第06讲 相似模型（A字、8字、母子相似）应用（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学中考复习讲义聚焦相似三角形及模型应用，覆盖比例线段、相似判定与性质、位似等中考核心考点，通过“考点深解-命题突破-难点攻坚-练测提能”流程，系统梳理知识脉络，针对A字、8字等6大模型设计专项突破，助力学生构建完整知识体系。 亮点在于模型化教学与真题结合，如母子模型通过典例解析培养推理意识，黄金分割题型强化抽象能力，分层练习（测能力/提能力）适配不同学生需求。教师可依托此资料精准把控复习节奏，学生通过实战训练提升解题效率，有效落实核心素养。

null函学科网·上好课 www.zxxk com 第四章三角形 第06讲相似模型(A字、8字 目录 目标导图☐口构建知识脉络 考点深解☐口速通命题要点 考点1比例线段 考点2相似三角形 考点3相似多边形 考点4位似 命题突破知口破解常考题型 题型1利用比例的性质求解 题型2黄金分割 题型3平行线分线段成比例求解 题型4利用三角形相似的性质求解 题型5相似三角形的判定与性质综合 题型6相似多边形的性质求解 题型7位似图形及作图 难点攻坚红口攻克易错难点 难点1“A”字模型与反“A”字模型 难点2“8”字模型与反“8”字模型 难点3“母子”模型（共边角模型） 难点4“手拉手”模型（旋转模型） 难点5“K”字模型（相似模型） 难点6十字架模型 练测提能O口效果及时检测 测能力/提能力 1/23 上好每一堂课 母子相似以)应用 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 构建知识脉络 g=三→al=c 「基本性质： 一1.比例线段 L平行线分线段成比例 判定：AA(两角)、SAS(两边成比例目夹角等) SSS(三边成比例) 知 、2.相似三角形 性质：对应角等、对应边成比例、周长比=相似比、面 1.先找平行/角等：优先寻找平行线或已知 相 识梳理 积比=相似比的平方 相等角，快速锁定AA判定。 判定：对应角相等，对应边成比例 2.构造"A或X"型：复杂图形中，常通过」 似三角 3.相似多边形 一性质：周长比=相似比，面积比=相似比的平方 添加平行线构造基本相似模型。 策 一定义：对应点连线交于一点（位似中心），对应边平行 3.比例与方程联用：将边比例关系转化为 方程，是求线段长的核心方法。 形 4.位似 性质：是一种特殊的相似，位似比等于相似处比 1,模型化归：熟练掌握A型、“X型“、“母 学法指导 ·作图：确定位似中心与位似比 子型（射影定理）"等基本图形。 2.综合应用：重点练习相似与圆、函数、 动点问题的结合题型。 方向 3.厘清区别：明确“面积比是k2与周长比是 k的区别，避免混淆。 →速通命题要点 ◇考点1比例线段 1.线段的比与成比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线 段的比相等，如君=音即adbc)，我们就说这四条线段成比例， 2.比例的性质 (1)基本性质：如果君=导，那么adcd:反过来，如果ad正bc(abcd≠0)，那么吾=导 ②)合比性质：如果号=台，那么普=学 (3)等比性质：如果号=台=…=号(b+d+…+n≠0)，那么钟提=号 3.黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段4C和BC(4C>BC),如果脂=，那么称线段AB被点 C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，4C与AB的比叫做黄金比.黄金比脂=5号≈0.618 ACB 4.平行线分线段成比例 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例： 2/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 易混易错 1.比例线段必在同一直线或平行线截得的线段间，易错用非平行截线 2. 成比例线段顺序对应，如AB:BC-DEEF,易颠倒导致比例错 3.比例尺为图上长：实际长，易反写或忽略单位统 4. 比例线段包含中点、黄金分割点等特例，中点非比例中项，易混淆概念 ◇考点2相似三角形 1.相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例： (2)周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方； (3)对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 2.相似三角形的判定 判定方法 图形 几何语言 :∠A=∠A,∠B=∠B 两角分别相等的两个三角形相似 ·△ABC△ABC 三边成比例的两个三角形相似 滑=器=器 ·△ABC△ABC 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 0=器B=B, ·△ABC△ABC 平行于三角形一边的直线和其他两边相 :DE‖BC 交，所构成的三角形与原三角形相似 ·△ADE△ABC B 3.证明两个三角形相似的思路 已知一组等角 己知两边对应成比例 己知是直角三角形 (1)找夹角相等； (1)找另一组等角； (1)找一对锐角相等； (2)找第三边也对应成比例； (2)找该角的两边对应成比例 (2)找任意两边对应成比例 (3)找这两个三角形是直角三角形 易混易错 1.相似三角形对应角相等、对应边成比例，易错判对应关系 2.“A4”（两角相等)即可判定相似，无需边条件，易忽略此简便方法 3/23 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.相似比等于对应边比，不等于面积比（面积比为相似比平方） 4. 全等是相似比为1的特例，性质可通用，但判定条件不同，易混淆 ◇考点3相似多边形 1.定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应边的比叫做相似比. 2.性质 (1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 易混易错 1. 相似多边形需同时满足角对应相等、边对应成比例，易忽略任一条件 2. 相似比是对应边之比，所有对应边比相同，易误用非对应边计算 3. 面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，两者易混淆 4.判定时顺序须对应，如顶点A、B、C…依次对应A'、B、C…,易错位 ◇考点4位似 1.位似图形 (1)定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P所在的直线都经过同一点，且OP'=k·OP(≠0)， 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这两个图形关于这个点位似； (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 易混易错 1.位似是特殊相似：对应点连线交于一点（位似中心），易忽略共点条件 2.位似比即相似比，可正（同侧位似）或负（异侧位似），易忽略负比意义 3. 位似图形对应边平行或共线，但平行图形不一定位似（需共点连线） 4.位似中心可在图形内、外或边上，找对应点易错位 突 破解常考题型 4/23 学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 ◇题型1利用比例的性质求解 典例（2025四川成都中考真题)若名-3，则专之的值为 230,那么4+6 典例2(2026上海长宁一模)已知9= 的值为 2b 解题技巧 技巧：熟练运用比例基本性质、合比等比性质.解题时，先将比例式化为乘积式，或设比值为k进行 统一设元，再代入其他条件求解 b 1 变式1(2025浙江一模)已知线段a,b满足a4,且a-2b=6」 (1)求线段a,b的长 (2)若线段c是线段a,b的比例中项，求线段c的长， 变式2(2026上海松江一模)ABC的三边分别是a、b、C,且g=b=S 51213 (I)如果ABC的周长为60，求a的值； (2)如果ABC的面积为60，求a的值. ◇题型2 黄金分割 典例<225甘肃兰州中考真题）如图，黄金矩形48CD中4B-5-」，以宽4B为边在其内部作正方形 AD 2 ABFE,得到四边形CDEF是黄金矩形，依此作法，四边形DEGH,四边形KEGL也是黄金矩形.依次以点 E,G,L为圆心作AF,FH,HK,曲线AFHK叫做“黄金螺线”.若AD=2,则黄金螺线”AFHK的长 为 (结果用表示) E K D 典例2(2024山西.中考真题)黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“豫” 端庄稳重、舒展美观.己知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上，且AB∥NP,“豫字的 笔面、"在AB的黄金分制点C处，BC=5-」，若NP=2cm,则BC的长为_cm.(结果保留根号) AB 2 5/23 学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 M B 解|题|技巧 技巧：牢记比值（≈0.618）和公式：较长线段=（√5-1）/2×原线段.解题时先明确哪部分是黄金分 割点，再列比例方程求解 变式1(2023四川达州中考真题)如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器板面上， 支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为 A D 变式2(2026江苏连云港模拟预测)川扇，被古人赞誉为“蜀中奇产”.《诗经》曾言：“五月鸣蜩”.宋代 成都的初夏，第一声蝉鸣响起，大慈寺的扇市便如约而至.如图，某家设计公司根据川扇知识设计了一款 纸扇：纸扇张开角度O与360°-0的比为黄金比，BD=15cm,AD=5cm,那么制作这样一把纸扇需要 平方厘米的纸.（纸扇有两面，结果精确到0.1cm;参考数据：π≈3.14） E A ◇题型3平行线分线段成比例求解 典例1(2025黑龙江哈尔滨.中考真题)如图，AB∥CD∥EF,若BC=5,CE=8,则 DF C D 3 A. B c D.5 8 典例2(2025西藏中考真题)如图，点D,E分别是ABC边AB,AC上的点，且DE∥BC,若DE=名 BC 3 则E的值是】 EC 6/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 解题|技巧 技巧：在复杂图形中找准被平行线截割的线段，列出对应比例式缺线段时，常需多次运用定理或添 加辅助平行线构造比例模型 变式1(25-26九年级上·上海·月考)如图，1∥12∥13，且4和☑之间的距离是1，☑和4之间的距离是2， ABC的三个顶点分别在4、人、马上，AC与马交于点D,如果BC1AC, AC,那么BD的长是 BC 1 变式2(2025·安微毫州一模)如图，AD∥BE∥CF,它们依次交直线m,n于点A,B,C和点D,E,F ,DF=14 (I)若AB=2,BC=5,求DE的长； (2)若1B、3 ，求EF的长 BC ◇题型 4 利用三角形相似的性质求解 典例1(2024江苏盐城中考真题)两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 典例2(2026江苏苏州模拟预测)如图，△ABC∽△DEF,AB=4,DE=6,若ABC面积为10，则 △DEF的面积为 解题技巧 7/23 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 技巧：利用相似形对应角相等、对应边成比例求边长先列比例式；求角度则直接转化为相等关系复 杂图形需先确认相似对应关系 变式1(2025上海虹口一模)已知△ABC∽△A'B'C',且ABC和△A'B'C'的最长边分别是5和10，如果 ABC的面积是6，那么△A'B'C'的面积是 变式2(2024江苏扬州·中考真题)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图 像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B.设 AB=36cm,A'B'=24cm.小孔0到AB的距离为30cm,则小孔O到AB的距离为Cm. A -30cm→米？cm ◇题型5相似三角形的判定与性质综合 典例1(2025山东滨州中考真题)如图，ABC中，∠BAC=108°，AB=AC.以点B为圆心，适当长为 半径画弧，分别交BA,BC于点E,F;以点A为圆心，BE的长为半径画弧，交AC于点H,以点H为圆心， EF的长为半径画弧，两弧交于点G;连接AG并延长交BC于点D. (I)求证：△ACDn△BCA; (②)当AB=4时，求BC的长. 典例2(2024青海西宁.中考真题)【感知特例】 (1)如图1，点A,B在直线l上，AC⊥1，DB⊥I,垂足分别为A,B,点P在线段AB上，且PC⊥PD, 垂足为P. 图1 图2 图3 结论：AC·BD=AP·BP (请将下列证明过程补充完整) 证明：：AC⊥I,BD⊥1，PC⊥PD, LCAP=∠DBP=∠CPD=90°， 8/23 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠C+∠APC=90°， -+LAPC=90°， ·一=-，（同角的余角相等） ∴△APC∽-，（两角分别相等的两个三角形相似） ·一=-·（相似三角形的对应边成比例) 即AC·BD=AP·BP 【建构模型】 (2)如图2，点A,B在直线I上，点P在线段AB上，且LCAP=LDBP=LCPD.结论AC·BD=AP·BP 仍成立吗？请说明理由. 【解决问题】 (3)如图3，在ABC中，AC=BC=5,AB=8,点P和点D分别是线段AB,BC上的动点，始终满足 ∠CPD=∠A.设AP长为x(O<x<8),当x=时，BD有最大值是- 解|题技巧 技巧：先利用判定(AA、SAS、SSS)证明相似，再应用对应边成比例或对应角相等的性质解题常需 多次相似进行线段转化与求解 变式1(2025湖北中考真题)在ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对应 点D落在边AB上，连接BE. B 图1 图2 (I)如图1，求证：△BCE∽△ACD: (2)如图2，当BC=2,AC=1时，求BE的长； (3)如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F,过点B作AC的平行线交EF于点G,DE与BC交 于点K ①求证：AC=CF; ②当GF=时，直接写出0 GB 6 ·KE 的值 变式2(2025河南中考真题)在∠A0B中，点C是∠A0B的平分线上一点，过点C作CD⊥OB,垂足为 点D,过点D作DE⊥OA,垂足为点E,直线DE,OC交于点F,过点C作CG⊥DE,垂足为点G. 9/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D B 图1 图2 (1)观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG,OE,OD的数量关系： (2)类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断(1)中的结论是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明. (3)拓展应用 当0°<∠408<180°，且∠40B≠90°时，若GF=3,请直接写出 的值. EF CD ◇题型6 相似多边形的性质求解 典例1(2025陕西渭南一模)己知四边形ABCD~四边形A,B,CD,若AB=3,A,B,=5,则四边形ABCD 与四边形AB,C,D,的面积比为 典例2(2025陕西汉中.一模)已知五边形ABCDE∽五边形A,B,C,D,E,且五边形ABCDE与五边形 A,B,C,DE,的相似比为1：3，若五边形ABCDE的面积为2，则五边形A,B,C,DE,的面积为 解|题技|巧 技巧：利用相似多边形对应角相等、对应边成比例面积比等于相似比的平方解题关键：先确定相似 比，再按比例计算边长或面积 变式1(2025·甘肃平凉·中考真题)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时 期，风筝制作技艺己被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥 哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD.己知大、小风筝的 对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm,那么大风筝两条对角线长的和为 cm 10/23 第四章 三角形 第06讲 相似模型（A字、8字、母子相似）应用 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1比例线段 考点2相似三角形 考点3相似多边形 考点4位似 命题突破👉破解常考题型 题型1利用比例的性质求解 题型2黄金分割 题型3平行线分线段成比例求解 题型4利用三角形相似的性质求解 题型5相似三角形的判定与性质综合 题型6相似多边形的性质求解 题型7位似图形及作图 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1“A”字模型与反“A”字模型 难点2“8”字模型与反“8”字模型 难点3“母子”模型(共边角模型) 难点4 “手拉手”模型(旋转模型) 难点5“K”字模型（相似模型） 难点6 十字架模型 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 比例线段 1.线段的比与成比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如 即ad=bc），我们就说这四条线段成比例. 2.比例的性质 (1)基本性质：如果 ，那么ad=cd;反过来，如果ad= bc(abcd≠0),那么 (2)合比性质：如果 ，那么 (3)等比性质：如果 ，那么 3.黄金分割：如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果 ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.黄金比 4.平行线分线段成比例 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 1. 比例线段必在同一直线或平行线截得的线段间，易错用非平行截线 2. 成比例线段顺序对应，如AB:BC = DE:EF，易颠倒导致比例错 3. 比例尺为图上长:实际长，易反写或忽略单位统一 4. 比例线段包含中点、黄金分割点等特例，中点非比例中项，易混淆概念 ◇考点 2 相似三角形 1.相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例； (2)周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方； (3)对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 2.相似三角形的判定 判定方法 图形 几何语言 两角分别相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 3.证明两个三角形相似的思路 已知一组等角 已知两边对应成比例 已知是直角三角形 (1)找另一组等角； (2)找该角的两边对应成比例 (1)找夹角相等； (2)找第三边也对应成比例； (3)找这两个三角形是直角三角形 (1)找一对锐角相等； (2)找任意两边对应成比例 1. 相似三角形对应角相等、对应边成比例，易错判对应关系 2. “AA”（两角相等）即可判定相似，无需边条件，易忽略此简便方法 3. 相似比等于对应边比，不等于面积比（面积比为相似比平方） 4. 全等是相似比为1的特例，性质可通用，但判定条件不同，易混淆 ◇考点 3 相似多边形 1.定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 2.性质 (1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 1. 相似多边形需同时满足角对应相等、边对应成比例，易忽略任一条件 2. 相似比是对应边之比，所有对应边比相同，易误用非对应边计算 3. 面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，两者易混淆 4. 判定时顺序须对应，如顶点A、B、C…依次对应A'、B'、C'…，易错位 ◇考点 4 位似 1.位似图形 (1)定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过同一点，且 (k≠0)，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这两个图形关于这个点位似； (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 1. 位似是特殊相似：对应点连线交于一点（位似中心），易忽略共点条件 2. 位似比即相似比，可正（同侧位似）或负（异侧位似），易忽略负比意义 3. 位似图形对应边平行或共线，但平行图形不一定位似（需共点连线） 4. 位似中心可在图形内、外或边上，找对应点易错位 ◇题型 1 利用比例的性质求解 典例1（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 典例2（2026·上海长宁·一模）已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比与比例的性质，熟练掌握相关知识是关键． 利用比例关系设参数来表示和，代入所求表达式化简即可． 【详解】解：设，则，， ∴． 故答案为：. 解｜题｜技｜巧 技巧：熟练运用比例基本性质、合比等比性质.解题时，先将比例式化为乘积式，或设比值为k进行统一设元，再代入其他条件求解. 变式1（2025·浙江·一模）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为12，线段的长为3 (2)线段的长为6 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 变式2（2026·上海松江·一模）的三边分别是、、，且， (1)如果的周长为60，求的值； (2)如果的面积为 60，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例的性质和勾股定理逆定理． （1）设，则，利用周长公式列方程求解即可； （2）设，则，通过勾股定理逆定理判断直角三角形，再利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， ∵的周长为60， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设， 则， ∵，， ∴， 即是直角三角形，， ∵的面积为60， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． ◇题型 2 黄金分割 典例1（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键． 【详解】解: ∵黄金矩形中，且， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ∴“黄金螺线”的长为， ． 故答案为：． 典例2（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“豫”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“豫”字的笔画“、”在的黄金分割点C处，，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割及平行线的性质，先根据平行线的性质得出的长，再结合黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 技巧：牢记比值（≈0.618）和公式：较长线段 = (√5-1)/2 × 原线段.解题时先明确哪部分是黄金分割点，再列比例方程求解. 变式1（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2（2026·江苏连云港·模拟预测）川扇，被古人赞誉为“蜀中奇产”．《诗经》曾言：“五月鸣蜩”．宋代成都的初夏，第一声蝉鸣响起，大慈寺的扇市便如约而至．如图，某家设计公司根据川扇知识设计了一款纸扇：纸扇张开角度与的比为黄金比，，，那么制作这样一把纸扇需要 平方厘米的纸．（纸扇有两面，结果精确到；参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割比，扇形面积公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，再结合纸扇张开角度与的比为黄金比，进行列式计算，得，再结合扇形面积公式进行列式计算，得扇子一面的面积为平方厘米，最后根据纸扇有两面进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∵纸扇张开角度与的比为黄金比， ∴ ∴ 解得 则 （平方厘米）， ∵纸扇有两面， ∴（平方厘米）， 那么制作这样一把纸扇需要平方厘米的纸． 故答案为： ◇题型 3 平行线分线段成比例求解 典例1（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 典例2（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 解｜题｜技｜巧 技巧：在复杂图形中找准被平行线截割的线段，列出对应比例式.缺线段时，常需多次运用定理或添加辅助平行线构造比例模型. 变式1（25-26九年级上·上海·月考）如图，，且和之间的距离是1，和之间的距离是2，的三个顶点分别在、、上，与交于点，如果，，那么的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．分别过点作，交于点，根据平行线分线段成比例，得到，证明，求出的长，勾股定理求出的长与的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，分别过点作，交于点， 则， 由题意得：，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：5． 变式2（2025·安徽亳州·一模）如图，，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． （1）求出，根据平行线分线段成比例定理得到，进而计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：； （2）解：∵， ∴， 即， ∴， 解得：． ◇题型 4 利用三角形相似的性质求解 典例1（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长的比为， 故答案为：． 典例2（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，，，，若面积为10，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的面积关系，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键． 首先通过已知条件求得，再代入面积为10，即可求解的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵面积为10， ∴面积为， 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 技巧：利用相似形对应角相等、对应边成比例.求边长先列比例式；求角度则直接转化为相等关系.复杂图形需先确认相似对应关系. 变式1（2025·上海虹口·一模）已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可． 此题考查了相似三角形的性质． 【详解】解：∵，且和的最长边分别是5和， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． ◇题型 5 相似三角形的判定与性质综合 典例1（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：由作图可知，． 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 典例2（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】 （1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为． 结论： （请将下列证明过程补充完整） 证明：，，， ， ， ， ，（同角的余角相等） ，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例） 即 【建构模型】 （2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ． 【答案】（1）；；；；；；（2）成立，见解析；（3）4， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． （1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明得出，进而即可证明结论； （2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，进而完成解答； （3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求最大值即可． 【详解】证明：，，， ， ， ， ，（同角的余角相等） ∴，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例） 即 故答案为：；；；；；； （2）成立，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ．即． （3）∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵设长为，则， ∴，解得： ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：4，． 解｜题｜技｜巧 技巧：先利用判定（AA、SAS、SSS）证明相似，再应用对应边成比例或对应角相等的性质解题.常需多次相似进行线段转化与求解. 变式1（2025·湖北·中考真题）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的长； (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据旋转可得，则，即可证明． （2）根据，，可得，即可得出，过作，则，即，在中勾股定理求出，则，在中勾股定理求出，根据，得出，即可求出． （3）①设旋转角为，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，结合，得出； ②根据，设，证明四边形是平行四边形，得出，由①得，在中，勾股定理得出，则，则，根据，得出，根据，得出，证明，，则，求出，由①可得，得出，证出点四点共圆，根据圆周角定理得出，证明，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． （3）①证明：设旋转角为， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由①得， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 由①可得， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立可得， ∴． 变式2（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)图见解析；不成立，，证明见解析 (3) 或． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：不成立，，证明如下： 如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3）解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． ◇题型 6 相似多边形的性质求解 典例1（2025·陕西渭南·一模）已知四边形四边形，若，，则四边形与四边形的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，根据对应边和的长度求出相似比，再计算面积比 【详解】解：∵四边形四边形，，， ∴相似比， ∴面积比． 故答案为． 典例2（2025·陕西汉中·一模）已知五边形五边形，且五边形与五边形的相似比为，若五边形的面积为2，则五边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：五边形五边形，且五边形与五边形的相似比为， 根据相似多边形的性质，面积比等于相似比的平方，即， ∴五边形的面积为， 故答案为． 解｜题｜技｜巧 技巧：利用相似多边形对应角相等、对应边成比例.面积比等于相似比的平方.解题关键：先确定相似比，再按比例计算边长或面积. 变式1（2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为 ． 【答案】195 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 变式2（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． ◇题型 7 位似图形及作图 典例1（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 典例2（2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解答此题的关键． 根据坐标与图形的性质进行解答即可． 【详解】解：把以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，， 则与的相似比为， 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 技巧：抓住定义：对应点连线交于位似中心，且到位似中心距离比等于位似比.作图关键：先确定位似中心和位似比，再按方向缩放. 变式1（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 变式2（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． ◇难点 1 “A”字模型与反“A”字模型 典例1如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； （2）证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 变式1如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． ◇难点 2 “8”字模型与反“8”字模型 典例1如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 变式1如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，即可证明； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题； （3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点H， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ◇难点 3 “母子”模型(共边角模型) 典例1如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1（1）如图①，在中，，于点D．求证：； （2）如图②，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F，若，求和的值； （3）在中，，点D为直线上的动点（点D不与B，C重合），直线于点E，交直线于点F，若，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1）见解析； （2），； （3）满足条件的的所有可能的值为或或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可证，从而可得即； （2）过点C作交的延长线于点G，可得，结合可得，从而可知，同理（1）可得，，即可变换为，，最后根据，即可得出； （3）同理（2）考虑点D在线段上时、D在线段的延长线上时、点D在线段的延长线上时三种情况即可． 【详解】解：（1）证明：如图①， ，， ， 又， ， ， ． （2）解：方法一： 如图②，过点C作交的延长线于点G， ， ，． ， ，， 又， ， ． 同理（1）可得：，， ， ， ． ， ． 方法二： 如图③，过点D作，交于点G， ， ，． ， ，． 同理（1）可得：，， ， ， ， ． （3）解：点D为直线上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： （I）当点D在线段上时，如图④所示： 过点D作，交边于点G． ， ，，． ， ， ，，． 同理（1）可得：，， ； ， ， 即， 化简得：； （II）当点D在线段的延长线上时，如图⑤所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：； （III）当点D在线段的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：． 即满足条件的的所有可能的值为或或． ◇难点 4 “手拉手”模型(旋转模型) 典例1【发现问题】      （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②； （3）度，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识． （1）由等边三角形的性质可求解； （2）①由“SAS”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，即可解决问题． （3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2中，    ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（SAS）， ∴； ②∵， ∴， 设交于点． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，． 理由： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 变式1（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证明，则； （2）证明，则，，证明，则，， 由，可得，即； （3）如图,过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则，，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图,过点C作，在上取点E使，连接．    由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为， ∴的最大值为． ◇难点 5 “K”字模型（相似模型） 典例1【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 【答案】（1）见解析（2）或（3）4或． 【分析】（1）证明即可． （2）根据，得，设，则，代入比例式，解答即可． （3）根据，得到，结合，得，证明，再对是等腰三角形进行分类计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， 设，则， ∴，整理得， 解得， ∴或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∵是等腰三角形，且， 故只有两种情形解答，具体如下： 当时， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 设，则， 根据前面证明，得， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为4或． 变式1（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    【答案】（1）①见解析；②;（2）或 【分析】本题考查了相似三角形的常见模型-“一线三等角”，熟悉相关模型的构成及求证是解题关键． （1）①根据可得即可求证；②根据可得，即可求解；（2）证得，分类讨论，，两种情况即可求解； 【详解】（1）①证明：由题意得： ∴ ∴ ∴ ②解：∵， ∴ ∵E为的中点， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵为等腰三角形且 ∴若，则； 若，则， ∴； 综上所述：或 ◇难点 6 十字架模型 11.（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 【答案】(1)1； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明，可得，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得，即可； （2）根据题意可推出，得到，设，则，再利用勾股定理得到，从而推出，即可求得答案； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解：，证明如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12.（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题． (1)如图1，在正方形中，为上一点，连结，过点作于点，交于点，则与的数量关系是_________． (2)①如图2，在矩形中，，为上的点，连结，过点作于点，交于点．小明发现，过点作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么?请说明理由． ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于__________． ③应用上述结论解决问题；如图3，在中，，点是的中点，连结，过点作的垂线，交直线于点，垂足是点，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②矩形的两邻边之比；③ 【分析】（1）根据正方形，垂直的定义可得，运用角边角证明，由此即可求解； （2）①根据矩形，垂直的定义可得四边形是矩形，根据相似三角形的判定可得，由此即可求解； ②结合①的证明即可求解； ③如图所示，延长至点，使，可得四边形是平行四边形，结合，由矩形的判定方法可得平行四边形是矩形，根据上述证明可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②矩形的两邻边之比． ③． 证明：如图所示，延长至点，使， ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即, ∴． ◇测能力 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北张家口·月考）已知，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例．熟练掌握比例性质，是解题的关键．由已知比例关系，可设，代入各选项逐一验证即得． 【详解】解：∵， ∴设． A：将代入A选项验证： 左边，右边， 左边右边，故A选项结论正确． B：，， ∴，故B选项结论正确． C：， 故C选项结论正确． D：当时，，则， 故D选项结论不正确． 故选：D． 2．（2026·上海长宁·一模）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 3．（2026·四川成都·一模）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质． 证明，再结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 4．（2026·上海长宁·一模）如图，两条直线被三条平行线、、所截，分别相交于点、、、、、，若，那么当时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例的定理，找到对应线段的比是关键． 直接利用平行线分线段成比例定理得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】， ， 又， ， ， ，解得． 故答案为：． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图①，点把线段分成，两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点，的值为黄金分割数．在顶角为的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图②，，，均为“黄金三角形”，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，先求出k，再根据“黄金三角形”的定义先求出，再求出即可． 【详解】解：如图①，设，则， ， ，， ， 整理得， ，即， 解得：（负值舍去）， ∵为“黄金三角形”， ，即， ， 为“黄金三角形”， ，即， ， 故答案为：． 6．（2026·上海徐汇·一模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】过点作于点，先解求出，由旋转得，，①当时，过点作于点，可得，由，求出，则；②当时，设，可证明，再由，可得，，继而得到，最后由列式计算求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴，， ∵旋转， ∴， ①当时，过点作于点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时； ∵，， ∴，， ∵ ∴， 设，则 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 解得：或（舍） ③当时， ∵， ∴，此时不成立， 综上：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质，难度大，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质求解． 三、解答题 7．（2005·浙江台州·中考真题）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)．见解析 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． （1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：；． （2）解：． 证明：∵在的正方形方格中， ，， ∴． ∵，，，， ∴． ∴， ∴． 8．（2026·上海长宁·一模）已知，如图，在四边形中，，，，．其中． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正确运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证明，结合可证明； （2）根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， 又， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 9．（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，，点是边上一点，满足，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，余角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）证明，然后根据相似三角形的性质和垂直的定义即可得证； （2）证明，得出，证明，得出，则，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，点是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． （1）利用菱形的性质得，，， ，证明，得，再证明，证明，即可证明； （2）由，结合，得，得，由， 得，可得，得，即可计算． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ◇提能力 一、单选题 1．（2025·河南濮阳·一模）若，且与的相似比为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】解：∵，且与的相似比为， ∴与的面积比是， 故选：B． 2．（2025·陕西渭南·一模）如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据题意可知，求出相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可； 【详解】解：投影可知：，， ， ， 与的相似比是， ， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 的周长为， ， ； 故选． 3．（2025·四川雅安·二模）如图，有一块三角形余料，它的面积为，边，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则加工成的正方形零件的边长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 设加工成的正方形零件的边长为，过点A作于M，交于点N，先根据的面积求出高，证明，得到，代入数值求出x即可． 【详解】解：设加工成的正方形零件的边长为， 过点A作于M，交于点N， ∵的面积为，边cm， ∴， 解得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∴， 解得， 故选：D． 4．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，连结，E，F分别在边上，连结分别交于点M，N，若，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由矩形的性质得到，由，得到，即可判断①；由勾股定理可得，证明，得到，可判断③；证明，得到，证得，可判断②；证明，得到，根据勾股定理求出，得到，证明，得到，可判断④；掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， 在中，由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④不符合题意； 综上，结论正确的有①②③，共个． 故选：C． 二、填空题 5．（2026·广西柳州·一模）如图，已知中，点D在上，点E在上，．，，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ，即， 解得：， 故答案为：． 6．（2025·辽宁铁岭·三模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ， 因为， 所以 故答案为： 7．（2025·江西吉安·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】此题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定和性质、正多边形与圆等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的周长比为，则正方形的周长为8，得到正方形的边长为2，用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的周长比为， ∵正方形周长为4， ∴正方形的周长为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为， 故答案为：． 8．（2024·河南商丘·一模）如图，在中，，点M，N分别为，上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点A的对应点为D，若点D落在上，且与相似，已知，，则的长为 ． 【答案】或5 【分析】根据已知条件先求出斜边的长度，再分情况讨论与相似时的情况，最终求出的长度． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， ∵与相似， ∴有以下两种情况： ①当时，，连接，如图所示： ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ②当时，，连接，如图所示： 则， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上所述，的长为或5． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，折叠的性质及等腰三角形的性质． 三、解答题 9．（2025·上海·一模）如图，已知在中，，，延长边至点，使，连接．取边的中点，连接并延长交边于点． (1)求的正弦值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，通过作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． （1）过点C作于G，根据，可得，得，设，则，可求出，，进而利用勾股定理求得，最后利用正弦定义求解即可； （2）延长至H，使，连接，可得，得，，可得，即得． 【详解】（1）解：过点C作于G， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故的正弦值为； （2）解：延长至H，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（2025·广西·一模）【综合与探究】在数学综合与探究活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，在矩形和矩形中，，点、分别是、上的中点，连接． 【特例感知】 （1）请直接写出的值，_____； 【类比探究】 （2）如图2，将图1中的矩形绕着点顺时针旋转，连接，探究的值是否改变，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）的值没有发生变化，证明见解析； （3）的最大值为5，最小值为3 【分析】（1）延长交于点，由矩形的性质以及勾股定理求出的值即可； （2）连接、，由矩形的性质以及勾股定理先求出的值，然后证明，由相似三角形的性质即可求解； （3）连接，取的中点为，连接，证明是的中位线，得出在以为圆心，1为半径的圆上，即可求出线段长度的最大值和最小值． 【详解】（1）解：延长交于点，如图所示， ，四边形是矩形， ，． 点、分别是、上的中点， ，． 由题意得，，， ， ，故答案为：； （2）的值没有发生变化，理由如下： 如图2，连接、． ，四边形是矩形， ，． 点、分别是、上的中点， ，， ，， ，． 矩形绕点顺时针旋转， ， ， ； （3）如图3，连接，取的中点为，连接， 是的中点， 是的中位线， ， 在以为圆心，1为半径的圆上． ， 的最大值为，最小值为． 【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、解直角三角形、最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键． 11．（2023·宁夏吴忠·一模）知识再现 如图①，在正方形中，，，，分别是边，，，上的点，，当时， ； 问题探究 如图②，在中，，分别是边，上的点，，猜想与的数量关系，并说明理由； 实践应用 如图③，在中，，，，分别是，上的点，交于点，，，，求的长． 【答案】知识再现：10；问题探究：，见解析；实践应用： 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，锐角三角函数的应用，等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． （1）知识再现，作于M，于N，利用正方形的性质得出，再利用同角的余角相等得出，证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）问题探究，利用平行四边形的性质先证得由相似三角形的性质得出，再证明，再得出，结合，即可得出. （3）实践应用：作于H，设，由，，解出x，求出，再由（2）结论，求出． 【详解】解：（1）知识再现：作于M，于N，如下图： ∵四边形是正方形， ∴四边形和四边形为矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∵， 设交于P， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）问题探究：，理由如下： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）实践应用： 如图，作于H， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由(2)可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：． 12．（2026·湖北·模拟预测）问题情境∶如图1，矩形中，M是边上一点，分别交，于点E，F． (1)探究发现：若 求的值； (2)探索研究∶如图2，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点G． ①求的长； ②连接，若，求的长； (3)探究拓展：如图3，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，若，，求y关于x的函数关系式． 【答案】(1) (2)①，② (3) 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，动点问题的函数关系式．添加相关辅助线，利用翻折的性质及相似三角形的性质是解题的关键． （1）过点E作于点Q，易得，由相似三角形的性质即可求解； （2）①过点E作于点Q，由翻折性质得，则由（1）的求解过程得的值，由勾股定理求得，即可求得的值； ②过G点作于点P，由相似三角形性质得，由勾股定理即可求得的长； （3）连接，过点E作于点Q，由翻折性质得，由（1）知，则有，则可得，从而得，；在中，由勾股定理建立关于x与y的关系式，整理后即可求得y与x的函数关系式． 【详解】（1）解∶如图1，过点E作于点Q，则， 在矩形中，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解∶①过点E作于点Q，如图， ∵矩形沿直线折叠， ∴； 由（1）知， 由勾股定理得 ∴；     ②如图，过G点作于点 P，则， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在 Rt△BPG中， （3）解∶如图，连接，过点E作于点Q， 由翻折性质得； 由（1）知，， ∵四边形是矩形， 在中，由勾股定理得 即 整理得： 即y与x的函数关系式为 9 / 56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $