验解是否符合实际意义（时间、效率为正数），再回答题目问题。 【典例】（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【答案】小峰打扫了． 【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为， 由题意，得：， 解得：， 答：小峰打扫了． 【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）某工程队对一老旧小区进行改造，计划8个月完成任务，为了尽量减少施工对居民生活的影响，工程队加快施工进度，平均每月实际改造的楼层数比原计划的2倍少2层，结果比原计划提前2个月完成任务，求原计划每月改造的楼层数． 【答案】原计划每月改造的楼层数为3层 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设原计划每月改造的楼层数为x层，根据平均每月实际改造的楼层数比原计划的2倍少2层，结果比原计划提前2个月完成任务，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每月改造的楼层数为x层， 根据题意可得：， 解得：， 答：原计划每月改造的楼层数为3层． 【变式2】（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲单独做需要60天完成全部工作 (2)施工费用不够，见解析，需要追加万元 【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． （1）设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，根据题意列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期， 由题意可得：， 解得： 经检验，时，， 则是原分式方程的解， 答：甲单独做需要60天完成全部工作． （2）解：设甲乙两队合作完成这项工程需要y天， 由题意可得：， 解得：， 需要施工费用：，需追加：（万元） 答：施工费用不够，需要追加万元． 【变式3】（2025·陕西咸阳·二模）人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司开发了甲、乙两款AI模型．为了提高效率，实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．已知乙模型每小时处理的数据比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小时分别处理多少GB的数据？ 【答案】甲模型每小时处理60GB的数据，乙模型每小时处理45GB的数据 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设甲模型每小时处理 的数据，则乙模型每小时处理 的数据．甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．据此列方程并解方程即可． 【详解】解：设甲模型每小时处理 的数据，则乙模型每小时处理 的数据． 由题意，得， 解得， （）， 答：甲模型每小时处理60的数据，乙模型每小时处理45的数据． ►题型03 一元一次方程实际应用盈亏问题 1.基本术语 盈：分配后有剩余（多出来的数量）； 亏：分配后不够分（缺少的数量）； 恰好分完：既没有剩余，也没有不足。 2.核心不变量 无论采用哪种分配方案，物品总数和分配对象的数量是固定的，这是列方程的关键依据。 3.通用等量关系 方案1的物品总数=方案2的物品总数 推导公式： 若每人分m个，盈a个→物品总数=m×人数+a 若每人分n个，亏b个→物品总数=n×人数-b 【典例】（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【答案】(1)种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元． (2)甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键； （1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可； （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元， ∴， 解得：， ∴， 答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元． （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米； ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意， 答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）5月20日，“世界蜜蜂日”西北大区会场暨蜂产业助力乡村振兴主题活动在宝鸡市陇县八渡镇启幕．活动现场，西北地区优质蜂产品企业纷纷展示特色农货．已知购买A种蜂蜜和B种蜂蜜共需450元，若A种蜂蜜的单价打八折之后与B种蜂蜜的单价相等，求A，B两种蜂蜜的单价． 【答案】，两种蜂蜜的单价分别为150元和120元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据A种蜂蜜的单价打八折之后与B种蜂蜜的单价相等，则设种蜂蜜的单价为元，则种蜂蜜的单价为元，又因为购买A种蜂蜜和B种蜂蜜共需450元，得，解得，即可作答． 【详解】解：设种蜂蜜的单价为元，则种蜂蜜的单价为元， 根据题意，得， 解得， 则种蜂蜜的单价为（元）， 答：，两种蜂蜜的单价分别为150元和120元． 【变式2】（2025·北京·三模）我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折． 小熊 钥匙扣 套装 进价 13 3 售价 16 4 购买意向占比 (1)出售一份套装可获得的利润是______元； (2)为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？ 【答案】(1)2 (2)至少定制小熊195个，定制钥匙扣165个． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用等知识点，熟练掌握有关利润问题的等量关系是解题的关键． （1）根据利润、售价、折扣与进价的关系列式计算即可解答； （2）设设销售总份数为x件，根据小熊的利润，钥匙扣的利润与套装的利润和等于总利润600元，列出方程进行求解即可解答． 【详解】（1）解： ． ∴出售一份套装可获得的利润是2元． 故答案为：2． （2）解：设设销售总份数为x件， 由题意得：， 解得：， ∴单独买小熊：（个）， 单独买钥匙扣：（个）， 买套装：（套）， ∴至少定制小熊：（个），定制钥匙扣：（个）． 答：至少定制小熊195个，定制钥匙扣165个． 【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）某中学举办以“诗韵华夏，词润心田”为主题的诗词朗诵大赛，学校专门定制一些笔记本和纪念册作为大赛奖品．已知一个笔记本比一个纪念册价格便宜元，定制个笔记本和个纪念册共需花费元． (1)求定制一个笔记本和一个纪念册各需多少元？ (2)根据学生获奖比例，学校决定定制笔记本和纪念册共个，但总支出不能超过元，求最多可以定制多少个纪念册？ 【答案】(1)定制一个笔记本需要元，一个纪念册需要元； (2)最多可以定制个纪念册． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设定制一个笔记本需要元，则定制一个纪念册需要元，根据定制个笔记本和个纪念册共需花费元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即定制一个笔记本所需费用，再将其代入中，即可求出定制一个纪念册所需费用； （2）设定制个纪念册，则定制个笔记本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设定制一个笔记本需要元，则定制一个纪念册需要元， 根据题意得：， 解得：， 元． 答：定制一个笔记本需要元，一个纪念册需要元； （2）设定制个纪念册，则定制个笔记本， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：最多可以定制个纪念册． ►题型04 一元一次方程实际应用比赛积分问题 比赛积分问题的核心是明确比赛规则（胜负平的得分标准、总场次），抓住两个关键等量关系：总场次 = 胜场数 + 负场数 + 平场数、总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分，通过设未知数表示各类场次，进而列方程求解。 1.审题：提取关键信息－总场次、总积分、各场次的得分标准（胜/负/平的分值），明确题目所求（胜场数、负场数等） 2.舍未知数： 若只有胜负两种场次，直接设胜场数为x，则负场数=总场次-x 若有胜负平三种场次，通常设胜场数为x，平场数为y，但是一元一次方程题型中会给出平常数（或负场数）的相关条件，转化为单一未知数。 3.表示积分：用含x的式子分别表示胜场积分、负场积分（平场积分） 4.列方程：根据“总积分=各场次积分之和”建立一元一次方程 5.解方程：求出未知数的值，注意场次必须是非负整数（0或正整数） 6.检查作答： 检验解是否为非负整数，是否符合总场次限制； 回答题目所求的场次或积分问题 【典例】（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分； (2)． 【分析】（1）根据题意列式计算即可求解； （2）根据题意列一元一次方程即可求解. 【详解】（1）解：由题意得(分)， 答：珍珍第一局的得分为6分； （2）解：由题意得， 解得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【变式1】（2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【答案】(1)4，1 (2)答对了道题 (3)参赛者不可能得分，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据参赛者E的得分情况可求出每答对一道题所得分值，据此即可求解； （2）设参赛者答对了道题，由题意得：据此即可求解； （3）假设他得了分，设他答对道题，根据题意得：，解得，据此即可判断； 【详解】（1）解：根据参赛者E的得分情况可知：每答对一道题得分； 根据参赛者A的得分情况可知：每答错一道题得分； 故答案为：4，1 （2）解：设参赛者答对了道题，由题意得： 解得：， 答：参赛者答对了道题 （3）解：参赛者不可能得分， 理由：假设他得了分，设他答对道题， 根据题意得：， 解得，不是正整数，所以假设不成立， 故参赛者不可能得分． 【变式2】（2025·陕西西安·二模）中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共道题，答对一题得分，答错或不答一题扣分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是分，求她答对了多少道题？ 【答案】她答对了道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设她答对了道题，则她答错或不答一题为道，根据题意，解得，即可得到答案． 【详解】解：设她答对了道题，则她答错或不答一题为道， 根据题意得， 解得， 答：她答对了道题． 【变式3】（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 【答案】(1)该队必答环节后的总分数为210分 (2)该队抢答对5道题 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程的应用，充分理解赛事规则，抓住等量关系是解题关键 （1）根据必答环节赛事规则：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分，列算式求解； （2）设抢答答对道题，根据抢答环节赛事规则：抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分，列方程求解． 【详解】（1）解：（分）． 答：该队必答环节后的总分数为210分． （2）解：设抢答答对道题． ，解得． 答：该队抢答对5道题． ►题型05 一元一次方程实际应用方案选择问题 【典例】（2025·河北邯郸·三模）今年冬季，为了让学生们更好地体验冰雪快乐，某学校新开设了滑冰选修活动课，现需要购买一批滑冰鞋，已知两家商场A，B分别推出了自己的优惠方案： A商场：每双滑冰鞋标价为120元，若购买超过20双，超过部分按每双标价的八折出售； B商场：每双滑冰鞋标价为120元，若购买超过15双，超过部分按每双标价的九折出售，然后每双再优惠10元． 若用字母x表示购买滑冰鞋的数量，字母y表示购买的总价，其函数图象如图所示． (1)分别写出选择购买A，B两家商场滑冰鞋的总价y与数量x之间的函数关系式； (2)当时，两函数图象交于点M，请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义； (3)根据图象直接写出选择哪家商场更划算． 【答案】(1)， (2)，M表示的实际意义为当买75双滑冰鞋时，在A，B两家商场所付的钱数相同，均为7680元 (3)当或时，在A，B两家商场所付的线数相同；当时，选择B商场更划算；当时，选择A商场更划算 【分析】本题考查一次函数的应用，列函数关系式，单价、数量、总价之间的关系，解题的关键是根据题意或图像找出等量关系列出函数关系式或方程，利用图像确定自变量的取值范围以解决方案问题． （1）根据两个商场分别推出的优惠方案并根据“总价单价数量”即可得出函数关系式； （2）根据（1）的结论列方程解答即可； （3）根据（2）的结论结合图象解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，， 当时，， 购买A商场滑冰鞋的总价与数量x之间的函数关系式为； 当时，， 当时，， 购买B商场滑冰鞋的总价与数量x之间的函数关系式为； （2）解：由题意，得，解得， 此时， 点M的坐标为， 点M表示的实际意义为当买75双滑冰鞋时，在A，B两家商场所付的钱数相同，均为7680元． （3）解：观察图象可知， 当或时，在A，B两家商场所付的线数相同； 当时，选择B商场更划算；当时，选择A商场更划算． 【变式1】（2025·陕西西安·三模）中国作为世界茶道的宗主国，茶文化是中华文化教育的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．某茶具加工厂需要一批茶具包装盒，经了解，有下列两种获得这种包装盒的方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒6元，无需其他费用； 方案二：购买机器自己加工包装盒，购买机器的费用为900元，每个包装盒还需额外的加工成本1.5元 设该茶具加工厂需要的包装盒数量为个，按照方案一获得包装盒的总费用为元，按照方案二获得包装盒的总费用为元． (1)分别求出、与之间的函数关系式； (2)假如你是该茶具加工厂的负责人，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 【答案】(1)；； (2)当时，方案二更省钱；当时，方案一和方案二费用一样；当时，方案一更省钱．理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用． （1）根据题意可得、与之间的函数关系式； （2）求出当x的值为多少时，两种方案同样省钱，并据此分类讨论即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得： 按照方案一获得包装盒的总费用； 按照方案二获得包装盒的总费用； （2）解：当时，方案二更省钱；当时，方案一和方案二费用一样；当时，方案一更省钱．理由如下： 令，则， 解得， ∵， ∴当时，，方案二更省钱； 当时，，方案一和方案二费用一样； 当时，，方案一更省钱． 【变式2】（2025·河南周口·一模）我国古代文房四宝（笔、墨、纸、砚）是文人墨客必备的文具．某文房阁直接从作坊购进毛笔、砚台两款文具进行销售，进货价和销售价如下表： 毛笔 砚台 进货价/（元/件） 30 40 销售价/（元/件） 45 60 (1)该文房阁第一次用1300元购进毛笔、砚台两款文具共40件，求两款文具分别购进的件数； (2)第一次购进的两款文具售完后，该文房阁计划最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件，该文房阁应如何设计进货方案，才能使第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？ 【答案】(1)购进毛笔30件，购进砚台10件 (2)应该购进毛笔40件，购进砚台110件，才能获得最大利润，最大利润为2800元 【分析】本题考查了一元一次方程，不等式的应用，一次函数的应用，熟练利用题意得到不等关系或等量关系是解题的关键． （1）设购进毛笔件，则购进砚台件，根据进货价为1300元列方程即可解答； （2）设第二次购进毛笔件，则购进砚台件，获得的利润为元，表示出第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得销售利润，再利用最多用5600元再次购进毛笔、砚台列不等式求得自变量的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：设购进毛笔件，则购进砚台件， 根据题意可得， 解得， 件， 答：购进毛笔30件，购进砚台10件； （2）解：设第二次购进毛笔件，则购进砚台件，获得的利润为元， 根据题意可得， 最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件， ， 解得， 的最小值为40， ， 随的增大而减小， 则取最小值40时，最大利润为元， 件， 答：应该购进毛笔40件，购进砚台110件，才能获得最大利润，最大利润为2800元． 【变式3】（2025·辽宁葫芦岛·一模）某中学组织部分学生赴博物馆参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准；每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． (1)求甲旅行社一次最多能接待的人数； (2)为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数的合理范围． 【答案】(1)甲旅行社一次最多能接纳的人数为30人； (2)每批组织人数的合理范围为． 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意，掌握列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （）当时，名学生的总费用为，得，依题意可得方程，解方程即可求解； （）分两种情况：和，列出不等式解答即可求解； 【详解】（1）解：若，则名学生的总费用为元， ∵， ∴， 依题意得，， 解得， 答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人； （2）解：当时，； 解得； 当时，， 解得； ∴每批组织人数的合理范围为． ►题型06 一元一次方程实际应用数字问题 【典例】（2024·四川攀枝花·中考真题）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a的值为 ． 2 9 5 a 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意列方程，，即可求解． 【详解】解：设左下角的数为，右上角的数为，第一列第二行的数为， 如图： 2 9 5 a 则由题意得：， 解得：， 由题意得：， 解得：， 故答案为：3． 【变式1】（2023·陕西西安·模拟预测）已知三阶幻方中的9个数满足每行、每列、每条对角线上的三数之和都相等，如果一个三阶幻方中填入的是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数，则这个幻方正中间的数字是 ． 【答案】5 【分析】根据“三阶幻方”中数字的特点：即9个数中，又正好是它们的平均数的数为中间的数． 【详解】解：设幻方中中间的数字为x， 由题意得： ， 解得：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查有理数的加法，方程的应用，平均数的应用，明确“三阶幻方”中数字的特点是解题的关键．本题也可将数从小到大排序，最中间的数填入中心位置． 【变式2】（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，整理出代数式进行分析即可； （2）根据题意，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 得到的新的两位数为， ，且为整数， 这个新的两位数能被9整除； （2）解：由题意， 得， 解得． 【变式3】（2025·河北石家庄·一模）一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数． (1)已知是半和数，若，，求c的值； (2)嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由． 【答案】(1) (2)同意；理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，提取公因式法分解因式，解题的关键是理解定义，并列出代数式． （1）先根据定义得出，再将，代入求出的值； （2）先根据定义得出，再将用式子表示出来，将代入后证明结论成立． 【详解】（1）解：∵是“半和数”，∴．∵，，∴．∴； （2）同意． 设是一个“半和数”，则． ∴． ∵，整数，∴为整数． ∴任意一个“半和数”都能被整除． ►题型07 一元一次方程实际应用动点问题 【典例】（2025·河北石家庄·一模）在如图所示的数轴上，已知，点表示的数为． (1)写出点所表示的数： (2)将点向右平移个单位后，若，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为或 【分析】本题主要考查数轴的点表示有理数，数轴上两点之间的计算，点的平移，一元一次方程的运用，掌握两点之间距离的计算，点平移的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间距离的计算方法求解即可； （2）根据点的平移得到平移后点表示的数为，再根据两点之间距离的计算方法列方程求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，， ∴，即点表示的数为， ∵， ∴，即点表示的数为； （2）解：∵平移后，， ∴平移后点在点左边时，， 解得，， 平移后点在点右边时，， 解得，， 综上所述，的值为或． 【变式1】（2023·河北邯郸·三模）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且．    (1)______，______； (2)点、点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动．求秒后点、点之间的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，5 (2) 【分析】（1）由绝对值非负数的性质和平方非负数的性质可得，，即可求得的值； （2）先表示出秒后点、点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离进行计算即可． 【详解】（1）解：，且， ，， ，， 故答案为：，5； （2）解：点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动， 秒后点表示的数为：，点表示的数为：， 秒后点、点之间的距离为：． 【点睛】主要考查了绝对值非负性的应用，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式2】（2023·浙江杭州·三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角顶点作，，再以A为圆心，为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E分别表示和，我发现是一元二次方程的一个根，琮琮说一定不是此方程的根． (1)写出与表示的数 (2)求出的值 (3)你认为琮琮说的对吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)琮琮说的不对，理由见详解 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长度，再根据，利用点的平移即可得出结果； （2）把代入一元二次方程，即可得出结果； （3），求出一元二次方程的解，即可得出结论． 【详解】（1） 解：， 在中，， 以A为圆心，为半径画圆，交数轴于D、E两点， ， ； （2）解：是一元二次方程的一个根， ， 解得：； （3）解：琮琮说的不对，理由如下： ，则一元二次方程为， 解这个方程得： 而，即一定是此方程的根， 故琮琮说的不对． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及解法，勾股定理，点的平移与点的坐标之间的关系，本题的关键是理解一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解法． ►题型08 一元一次方程实际应用和差倍问题 【典例】（2023·陕西·中考真题）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？ 【答案】学校这次共买了81棵树苗 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设学校这次共买了x棵树苗，根据组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗列出方程求解即可． 【详解】解：设学校这次共买了x棵树苗， 由题意得，， 解得， 答：学校这次共买了81棵树苗． 【变式1】（2024·湖北·一模）现有甲、乙两种型号的商品，已知一个甲种型号商品比一个乙种型号商品多20元，购买甲、乙两种型号商品各10个共需1760元， (1)求甲、乙两种型号的商品单价各是多少元？ (2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的商品共50个，求最多可购买多少个甲种型号的商品？ 【答案】(1)甲种型号的商品单价是98元，乙种型号的商品单价是78元 (2)最多可购买甲种型号的商品30个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和不等关系是本题的关键． （1）根据题意，设乙种型号的商品单价是x元，则甲种型号的商品单价是元，根据“购买甲、乙两种型号商品各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案； （2）根据题意，设购买甲种型号的商品a个，则购买乙种型号的商品个，根据“计划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙种型号的商品单价是x元，则甲种型号的商品单价是元． 根据题意得： 解得：， ∴， 答：甲种型号商品的单价是98元，乙种型号的商品单价是78元． （2）解：设购买甲种型号的商品a个，则购买乙种型号的商品个． 根据题意，得： 解得：， ∴a最大值是30． 答：最多可购买甲种型号的商品30个． 【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·二模）开放性问题 某校九年级共有300名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少30人． (1)设女生人数为x人，用含x的代数式表示全校学生人数； (2)若该校计划组织一次户外活动，要求男生和女生分别分组，且每组人数相同．已知男生每组不超过15人，女生每组不超过12人，求分组方案中每组人数最多是多少？此时男生、女生各分多少组？ 【答案】(1) (2)每组人数最多为人，男生分19组，女生分11组 【分析】本题考查一元一次方程，最大公约数，根据题意列方程求出男、女生人数是解题的关键． （1）用代数式表示男生人数，即可得到全校人数； （2）先求出男、女生人数，求出最大公约数即为每组最多人数，然后确定组数即可． 【详解】（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人， 全校人数为人； （2）解：∵， 解得， ∴男生人数为人， 设每组人数为m人， ∵和的最大公约数为， ∴每组人数最多为人， 此时男生分19组，女生分11组． 【变式3】（2025·重庆·一模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进、两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本种书籍的进价为25元，每本种书籍的进价为40元，其中购进的种书籍的数量比种书籍数量的2倍多4本． (1)求、两种书籍分别购进多少本？ (2)该书城在“世界读书日”当天售出、两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中种书籍的销售额是1200元，已知每本种书籍的售价是每本种书籍售价的1.6倍，求每本种书籍的售价是多少元？ 【答案】(1)种书籍购进本，两种书籍购进本 (2)48元 【分析】本题考查一元一次方程、分式方程的应用，理解题目间的数量关系是解题的关键． （1）设B种书籍购进本，则A种书籍购进本，根据“购进、两种畅销书籍，共花费3700元”列方程求解； （2）设每本种书籍售价元，则每本种书籍售价元，根据“当天售出、两种书籍共63本”列分式方程计算求解． 【详解】（1）解：设B种书籍购进本，则A种书籍购进本，由题意可得： ，解得， （本）， 答：种书籍购进本，两种书籍购进本； （2）解：设每本种书籍售价元，则每本种书籍售价元，由题意可得： ，解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：每本种书籍的售价是48元． ►题型09 一元一次方程实际应用水费电费问题 【典例】（2023·江苏连云港·中考真题）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯： 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一阶梯 （含400）的部分 2.67元 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加． 第二阶梯 （含1200）的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 3.63元 (1)一户家庭人口为3人，年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为__________元； (2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为，该年此户需缴纳燃气费用为元，求与的函数表达式； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到） 【答案】(1)534 (2) (3)26立方米 【分析】（1）根据第一阶梯的费用计算方法进行计算即可； （2）根据“单价×数量=总价”可得y与x之间的函数关系式； （3）根据两户的缴费判断收费标准列式计算即可解答． 【详解】（1）∵， ∴该年此户需缴纳燃气费用为：（元）， 故答案为：534； （2）关于的表达式为 （3）∵， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯． 由（2）知，当时，，解得． 又∵， 且， ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯． 设乙户年用气量为．则有， 解得， ∴． 答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式1】（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产． 【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 江浙沪地区 江西省 首重 续重 收费说明： 每件快递按送达地分别计算运费； 运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）． 【素材2】 电子存单 电子存单 托寄物：捆蹄、萝卜干 目的地：江苏常州 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：鸡糕、捆蹄 目的地：江西南昌 计量重量：千克 件数： 总费用：元 【问题解决】 (1)求、的值； (2)小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1)； (2)元； (3)这份特产重量的取值范围为大于千克且不超过千克． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解决本题的关键是列方程组求出首重需要的费用和续重需要的费用． 根据快递单上的收费，列出二元一次方程组求解即可； 根据小美邮寄的特产的重量和快递公司的收费标准计算即可； 设这份特产的重量是，小美在江西邮寄的特产，根据江西的收费标准列出一元一次方程，解方程求出，即这份特产最多重，因为不足的按收费，可知这份特产的重量为大于8千克且不超过9千克． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 解得：， 答：的值为，的值为； （2）解：元， 答：小美需要支付元快递费； （3）解：设这份特产重量按计费， 小美在江西， 首重需要付费元，续重需要付费元， 根据题意可得：， 解得：， 这份特产重量的取值范围是大于8千克且不超过9千克， 答：这份特产重量的取值范围为大于8千克且不超过9千克． 【变式2】（2025·内蒙古·二模）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）关系如图． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 2520元 0.6元 方案二：公共充电桩充电 0 1.8元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？ (2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数解析式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？ (3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算． 【答案】(1)129.6元 (2)30千米 (3)累计行驶里程超过17500千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据“充电量×损耗率×每千瓦时所需费用”列式计算即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据“选择私家安装充电桩充电的费用<选择公共充电桩充电的费用”列一元一次不等式并求解即可． 【详解】（1）解：(元)， ∴电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要费用129.6元； （2）解：当时，设(为常数，且)． 将坐标和代入， 得， 解得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴与的函数解析式为：， 当时， 得， 解得， (千米)， ∴此时理论上还能继续行驶千米； （3）解：根据图象可知，当电池剩余电量不低于千瓦时就开始充电时，该新能源车每千米的耗电量为(千瓦时)． 设累计行驶里程为千米，则耗电量为千瓦时． 当充电千瓦时， 若选择私家安装充电桩充电，需要费用为：； 若选择公共充电桩充电，需要费用为：； 当选择私家安装充电桩充电(含安装费用)更合算时，得：， 解得：． ∴累计行驶里程超过17500千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算． 【变式3】（2025·河南信阳·二模）学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 【答案】(1)①；②； (2)他们此次的充电量是． 【分析】（1）①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； ②当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时）， 解答即可． （2）根据充电结束后两人所支付的费用相同．判定他们充电都超过了4小时，故得到一元一次方程，解答即可． 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握列代数式，解方程是解题的关键. 【详解】（1）解：①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； 故答案为：． ②解：当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时），此时， 综上所述，． （2）解：由题意得，充电量大于， . 解得. 答：他们此次的充电量是. ►题型10 一元一次方程实际应用行程问题 【典例】（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】(1)300，2 (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； （2）∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； （3）由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 【变式1】（2025·江苏·二模）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)的值为______；甲车的速度为______千米时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式． 【答案】(1)，； (2)乙车减速前的速度为千米小时，． 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象求出的值，由速度路程时间求出甲车的速度即可； （）设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时，根据乙车减速前后路程之和为两地之间的距离，据此列关于的一元一次方程并求解，求出点的坐标和减速后乙车的速度，根据路程速度时间求出所表示的与的函数关系式． 【详解】（1）解：（小时）， ∴， 甲车的速度为（千米小时）， 故答案为：，； （2）解：设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时， 根据图象，得， 解得， ∴乙车减速前的速度为千米小时， （千米）， ∴， ∴， 乙车减速后的速度为（千米小时）， 则， ∴线段所表示的与的函数关系式为． 【变式2】（2025·浙江温州·二模）某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以的速度匀速上升，后无人机乙从同一地面起飞，以的速度匀速上升，无人机乙起飞后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为，无人机距地面的高度与时间之间的函数图象如图所示． (1)求a，b的值． (2)求无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式（标出x的取值范围）． (3)直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值． 【答案】(1)， (2) (3)两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值为或或 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意并结合图象列式计算即可得出、的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）由题意可得无人机甲在上升期间高度与时间的函数关系式为，分三种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意并结合图象可得：， ； （2）解：设无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为， 当时，，解得， ∴； （3）解：由题意可得：无人机甲在上升期间高度与时间的函数关系式为， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得， 故两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值为或或． 【变式3】（2025·江苏苏州·三模）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来用30分钟装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后，与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图，这是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数关系图象． (1)=________，货车装完货物后的行驶速度为________． (2)求出租车从乙地返回甲地的速度． (3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距？ 【答案】(1)120， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象及应用，待定系数法求一次函数解析式，路程、速度和时间的关系．关键在于利用待定系数法求函数表达式，结合路程、速度、时间关系分析各阶段运动状态，第三问需分类讨论“相遇前”和“相遇后”的距离情况．而且注意时间单位统一及图象中坐标的实际意义． （1）求a的值：通过出租车从甲地到乙地的函数图象确定其速度，再代入计算a；求货车装完货物后的速度：利用相遇时的路程和与时间关系求解即可； （2）求出租车从乙地返回甲地的速度：先确定货车到达甲地的时间，再结合出租车比货车早15分钟到达，计算出租车返回时间，进而求速度； （3）求出租车返回时与货车相距的时间：设时间为t小时，分别表示货车和出租车距乙地的距离，分“相遇前”和“相遇后”两种情况列方程求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将代入，得，解得， 的解析式为． 把代入，． 出租车从甲地到乙地的速度为， 货车继续出发小时后，与出租车相遇， 相遇时，货车的速度为； 故答案为：120，； （2）由（1）得， 货车卸货时与乙地相距， 装完货物后，发现此时与出租车相距, 此时出租车距离乙地， 把代入，得，解得， ， 货车的速度为， 直线的解析式为， 把代入得，解得， 出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，且， 点E的坐标为即， 出租车从乙地返回到甲地的速度为； （3）设货车出发t小时后，出租车返回与货车相距， 货车距乙地：， 出租车距乙地：， 分两种情况讨论： 情况一：相遇前相距 ，可得， 解得； 情况二：相遇后相距，可得， 解得． 综上，货车出发或与出租车相距． ►题型11 一元一次方程实际应用日历问题 【典例】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，吉姆同学在某月的月历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么这四个数是 ． 某月有个星期日，它们的日期之和是，则这个月中最后一个星期日是 号． 【答案】 ，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设正方形的方框内的四个数分别为，，，，根据题意列出方程求出可得出这四个数；设个星期日对应的数分别为，，，，，根据题意列出方程求出进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设正方形的方框内的四个数分别为，，，， 由题意得，， 解得， ∴四个数分别为，，，， 设个星期日对应的数分别为，，，，， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个月中最后一个星期日是号， 故答案为：，，，；． 【变式1】（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． ►题型12 一元一次方程实际应用古代问题 【典例】（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，即可求解． 【详解】解:依题意，得：， 故答案为：． 【变式1】（2025·贵州铜仁·三模）孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”------《三国志》．某动物保护区按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位再将象牵出，然后往船上抬入30块等重的条形石，并在船上留4个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入2块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置．已知每个搬运工体重为，则每块条形石的重量为 ，大象的重量为 ． 【答案】 /120千克 /3920千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，需根据水位到达相同的标记位置即两次装船的总重量相等这一条件列方程是解决本题的关键 ． 通过曹冲称象的原理，设出每块条形石的重量，由两次不同的装船的情况建立等量关系来求解条形石的重量，再根据第一次的装船情况即可求解大象的重量 ． 【详解】解：设每块条形石的重量为， 因为第一次装船是30块等重的条形石和4个搬运工， 第二次装船是32块等重的条形石和1个搬运工， 且每个搬运工体重为， 又因为两次水位都到达标记的位置， 所以， 解得， 所以每块条形石的重量为， 又因为第一次装船的情况是大象的重量，即30块等重的条形石和4个搬运工， 所以大象的重量为 ． 故答案为：； ． 【变式2】（2025·吉林长春·二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：今有四人共车，三车空；三人共车，五人步，问人与车各几何．其大意为：现在有若干人乘车，每四人共乘一辆车，则有三辆空车；每三人共乘一辆车，则有五人无车可乘，问车和人各多少？若设有辆车，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程．设有辆车，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设有辆车，根据题意得： ． 故答案为： 命题点四 二元一次方程组的解 ►题型01 二元一次方程（组）的解 【典例】（2023·浙江·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入的值，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键． 【变式1】（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解． 【详解】解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；     B、当时，，则是二元一次方程的解    ，不合题意； C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意； D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【变式2】（2024·山东滨州·一模）下列四组数中，不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解，熟练掌握把的值代入原方程验证二元一次方程的解是解决此题的关键． 【详解】A、把代入方程，左边右边，所以是方程的解，不符合题意； B、把代入方程，左边＝右边，所以是方程的解，不符合题意； C、把代入方程，左边右边，所以是方程的解，不符合题意； D、把代入方程，左边右边，所以不是方程的解，符合题意． 故选：D． 【变式3】（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．由，列出方程组即可． 【详解】 解：根据题意得：． 故答案为：（答案不唯一） ►题型02 已知二元一次方程（组）的解求参数 题型1：已知二元一次方程的一组解，求参数 步骤1：将解Ax+By=C（A、B、C含参数） 步骤2：代入后得到一个关于参数的一元一次方程； 步骤3：解一元一次方程，求出参数的值。 题型2：已知二元一次方程组的解，求参数 步骤1：将解方程组中的每一个方程； 步骤2：得到关于参数的一元一次方程（组）； 步骤3：解这个方程（组），求出参数的值。 【典例】（2025·湖南岳阳·一模）已知是方程组的解，则的值为（  ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数，解题的关键是掌握方程组解的定义． 将代入方程组即可求的值． 【详解】解：将代入中的②式得： 解得 故选：A． 【变式1】（2025·江苏盐城·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入原方程组得，得：即可．注意整体思想的应用． 【详解】解：将代入原方程组得， 得：， ∴的值为6． 故答案为：6． 【变式2】（2025·广东韶关·三模）已知是的解，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 则的值是． 故答案为：． 【变式3】（2024·河南漯河·一模）若关于，的二元一次方程组的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值，根据方程组的解代入方程，可得关于，的方程组，然后解方程组求出、后代入即可得答案，理解二元一次方程组的解，正确求出、是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． ►题型03 解二元一次方程组（计算题） 一、代入消元法专属易错点 1.变形方程时移项忘变号 错误示例：方程x-y=3变形为y=x+3（正确应为y=x-3） 规避方法：移项严格遵循“移项必变号”，变形后可代入原方程验证是否等价。 2.代入时选错方程，导致循环推导 规避方法：必须代入另一个未变形的方程，消去一个未知数。 3.代入多项式时漏乘括号内的项 错误示例：将y=x-1代入2x+3y=7，写成2x+3y-1=7（正确应为2x+3(x-1)=7） 规避方法：代入含多项式的式子时，先给多项式加括号，再用乘法分配律展开。 二、加减消元法专属易错点 1.给方程乘系数时漏乘常数项 错误示例：方程2x+y=4两边乘2，写成4x+y=4（正确应为4x+2y=8） 规避方法：方程两边每一项都要乘同一个系数，包括常数项，乘完后检查每一项的系数。 2.加减消元时符号处理错误 错误场景1：系数相等时用减法，未给被减方程的所有项变号 错误场景2：混淆加减消元的适应条件，系数相反时误用减法 规避方法：系数互为相反数→两方程相加消元 系数相等→两方程相减消元，减法时把被减方程的每一项变号后在相加。 【典例】（2025·辽宁·一模）方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据代入消元法解答即可． 【详解】解：， 由得， 将代入得：， 解得， 将代入，解得， 这个方程的解为． 【变式1】（2025·山西·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据加减消元法解方程即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为． 【变式2】（2025·上海徐汇·二模）解方程组． 【答案】， 【分析】本题考查解二元二次方程组，把二元二次方程组化为两个二元一次方程组是解题的关键，先将二元二次方程组化成二元一次方程组，然后再运用加减消元求解即可． 【详解】解： 整理得：， 即或， 解得： ，． 综上，原方程组的解为：，． 【变式3】（2025·山西·中考真题）（1）计算：     （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键； （1）依次计算绝对值、乘方与括号，最后计算加减即可； （2）利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可． 【详解】解：（1）原式                ；                 （2）解：①+②，得，                 ．                   将代入②，得，                  ．                     所以原方程组的解是． ►题型04 构造二元一次方程组求解 【典例】（2024·江苏扬州·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 【答案】D 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二元一次方程组的应用，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据题意，设这一列数中有个，个3，可列，即可求出与的值，再将其代入中计算即可． 【详解】解：设这一列数中有个，个3， 可列， 解得：， ， 故选：D． 【变式1】（2025·浙江金华·二模）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为，其中为常数，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据在化学反应中，氢原子的个数相等得到，再由锂原子的个数相等得到，即可建立二元一次方程组求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：4． 【变式2】（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，解方程组，当时，得到①，当时，得到②，然后求解即可． 【详解】解：当时，， ∵， ∴①， 当时，， ∴②， ，得：， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2024·四川成都·一模）待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[]加热分解的化学方程式为：，其中x，y为正整数，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据元素和的数量不变，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中， 即可求出结论． 【详解】 根据题意得：， 解得： ， ， 故答案为： ►题型05已知二元一次方程（组）解的情况求参数 【典例】（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用得：，即可得到，再将，代入即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（2023·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 【变式2】（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，弄清方程组与方程组解满足条件的关系成为解题的关键． 两式相减可得，再结合方程组解的条件结合，据此列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 可得： ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 【变式3】（2024·宁夏银川·一模）已知关于x，y的方程组，若此方程组的解满足，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解及其解法、解一元一次不等式，先利用加减消元法求得，再根据已知得到关于m的不等式，然后解不等式即可求解． 【详解】解：将关于x，y的方程组中的两个方程相加，得， ∴， ∵此方程组的解满足， ∴，解得， 故答案为：． ►题型06 二元一次方程组中同解问题 二元一次方程组的同解问题，核心是指两个不同的方程组有完全相同的解。解题关键是抓住 “公共解同时满足四个方程” 这一特点，通过 “先求无参公共解，再代入含参方程求参数” 的步骤求解。 规范解题步骤 筛选方程：从两个方程组中，选出不含参数的两个方程，组成新的方程组。 求公共解：解这个由无参方程组成的新方程组，得到的就是两个原方程组的公共解。 代入求参：将公共解代入两个原方程组中含参数的方程，得到关于参数的一元一次方程（组）。 解参数方程：求解参数方程（组），得到参数的值。 检验：将参数和公共解代入原方程组，验证所有方程是否成立。 【典例】（2025·贵州铜仁·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 两边同时除以 3 ，得：， 因此，的值为， 故选：D． 【变式1】（2024·湖南长沙·一模）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用加减消元法解方程组得到的值，再把的值代入方程组求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可有， ①②，可得 ， 解得 ， 把代入①，可得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵方程组和方程组有相同的解， ∴，． 【变式3】（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组，解一元二次方程，解二元一次方程组，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值． （1）解方程组得，根据同解方程组，得出方程组的解为，代入求出m、n的值即可； （2）把代入得出，解一元二次方程得出的两边长分别为3，4，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，求出结果即可． 【详解】（1）解：由方程组得：， ∵方程组与有相同的解， ∴方程组的解为， ∴， 解得：； （2）解：把代入关于x的一元二次方程得：， 解得：，， ∴的两边长分别为3，4， ∵第三边的长为5， 又∵， ∴为直角三角形， ∴． 命题点五 二元一次方程（组）的实际应用 ►题型01 二元一次方程（组）实际应用之列方程 【典例】（2025·江苏淮安·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，列出方程组即可． 【详解】解：设设合伙人数为x人，金价为y钱，由题意，得： ； 故选B． 【变式1】（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：由“牛5头，羊2头，共值金10两”可得， 由“牛2头，羊5头，共值金8两”可得， 因此可列方程组， 故选D． 【变式2】（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组． 【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：； 每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：； 故方程组为：； 故选C． 【变式3】（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，设买甜果x个，苦果y个，根据用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，列出方程组即可． 【详解】解：设甜果x个，苦果y个， ∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为： ∵甜果9个11文，苦果7个4文， ∴甜果每个单价为文，苦果每个单价为文， ∵总费用为999文，故可列方程为：； 故可列方程组：； 故选C． ►题型02 二元一次方程（组）实际应用之方案问题 【典例】（2025·黑龙江佳木斯·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（    ）种购买方案 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶，利用总价单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出共有4种购买方案． 【详解】解：购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶， 根据题意得：， ， 又，y均为正整数， 或或或， 共有4种购买方案． 故选：． 【变式1】（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递的件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 【变式2】（2025·河南驻马店·三模）某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买两种型号的充电桩，已知A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元． (1)求两种型号充电桩的单价； (2)小区准备采购两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案： 方案一 方案二 两种型号的充电桩分别按单价的九折销售 两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担1.2万元的运费． ①若小区准备购买的12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出的值； ②当时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，请设计费用最省的购买方案． 【答案】(1)A、B两种型号充电桩的单价分别是2.5万元、3万元 (2)①10 ②最省钱的购买方案是购买A型充电桩11台，B型充电桩9台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价为y万元，根据“A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据两种方案的最终费用相同，可列出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论； ②设购买a台A型充电桩，台B型充电桩，总费用为w万元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，由购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的充电桩的单价分别是x、y万元， 根据题意得， 解得： 答：A、B两种型号充电桩的单价分别是2.5万元、3万元； （2）解：① ， 解得：， 答：的值为10； ②设购买A型充电桩台，则购买B型充电桩台，购买充电桩的总费用为万元， 购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的， ， 解得． 的取值范围为，且为正整数， 根据题意，可得 ， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，此时． 答：最省钱的购买方案是购买A型充电桩11台，B型充电桩9台 【变式3】（2025·河南洛阳·一模）绿动未来—树木固碳护家园 【素材呈现】 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳． 【问题解决】 (1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ (2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买杨树棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． 求与的函数关系式； 杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】(1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳千克； (2) ；采购杨树棵、冷杉棵一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，解决本题的关键是利用一次函数的性质确定购买方案． （）设每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别为千克和千克，列二元一次方程组求解即可； （）购买杨树棵，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出与的函数关系式即可； 根据一次函数的性质可知随的增大而增大，根据规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，可知杨树最多采购棵，从而确定采购方案． 【详解】（1）解：每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳千克， 根据题意得，解得， 答：每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳千克； （2）解：由题意得， ； 由题意得， 解得， 由得，， ∵随的增大而增大， ∴当时，有最大， （棵）， 答：采购杨树棵、冷杉棵一年内吸收的二氧化碳总量最大． ►题型03 二元一次方程（组）实际应用之行程问题 规范解题步骤 二元一次方程组解行程问题的核心是抓住两个核心等量关系：路程=速度×时间（s=vt），以及题目中给出的路程、速度、时间的数量关系（如路程和、路程差、时间差等），通过设两个未知数，列方程组求解。 1.审题：明确行程类型（相遇/追及/顺水逆水等），提取关键信息——甲、乙的速度/时间/路程，以及它们之间的数量关系（如“甲速度是乙的2倍”“相遇时甲比乙多走10km”）。 2.设未知数 直接设：求什么设什么，如设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h； 间接设：若直接设不便，设与所求量相关的量，如设相遇时间为xh，水速为ykm/h。 技巧：未知量有几个，就设几个未知数，通常设 2 个未知数。 3.找等量关系列方程组 根据基本公式和题目中的特殊关系，列出两个独立的等量关系； 例：相遇问题中，①甲路程+乙路程=总路程；②甲速度= 2×乙速度。 解方程组：用代入消元法或加减消元法求解，得到未知数的值。 4.检验作答 检验解是否符合实际意义（速度、时间为正数）； 回答题目所求的量，注意带单位。 【典例】（2025·浙江·三模）已知，两地间有一条千米的高速公路，甲车以千米时的速度从地匀速开往地，乙车以千米时的速度从地匀速开往地，两车同时出发，分别到达目的地后停止甲，乙两车相距的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)请根据题意，直接写出，，的值． (2)求甲，乙两车相遇后与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（）设两车出发后小时相遇，根据题意和函数图象列关于和的二元一次方程组并求解，从而求出的值，再分别根据时间路程速度求出和的值即可； （）按照的取值范围分别写出对应的函数关系式即可； 本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：设两车出发后小时相遇， 由题意得，， 解得， ∴乙车的速度为千米小时，两车出发后小时相遇， 甲车到达目的地用时小时， 乙车到达目的地用时小时， ； （2）解：当时，； 当时，； ∴甲，乙两车相遇后与之间的函数关系式为． 【变式1】（2025·江苏苏州·二模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、．当和时，都有． ①则甲的速度是__________，乙的速度是__________； ②求与的函数关系式； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点的距离相等? 【答案】(1)①240；80；② (2)甲出发4分钟或分钟后，两人与点的距离相等 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、求一次函数的解析式，理解题意是解题的关键． （1）①设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可；②根据①中甲的速度，分和两种情况即可求解； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、、四种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：①设甲的速度是，乙的速度是， 当时，，， 当时，，， 由题意得，， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是． 故答案为：240；80； ②甲的速度是， 甲到达的时间为， 当时，； 当时，； 与的函数关系式为． （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则，解得； ③当，，， 令，则，解得（舍去）； ④当，，， 令，则，解得； 答：甲出发4分钟或分钟后，两人与点的距离相等． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）深圳市罗湖区作为深圳最早发展的城区之一，融合了自然景观、历史文化和现代都市风貌，有很多知名景区，比如“仙湖植物园”、“梧桐山”、“洪湖公园”、“东门老街”等．请同学们认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务： 材料一：2025年“五一”劳动节假期，大批深圳市民进入“仙湖植物园”观光游玩，据统计，5月4日上午8：00-10：00有接近4200人乘坐私家车和客车两种交通工具进入仙湖植物园停车场，根据停车场监控统计，在此段时间内私家车和客车共320辆进入，假如每辆私家车平均乘坐3人，客车平均每辆乘坐30人． 材料二：某学校计划五一过后，组织学校720名师生到“仙湖植物园”研学，一共租甲、乙两种型号的客车20辆，根据下表提供的信息要求在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过7200元． 型号 每辆载客量 每辆租金 甲型号 30 320 乙型号 45 400 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成（1），（2）任务． (1)请同学们估算材料一中提供的时间段内分别有多少辆私家车和客车进入停车场． (2)有几种租车方案供学校选择？最少租车费用是多少？ 【答案】(1)在提供的时间段内进入停车场有私家车200辆，客车120辆 (2)有三种租车方案供学校选择，最少租车费用为7040元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用. （1）方法一：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆，根据题意列二元一次方程组计算即可； 方法二：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆，根据题意列方程求解即可； （2）设学校租用型号客车辆车，租用型号客车辆，求出，根据为整数分情况讨论即可. 【详解】（1）方法一： 解：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆． 根据题意，得： 解得： 答：在提供的时间段内进入停车场有私家车200辆，客车120辆． 方法二： 解：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆． 根据题意，得： 解得： 答：在提供的时间段内进入停车场有私家车200辆，客车120辆． （2）解：设学校租用型号客车辆车，租用型号客车辆． 根据题意，得： 解得：， 为整数， 的整数解为10、11、12，即：学校有3种租车的方案． ①租用A型号10辆，租用B型号10辆，租金为：（元）； ②租用A型号11辆，租用B型号9辆，租金为：（元）； ③租用A型号12辆，租用B型号8辆，租金为：（元）． ， 最少的租车费用为7040元． 答：有三种租车方案供学校选择，最少租车费用为7040元． 【变式3】（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1) (2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组： （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）此次行程高速费原价总共为：元 实际支付高速费用：元 （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 解得： 故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元． ►题型04 二元一次方程（组）实际应用之工程问题 二元一次方程组解工程问题的核心是：将总工作量设为单位“1”，以“工作效率×工作时间=工作量”为基础，结合“合作效率=各效率之和”“总工作量=各部分工作量之和”列方程组。 规范解题步骤 1.审题定类型明确工程的完成方式：是合作完工、分阶段完工（甲先做，再甲乙合作），还是多人分工完成多个工程，提取关键条件（如单独完成时间、合作时间、效率倍数关系）。 2.设未知数通常设两个未知量，优先设甲、乙单独完成工程的时间或甲、乙的工作效率，遵循 “求什么设什么” 的原则： 若求单独完成时间：设甲单独完成需x天，乙单独完成需y天，则甲效率为，乙效率为 若求效率：设甲效率为x，乙效率为y，则甲单独完成时间为，乙单独完成时间为 3.找等量关系列方程组从题目中提取两个独立的等量关系，结合核心公式列方程，常见等量关系有： 关系1：合作效率×合作时间=总工作量 关系 2：单独完成时间的数量关系 关系 3：分阶段工作量之和=总工作量（如甲先做m天的工作量+甲乙合作n天的工作量 = 1）。 4.解方程组 若方程含分式，先通过去分母转化为整式方程。 用代入消元法或加减消元法求解，得到未知数的值。 5.检验作答 检验解的合理性：时间、效率必须为正数，若为分式方程，需检验是否为增根。 代入原条件验证：确保解满足题目中的时间、效率关系。 规范作答：明确回答所求问题，带单位。 【典例】（2023·四川德阳·中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元． (1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？ (2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？ 【答案】(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务． (2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元． 【分析】（1）设乙单独完成需要个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．”建立分式方程求解即可； （2）由题意可得：，可得，结合，，可得，结合都为正整数，可得为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，从而可得答案． 【详解】（1）解：设乙单独完成需要个月，则 ， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； 答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务． （2）由题意可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∵都为正整数， ∴为3的倍数， ∴或或， ∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式， 方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元）， 方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元）， 方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元）， ∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 【变式2】（2024·重庆·二模）列方程（组）解应用题： 为支持农业现代化建设，甲、乙两机械生产公司接受3600台微耕机的生产任务．已知甲公司每天生产微耕机的台数是乙公司每天生产微耕机台数的． (1)若甲公司生产40天，乙公司生产30天，则恰好完成生产任务．问乙公司每天生产多少台微耕机？ (2)由于时间紧任务重，甲、乙两公司每天生产微耕机的台数均在原来的基础上提高了，甲、乙两公司各完成总生产任务的一半，甲公司完成任务所需要的时间比乙公司完成任务的时间少5天．问乙公司现在每天生产多少台微耕机？ 【答案】(1)40台 (2)120台 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用； （1）设甲公司每天生产台微耕机，乙公司每天生产台微耕机，根据甲、乙两机械生产公司接受3600台微耕机的生产任务．已知甲公司每天生产微耕机的台数是乙公司每天生产微耕机台数的．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设乙公司现在每天生产台微耕机，则甲公司现在每天生产台微耕机，根据甲公司完成任务所需要的时间比乙公司完成任务的时间少5天．列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）设甲公司每天生产台微耕机，乙公司每天生产台微耕机， 由题意得：， 解得：， 答：乙公司每天生产40台微耕机； （2）设乙公司现在每天生产台微耕机，则甲公司现在每天生产台微耕机， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程得的解，且符合题意， 答：乙公司现在每天生产120台微耕机． 【变式3】（2024·宁夏银川·一模）为积极落实银川市委制定印发的《关于2023年度乡村振兴“一村一年一事”行动实施方案》，城建部门计划对某村一段长300米的道路进行改造，由甲，乙两个工程队先后接力完成，已知甲工程队每天改造15米，乙工程队每天改造10米． (1)若这两个工程队共用时25天，求甲，乙两个工程队分别改造多少米． 根据题意，宁宁和夏夏两个同学分别列出了如下的方程组： 宁宁：，解得． 夏夏：，解得． 宁宁所列方程组中的x表示_______，y表示_______； 夏夏所列方程组中的x表示_______，y表示_______． (2)若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的费用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，则甲工程队至少工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队工作时间，乙工程队工作时间，甲工程队改造道路的长度，乙工程队改造道路的长度 (2)甲工程队至少工作10天 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及由实际问题抽象出二元一次方程组， （1）由需改造道路的长度及甲、乙两工程队的工作效率，结合宁宁及夏夏所列的方程组，可找出宁宁及夏夏所列方程组中的x，y的含义； （2）设甲工程队工作m天，则乙工程队工作天，利用总费用＝甲工程队每天的费用×甲工程队工作时间＋乙工程队每天的费用×乙工程队工作时间，结合总费用不超过18万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）∵城建部门计划对某村一段长300米的道路进行改造，甲工程队每天改造15米，乙工程队每天改造10米，且这两个工程队共用时25天， ∴宁宁所列方程组中的x表示甲工程队工作时间，y表示乙工程队工作时间； 夏夏所列方程组中的x表示甲工程队改造道路的长度，y表示乙工程队改造道路的长度． 故答案为：甲工程队工作时间，乙工程队工作时间，甲工程队改造道路的长度，乙工程队改造道路的长度； （2）设甲工程队工作m天，则乙工程队工作天， 根据题意得： ， 解得：， ∴m的最小值为10． 答：甲工程队至少工作10天． ►题型05 二元一次方程（组）实际应用之数字问题 二元一次方程组解数字问题的核心是利用数位与数值的关系，用代数式表示多位数，再结合题目中的数字关系（如和差、倍数、数位对调）列出两个等量关系，进而列方程组求解。 核心基础：数位与数值的关系 多位数的数值 = 各数位上的数字 × 对应数位的计数单位之和，具体如下： 多位数类型 设数方法 数值表达式 两位数 设十位数字为a，个位数字为b（a为 1~9 的整数，b为 0~9 的整数） 10a+b 三位数 设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（a为 1~9 的整数，b、c为 0~9 的整数） 100a+10b+c 【典例】（2025·江苏徐州·二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】这个三位数是648 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键； 由题意可知：这个三位数的百位数字是6，设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x、y的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意可知：这个三位数的百位数字是6， 设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意可得： ，即， 解得：， ∴这个三位数是648； 答：这个三位数是648． 【变式1】（2025·广东广州·一模）如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值是（   ） y 6 5 x 7 8 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为，根据题意建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设第一行第一列上的数字为，第二行第三列上的数字为， 由题意得：，即， 解得， 故选：B． 【变式2】（2025·甘肃庆阳·三模）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同（各圆周上数字之和与两条直径上的数字之和不相等），如图是一个关于有理数的三阶幻圆模型，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同，列出方程求解即可．本题考查了有理数的加法，读懂题意，能列出方程组即可． 【详解】解：∵“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型06 二元一次方程（组）实际应用之分配问题 【典例】（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．    (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 【答案】(1)一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨 (2)6套 【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可； （2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不等式再结合为整数求解即可． 【详解】（1）解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨． 根据题意，得， 解得． 答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨． （2）解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥． 根据题意，得． 解得． 因为为整数，取最大值，所以． 答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． 【变式1】（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】(1)3辆；116人 (2)36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆 【分析】该题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是理解题意． （1）设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人，根据“若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，根据调配的车辆既保证每人有座，又保证每车不空座，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人， 根据题意得：， 解得：． 答：计划调配36座新能源客车3辆，这支研学队伍的人数为116人； （2）解：设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴． 答：需调配36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆． 【变式2】（2025·河南商丘·二模）洛阳牡丹文化节前身为洛阳牡丹花会，已入选国家非物质文化遗产名录．某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植两种品种的牡丹，已知购买A种10棵和B种20棵共需2000元；购买A种20棵和B种10棵共需1900元． (1)两种牡丹每棵分别为多少元？ (2)该景区计划购买两种牡丹共100棵，A种牡丹的棵数不超过B种牡丹棵数的3倍，且总价不超过6300元，共有多少种购买方案？ (3)购买时发现，A种牡丹单价上涨了a元，B种牡丹单价不变，在（2）的条件下，最低费用需6625元，请直接写出a的值． 【答案】(1)两种牡丹每棵分别为元，元． (2)有6种购买方案． (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设设两种牡丹每棵分别为元，元．根据“购买A种10棵和B种20棵共需2000元；购买A种20棵和B种10棵共需1900元”列方程组求解即可． （2）设购买种牡丹棵，则购买种牡丹棵，根据“购买两种牡丹共100棵，A种牡丹的棵数不超过B种牡丹棵数的3倍，且总价不超过6300元”列不等式组求解即可． （3）设总费用为w元，则，根据一次函数的增减性讨论，由此可求得a的值． 【详解】（1）解：设两种牡丹每棵分别为元，元，则 依题意有：， 解得：． 答：两种牡丹每棵分别为元，元． （2）解：设购买种牡丹棵，则购买种牡丹棵． 依题意有：， 解得：， 为整数， ． 答：有6种购买方案． （3）解：设总费用为w元，则， 当，即时， 由（2）可知，当时y最小， 即当每个种牡丹上涨a元时，， 解得． 当，即时， 由（2）可知，当时y最小， 即当每个种牡丹上涨a元时，， 解得，不符合题意，舍去． 综上：. 【变式3】（2025·广东惠州·一模）为推进惠州市新质生产力发展，某企业决定对现有的甲、乙两类共25条生产线设备进行更新换代． (1)为鼓励企业更新生产线设备，惠州市出台补贴政策：更新1条甲类生产线设备，企业可获3万元补贴；更新1条乙类生产线设备，可获2万元补贴．更新完这25条生产线设备后，该企业共获得65万元补贴．问该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，更新1条甲类生产线设备的费用，比更新1条乙类生产线设备费用的2倍少5万元，用200万元购买更新甲类生产线设备的数量与用180万元购买更新乙类生产线设备的数量相同．那么该企业在获得65万元补贴后，还需投入多少资金用于更新生产线的设备？ 【答案】(1)该企业甲、乙两类生产线各有15条和10条 (2)85万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设企业甲生产线有条，企业乙生产线有条，根据甲、乙总数量和总补贴数列出方程，解方程即可； （2）设1条乙类生产线的设备费用为万元，则1条甲类生成线的设备费用为万元，根据甲乙的数量关系列出分式方程，解方程后求出花费的资金，从而可以算出还需投入的资金． 【详解】（1）解：设企业甲生产线有条，企业乙生产线有条， 根据题意得， 解方程组得， 所以，该企业甲、乙两类生产线各有15条和10条； （2）解：设1条乙类生产线的设备费用为万元，则1条甲类生成线的设备费用为万元， 根据题意得， 解方程得， 经检验为分式方程的解， 一条甲设备的费用：万元，一条乙设备的费用万元 再投入费用：万元 所以，还需投入85万元资金用于更新生产线的设备． ►题型07 二元一次方程（组）实际应用之销售利润问题 二元一次方程组解销售利润问题的核心是梳理 “单价、数量、总价”“进价、售价、利润” 两组核心关系，提取题目中关于数量、利润的两个独立等量关系，设未知数后列方程组求解。 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元 (2)20盏 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 【变式1】（2025·江西吉安·二模）今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． (1)求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价； (2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？ 【答案】(1)A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元 (2)至少需要带9个A款陶瓷工艺品 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意得到各数量间的关系是解题的关键． （1）设A款手绘青花瓷杯的单价为x元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设至少需要带a个A款陶瓷工艺品，则需要带个A款陶瓷工艺品，求出总销售额，根据总销售额不低于1000元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A款手绘青花瓷杯的单价为x元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为y元， ∵第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元， ∴， 解得：， ∴A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元； （2）解：设至少需要带a个A款陶瓷工艺品，则需要带个B款陶瓷工艺品， 总销售额为元， ∵总销售额不低于1000元， ∴， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为9， 答：保证总销售额不低于1000元，至少需要带9个A款陶瓷工艺品． 【变式2】（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 【答案】(1)20元；25元 (2)10件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找准等量关系列出方程组，找准不等关系列出不等式． （1）根据甲、乙的销售情况，设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元，，列二元一次方程组求解两款木偶的售价． （2）设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件，列一元一次不等式求解A款的最大购买量． 【详解】（1）解：设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元， 则，解得， 答：每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元； （2）解：设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件， ∵购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的， ∴，解得， 答：至多购买A款木偶工艺品10件． 【变式3】（2024·云南·三模）云南是我国玉米的主要生产省份之一，玉米种植面积和产量位居全国前列．经销商老王购进了一批花糯玉米和白糯拇指玉米进行销售，两种玉米的进价和售价如下 进价（元/斤） 售价（元/斤） 花糯玉米 a 6 白糯拇指玉米 b 8 已知老王购进40斤花糯玉米和10斤白糯拇指玉米共需200元；购进30斤花糯玉米和20斤白糯拇指玉米共需225元． (1)求a，b的值； (2)若老王购进两种玉米共320斤，其中白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低于花糯玉米进货量的，设购进花糯玉米x斤，则老王应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y（元）最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)a的值为，b的值为6 (2)应该购进200斤花糯玉米，120斤白糯拇指玉米，才能使全部售完后的销售利润y（元）最大，最大利润为740元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式． （1）根据“老王购进40斤花糯玉米和10斤白糯拇指玉米共需200元；购进30斤花糯玉米和20斤白糯拇指玉米共需225元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据“白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低于花糯玉米进货量的”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，利用总利润每斤白糯拇指玉米的销售利润购进白糯拇指玉米的数量每斤花糯玉米的销售利润购进花糯玉米的数量，可找出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：依题意得， 解得， 答：a的值为，b的值为6； （2）解：∵购进花糯玉米x斤， ∴购进白糯拇指玉米斤， 依题意得， 解得， ∵全部售完后的销售利润为y元， ∴， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为，此时． 答：老王应该购进200斤花糯玉米，120斤白糯拇指玉米，才能使全部售完后的销售利润y（元）最大，最大利润为740元． ►题型08 二元一次方程（组）实际应用之和差倍问题 二元一次方程组解和差倍问题的核心是抓住 “和、差、倍” 三类数量关系，设两个未知数，根据题目给出的两个独立等量关系列方程组求解。这类问题的特点是条件清晰，等量关系直接，常见于两种对象的数量对比场景。 关系类型 数学表达式示例 示例 和关系 甲数量+乙数量=总量 甲、乙两种水果共50kg→x+y=50 差关系 甲数量-乙数量=差值（甲＞乙） 甲水果比乙水果多50kg→x=y+50 倍数关系 甲数量=k×乙数量（k为倍数） 甲水果的重量是乙水果的2倍→x=2y 【典例】（2023·湖北恩施·中考真题）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同． (1)男装、女装的单价各是多少？ (2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1)男装单价为100元，女装单价为120元． (2)学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元 【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设参加活动的女生有a人，则男生有人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设男装单价为x元，女装单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：男装单价为100元，女装单价为120元． （2）解：设参加活动的女生有a人，则男生有人， 根据题意可得， 解得：， ∵a为整数， ∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数， 故一共有11种方案， 设总费用为w元，则， ∵， ∴当时，w有最小值，最小值为（元）． 此时，（套）． 答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键． 【变式1】（2025·云南昭通·二模）绿化树种具有过滤和滞纳大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中榆树和白蜡树因其生长迅速，枝叶繁茂而被广泛种植．已知3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克． (1)每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？ (2)一条新建的城市道路需要种植这两种树，一棵榆树的种植成本是400元，一棵白蜡树的种植成本是200元，种植两种树木的总棵数为60棵，要求滞尘总量不少于280千克，且种植总成本尽可能低，应该怎样种植这两种树才能使种植总成本最低？求出该费用． 【答案】(1)每棵榆树的滞尘量为5千克，每棵白蜡树的滞尘量为4千克 (2)种植40棵榆树，20棵白蜡树，种植总成本最低，为20000元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设每棵榆树的滞尘量为千克，每棵白蜡树的滞尘量为千克，根据3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克建立方程组求解即可； （2）设种植棵榆树，种植棵白蜡树，根据滞尘总量不少于280千克列出不等式求出m的取值范围，设种植总成本为元，列出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解；设每棵榆树的滞尘量为千克，每棵白蜡树的滞尘量为千克． 由题意得，， 解得． 答：每棵榆树的滞尘量为5千克，每棵白蜡树的滞尘量为4千克． （2）解：设种植棵榆树，种植棵白蜡树． 由题意得，， 解得，． 设种植总成本为元． 由题意得， ， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为， 此时． 答：种植40棵榆树，20棵白蜡树，种植总成本最低，为20000元． 【变式2】（2025·河南周口·二模）某餐厅提供苹果汁和橙汁两种饮品，每杯均为，营养成分如下： 营养成分 苹果汁 橙汁 热量 80千卡 60千卡 维生素C (1)若需要从这两种饮品中摄入600千卡的热量和的维生素，应选用苹果汁和橙汁各多少杯？ (2)若每份饮品选用这两种果汁共9杯，同时使总热量不低于580千卡，且维生素含量最高，应如何选择？ 【答案】(1)选用苹果汁3杯，橙汁6杯 (2)选用苹果汁2杯，橙汁7杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设选用苹果汁杯，橙汁杯，根据题意列二元一次方程组解答即可； （2）设选用苹果汁杯，则选用橙汁杯，根据总热量不低于580千卡，列不等式求出，设两种果汁维生素总含量，表示出和的函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设选用苹果汁杯，橙汁杯． 得：， 解方程组，得， 答：选用苹果汁3杯，橙汁6杯． （2）解：设选用苹果汁杯，则选用橙汁杯， 根据题意得：，解得， 设两种果汁维生素总含量． ， ， 随的增大而减小． 当时，最大， ， 答：选用苹果汁2杯，橙汁7杯． ►题型09 二元一次方程（组）实际应用之几何问题 【典例】（2025·浙江湖州·二模）如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形，正方形的性质，中心对称图形的性质，根据题意设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形． ∴两个大的正方形相同，两个矩形相同， 设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴小矩形的两边分别为，，大的矩形两边长分别为，， ∵矩形的周长已知，设为， ∴, 解得：， ∴两个大的正方形的边长为， ∴能够求出长度的线段是， 故选A. 【变式1】（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（    ） A．7cm B．8 C．9 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小平行四边形地砖的长为，宽为，由图示可得等量关系：①2个长个长4个宽，②一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每块小平行四边形地砖的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， 则每块小平行四边形地砖的短边长为， 故选：B． 【变式2】（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式与几何图形表示，数形结合得到，求解即可得到，代入代数式求解即可得到答案．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题图-1可知， ， 题图-1中大正方形的边长减少1个单位， 题图-2中，边长分别为的两个小正方形重合部分是边长为1的正方形，则， ， ， ， 综上所述，， 解得， ， 故答案为：． 【变式3】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 (2)至少需要134张正方形硬纸片 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． ►题型10 二元一次方程（组）实际应用之古代问题 【典例】（2025·宁夏·中考真题）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找出题目中的等量关系，将文字信息转化为数学式子． 明确题目中的两个等量关系：每人出5钱时，总钱数加上还差的钱等于羊价；每人出7钱时，总钱数加上还差的3钱等于羊价；设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据上述等量关系分别列出方程，组成方程组． 【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱， 若每人出5钱，还差钱，则总钱数加上还差的钱等于羊价即， 若每人出7钱，还差3钱，则总钱数加上还差的3钱等于羊价即， 因此，可列方程组为， 故选：C． 【变式1】（2025·青海·中考真题）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设客人为人，银两为两，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设客人为人，银两为两， 根据题意得， 故选：． 【变式2】（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可． 【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： ； 故选A． 【变式3】（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 命题点六 三元一次方程组及其应用 ►题型01 三元一次方程组的定义及其解 1. 三元一次方程的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。 2. 三元一次方程组的定义 由三个一次方程组成，并且一共含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 核心特征： 方程组中含有3个未知数； 每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为 1； 方程的个数一般为3个（特殊情况可少于3个，但需能确定未知数的值）。 解三元一次方程组的核心思路 解三元一次方程组的核心是消元，即通过代入消元法或加减消元法，先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再消去一个未知数转化为一元一次方程，求解后逐步回代，得到三个未知数的值。 基本步骤： ①消元 1：从方程组中选两个方程，消去其中一个未知数（如z），得到一个二元一次方程； ②消元 2：再选另外两个方程，消去同一个未知数（z），得到另一个二元一次方程； ③解二元一次方程组：将两个二元一次方程联立，求解得到两个未知数的值； ④回代求解：将求出的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值； ⑤检验：将三个未知数的值代入原方程组的所有方程，验证是否成立。 【典例】（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 【变式1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 【答案】乙槽 【分析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作最小的是乙槽． 本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键． 【详解】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽． 故答案为：乙槽． 【变式2】（2025·四川内江·一模）若x、y、z为非负实数，且，则代数式的最大值与最小值的差是 ． 【答案】 【分析】此题考查解三元一次方程，解一元一次不等式组，二次函数的性质，解题关键在于掌握运算法则，先利用加减消元法求出的值，建立关于z的不等式组，求出z的取值范围，再把代入代数式，将其转化为关于z的二次函数，利用二次函数的性质分别求出最大值与最小值，即可解答． 【详解】解：， 得，， 把代入得，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值是， 当时，的最小值是， 则代数式的最大值与最小值的差是： 故答案为：． ►题型02 三元一次方程组的实际应用 【典例】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 【分析】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键． 设购买、、三种奖品分别为个，根据题意列方程得，化简后根据均为正整数，结合种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可． 【详解】解：设购买、、三种奖品分别为个， 根据题意列方程得， 即， 由题意得均为正整数． ①当时， ， 分别取，，，，，，，共种情况； ②当时， ， 可以分别取，，，，，共种情况； 综上所述：共有种购买方案． 故选：D． 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团有20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间住满，那么租房方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】A 【分析】此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据x，y，z是整数求解，注意分类讨论思想的应用．首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案． 【详解】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得： ， 得：， ∴， ∵x，y，z是正整数， 当时，，， 当时，，， 当时，，（不符合题意，舍去）， ∴租房方案有2种． 故选：A． 【变式2】（2025·江苏南京·一模）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如下表．现各买一杯，需要花费 元． 次数口味 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 【答案】41 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．利用整体思想解答是解题的关键． 设茉莉口味奶茶、桂花口味奶茶、蜜桃口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设茉莉口味奶茶、桂花口味奶茶、蜜桃口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意得： ， 由得：， ∴， 即各买一杯，需要花费41元． 故答案为：41 突破一 一元一次方程中新定义题型 【典例】（2025·山东淄博·三模）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”． (1)若不等式组为则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于x的方程是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； (3)若方程和2都是关于x的不等式组的相伴方程，求k的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的相伴方程，理由见解析 (2) (3)k的取值范围是 【分析】本题考查解一元一次方程和解不等式组，读懂题意掌握解方程和不等式的方法是解题的关键． （1）分别解出不等式组和方程，再根据“相伴方程”的定义判断即可； （2）先求出不等式组的解集，解出方程的解，再让方程的解再不等式组的解集范围，然后解不等式或不等式组即可； （3）分别解出两个方程，代入不等式组得到两个不等式组，再分别求解集，再取公共部分即可． 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程，理由如下： 解不等式组，得， 解方程得：； ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程； （2）解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵关于x的方程是不等式组的相伴方程， ∴2.53， 解得：， 即a的取值范围是； （3）解方程，得：， 解方程，得：， ∵方程和2都是关于x的不等式组的相伴方程，， ∴将和代入方程组得到：且， 解得：且， ∴k的取值范围是． 【变式1】（2025·河北·模拟预测）对任意有理数a，b，c，d，规定，例如：，根据以上规定解决以下问题． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数运算，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给的新定义进行求解即可； （2）根据所给的新定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为， 所以， 整理得， 解得． 【变式2】（2025·河北石家庄·三模）小明在解一道有理数运算时，一个有理数m被污染了．计算：． (1)若，计算：； (2)，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，解一元一次方程． （1）根据有理数四则混合运算的法则计算即可； （2）将式子化简为，解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（2025·河北保定·一模）定义新运算：对于任意都有，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如： (1)计算 ； (2)若的值是0，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题主要考查整式的运算和一元一次方程，准确理解题意中的新定义是解题的关键． （1）根据题意以及平方差公式进行计算即可； （2）根据新定义得出一元一次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得原式； （2）解：由题意可得， 解得， 即的值为． 突破二 一元一次方程中新情境类题型 【典例】（2025·河北衡水·模拟预测）综合实践课上，同学们玩“接力游戏”，由每组学生合作解一元一次方程．如图，老师将题目交给甲同学，他完成一步解答后交给乙同学，依次进行，最后由戊同学完成求解．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中过程出错的同学； (2)请你写出正确的求解过程． 【答案】(1)甲，乙，戊 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，是解题的关键． （1）利用解一元一次方程的基本步骤，逐一判断即可解答； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：甲同学在去分母时，右侧没有乘以6；乙同学去括号，括号内的符号没有变号；戊同学最后将未知数系数化为1时，方程右边没有除以，而是除以； 故这个“接力游戏”中计算错误的同学有：甲，乙，戊； （2）解：正确的解答过程如下： ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式1】（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 【答案】(1)5 (2)解题过程见详解；2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及已知一元一次方程的解求参数，求二次一次方程的整数解等知识． （1）将代入原方程，可得出关于“〇”的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）将“〇”替换成m，可得出关于x，m的二元一次方程，结合x，m均为正整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 即 解得：， ∴“〇”代表的正整数为5； （2）解：根据题意得， 解得： 又∵x，m均为正整数， ∴ ∴“〇”的值为2． 【变式2】（2025·河北唐山·一模）嘉嘉和琪琪用下图中的三张带有运算的卡片做一个“我说你算”的数学游戏，两人约定：一人说数字，并将卡片任意排列；另一人按卡片排列顺序进行计算．例如，嘉嘉说出数字2，并将卡片按的顺序排列，则琪琪的运算顺序为：先对2进行的运算，接着用求得的和，最后用所求得的积．列式为：． (1)嘉嘉说出数字，并将卡片按的顺序排列，请你帮琪琪列式并计算结果； (2)嘉嘉说数字，琪琪对按的顺序运算后，得到的数恰好等于12，求． (3)琪琪说数字，嘉嘉对按的顺序运算后，得到的数小于3，求满足条件的负整数的值． 【答案】(1) (2)的值是 (3)的值为 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式或方程． （1）根据题意，可以写出相应的算式，然后计算即可； （2）根据题意，可以得到关于的方程，然后解方程即可； （3）根据题意，可以得到关于的不等式，然后不等式分析即可． 【详解】（1）解：∵数字为，并将卡片按的顺序排列， ∴根据题意得：． （2）解：∵对按的顺序运算后，得到的数恰好等于12， ∴， 解得：，即的值是． （3）∵对按的顺序运算后，得到的数小于3， ∴， 解得：， ∵为负整数， ∴的值为． 【变式3】（2025·河北·三模）老师在黑板上写了一个不完整的算式：．转动转盘，转盘停止后将指针所指区域的数填入“”并完成算式计算，若指针指在边界线上无效．如图是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况． (1)第1次转动转盘后，求算式的计算结果； (2)某次转动转盘后，算式的计算结果是，求指针所指区域的数； (3)多次转动（指针在每个区域至少停留一次）转盘并计算后发现，有一个计算结果最大．请直接写出这个最大的结果． 【答案】(1) (2)3 (3)5 【分析】本题考查了有理数的四则运算和一元一次方程．熟练掌握有理数的四则运算法则和一元一次方程是解题的关键． （1）将指针所指区域的数代入算式计算即可； （2）将指针所指区域为，再将算式的计算结果代入算式，求出即可； （3）将各区域数字分别代入算式计算出结果，然后比较大小即可 【详解】（1）解：如图可知，第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域为， 所以． （2）解： 设指针所指区域为，则 解得：， 所以指针所指区域的数为． （3）当时，算式为： ； 当时，算式为： ； 当时，算式为： ； 当时，算式为： ； ， 所以最大的结果为． 突破三 一次方程中规律类题型 【典例】（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【答案】(1)65； (2)该图形中共有325个黑色小正方形 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，一元一次方程，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有个黑色小正方形． （1）根据题干找到规律即可解答； （2）根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：图1中共有个黑色小正方形， 图2中共有个黑色小正方形， 图3中共有个黑色小正方形， 图4中共有个黑色小正方形， 图5中共有个黑色小正方形， 故图n（n为正整数）中共有个黑色小正方形． 故答案为：65；． （2）解：由题意，得图n中共有个小正方形， 则， 解得， ． 答：该图形中共有325个黑色小正方形． 【变式1】（2023·安徽宣城·一模）如图所示的是由若干个大小相同的黑色小正方形和白色小正方形组成的一组有规律的图案．图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，以此类推． 【规律总结】 （1）图中黑色正方形的个数是__________． （2）图中黑色正方形的个数是__________（用含的代数式表示）． 【问题解决】 （3）现有块黑色小正方形，若按此规律，可以拼得第几个图形？请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）可以拼得第个图形．理由见解析 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现黑色正方形个数的变化规律是解题的关键． （1）根据所给图，依次求出图形中黑色正方形的个数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）令，求解的值即可． 【详解】解：（1）由所给图形可知： 图中黑色正方形的个数为：； 图中黑色正方形的个数为：； 图中黑色正方形的个数为：； 图中黑色正方形的个数为：； 所以图中黑色正方形的个数为个， 当时，（个）， 即图中黑色正方形的个数为个． 故答案为：． （2）由（1）知， 图中黑色正方形的个数为个， 故答案为：． （3）可以拼得第个图形，理由如下： 令， 解得， 所以可以拼得第个图形． 【变式2】（2024·江西·模拟预测）下图是用相同的木棒拼成的图形，其中第1个图形用了9根木棒，第2个图形用了13根木棒，第3个图形用了17根木棒……． (1)拼第5个图形需要用______根木棒． (2)按上面的规律继续拼，是否存在某个图形，共用了根木棒?若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查图形的数字规律，根据图形，数出木棒数，数形结合找到规律即可． （1）根据图形的规律进行推导即可得到答案； （2）由（1）得到第n个图形用的木棒根数是，根据和为正整数即可得到结论． 【详解】（1）解：由图可知：第1个图形用了根木棒， 第2个图形用了根木棒， 第3个图形用了根木棒， 第4个图形用了根木棒， 第5个图形用了根木棒， 故答案为： （2）不存在，理由如下： 由（1）可知，第n个图形用的木棒根数是， 由解得， ， 与为正整数矛盾， 即不存在某个图形，共用了根木棒． 【变式3】（2025·安徽亳州·二模）如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律， (1)则第5个图案中有______个六边形； (2)用含n的代数式表示第n个图案中六边形的个数； (3)若第n个图案中有601个六边形，求n的值． 【答案】(1)31 (2)第n个图案中六边形的个数为； (3)n的值为100． 【分析】本题考查了图形规律探究和一元一次方程的应用，结合题意确定图形变化规律是解题关键． （1）根据题意数出前几个图案的数量； （2）根据规律得出第个图案的基本图形数量； （3）根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：第1个图案中六边形的个数为， 第2个图案中六边形的个数为， 第3个图案中六边形的个数为， …… 第5个图案中六边形的个数为， 故第5个图案中有31个六边形； 故答案为：31； （2）解：由题意可得：第1个图案中六边形的个数为； 第2个图案中六边形的个数为； 第3个图案中六边形的个数为； …… 所以第n个图案中六边形的个数为； （3）解：由（2）可知， 解得， 所以n的值为100． 突破四 一次方程（组）实践探究题型 【典例】（2025·广东深圳·一模）根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材2 考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，且扫把簸箕套装不少于50套 素材3 商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】任务1：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元；任务2：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解此题的关键． 任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，计算即可得解． 【详解】解：任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元． 根据题意得：， 解得， 答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元． 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条， ∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元） 方案一：， 解得， 由题意得， ∴， ∴ 方案二：， 解得， ∴方案二不符题意，舍去． 答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条． 【变式1】（2025·广西桂林·二模）根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 【答案】任务：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：每张元纸币的质量是克； 任务：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、求一个二元一次方程的正整数解． 任务：设枚元硬币克，枚角硬币克，根据小明和小聪使天平平衡的放置方法，列二元一次方程组求解即可； 任务：设每张元纸币克，根据素材中使天平平衡的放置方法，列一元一次方程求解即可； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币，可列二元一次方程，又因为、均为正整数，求出、的正整数解即可． 【详解】任务：解：设枚元硬币克，枚角硬币克， 由素材可得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解方程组可得：， 答：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：设每张元纸币克， 由素材可得：， 解得：， 答：每张元纸币的质量是克； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币， 根据题意可得：， 整理得：， 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【变式2】（2024·宁夏银川·三模）如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ ［情境引入］ 小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是______（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元； ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元． ［迁移类比］ （2）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． ［拓展探究］ （3）学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3500元，求至多购买A种品牌足球多少个？ 【答案】（1）②；（2）种品牌足球的单价为80元，种品牌足球的单价为50元；（3）至多购买种品牌足球31个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、由实际问题抽象出一元一次方程以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据所列方程，找出例题中被覆盖的条件；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）由种品牌足球的单价为元，可得出表示种品牌足球的单价，进而可得出例题中被覆盖的条件； （2）设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“购买种品牌的足球25个，种品牌的足球50个，共花费4500元；种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高30元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购球个种品牌足球，则购买个种品牌足球，利用总价单价数量，结合总价不超过3500元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵种品牌足球的单价为元， ∴表示种品牌足球的单价， ∴例题中被覆盖的条件是：种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高30元． 故答案为：②； （2）设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：种品牌足球的单价为80元，种品牌足球的单价为50元； （3）设购买个种品牌足球，则购买个种品牌足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为31． 答：至多购球种品牌足球31个． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第01讲 一次方程（组）及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 5 03·考点解析·知识通关 7 04·命题洞悉·题型预测 22 命题点一 等式的基本性质 题型01等式的性质相关求解 题型02等式的性质天平类题型 题型03利用等式的性质判断选项是否成立 命题点二 一元一次方程的解 题型01 已知方程的解求参数的值 题型02 解一元一次方程 题型03 判断一元一次方程的解题步骤是否正确 题型04 一元一次方程中程序流程图问题 命题点三 一元一次方程的实际应用 题型01 一元一次方程实际应用配套问题 题型02 一元一次方程实际应用工程问题 题型03 一元一次方程实际应用盈亏问题 题型04 一元一次方程实际应用比赛积分问题 题型05 一元一次方程实际应用方案选择问题 题型06 一元一次方程实际应用数字问题 题型07 一元一次方程实际应用动点问题 题型08 一元一次方程实际应用和差倍问题 题型09 一元一次方程实际应用水费电费问题 题型10 一元一次方程实际应用行程问题 题型11 一元一次方程实际应用日历问题 题型12一元一次方程实际应用古代问题 命题点四 二元一次方程组的解 题型01 二元一次方程（组）的解 题型02 已知二元一次方程（组）的解求参数 题型03 解二元一次方程组（计算题） 题型04 构造二元一次方程组求解 题型05 已知二元一次方程（组）解的情况求参数 题型06 二元一次方程组中同解问题 命题点五 二元一次方程组的实际应用 题型01 二元一次方程（组）实际应用之列方程 题型02 二元一次方程（组）实际应用之方案问题 题型03 二元一次方程（组）实际应用之行程问题 题型04 二元一次方程（组）实际应用之工程问题 题型05 二元一次方程（组）实际应用之数字问题 题型06 二元一次方程（组）实际应用之分配问题 题型07 二元一次方程（组）实际应用之销售利润问题 题型08 二元一次方程（组）实际应用之和差倍问题 题型09 二元一次方程（组）实际应用之几何问题 题型10 二元一次方程（组）实际应用之古代问题 命题点六 三元一次方程组及其应用 题型01 三元一次方程组的定义及其解 题型02 三元一次方程组的实际应用 05·重难突破·思维进阶 133 突破一 一元一次方程中新定义题型 突破二 一元一次方程中新情境类题型 突破三 一次方程中规律类题型 突破四 一次方程（组）实践探究题型 考点 课标要求 考法分析 一元一次方程基础概念及等式的性质 掌握等式的基本性质，理解一元一次方程的定义，能识别一元一次方程，明确方程的解的含义。 常以选择题、填空题形式考查，难度较低。一是考查等式性质的应用，比如判断等式变形的正误，或结合天平平衡等（例如2025·山东滨州卷，四川卷）；二是考查一元一次方程的判定，比如给出含参数的方程，判断其为一元一次方程时参数的取值；三是已知方程的解求参数值（如2025·广东深圳卷，四川遂宁卷等）， 一元一次方程的解法 能熟练运用等式性质，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程。 题型以选择题、填空题或解答题中的基础题为主。一种考法是直接考查解方程，要求写出完整步骤；另一种是判断解题过程的正误，比如指出去分母、移项等步骤中出现的错误；一元一次方程的解法常常单独考查在解答题中2025·四川眉山卷等 二元一次方程（组）的基础概念 理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，清楚二元一次方程的无数组解与方程组的唯一解（或无解等）的区别。 多为选择题、填空题，难度不大。常考查二元一次方程（组）的识别，比如判断给出的方程或方程组是否为二元一次方程（组）；也会考查二元一次方程的解的特征，比如给出一个二元一次方程，判断某个数对是否为它的解，或是根据解的特点求参数范围。2025·山东德州卷、2025·四川泸州卷等 二元一次方程组的解法 掌握代入消元法和加减消元法，能熟练求解二元一次方程组，部分地区要求能解简单的三元一次方程组 是中考基础必考点，题型涵盖选择、填空和解答题。常规考法是直接求解方程组2025·山东淄博卷、2025·山东潍坊卷等；进阶考法包括用整体法简化求解过程、已知方程组同解求参数、根据方程组解的情况（有唯一解、无解等）确定参数值2025·江苏徐州卷等，例如给出两个含参数的方程组同解，求参数的取值。 一次方程（组）的实际应用 能根据现实情境理解方程的意义，针对行程、工程、销售、计费等实际问题，准确提取等量关系并列出一次方程（组）求解。 高频考点，多以选择题或解答题形式考查，难度中等。常见情境有：行程问题（相遇、追及等，围绕路程、速度、时间的关系列方程）2025·黑龙江卷、2025·江苏徐州卷；工程问题（结合工作量、工作效率、工作时间构建模型）2025·江西卷；销售问题（涉及单价、数量、利润等）2025·黑龙江哈尔滨卷、2025·湖南长沙卷等；计费问题（如出租车起步价、话费套餐等分段计费场景）。近年还出现结合跨学科背景或真实生活情境的考题，如结合港珠澳大桥长度、疫情期间物资运输等情境命题，要求先分析题意，找出等量关系，再列方程（组）求解，部分题目还需根据结果给出合理建议。 命题预测 命题趋势：2026年中考一次方程（组）及其应用的命题将延续“基础为本、素养导向” 的核心原则，最显著的趋势是实际应用场景与多学科融合深化，同时强化方程作为工具的综合运用。从近年真题及命题研讨方向来看，传统的行程、工程、销售等经典情境仍会保留，但会更多结合乡村振兴、绿色能源、非遗传承等时代热点，或融入《九章算术》等古代数学文化素材，创设真实且有意义的问题情境。 备考建议：针对命题趋势，最关键的备考策略是聚焦实际应用的核心模型，构建 “审题—建模—求解—验解” 的标准化解题闭环。首先，需分类梳理高频应用场景的核心等量关系，形成 “题型—模型” 对应思维，如销售问题中 “利润=售价-成本、售价=标价×折扣”，行程问题中 “相遇总路程 = 两者路程和” 等，通过专项训练熟练提取题干中“共”“比…… 多”“打折” 等关键词，快速锁定等量关系。其次，强化 “验解” 意识，这是避免实际应用失分的关键 —— 求解后需结合情境验证解的合理性，如人数、数量需为正整数，里程、费用不能为负，确保答案符合实际意义。 考点一 一元一次方程的解求参数 1.一元一次方程的定义：只含有一个 ，且未知数的 （最高次项为一次项），等号两边都是 的方程，叫做一元一次方程； 2.方程的解：使一元一次方程等号两边 的未知数的值，叫做方程的解； 3.等式的基本性质（解方程的依据） 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍 。 即如果a=b，则a±c=b±c； 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍 。 即如果a=b，则a×c=b×c； 如果a=b（c≠0），则 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 3．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则 ． 4．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 考点二 解一元一次方程 一元一次方程的解法（核心技能） 步骤 操作要点 易错提醒 在方程两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母。 不要漏乘不含分母的项；② 分子是多项式时，要加括号 去括号 按照 “先小括号，后中括号” 的顺序，运用乘法分配律展开括号。 ① 括号前是负号时，括号内各项要变号；② 不要漏乘括号内的每一项。 将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边。 移项要变号（“+” 变 “-”，“-” 变 “+”），未移项的项不变号。 合并同类项 分别合并等号两边的同类项，将方程化为 ax=b(a≠0)的形式。 合并同类项时，系数相加，字母和次数不变 在方程两边同除以未知数的系数 a，得x= ①除数不能为0；②注意符号：a、b同号得正，异号得负 1．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    2．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 3（2025·四川眉山·中考真题）（1）计算：     （2）解方程： 考点三 一元一次方程的实际应用 1. 列方程解应用题的一般步骤 ：审题，找出已知量、未知量及等量关系； ：设未知数（直接设：问什么设什么；间接设：设与所求量相关的量）； ：根据等量关系列出一元一次方程； ：解所列方程，求出未知数的值； ：检验解是否符合实际意义； ：写出答案（带单位）。 2.常见的应用题型和等量关系 题型 核心等量关系 和差倍问题 较大数 = 较小数 + 差；总量 = 倍数 × 倍量 行程问题 ①相遇：路程和=总路程；②追及：路程差=初始距离；③匀速：路程=速度×时间 工程问题 ①工作总量=工作效率×工作时间；②总工作量=各部分工作量之和（常把总工作量设为1） 利润问题 ①利润=售价-成本；②利润率=；③售价=标价×折扣 配套问题 配套的两种物品数量比等于配套比（例：1个螺栓配2个螺母，则螺栓数×2 =螺母数） 1．（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 2．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 4．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 5．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 考点四 根据二元一次方程组的解求解 1.二元一次方程的定义：含有 未知数，并且含有未知数的项的次数都是  ，等号两边都是 的方程，叫做二元一次方程。 注意：二元一次方程有无数组解，一组解是指一对未知数的值 2.二元一次方程组定义：由 的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。 标准形式：（、不同时为0，、不同时为0），例：、均为二元一次方程组。 3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组中所有方程左右两边都 的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 注意：二元一次方程组通常只有一组解，特殊情况下无解或有无数组解。 1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 2．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 考点五 解二元一次方程组 二元一次方程组的解法 核心思路：消元（将二元转化为一元一次方程求解），常用方法有两种。 解法类型 代入消元法 加减消元法 核心思路 将一个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程 通过加减运算消去一个未知数，转化为一元一次方程 适用场景 1.方程组中某一个方程的某个未知数系数为1或 −1 2. 能轻松将一个方程变形为 x=ay+b 或 y=ax+b 的形式 1.方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数 2.同一个未知数的系数成倍数关系，可通过乘系数转化为相等或相反 解题步骤 1.变形：选一个方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示（如 y=kx+b） 2.代入：把变形后的式子代入另一个方程，消元得一元一次方程 3.求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值 4.回代：将求得的值代入变形后的式子，求出另一个未知数 5. 写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解 1.变形（可选）：若系数不相等或相反，给方程两边同乘适当数，使同一未知数系数相等或相反 2.加减：系数相反用加法，系数相等用减法，消元得一元一次方程 3.求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值 4. 回代：将求得的值代入原方程组任意一个方程，求出另一个未知数 5.写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解 易错点 1. 变形后误代入原变形方程，导致恒等式2. 代入时漏乘括号内的项，或符号错误 1. 加减消元时，系数相等用减法，容易忽略各项变号 2. 变形乘系数时，漏乘方程中的常数项 1．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 2．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 3．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 4．（2025·山东潍坊·中考真题）解方程组：． 考点六 二元一次方程（组）实际应用 1.列方程组解应用题的一般步骤 ① ：审题，找出已知量、未知量，确定两个等量关系； ② ：设两个未知数（直接设或间接设）； ③ ：根据两个等量关系列出二元一次方程组； ④ ：解方程组，求出未知数的值； ⑤ ：检验解是否符合实际意义 ⑥ ：写出答案（带单位） 2.常见应用题及其等量关系 题型 核心等量关系 和差倍分问题 量1±量2=差值；量1=倍数×量2 行程问题 相遇：路程和=总路程；追及：路程差=初始距离；顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速 工程问题 工作总量=工作效率×工作时间；总工作量=各部分工作量之和 利润问题 总利润=单件利润×数量；总销售额=单价×数量 配套问题 配套的两种物品数量比=配套比例（如1张桌子配4把椅子，则桌子数×4=椅子数） 数字问题 两位数=十位数字×10+个位数字；三位数=百位数字× 100 +十位数字× 10 +个位数字 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 3．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 4．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 命题点一 等式的基本性质 ►题型01 等式的性质相关求解 利用等式的基本性质判断选项是否正确一般方法 1.明确原等式：确定题目给出的原始等式（如a=b）； 2.分析选项的变形操作：看选项是对原等式两边进行了加、减、乘、除中的哪种操作，以及操作的对象是什么； 3.对照性质逐一判断 加减变形：重点看两边是否加 / 减了同一个对象（数或整式），若是则正确；若两边加/减的不是同一个对象，则错误。 乘除变形 乘法：看两边是否乘了同一个数，若是则正确（无特殊限制）。 除法：两个关键点——①两边除以的是同一个对象；②这个对象不能为0。 【典例】（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【变式1】（2025·湖北荆州·三模）已知，则下列等式关系不正确的是（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 ►题型02等式的性质天平类题型 天平问题的本质是等式的直观模型：天平平衡代表等式成立，天平两边的物体质量对应等式两边的代数式或数值。解题的核心是将天平的操作转化为等式的变形，严格遵循等式的两条基本性质 天平状态/操作 等式的等价表述 天平平衡 等式成立（左边质量=右边质量） 天平左边下沉 左边质量＞右边质量 天平右边下沉 坐标质量＜右边质量 两边同时加或减相同质量的问题 等式两边同时加/减同一个数或整式 两边同时乘 / 除以相同的倍数（物体数量成倍数增加 / 减少，且物体规格相同） 等式两边同时乘/除以同一个不为0的数 【典例】（2025·甘肃庆阳·三模）用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式1】（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式2】（2024·贵州·模拟预测）如图，在两台天平的左右两边分别放入“□”“ ”“”三种物体．若图①所示的天平保持平衡，要使图②的天平也保持平衡，则需在右盘放入“”的个数是（    ） A． B． C．7 D．8 ►题型03 利用等式的性质判断选项是否成立 【典例】（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（2025·安徽安庆·一模）设，，为互不相等的实数，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足，则下列式子正确的是（    ）． A． B． C． D． 命题点二 一元一次方程的解 ►题型01 已知方程的解求参数的值 【典例】（2025·广西钦州·二模）若是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【变式1】（2025·江苏无锡·二模）已知是方程，那么m的值是（   ） A． B． C． D．3 【变式2】（2025·广东云浮·一模）若是关于的一元一次方程的解，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 ►题型02 解一元一次方程 解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体操作 依据 适用场景 去分母 方程两边同时乘所有分母的最小公倍数(常数项也需要乘) 等式性质2 方程中含有分母时 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号；括号前是负号时，括号内各项要变号 去括号法则、乘法分配律 方程中含有括号时 移项 把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边 等式性质1 方程两边同时有未知数项或常数项时 合并同类项 分别合并左右两边的同类项，将方程化为 ax=b（a≠0）的形式 合并同类项法则 方程中有同类项时 系数化为1 方程两边同时除以未知数的系数a（或乘​） 等式性质2 方程化为ax=b形式后 【典例】（2025·广东深圳·模拟预测）解方程： (1) (2) 【变式1】（2025·福建宁德·二模）解方程：． 【变式2】（2025·安徽淮南·二模）解方程：． 【变式3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）解方程． (1) (2) (3) ►题型03判断一元一次方程的解题步骤是否正确 按照“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的顺序，逐一检查每一步的变形是否符号规则 1.检查分母步骤 确定是否给方程的每一项都乘了分母的最小公倍数，重点排查不含分母的常数项或参数项，是否存在漏乘情况 例如：解方程，若步骤写x+1=6，则漏乘了左边的常数项1，错误。 若分子是多项式，检查去分母后是否给分子加了括号，避免因省略括号导致符号或乘法分配律应用错误。 例如：解方程1-，若步骤写2-x-1=2x，则未给分子加括号，忽略了右边漏乘2，正确应为2-（x-1）=4x 2.去括号步骤检查 括号前是负号时，检查括号内的每一项是否都变号，避免只变第一项、漏变后面项的情况。 检查是否应用乘法分配律时漏乘括号内的项，尤其是系数为负数或分数的情况。 3.检查移项步骤 重点看移项的项是否都变号，未移项的项是否保持不变，避免“移项不变号”或“没移项却变号”的错误 【典例】（2025·河北·模拟预测）复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示： 习题1 习题2 …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 即第四步 (1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程． 【变式1】（2025·河北保定·模拟预测）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 【变式2】（2025·贵州黔东南·二模）（1）计算： （2）下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． ►题型04 一元一次方程中程序流程图问题 【典例】（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 【变式1】（2025·河北廊坊·二模）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的积； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求a的值： ②求，4，5，这四个数的平均数． 【变式2】（2025·河北石家庄·二模）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入值，由上面的一条运算路线从左至右进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右进行运算得到．如：输入，得到． (1)若输入，求m，n的值； (2)若得到，求输入的的值及相应的的值； (3)若得到的的值比值小，求的取值范围． 【变式3】（2025·河北石家庄·二模）下图为一个“鱼形”计算程序．输入值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到．例：若输入，则，． (1)若得到，求输入的值及相应的值． (2)若输入值后得到的始终大于，求输入的最大整数值是多少． 命题点三 一元一次方程的实际应用 ►题型01 一元一次方程实际应用配套问题 配套问题的本质是比例关系，例如 1个螺栓配2个螺母→螺栓数量：螺母数量=1:2→螺母数量=2×螺栓数量 1张桌子配4把椅子→桌子数量：椅子数量=1:4→椅子数量=4×桌子数量 m个A配n个B→A数量：B数量=m：n→n×A数量=m×B数量（交叉相乘，消去比例） 【典例】（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【变式1】（2025·陕西西安·三模）某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器人，每台机器人每天可完成件上衣或条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？ 【变式2】（2025·陕西西安·三模）太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ ►题型02 一元一次方程实际应用工程问题 一元一次方程实际应用工程问题解题思路 1.审题：明确工程的完成方式（单独做、合作做、分阶段做），找出已知的工作时间、工作量等条件。 2.设未知数 若求完成时间：设总时间为x（或某阶段时间为x） 若求工作效率/人数：设未知效率或人数为x 3.表示效率与工作量：根据已知条件，用含x的式子表示各主体的工作效率、工作时间、工作量等条件 4.列方程：根据以下等量关系列方程 单独做：效率×时间=1（总工作量）； 合作做：合作效率×合作时间=1； 分阶段做：第一阶段工作量+第二阶段工作量=1 分工做：甲工作量+乙工作量=1 5.解方程：求出未知数的值，注意步骤规范（去分母、移项等避免错误点）。 6.检验+作答：检验解是否符合实际意义（时间、效率为正数），再回答题目问题。 【典例】（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）某工程队对一老旧小区进行改造，计划8个月完成任务，为了尽量减少施工对居民生活的影响，工程队加快施工进度，平均每月实际改造的楼层数比原计划的2倍少2层，结果比原计划提前2个月完成任务，求原计划每月改造的楼层数． 【变式2】（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【变式3】（2025·陕西咸阳·二模）人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司开发了甲、乙两款AI模型．为了提高效率，实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．已知乙模型每小时处理的数据比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小时分别处理多少GB的数据？ ►题型03 一元一次方程实际应用盈亏问题 1.基本术语 盈：分配后有剩余（多出来的数量）； 亏：分配后不够分（缺少的数量）； 恰好分完：既没有剩余，也没有不足。 2.核心不变量 无论采用哪种分配方案，物品总数和分配对象的数量是固定的，这是列方程的关键依据。 3.通用等量关系 方案1的物品总数=方案2的物品总数 推导公式： 若每人分m个，盈a个→物品总数=m×人数+a 若每人分n个，亏b个→物品总数=n×人数-b 【典例】（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）5月20日，“世界蜜蜂日”西北大区会场暨蜂产业助力乡村振兴主题活动在宝鸡市陇县八渡镇启幕．活动现场，西北地区优质蜂产品企业纷纷展示特色农货．已知购买A种蜂蜜和B种蜂蜜共需450元，若A种蜂蜜的单价打八折之后与B种蜂蜜的单价相等，求A，B两种蜂蜜的单价． 【变式2】（2025·北京·三模）我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折． 小熊 钥匙扣 套装 进价 13 3 售价 16 4 购买意向占比 (1)出售一份套装可获得的利润是______元； (2)为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？ 【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）某中学举办以“诗韵华夏，词润心田”为主题的诗词朗诵大赛，学校专门定制一些笔记本和纪念册作为大赛奖品．已知一个笔记本比一个纪念册价格便宜元，定制个笔记本和个纪念册共需花费元． (1)求定制一个笔记本和一个纪念册各需多少元？ (2)根据学生获奖比例，学校决定定制笔记本和纪念册共个，但总支出不能超过元，求最多可以定制多少个纪念册？ ►题型04 一元一次方程实际应用比赛积分问题 比赛积分问题的核心是明确比赛规则（胜负平的得分标准、总场次），抓住两个关键等量关系：总场次 = 胜场数 + 负场数 + 平场数、总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分，通过设未知数表示各类场次，进而列方程求解。 1.审题：提取关键信息－总场次、总积分、各场次的得分标准（胜/负/平的分值），明确题目所求（胜场数、负场数等） 2.舍未知数： 若只有胜负两种场次，直接设胜场数为x，则负场数=总场次-x 若有胜负平三种场次，通常设胜场数为x，平场数为y，但是一元一次方程题型中会给出平常数（或负场数）的相关条件，转化为单一未知数。 3.表示积分：用含x的式子分别表示胜场积分、负场积分（平场积分） 4.列方程：根据“总积分=各场次积分之和”建立一元一次方程 5.解方程：求出未知数的值，注意场次必须是非负整数（0或正整数） 6.检查作答： 检验解是否为非负整数，是否符合总场次限制； 回答题目所求的场次或积分问题 【典例】（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 【变式1】（2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【变式2】（2025·陕西西安·二模）中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共道题，答对一题得分，答错或不答一题扣分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是分，求她答对了多少道题？ 【变式3】（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． ►题型05 一元一次方程实际应用方案选择问题 【典例】（2025·河北邯郸·三模）今年冬季，为了让学生们更好地体验冰雪快乐，某学校新开设了滑冰选修活动课，现需要购买一批滑冰鞋，已知两家商场A，B分别推出了自己的优惠方案： A商场：每双滑冰鞋标价为120元，若购买超过20双，超过部分按每双标价的八折出售； B商场：每双滑冰鞋标价为120元，若购买超过15双，超过部分按每双标价的九折出售，然后每双再优惠10元． 若用字母x表示购买滑冰鞋的数量，字母y表示购买的总价，其函数图象如图所示． (1)分别写出选择购买A，B两家商场滑冰鞋的总价y与数量x之间的函数关系式； (2)当时，两函数图象交于点M，请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义； (3)根据图象直接写出选择哪家商场更划算． 【变式1】（2025·陕西西安·三模）中国作为世界茶道的宗主国，茶文化是中华文化教育的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．某茶具加工厂需要一批茶具包装盒，经了解，有下列两种获得这种包装盒的方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒6元，无需其他费用； 方案二：购买机器自己加工包装盒，购买机器的费用为900元，每个包装盒还需额外的加工成本1.5元 设该茶具加工厂需要的包装盒数量为个，按照方案一获得包装盒的总费用为元，按照方案二获得包装盒的总费用为元． (1)分别求出、与之间的函数关系式； (2)假如你是该茶具加工厂的负责人，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 【变式2】（2025·河南周口·一模）我国古代文房四宝（笔、墨、纸、砚）是文人墨客必备的文具．某文房阁直接从作坊购进毛笔、砚台两款文具进行销售，进货价和销售价如下表： 毛笔 砚台 进货价/（元/件） 30 40 销售价/（元/件） 45 60 (1)该文房阁第一次用1300元购进毛笔、砚台两款文具共40件，求两款文具分别购进的件数； (2)第一次购进的两款文具售完后，该文房阁计划最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件，该文房阁应如何设计进货方案，才能使第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？ 【变式3】（2025·辽宁葫芦岛·一模）某中学组织部分学生赴博物馆参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准；每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． (1)求甲旅行社一次最多能接待的人数； (2)为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数的合理范围． ►题型06 一元一次方程实际应用数字问题 【典例】（2024·四川攀枝花·中考真题）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a的值为 ． 2 9 5 a 【变式1】（2023·陕西西安·模拟预测）已知三阶幻方中的9个数满足每行、每列、每条对角线上的三数之和都相等，如果一个三阶幻方中填入的是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数，则这个幻方正中间的数字是 ． 【变式2】（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【变式3】（2025·河北石家庄·一模）一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数． (1)已知是半和数，若，，求c的值； (2)嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由． ►题型07 一元一次方程实际应用动点问题 【典例】（2025·河北石家庄·一模）在如图所示的数轴上，已知，点表示的数为． (1)写出点所表示的数： (2)将点向右平移个单位后，若，求的值． 【变式1】（2023·河北邯郸·三模）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且．    (1)______，______； (2)点、点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动．求秒后点、点之间的距离（用含的代数式表示）． 【变式2】（2023·浙江杭州·三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角顶点作，，再以A为圆心，为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E分别表示和，我发现是一元二次方程的一个根，琮琮说一定不是此方程的根． (1)写出与表示的数 (2)求出的值 (3)你认为琮琮说的对吗？为什么？ ►题型08 一元一次方程实际应用和差倍问题 【典例】（2023·陕西·中考真题）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？ 【变式1】（2024·湖北·一模）现有甲、乙两种型号的商品，已知一个甲种型号商品比一个乙种型号商品多20元，购买甲、乙两种型号商品各10个共需1760元， (1)求甲、乙两种型号的商品单价各是多少元？ (2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的商品共50个，求最多可购买多少个甲种型号的商品？ 【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·二模）开放性问题 某校九年级共有300名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少30人． (1)设女生人数为x人，用含x的代数式表示全校学生人数； (2)若该校计划组织一次户外活动，要求男生和女生分别分组，且每组人数相同．已知男生每组不超过15人，女生每组不超过12人，求分组方案中每组人数最多是多少？此时男生、女生各分多少组？ 【变式3】（2025·重庆·一模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进、两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本种书籍的进价为25元，每本种书籍的进价为40元，其中购进的种书籍的数量比种书籍数量的2倍多4本． (1)求、两种书籍分别购进多少本？ (2)该书城在“世界读书日”当天售出、两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中种书籍的销售额是1200元，已知每本种书籍的售价是每本种书籍售价的1.6倍，求每本种书籍的售价是多少元？ ►题型09 一元一次方程实际应用水费电费问题 【典例】（2023·江苏连云港·中考真题）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯： 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一阶梯 （含400）的部分 2.67元 若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加． 第二阶梯 （含1200）的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 3.63元 (1)一户家庭人口为3人，年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为__________元； (2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为，该年此户需缴纳燃气费用为元，求与的函数表达式； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到） 【变式1】（2025·江苏淮安·一模）综合与实践 【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产． 【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表： 计费单位 收费标准 江浙沪地区 江西省 首重 续重 收费说明： 每件快递按送达地分别计算运费； 运费计算方式：首重价格续重续重运费．首重均为千克，超过千克即要续重，续重以千克为计重单位（不足千克按千克计算）． 【素材2】 电子存单 电子存单 托寄物：捆蹄、萝卜干 目的地：江苏常州 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：鸡糕、捆蹄 目的地：江西南昌 计量重量：千克 件数： 总费用：元 【问题解决】 (1)求、的值； (2)小美给在上海的哥哥寄出了千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小美给在江西的外婆寄特产花了元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【变式2】（2025·内蒙古·二模）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）关系如图． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 2520元 0.6元 方案二：公共充电桩充电 0 1.8元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？ (2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数解析式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？ (3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算． 【变式3】（2025·河南信阳·二模）学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． ►题型10 一元一次方程实际应用行程问题 【典例】（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【变式1】（2025·江苏·二模）甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)的值为______；甲车的速度为______千米时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式． 【变式2】（2025·浙江温州·二模）某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以的速度匀速上升，后无人机乙从同一地面起飞，以的速度匀速上升，无人机乙起飞后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为，无人机距地面的高度与时间之间的函数图象如图所示． (1)求a，b的值． (2)求无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式（标出x的取值范围）． (3)直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差时x的值． 【变式3】（2025·江苏苏州·三模）已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来用30分钟装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后，与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图，这是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数关系图象． (1)=________，货车装完货物后的行驶速度为________． (2)求出租车从乙地返回甲地的速度． (3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距？ ►题型11 一元一次方程实际应用日历问题 【典例】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，吉姆同学在某月的月历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么这四个数是 ． 某月有个星期日，它们的日期之和是，则这个月中最后一个星期日是 号． 【变式1】（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． ►题型12 一元一次方程实际应用古代问题 【典例】（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ． 【变式1】（2025·贵州铜仁·三模）孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”------《三国志》．某动物保护区按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位再将象牵出，然后往船上抬入30块等重的条形石，并在船上留4个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入2块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置．已知每个搬运工体重为，则每块条形石的重量为 ，大象的重量为 ． 【变式2】（2025·吉林长春·二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：今有四人共车，三车空；三人共车，五人步，问人与车各几何．其大意为：现在有若干人乘车，每四人共乘一辆车，则有三辆空车；每三人共乘一辆车，则有五人无车可乘，问车和人各多少？若设有辆车，根据题意，可列方程为 ． 命题点四 二元一次方程组的解 ►题型01 二元一次方程（组）的解 【典例】（2023·浙江·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东滨州·一模）下列四组数中，不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为的二元一次方程组 ． ►题型02 已知二元一次方程（组）的解求参数 题型1：已知二元一次方程的一组解，求参数 步骤1：将解Ax+By=C（A、B、C含参数） 步骤2：代入后得到一个关于参数的一元一次方程； 步骤3：解一元一次方程，求出参数的值。 题型2：已知二元一次方程组的解，求参数 步骤1：将解方程组中的每一个方程； 步骤2：得到关于参数的一元一次方程（组）； 步骤3：解这个方程（组），求出参数的值。 【典例】（2025·湖南岳阳·一模）已知是方程组的解，则的值为（  ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【变式1】（2025·江苏盐城·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【变式2】（2025·广东韶关·三模）已知是的解，则k的值是 ． 【变式3】（2024·河南漯河·一模）若关于，的二元一次方程组的解为，则的值为 ． ►题型03 解二元一次方程组（计算题） 一、代入消元法专属易错点 1.变形方程时移项忘变号 错误示例：方程x-y=3变形为y=x+3（正确应为y=x-3） 规避方法：移项严格遵循“移项必变号”，变形后可代入原方程验证是否等价。 2.代入时选错方程，导致循环推导 规避方法：必须代入另一个未变形的方程，消去一个未知数。 3.代入多项式时漏乘括号内的项 错误示例：将y=x-1代入2x+3y=7，写成2x+3y-1=7（正确应为2x+3(x-1)=7） 规避方法：代入含多项式的式子时，先给多项式加括号，再用乘法分配律展开。 二、加减消元法专属易错点 1.给方程乘系数时漏乘常数项 错误示例：方程2x+y=4两边乘2，写成4x+y=4（正确应为4x+2y=8） 规避方法：方程两边每一项都要乘同一个系数，包括常数项，乘完后检查每一项的系数。 2.加减消元时符号处理错误 错误场景1：系数相等时用减法，未给被减方程的所有项变号 错误场景2：混淆加减消元的适应条件，系数相反时误用减法 规避方法：系数互为相反数→两方程相加消元 系数相等→两方程相减消元，减法时把被减方程的每一项变号后在相加。 【典例】（2025·辽宁·一模）方程：． 【变式1】（2025·山西·一模）解方程组：． 【变式2】（2025·上海徐汇·二模）解方程组． 【变式3】（2025·山西·中考真题）（1）计算：     （2）解方程组： ►题型04 构造二元一次方程组求解 【典例】（2024·江苏扬州·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 【变式1】（2025·浙江金华·二模）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为，其中为常数，则的值为 ． 【变式2】（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 【变式3】（2024·四川成都·一模）待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[]加热分解的化学方程式为：，其中x，y为正整数，则 ． ►题型05已知二元一次方程（组）解的情况求参数 【典例】（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 【变式1】（2023·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【变式3】（2024·宁夏银川·一模）已知关于x，y的方程组，若此方程组的解满足，则m的取值范围是 ． ►题型06 二元一次方程组中同解问题 二元一次方程组的同解问题，核心是指两个不同的方程组有完全相同的解。解题关键是抓住 “公共解同时满足四个方程” 这一特点，通过 “先求无参公共解，再代入含参方程求参数” 的步骤求解。 规范解题步骤 筛选方程：从两个方程组中，选出不含参数的两个方程，组成新的方程组。 求公共解：解这个由无参方程组成的新方程组，得到的就是两个原方程组的公共解。 代入求参：将公共解代入两个原方程组中含参数的方程，得到关于参数的一元一次方程（组）。 解参数方程：求解参数方程（组），得到参数的值。 检验：将参数和公共解代入原方程组，验证所有方程是否成立。 【典例】（2025·贵州铜仁·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式1】（2024·湖南长沙·一模）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 【变式3】（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 命题点五 二元一次方程（组）的实际应用 ►题型01 二元一次方程（组）实际应用之列方程 【典例】（2025·江苏淮安·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． ►题型02 二元一次方程（组）实际应用之方案问题 【典例】（2025·黑龙江佳木斯·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（    ）种购买方案 A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【变式2】（2025·河南驻马店·三模）某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买两种型号的充电桩，已知A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元． (1)求两种型号充电桩的单价； (2)小区准备采购两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案： 方案一 方案二 两种型号的充电桩分别按单价的九折销售 两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担1.2万元的运费． ①若小区准备购买的12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出的值； ②当时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，请设计费用最省的购买方案． 【变式3】（2025·河南洛阳·一模）绿动未来—树木固碳护家园 【素材呈现】 在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而棵成年的阔叶树种（例如杨树）和棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳． 【问题解决】 (1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ (2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买杨树棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． 求与的函数关系式； 杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． ►题型03 二元一次方程（组）实际应用之行程问题 规范解题步骤 二元一次方程组解行程问题的核心是抓住两个核心等量关系：路程=速度×时间（s=vt），以及题目中给出的路程、速度、时间的数量关系（如路程和、路程差、时间差等），通过设两个未知数，列方程组求解。 1.审题：明确行程类型（相遇/追及/顺水逆水等），提取关键信息——甲、乙的速度/时间/路程，以及它们之间的数量关系（如“甲速度是乙的2倍”“相遇时甲比乙多走10km”）。 2.设未知数 直接设：求什么设什么，如设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h； 间接设：若直接设不便，设与所求量相关的量，如设相遇时间为xh，水速为ykm/h。 技巧：未知量有几个，就设几个未知数，通常设 2 个未知数。 3.找等量关系列方程组 根据基本公式和题目中的特殊关系，列出两个独立的等量关系； 例：相遇问题中，①甲路程+乙路程=总路程；②甲速度= 2×乙速度。 解方程组：用代入消元法或加减消元法求解，得到未知数的值。 4.检验作答 检验解是否符合实际意义（速度、时间为正数）； 回答题目所求的量，注意带单位。 【典例】（2025·浙江·三模）已知，两地间有一条千米的高速公路，甲车以千米时的速度从地匀速开往地，乙车以千米时的速度从地匀速开往地，两车同时出发，分别到达目的地后停止甲，乙两车相距的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)请根据题意，直接写出，，的值． (2)求甲，乙两车相遇后与之间的函数关系式． 【变式1】（2025·江苏苏州·二模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、．当和时，都有． ①则甲的速度是__________，乙的速度是__________； ②求与的函数关系式； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点的距离相等? 【变式2】（2025·广东深圳·三模）深圳市罗湖区作为深圳最早发展的城区之一，融合了自然景观、历史文化和现代都市风貌，有很多知名景区，比如“仙湖植物园”、“梧桐山”、“洪湖公园”、“东门老街”等．请同学们认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务： 材料一：2025年“五一”劳动节假期，大批深圳市民进入“仙湖植物园”观光游玩，据统计，5月4日上午8：00-10：00有接近4200人乘坐私家车和客车两种交通工具进入仙湖植物园停车场，根据停车场监控统计，在此段时间内私家车和客车共320辆进入，假如每辆私家车平均乘坐3人，客车平均每辆乘坐30人． 材料二：某学校计划五一过后，组织学校720名师生到“仙湖植物园”研学，一共租甲、乙两种型号的客车20辆，根据下表提供的信息要求在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过7200元． 型号 每辆载客量 每辆租金 甲型号 30 320 乙型号 45 400 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成（1），（2）任务． (1)请同学们估算材料一中提供的时间段内分别有多少辆私家车和客车进入停车场． (2)有几种租车方案供学校选择？最少租车费用是多少？ 【变式3】（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． ►题型04 二元一次方程（组）实际应用之工程问题 二元一次方程组解工程问题的核心是：将总工作量设为单位“1”，以“工作效率×工作时间=工作量”为基础，结合“合作效率=各效率之和”“总工作量=各部分工作量之和”列方程组。 规范解题步骤 1.审题定类型明确工程的完成方式：是合作完工、分阶段完工（甲先做，再甲乙合作），还是多人分工完成多个工程，提取关键条件（如单独完成时间、合作时间、效率倍数关系）。 2.设未知数通常设两个未知量，优先设甲、乙单独完成工程的时间或甲、乙的工作效率，遵循 “求什么设什么” 的原则： 若求单独完成时间：设甲单独完成需x天，乙单独完成需y天，则甲效率为，乙效率为 若求效率：设甲效率为x，乙效率为y，则甲单独完成时间为，乙单独完成时间为 3.找等量关系列方程组从题目中提取两个独立的等量关系，结合核心公式列方程，常见等量关系有： 关系1：合作效率×合作时间=总工作量 关系 2：单独完成时间的数量关系 关系 3：分阶段工作量之和=总工作量（如甲先做m天的工作量+甲乙合作n天的工作量 = 1）。 4.解方程组 若方程含分式，先通过去分母转化为整式方程。 用代入消元法或加减消元法求解，得到未知数的值。 5.检验作答 检验解的合理性：时间、效率必须为正数，若为分式方程，需检验是否为增根。 代入原条件验证：确保解满足题目中的时间、效率关系。 规范作答：明确回答所求问题，带单位。 【典例】（2023·四川德阳·中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元． (1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？ (2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？ 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【变式2】（2024·重庆·二模）列方程（组）解应用题： 为支持农业现代化建设，甲、乙两机械生产公司接受3600台微耕机的生产任务．已知甲公司每天生产微耕机的台数是乙公司每天生产微耕机台数的． (1)若甲公司生产40天，乙公司生产30天，则恰好完成生产任务．问乙公司每天生产多少台微耕机？ (2)由于时间紧任务重，甲、乙两公司每天生产微耕机的台数均在原来的基础上提高了，甲、乙两公司各完成总生产任务的一半，甲公司完成任务所需要的时间比乙公司完成任务的时间少5天．问乙公司现在每天生产多少台微耕机？ 【变式3】（2024·宁夏银川·一模）为积极落实银川市委制定印发的《关于2023年度乡村振兴“一村一年一事”行动实施方案》，城建部门计划对某村一段长300米的道路进行改造，由甲，乙两个工程队先后接力完成，已知甲工程队每天改造15米，乙工程队每天改造10米． (1)若这两个工程队共用时25天，求甲，乙两个工程队分别改造多少米． 根据题意，宁宁和夏夏两个同学分别列出了如下的方程组： 宁宁：，解得． 夏夏：，解得． 宁宁所列方程组中的x表示_______，y表示_______； 夏夏所列方程组中的x表示_______，y表示_______． (2)若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的费用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，则甲工程队至少工作多少天？ ►题型05 二元一次方程（组）实际应用之数字问题 二元一次方程组解数字问题的核心是利用数位与数值的关系，用代数式表示多位数，再结合题目中的数字关系（如和差、倍数、数位对调）列出两个等量关系，进而列方程组求解。 核心基础：数位与数值的关系 多位数的数值 = 各数位上的数字 × 对应数位的计数单位之和，具体如下： 多位数类型 设数方法 数值表达式 两位数 设十位数字为a，个位数字为b（a为 1~9 的整数，b为 0~9 的整数） 10a+b 三位数 设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（a为 1~9 的整数，b、c为 0~9 的整数） 100a+10b+c 【典例】（2025·江苏徐州·二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【变式1】（2025·广东广州·一模）如下表，在的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中的值是（   ） y 6 5 x 7 8 A． B． C． D． 【变式2】（2025·甘肃庆阳·三模）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同（各圆周上数字之和与两条直径上的数字之和不相等），如图是一个关于有理数的三阶幻圆模型，则的值为 ． ►题型06 二元一次方程（组）实际应用之分配问题 【典例】（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．    (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 【变式1】（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【变式2】（2025·河南商丘·二模）洛阳牡丹文化节前身为洛阳牡丹花会，已入选国家非物质文化遗产名录．某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植两种品种的牡丹，已知购买A种10棵和B种20棵共需2000元；购买A种20棵和B种10棵共需1900元． (1)两种牡丹每棵分别为多少元？ (2)该景区计划购买两种牡丹共100棵，A种牡丹的棵数不超过B种牡丹棵数的3倍，且总价不超过6300元，共有多少种购买方案？ (3)购买时发现，A种牡丹单价上涨了a元，B种牡丹单价不变，在（2）的条件下，最低费用需6625元，请直接写出a的值． 【变式3】（2025·广东惠州·一模）为推进惠州市新质生产力发展，某企业决定对现有的甲、乙两类共25条生产线设备进行更新换代． (1)为鼓励企业更新生产线设备，惠州市出台补贴政策：更新1条甲类生产线设备，企业可获3万元补贴；更新1条乙类生产线设备，可获2万元补贴．更新完这25条生产线设备后，该企业共获得65万元补贴．问该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，更新1条甲类生产线设备的费用，比更新1条乙类生产线设备费用的2倍少5万元，用200万元购买更新甲类生产线设备的数量与用180万元购买更新乙类生产线设备的数量相同．那么该企业在获得65万元补贴后，还需投入多少资金用于更新生产线的设备？ ►题型07 二元一次方程（组）实际应用之销售利润问题 二元一次方程组解销售利润问题的核心是梳理 “单价、数量、总价”“进价、售价、利润” 两组核心关系，提取题目中关于数量、利润的两个独立等量关系，设未知数后列方程组求解。 【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【变式1】（2025·江西吉安·二模）今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． (1)求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价； (2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？ 【变式2】（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 【变式3】（2024·云南·三模）云南是我国玉米的主要生产省份之一，玉米种植面积和产量位居全国前列．经销商老王购进了一批花糯玉米和白糯拇指玉米进行销售，两种玉米的进价和售价如下 进价（元/斤） 售价（元/斤） 花糯玉米 a 6 白糯拇指玉米 b 8 已知老王购进40斤花糯玉米和10斤白糯拇指玉米共需200元；购进30斤花糯玉米和20斤白糯拇指玉米共需225元． (1)求a，b的值； (2)若老王购进两种玉米共320斤，其中白糯拇指玉米的进货量不超过花糯玉米进货量的3倍，且不低于花糯玉米进货量的，设购进花糯玉米x斤，则老王应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y（元）最大？最大利润为多少元？ ►题型08 二元一次方程（组）实际应用之和差倍问题 二元一次方程组解和差倍问题的核心是抓住 “和、差、倍” 三类数量关系，设两个未知数，根据题目给出的两个独立等量关系列方程组求解。这类问题的特点是条件清晰，等量关系直接，常见于两种对象的数量对比场景。 关系类型 数学表达式示例 示例 和关系 甲数量+乙数量=总量 甲、乙两种水果共50kg→x+y=50 差关系 甲数量-乙数量=差值（甲＞乙） 甲水果比乙水果多50kg→x=y+50 倍数关系 甲数量=k×乙数量（k为倍数） 甲水果的重量是乙水果的2倍→x=2y 【典例】（2023·湖北恩施·中考真题）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同． (1)男装、女装的单价各是多少？ (2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？ 【变式1】（2025·云南昭通·二模）绿化树种具有过滤和滞纳大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中榆树和白蜡树因其生长迅速，枝叶繁茂而被广泛种植．已知3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克． (1)每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？ (2)一条新建的城市道路需要种植这两种树，一棵榆树的种植成本是400元，一棵白蜡树的种植成本是200元，种植两种树木的总棵数为60棵，要求滞尘总量不少于280千克，且种植总成本尽可能低，应该怎样种植这两种树才能使种植总成本最低？求出该费用． 【变式2】（2025·河南周口·二模）某餐厅提供苹果汁和橙汁两种饮品，每杯均为，营养成分如下： 营养成分 苹果汁 橙汁 热量 80千卡 60千卡 维生素C (1)若需要从这两种饮品中摄入600千卡的热量和的维生素，应选用苹果汁和橙汁各多少杯？ (2)若每份饮品选用这两种果汁共9杯，同时使总热量不低于580千卡，且维生素含量最高，应如何选择？ ►题型09 二元一次方程（组）实际应用之几何问题 【典例】（2025·浙江湖州·二模）如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（    ） A．7cm B．8 C．9 D． 【变式2】（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 【变式3】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? ►题型10 二元一次方程（组）实际应用之古代问题 【典例】（2025·宁夏·中考真题）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·青海·中考真题）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 命题点六 三元一次方程组及其应用 ►题型01 三元一次方程组的定义及其解 1. 三元一次方程的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。 2. 三元一次方程组的定义 由三个一次方程组成，并且一共含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 核心特征： 方程组中含有3个未知数； 每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为 1； 方程的个数一般为3个（特殊情况可少于3个，但需能确定未知数的值）。 解三元一次方程组的核心思路 解三元一次方程组的核心是消元，即通过代入消元法或加减消元法，先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再消去一个未知数转化为一元一次方程，求解后逐步回代，得到三个未知数的值。 基本步骤： ①消元 1：从方程组中选两个方程，消去其中一个未知数（如z），得到一个二元一次方程； ②消元 2：再选另外两个方程，消去同一个未知数（z），得到另一个二元一次方程； ③解二元一次方程组：将两个二元一次方程联立，求解得到两个未知数的值； ④回代求解：将求出的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值； ⑤检验：将三个未知数的值代入原方程组的所有方程，验证是否成立。 【典例】（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【变式1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 【变式2】（2025·四川内江·一模）若x、y、z为非负实数，且，则代数式的最大值与最小值的差是 ． ►题型02 三元一次方程组的实际应用 【典例】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团有20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间住满，那么租房方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式2】（2025·江苏南京·一模）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如下表．现各买一杯，需要花费 元． 次数口味 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 突破一 一元一次方程中新定义题型 【典例】（2025·山东淄博·三模）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”． (1)若不等式组为则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于x的方程是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； (3)若方程和2都是关于x的不等式组的相伴方程，求k的取值范围． 【变式1】（2025·河北·模拟预测）对任意有理数a，b，c，d，规定，例如：，根据以上规定解决以下问题． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式2】（2025·河北石家庄·三模）小明在解一道有理数运算时，一个有理数m被污染了．计算：． (1)若，计算：； (2)，求m的值． 【变式3】（2025·河北保定·一模）定义新运算：对于任意都有，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如： (1)计算 ； (2)若的值是0，求的值． 突破二 一元一次方程中新情境类题型 【典例】（2025·河北衡水·模拟预测）综合实践课上，同学们玩“接力游戏”，由每组学生合作解一元一次方程．如图，老师将题目交给甲同学，他完成一步解答后交给乙同学，依次进行，最后由戊同学完成求解．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中过程出错的同学； (2)请你写出正确的求解过程． 【变式1】（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 【变式2】（2025·河北唐山·一模）嘉嘉和琪琪用下图中的三张带有运算的卡片做一个“我说你算”的数学游戏，两人约定：一人说数字，并将卡片任意排列；另一人按卡片排列顺序进行计算．例如，嘉嘉说出数字2，并将卡片按的顺序排列，则琪琪的运算顺序为：先对2进行的运算，接着用求得的和，最后用所求得的积．列式为：． (1)嘉嘉说出数字，并将卡片按的顺序排列，请你帮琪琪列式并计算结果； (2)嘉嘉说数字，琪琪对按的顺序运算后，得到的数恰好等于12，求． (3)琪琪说数字，嘉嘉对按的顺序运算后，得到的数小于3，求满足条件的负整数的值． 【变式3】（2025·河北·三模）老师在黑板上写了一个不完整的算式：．转动转盘，转盘停止后将指针所指区域的数填入“”并完成算式计算，若指针指在边界线上无效．如图是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况． (1)第1次转动转盘后，求算式的计算结果； (2)某次转动转盘后，算式的计算结果是，求指针所指区域的数； (3)多次转动（指针在每个区域至少停留一次）转盘并计算后发现，有一个计算结果最大．请直接写出这个最大的结果． 突破三 一次方程中规律类题型 【典例】（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【变式1】（2023·安徽宣城·一模）如图所示的是由若干个大小相同的黑色小正方形和白色小正方形组成的一组有规律的图案．图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，以此类推． 【规律总结】 （1）图中黑色正方形的个数是__________． （2）图中黑色正方形的个数是__________（用含的代数式表示）． 【问题解决】 （3）现有块黑色小正方形，若按此规律，可以拼得第几个图形？请说明理由． 【变式2】（2024·江西·模拟预测）下图是用相同的木棒拼成的图形，其中第1个图形用了9根木棒，第2个图形用了13根木棒，第3个图形用了17根木棒……． (1)拼第5个图形需要用______根木棒． (2)按上面的规律继续拼，是否存在某个图形，共用了根木棒?若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2025·安徽亳州·二模）如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律， (1)则第5个图案中有______个六边形； (2)用含n的代数式表示第n个图案中六边形的个数； (3)若第n个图案中有601个六边形，求n的值． 突破四 一次方程（组）实践探究题型 【典例】（2025·广东深圳·一模）根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材2 考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，且扫把簸箕套装不少于50套 素材3 商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【变式1】（2025·广西桂林·二模）根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 【变式2】（2024·宁夏银川·三模）如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ ［情境引入］ 小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是______（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元； ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元． ［迁移类比］ （2）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． ［拓展探究］ （3）学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球的售价比第一次购买时提高5元，B品牌足球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3500元，求至多购买A种品牌足球多少个？ 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $