第01讲 一次方程（组）及其应用（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次方程（组）及其应用”核心考点，涵盖一元一次方程、二元一次方程组的概念解法及实际应用，构建“概念-解法-应用-难点”递进式知识体系。通过考点深解梳理要点，命题突破指导题型方法，难点攻坚破解参数等易错点，配合练测提能实现真题训练，形成系统高效的复习闭环。 亮点在于“分层突破+素养导向”的教学设计，如通过“实际问题与方程组”题型训练，引导学生用数学眼光抽象等量关系，发展模型意识。针对参数问题整数解等难点，设计“典例解析+变式训练”环节，培养运算能力与推理思维。分层练习适配不同学生，教师可据此精准把控复习节奏，助力学生短时间内提升应考能力。

第二章 数与式 第01讲 一次方程（组）及其应用 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1一元一次方程 考点2二元一次方程组 命题突破👉破解常考题型 题型1已知方程的解求参数 题型2等式的性质 题型3 解一元一次方程 题型4 一元一次方程解中的参数问题 题型5 实际问题与一元一次方程 题型6 二元一次方程（组）的相关概念 题型7 解二元一次方程组 题型8 二元一次方程组的特殊解法 题型9 解二元一次方程组中的参数问题 题型10 实际问题与二元一次方程组 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1已知一元一次方程的解，求参数 难点2已知一元一次方程的解为整数解，求参数 难点3 已知二元一次方程组的解的情况，求参数 难点4 已知二元一次方程组同解问题，求参数 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 一元一次方程 知识点01 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 知识点02 等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的传递性 知识点03 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点04 一元一次方程应用题解题一般步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点05 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 1. 去分母时漏乘不含分母的项。 2. 移项忘记变号，移项是从等式一边移到另一边，符号必须改变。 3. 系数化为1时，混淆乘除运算，需注意两边同除以未知数系数。 ◇考点 2 二元一次方程组 知识点01 二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 知识点02 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 知识点03 二元一次方程组的应用 一．解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 1. 混淆二元一次方程和二元一次方程组的概念，方程组需满足两个方程同时存在，且整体含两个未知数。 2. 用加减消元法时，未给方程两边同乘相同数就直接加减，导致消元错误。 3. 实际应用中，检验只看方程解的正确性，忽略解是否契合实际问题的数量要求。 ◇题型 1 已知方程的解求参数 典例1（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 典例2（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：4． 解｜题｜技｜巧 将已知解代入方程，把参数当作未知数，通过解一元一次方程（或对应方程）计算出参数值，注意检验。 变式1（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入，得， ∴， ∴， 故答案为：2 变式2（2025·黑龙江哈尔滨·三模）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】47 【分析】本题考查一元一次方程的解和代数式求值，运用了整体代入的方法．将代入方程得出，然后将代入变形后的代数式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：47 ◇题型 2 等式的性质 典例1（2025·贵州·一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴，原选项变形正确，不符合题意； 、∵， ∴当与不为零时，，原选项变形不正确，符合题意； 故选：． 典例2（2025·安徽合肥·三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质进行解答即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 即， 故选：． 解｜题｜技｜巧 利用等式性质，等式两边同时加、减、乘同一个数（或整式），或除以同一个非零数，等式仍成立，解方程常用。 变式1（2025·贵州·模拟预测）下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，熟记并理解等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】A：若，则，故该选项错误，不符合题意； B：若，则，故该选项正确，符合题意； C：若，则，故该选项错误，不符合题意； D：若，则，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 变式2（2025·安徽合肥·模拟预测）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查等式得性质，一元一次方程的运用，解一元二次方程，按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题． 【详解】解：①∵，则等式两边除以，可得，故①正确； ②若，则,解得， ， ，故②错误； ③若，则, ， ，故③正确； ④中只有两个数相等， 当时，有， 解得，， 当时，不合题意， 当时，， ， 当时，得,则， 此时不符合题意， 当时，，此时，不符合题意； 故只能是，故④正确 其中正确的是①③④． 故选：C． ◇题型 3 解一元一次方程 典例1（2025·福建宁德·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号，移项合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】解：． ． ． ． 典例2（2025·浙江·模拟预测）下面是小畅解方程的解答过程． 解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】有错误，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键．依次去分母。去括号、移项合并、系数化1求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 解｜题｜技｜巧 去分母、去括号、移项变号、合并同类项、系数化为1，每步依据等式性质，最后代入检验根的正确性。 变式1（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 【答案】(1)错误，错误 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）根据解分式方程的步骤进行判断即可； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误， 故答案为：错误，错误； （2）解： 经检验，当时，， ∴是分式方程的解． 变式2（2025·河北唐山·二模）在解关于的方程时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为． (1)求出m的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键． （1）将错就错，把x的值代入小亮去分母出错的方程求出m的值即可； （2）由题意直接把m的值代入方程计算即可求出解． 【详解】（1）解：由题可知，，即， ∵， ∴； （2）由（1）可知，原方程为， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． ◇题型 4 一元一次方程解中的参数问题 典例1（2024·江苏盐城·一模）关于x的方程的解是，现给出另一个关于x的方程，则它的解是 ． 【答案】2025 【分析】此题考查解一元一次方程，根据两个方程的特点得到所解方程的解为，由此求出x的值． 【详解】∵关于x的方程的解是， ∴方程的解是, ∴, 故答案为2025． 典例2（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 【答案】(1)5 (2)解题过程见详解；2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及已知一元一次方程的解求参数，求二次一次方程的整数解等知识． （1）将代入原方程，可得出关于“〇”的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）将“〇”替换成m，可得出关于x，m的二元一次方程，结合x，m均为正整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 即 解得：， ∴“〇”代表的正整数为5； （2）解：根据题意得， 解得： 又∵x，m均为正整数， ∴ ∴“〇”的值为2． 解｜题｜技｜巧 审题找等量关系，设未知数，列一元一次方程，解方程，检验解的实际意义，作答。 变式1（2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求这两个方程的解． 【答案】方程的解为，方程的解为 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义． 首先由方程，用表示，然后由第二个方程，再用表示，此时两个的值相差5，可得方程求出的值，进而即可求得方程的解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 由， 解得：， 关于的方程的解比方程的解大5， ， 解得， ， ， 这两个方程的解为和． ◇题型 5 实际问题与一元一次方程 典例1（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【答案】应分配名工人生产电压表． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，依题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表， 依题意得， 解得， 答：应分配名工人生产电压表． 典例2（2024·广东清远·二模）目前市场A，B两种型号的新能源汽车销售火爆，已知A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，某汽车贸易公司购买5台A型车和6台B型车共花费了82万元．求一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？ 【答案】一台A型新能源汽车的进货价格是8万元，一台B型新能源汽车的进货价格是7万元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程． 通过设一台B型新能源汽车的进货价格是万元，利用A型车与B型车进货价格的关系以及购买一定数量两种车型的总花费，建立一元一次方程来求解． 【详解】解：设一台B型新能源汽车的进货价格是万元，因为A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，所以一台A型新能源汽车的进货价格是万元． 根据题意可得方程：， 解得：， 则型车进货价格为（万元）． 答：一台A型新能源汽车的进货价格是8万元，一台B型新能源汽车的进货价格是7万元． 解｜题｜技｜巧 审题抓核心等量关系，合理设元（直接/间接），列方程求解，检验解是否符合实际情境。 变式1（2025·安徽·模拟预测）2024年底，蚌埠市交通运输局发布消息：G36宁洛高速公路明光至蚌埠段改扩建工程已顺利通过交工验收．全线采用双向八车道高速公路标准改扩建．目前已交付使用，大大缓解了G36宁洛高速安徽段的交通压力．施工中，对路面沥青的要求极高．某天，化验室要检测4桶沥青，共重55千克．如果第一桶减少3千克，第二桶增加2千克，第三桶减少一半，第四桶增加一倍，那么4桶沥青重量相等．问原来每桶沥青各有多少千克？ 【答案】原来每桶沥青分别为15千克、10千克、24千克和6千克 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设四桶重量分别为a、b、c、d，四桶重量相等时为x．用含x的式子表示出a、b、c、d，再根据列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设四桶重量分别为a、b、c、d，四桶重量相等时为x． 由题意得：，， 则，，，， ∴， 解得： ∴，，，， 答：原来每桶沥青分别为15千克、10千克、24千克和6千克． 变式2（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 【答案】(1)共需要元 (2)该商店的进货方案有种，方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，一元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是解题的关键． （1）根据题意列出算式得，即可求解； （2）购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，分别用一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 元． 答：共需要元； （2）解：当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)． 该商店的进货方案有种， 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔； 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． ◇题型 6 二元一次方程（组）的相关概念 典例1（2024·安徽·模拟预测）下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； B：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； C；两个方程均为二元一次方程，故该方程组是二元一次方程组； D：第一个方程是分式方程，故该方程组不是二元一次方程组． 故选：C． 典例2（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 逐个将x的值代入方程，求出a的值，再分别判断即可． 【详解】解：A． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； B． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意； C． 将代入，得 ，解得， ∴不是关于x和a的方程的解，符合题意； D． 将代入，得 ，解得， ∴是关于x和a的方程的解，不符合题意． 故选C． 解｜题｜技｜巧 概念：含两个未知数且未知数次数均为1的整式方程组。技巧：代入消元或加减消元，化二元为一元求解。 变式1（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 直接将代入求解即可． 【详解】解：将代入得： ， 解得：． 故选：B． 变式2（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． ◇题型 7 解二元一次方程组 典例1（2025·辽宁·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据代入消元法解答即可． 【详解】解：， 由得， 将代入得：， 解得， 将代入，解得， 这个方程的解为． 典例2（2025·辽宁·一模）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键在于熟练掌握加减消元法和代入消元法．用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ①，得③， ，得， 解得，， 将代入①，得， 方程组的解是． 解｜题｜技｜巧 优先用**加减消元**消系数易算的未知数，系数不成倍数用**代入消元**，消元后解一元方程回代。 变式1（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 变式2（2025·山西·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据加减消元法解方程即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为． ◇题型 8 二元一次方程组的特殊解法 典例1（2025·河南·模拟预测）已知关于的方程组，则代数式 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，结合所求、明确方程组中两个方程中未知数的系数的特征是解题关键； 方程组中的两个方程相加并整理可得，进而可得答案. 【详解】解：方程组中的两个方程相加，可得：， 即， ∴； 故答案：9. 典例2（2025·浙江宁波·一模）若方程组    的解是     则方程组   的解是 【答案】 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，把求解的方程组进行合理变形，并把和看做一个整体换元得到一个关于和的新方程组是解答本题的关键.把的两边都除以4变形为，然后把和看做一个整体，用换元法求解. 【详解】解：∵， ∴，即 ∵的解为， ∴， ∴. 故答案为： 解｜题｜技｜巧 遇到系数特殊的方程组，可用**整体代入**或**换元法**简化，也能通过**比例设元**快速消元，减少计算量。 变式1（2024·浙江温州·二模）观察以下二元一次方程组与对应的解： 二元一次方程组                解                (1)通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解． (2)已知关于x，y的二元一次方程组（，）． ①猜想该方程组的解； ②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，分式的加减运算，理解题干信息是解本题的关键． （1）根据题干信息归纳：当两个未知数的系数的和相等，右边的常数也相等时，方程组的解为右边的常数除以系数和，从而可得答案； （2）①根据规律猜想即可；②把猜想的解分别代入方程组中的每个方程进行检验即可． 【详解】（1）解：由题意可得：的解是： ； （2）解：①关于x，y的二元一次方程组的解是： ； ②把代入①的左边可得： 右边， 把代入②的左边可得： 右边， ∴是方程组的解． ◇题型 9 解二元一次方程组中的参数问题 典例1（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，弄清方程组与方程组解满足条件的关系成为解题的关键． 两式相减可得，再结合方程组解的条件结合，据此列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 可得： ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 典例2（2025·浙江金华·二模）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为，其中为常数，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据在化学反应中，氢原子的个数相等得到，再由锂原子的个数相等得到，即可建立二元一次方程组求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：4． 解｜题｜技｜巧 遇到系数特殊的方程组，可用**整体代入**或**换元法**简化，也能通过**比例设元**快速消元，减少计算量。 变式1（2025·重庆·模拟预测）若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，二元一次方程组，解题的关键是掌握：是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．先把方程组的两个方程相加得到，则，从而得到，再根据根的判别式的意义得到，则可求出的值，然后计算的值． 【详解】解：， ①②得：， 即， ∵， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴， 即的值为． 故答案为：． 变式2（2025·四川内江·模拟预测）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少 2 个整数解， ， ， ， 得：， ， ， ， ， ∴满足条件的整数有、、、、， ∴满足条件的整数有5个， 故答案为：5． ◇题型 10 实际问题与二元一次方程组 典例1（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 典例2（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)50元；80元 (2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系式是解题的关键： （1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元，根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可； （2）设购买紫丁香m株，总费用为w元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，列方程组 解方程组得； 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元． 根据题意， ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵， ∴当时，． 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 解｜题｜技｜巧 审题提炼两个关联等量关系，设两个未知数，列二元方程组，消元求解，检验解是否符合实际题意。 变式1（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元． (1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； (2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 【答案】(1)每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；该销售经理的估计正确； (2)解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量等关系，并据此列出方程组，进行求解 （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据题意列出方程组求解即可； （2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意可列出方程组， 解得： ∴每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元； 该销售经理的估计正确； （2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 变式2（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 解｜题｜技｜巧 乘法公式求值类的题目，关键在于恒等变形，反复利用平方差公式和完全平方公式，结合公式中各项的情况，做出相应的变形. ◇难点 1 已知一元一次方程的解，求参数 典例1（2025·贵州贵阳·三模）是关于的一元一次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，正确理解方程的解是解题的关键．将代入中，即可求解． 【详解】解：将代入中，得， ， 故答案为：． 典例2关于x的方程与的解相同，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程解；先解方程，求出的值，再代入方程中求解即可． 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 将代入方程， 得， 即． 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 故答案为：2． 变式1若关于x的方程（其中a、b为常数，且）的解是，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．由已知方程的解求出与的关系，再代入新方程求解． 【详解】解：∵关于的方程（）的解是， ∴，即， 将代入方程， 得， 即， ∵， ∴两边同时除以，得， ∴． 故答案为：． 变式1已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．先把关于y的一元一次方程写成的解形式，再根据关于x的一元一次方程的解是，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解是：， 故答案为：． ◇难点 2 已知一元一次方程的解为整数解，求参数 典例1关于的方程的解是整数，则整数所有可能取值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，分情况讨论，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将方程化为，解得，由于解为整数，因此必须是4的约数，列出所有整数的可能取值并求和． 【详解】解：方程移项得，即，解得． 由于为整数，因此为整数，即是4的约数． 4的约数有、、， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 整数的所有可能取值为、、、、、， 它们的和为． 典例2已知关于的方程的解为负整数，则整数所有可能取值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先解一元一次方程可得，再根据关于的方程的解为负整数，且为整数可得所有可能取值，然后求和即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以6去分母，得， 移项、合并同类项，得， ∵这个关于的方程有解， ∴， 又∵这个关于的方程的解为负整数，且为整数， ∴所有可能取值为， ∴所有可能取值为， ∴整数所有可能取值的和为， 故答案为：． 变式1若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，方程的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 解方程得到的表达式，由解为正整数确定的可能值；再根据多项式为二次三项式的条件筛选的值，最后求满足条件的整数的和． 【详解】解：， 两边乘以得：， 即， ∴， ∵解是正整数， ∴，且为整数， ∴为负整数，且整除4， ∵4的正因数为， ∴可能为， ∵多项式是二次三项式， ∴二次项系数，且一次项系数， 解得：，， 结合方程解的条件，的可能值中排除（因二次项系数为零），排除（但，均不为）， ∴满足条件的为和， ∴其和为， 故答案为：． 变式2已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的绝对值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，先解方程，然后结合整数解求出符合条件的的值，再计算绝对值的和即可．正确求出方程的解是解题关键． 【详解】解：解方程， 得：， ∵关于的方程的解是整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴所有整数的绝对值的和为：． 故答案为：． ◇难点 3 已知二元一次方程组的解的情况求参数 典例1（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，弄清方程组与方程组解满足条件的关系成为解题的关键． 两式相减可得，再结合方程组解的条件结合，据此列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 可得： ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 典例2如果二元一次方程的解互为相反数，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、互为相反数的性质，因为x和y的值互为相反数，所以有，将方程组的两个方程相加得，则，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二元一次方程的解互为相反数， ∴， 得， 即， ∴， 解得：； 故答案为：． 变式1若关于的二元一次方程组中，的值比值的相反数大1，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 由的值比值的相反数大1，则有，即，然后构建方程求得方程的解，最后代入求k即可． 【详解】解：根据题意可知：，即， 解方程组，得， 将代入方程，得，解得：． 故答案为3． 变式2在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有3倍关系，那么这个方程组叫做“三倍解方程”．如果关于x，y的方程组是“三倍解方程”，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，根据“三倍解方程”的定义，方程组的解中两个未知数有3倍关系，即或．分别将这两种关系代入原方程组，通过解方程组求出的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组是“三倍解方程”， ∴当时，代入第一个方程， 得， 解得 则； 将， 代入第二个方程， 得 解得； 当时，代入第一个方程， 得 解得 则． 将，代入第二个方程， 得 解得， 综上所述，或． 故答案为：或． ◇难点 4 已知二元一次方程组同解问题，求参数 典例1已知关于、的方程组和有相同的解，若的算术平方根是的立方根是，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、算术平方根与立方根的定义，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题的关键． 先求出两个方程组的公共解，再代入含、的方程求出、的值，最后计算的算术平方根和的立方根，进而求出． 【详解】解：解方程组得 ，． 将，代入得． 将，代入得． ∴， 解得 ， ∴ ，其算术平方根． ∵ ， ∴ ，其立方根． ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 典例2若方程组和方程组有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．解方程组得出x，y的值，然后得到，求出a与b的值，最后求出结果即可． 【详解】解：将和组成方程组得， 解得，， 将分别代入和得， 整理得：， 解得， ∴． 故答案为：． 变式1已知方程组和有相同的解，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，平方根，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的定义，平方根定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据题意，可联立新的方程组：，利用加减消元法解方程组可得：，然后再把代入方程组，可得：，解得，把a，b的值代入，最后求平方根即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 把代入方程组，可得， 解得， 把代入，得， 的平方根为， 故答案为：． 变式2关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，代数式求值，关于，的方程组与有相同的解，则，解得：，然后代入得，求出，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组与有相同的解， ∴与有相同的解， 由，解得：， 把代入得， 解得：， ∴， 故答案为：． ◇测能力 一、单选题 1．（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 2．（2025·山西长治·二模）《九章算术》的“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”，即“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为50单位的粟可换得30单位的粝米．按此方法，若有6斗（1斗＝10升）的粟，则可换粝米（   ） A．3.6升 B．10升 C．15升 D．36升 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的实际应用，合理列出式子是解题的关键． 先统一单位，再根据比值关系列式运算即可． 【详解】解：∵斗升， 设可换粝米升， ∴， 解得：， 故选：D． 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组． 根据“人出七，盈二”表示总钱数比货物总价多2钱，可得；根据“人出六，不足三”表示总钱数比货物总价少3钱，可得． 【详解】解：∵每人出7钱，多2钱， ∴； ∵每人出6钱，差3钱， ∴； ∴可列方程组为． 故选：B． 4．（2025·贵州黔东南·二模）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，由，得，解得，然后分为腰长时，为腰长时两种情况分析即可，熟练掌握相关性质以及运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴不能构成三角形； 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴该等腰三角形存在， ∴此等腰三角形的周长， 综上：此等腰三角形的周长为， 故选：． 二、填空题 5．（2025·广东深圳·三模）若关于的方程的一个根是2，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的定义．把一元二次方程的根代入并解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：的方程的一个根是2， ， 解得， 即的值为． 故答案为：． 6．（2025·广东广州·模拟预测）点与点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数列式求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 得，， 即． 故答案为：4． 7．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值． 通过将方程组的两个方程相加，可以直接求出． 【详解】解： 将①和②相加，得： 化简得：． 故答案为：5． 8．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 【答案】＝ 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得，． 故答案为：． 三、解答题 9．（2025·山西·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】 解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是． 10．（2025·陕西·模拟预测）一队学生从学校出发去部队军训，以5的速度行进4.5时，一名通讯员以14的速度骑自行车从学校出发追赶队伍，他在离部队6处追上了队伍，求学校到部队的路程． 【答案】学校到部队的路程是13千米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出等量关系列出方程． 设学校到部队的路程是x千米，根据追及时间建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设学校到部队的路程是x千米， 根据题意得：， 解得， 答：学校到部队的路程是13千米． 11．（2025·安徽淮南·二模）为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 【答案】需准备的预算金额为1950元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元，根据“购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元”列二元一次方程组，解方程组求出笔记本和马克杯的单价，再计算预算金额即可． 【详解】解：设每本学霸笔记本x元，每个励志马克杯y元．根据题意，得 ， 解得， 所以，准备的预算金额（元）． 答：需准备的预算金额为1950元． 12．（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及二阶行列式的运算，熟练掌握方程组同解问题的处理方法和二阶行列式的运算法则是解题的关键． （1）先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含、的方程，求出、的值，进而计算． （2）根据二阶行列式的运算法则，将、、、的值代入计算． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组与有相同的解． ∴， 解该方程组得， ∴，， 解得：， ∴． （2）解：将，，，代入， ∴． ◇提能力 一、单选题 1．（2025·广西南宁·模拟预测）若是方程的解，则（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解的概念和一元一次方程的求解，正确计算是关键； 把代入方程可得关于m的方程，再解方程即可. 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即； 故选：D 2．（2025·浙江衢州·一模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，则盈三；人出七，则不足四．问人数、物价各几何？”设共有x人，用不同的代数式表示物品价格，可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．根据题目中的两种出钱情况，分别用代数式表示物品价格，建立方程即可． 【详解】解：设共有x人， 由题意得，． 故选：C． 3．（2025·湖北荆州·模拟预测）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺?设木头长尺，绳子长尺，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列二元一次方程组； 根据题意，绳子比木头长4.5尺，对折后绳子比木头短1尺，建立方程组即可． 【详解】解：设木头长尺，绳子长尺， 由题意得：， 故选：C． 4．（2025·贵州铜仁·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 两边同时除以 3 ，得：， 因此，的值为， 故选：D． 二、填空题 5．（2025·湖北荆州·三模）一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，移项，合并，进行求解即可．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴； 故答案为：． 6．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    【答案】99 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 7．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组的两个方程相加即可得到结果． 【详解】解：， ，得：， 故答案为：． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程．由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为，第三行中间数字为，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可． 【详解】解：如图，根据题意，可得 第二行的数字之和为：， 可知第三行左边的数字为：， 第一行中间的数字为：， 第三行中间数字为， 第三行右边数字为：， 再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为： 解得， 故答案为：6 三、解答题 9．（2025·浙江丽水·二模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式． 利用加减消元法，即可解方程组． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 方程组的解． 10．（2025·广东深圳·三模）（1）解二元一次方程组：； （2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下： 第1步，由，可设，，即； 第2步，将，代入中，得到______； 第3步，解得______； 第4步，即可求出方程组的解． 请你完成上面的填空． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是按照加减消元法解方程组． （1）用加减消元法，求出，将代入①求出； （2），代入中，得到，按照解一元一次方程的方法求出． 【详解】（1）， 得：③， 得：， 解得， 将代入①得：， ∴方程组的解是：； （2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下： 第1步，由，可设，，即； 第2步，将，代入中，得到； 第3步，解得； 第4步，即可求出方程组的解． 故答案为：；． 11．（2025·湖南长沙·三模）人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么． (1)在校两名中学生的对话：甲同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次”，乙同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数才136次”．请你判断甲乙两名同学谁的说法是错误的?并说明理由． (2)若一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12，用列方程的方法确定． 【答案】(1)甲同学说法是正确的；乙同学的说法是错误的；见详解 (2) 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，分别算出甲同学和乙同学所说的对应年龄，再结合甲同学和乙同学都是初中生，进行分析，即可作答． （2）理解题意，由，且结合一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12，进行列方程，再计算，即可作答． 【详解】（1）解：甲同学说法是正确的；乙同学的说法是错误的；理由如下： 依题意，甲同学： ∴ 解得； 乙同学： ∴ 解得； ∵甲同学和乙同学都是初中生 ∴甲同学说法是正确的；乙同学的说法是错误的； （2）解：∵一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12， ∴， 解得， 即的值为15． 12．（2025·河南郑州·模拟预测）某服装店经销，两种恤衫，进价和售价如下表所示： 品名           进价元件           售价元件           (1)第一次进货时，服装店用元购进、两种恤衫共件，购进、两种恤衫各多少件？全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种恤衫进价每件上涨了元，种恤衫进价每件上涨了元，但两种恤衫的售价不变．服装店计划购进，两种恤衫共件，且种恤衫的购进量不超过种恤衫购进量的倍．设此次购进种恤衫件，两种恤衫全部售完可获利元． ①请求出与的函数关系式； ②服装店第二次进货最多获利多少钱？ 【答案】(1)购进种恤衫件，购进种恤衫件，全部售完获利元 (2)；②服装店第二次进货最多获利元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的实际应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设购进种恤衫件，购进种恤衫件，根据服装店用元购进A，B两种T恤衫共件，列出方程组解出x、y值，最后求出获利数； （2）①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍求出m的范围，再分别求出两种T恤衫的利润，求和即可求出W∶ ②由①可知，，W随m的增大而减小，当时，W取最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设购进种恤衫件，购进种恤衫件， 根据题意列出方程组为： 解得， 购进种恤衫件，购进种恤衫件， 全部售完获利 (元) 答：购进种恤衫件，购进种恤衫件，全部售完获利元； （2）解：设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件， 根据题意 解得， 由可知， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，元， 答：服装店第二次进货最多获利元． 9 / 56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 第二章 数与式 第01讲 一次方程（组）及其应用 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1一元一次方程/ 考点2二元一次方程组 命题突破👉破解常考题型 题型1已知方程的解求参数 题型2等式的性质 题型3 解一元一次方程 题型4 一元一次方程解中的参数问题 题型5 实际问题与一元一次方程 题型6 二元一次方程（组）的相关概念 题型7 解二元一次方程组 题型8 二元一次方程组的特殊解法 题型9 解二元一次方程组中的参数问题 题型10 实际问题与二元一次方程组 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1已知一元一次方程的解，求参数 难点2已知一元一次方程的解为整数解，求参数 难点3  已知二元一次方程组的解的情况，求参数 难点4 已知二元一次方程组同解问题，求参数 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 一元一次方程 知识点01 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 知识点02 等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的传递性 知识点03 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点04 一元一次方程应用题解题一般步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点05 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）； （4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）；速度×时间=路程；相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；追及问题：S快-S慢=S相距 ； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． 1. 去分母时漏乘不含分母的项。 2. 移项忘记变号，移项是从等式一边移到另一边，符号必须改变。 3. 系数化为1时，混淆乘除运算，需注意两边同除以未知数系数。 ◇考点 2 二元一次方程组 知识点01 二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程组定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程组定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 3.二元一次方程（组）的解 （1）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 知识点02 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 知识点03 二元一次方程组的应用 一．解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 二、基本公式 单价×数量=总价 利润=实际售价-成本 实际售价=标价（原价）×折扣 利润率= ×100 1. 混淆二元一次方程和二元一次方程组的概念，方程组需满足两个方程同时存在，且整体含两个未知数。 2. 用加减消元法时，未给方程两边同乘相同数就直接加减，导致消元错误。 3. 实际应用中，检验只看方程解的正确性，忽略解是否契合实际问题的数量要求。 ◇题型 1 已知方程的解求参数 典例1（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 典例2（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 解｜题｜技｜巧 将已知解代入方程，把参数当作未知数，通过解一元一次方程（或对应方程）计算出参数值，注意检验。 变式1（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则 ． 变式2（2025·黑龙江哈尔滨·三模）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． ◇题型 2 等式的性质 典例1（2025·贵州·一模）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 典例2（2025·安徽合肥·三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 解｜题｜技｜巧 利用等式性质，等式两边同时加、减、乘同一个数（或整式），或除以同一个非零数，等式仍成立，解方程常用。 变式1（2025·贵州·模拟预测）下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式2（2025·安徽合肥·模拟预测）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ ◇题型 3 解一元一次方程 典例1（2025·福建宁德·二模）解方程：． 典例2（2025·浙江·模拟预测）下面是小畅解方程的解答过程． 解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 解｜题｜技｜巧 去分母、去括号、移项变号、合并同类项、系数化为1，每步依据等式性质，最后代入检验根的正确性。 变式1（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 (1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”） (2)请写出你的解答过程． 变式2（2025·河北唐山·二模）在解关于的方程时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为． (1)求出m的值； (2)写出正确的求解过程． ◇题型 4 一元一次方程解中的参数问题 典例1（2024·江苏盐城·一模）关于x的方程的解是，现给出另一个关于x的方程，则它的解是 ． 典例2（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 解｜题｜技｜巧 审题找等量关系，设未知数，列一元一次方程，解方程，检验解的实际意义，作答。 变式1（2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求这两个方程的解． ◇题型 5 实际问题与一元一次方程 典例1（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 典例2（2024·广东清远·二模）目前市场A，B两种型号的新能源汽车销售火爆，已知A型车每台进货价格比B型车每台进货价格多1万元，某汽车贸易公司购买5台A型车和6台B型车共花费了82万元．求一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？ 解｜题｜技｜巧 审题抓核心等量关系，合理设元（直接/间接），列方程求解，检验解是否符合实际情境。 变式1（2025·安徽·模拟预测）2024年底，蚌埠市交通运输局发布消息：G36宁洛高速公路明光至蚌埠段改扩建工程已顺利通过交工验收．全线采用双向八车道高速公路标准改扩建．目前已交付使用，大大缓解了G36宁洛高速安徽段的交通压力．施工中，对路面沥青的要求极高．某天，化验室要检测4桶沥青，共重55千克．如果第一桶减少3千克，第二桶增加2千克，第三桶减少一半，第四桶增加一倍，那么4桶沥青重量相等．问原来每桶沥青各有多少千克？ 变式2（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ ◇题型 6 二元一次方程（组）的相关概念 典例1（2024·安徽·模拟预测）下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 典例2（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　） A． B． C． D． 解｜题｜技｜巧 概念：含两个未知数且未知数次数均为1的整式方程组。技巧：代入消元或加减消元，化二元为一元求解。 变式1（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 变式2（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 ◇题型 7 解二元一次方程组 典例1（2025·辽宁·一模）解方程组：． 典例2（2025·辽宁·一模）解方程组： 解｜题｜技｜巧 优先用**加减消元**消系数易算的未知数，系数不成倍数用**代入消元**，消元后解一元方程回代。 变式1（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 变式2（2025·山西·一模）解方程组：． ◇题型 8 二元一次方程组的特殊解法 典例1（2025·河南·模拟预测）已知关于的方程组，则代数式 ． 典例2（2025·浙江宁波·一模）若方程组    的解是     则方程组   的解是 解｜题｜技｜巧 遇到系数特殊的方程组，可用**整体代入**或**换元法**简化，也能通过**比例设元**快速消元，减少计算量。 变式1（2024·浙江温州·二模）观察以下二元一次方程组与对应的解： 二元一次方程组                解                (1)通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解． (2)已知关于x，y的二元一次方程组（，）． ①猜想该方程组的解； ②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程． ◇题型 9 解二元一次方程组中的参数问题 典例1（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 典例2（2025·浙江金华·二模）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为，其中为常数，则的值为 ． 解｜题｜技｜巧 遇到系数特殊的方程组，可用**整体代入**或**换元法**简化，也能通过**比例设元**快速消元，减少计算量。 变式1（2025·重庆·模拟预测）若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 变式2（2025·四川内江·模拟预测）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有 个． ◇题型 10 实际问题与二元一次方程组 典例1（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 典例2（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 解｜题｜技｜巧 审题提炼两个关联等量关系，设两个未知数，列二元方程组，消元求解，检验解是否符合实际题意。 变式1（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元． (1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； (2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 变式2（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 解｜题｜技｜巧 乘法公式求值类的题目，关键在于恒等变形，反复利用平方差公式和完全平方公式，结合公式中各项的情况，做出相应的变形. ◇难点 1 已知一元一次方程的解，求参数 典例1（2025·贵州贵阳·三模）是关于的一元一次方程的解，则 ． 典例2关于x的方程与的解相同，则 ． 变式1若关于x的方程（其中a、b为常数，且）的解是，则关于x的方程的解是 ． 变式1已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． ◇难点 2 已知一元一次方程的解为整数解，求参数 典例1关于的方程的解是整数，则整数所有可能取值的和为 ． 典例2已知关于的方程的解为负整数，则整数所有可能取值的和为 ． 变式1若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 变式2已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的绝对值的和为 ． ◇难点 3 已知二元一次方程组的解的情况求参数 典例1（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 典例2如果二元一次方程的解互为相反数，那么的值是 ． 变式1若关于的二元一次方程组中，的值比值的相反数大1，则的值为 ． 变式2在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有3倍关系，那么这个方程组叫做“三倍解方程”．如果关于x，y的方程组是“三倍解方程”，则 ． ◇难点 4 已知二元一次方程组同解问题，求参数 典例1已知关于、的方程组和有相同的解，若的算术平方根是的立方根是，则的值为 ． 典例2若方程组和方程组有相同的解，则的值为 ． 变式1已知方程组和有相同的解，则的平方根是 ． 变式2关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ． ◇测能力 一、单选题 1．（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 2．（2025·山西长治·二模）《九章算术》的“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”，即“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为50单位的粟可换得30单位的粝米．按此方法，若有6斗（1斗＝10升）的粟，则可换粝米（   ） A．3.6升 B．10升 C．15升 D．36升 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州黔东南·二模）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 二、填空题 5．（2025·广东深圳·三模）若关于的方程的一个根是2，则的值为 ． 6．（2025·广东广州·模拟预测）点与点关于原点对称，则的值为 ． 7．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 8．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 三、解答题 9．（2025·山西·一模）解方程组：． 10．（2025·陕西·模拟预测）一队学生从学校出发去部队军训，以5的速度行进4.5时，一名通讯员以14的速度骑自行车从学校出发追赶队伍，他在离部队6处追上了队伍，求学校到部队的路程． 11．（2025·安徽淮南·二模）为庆祝建校30周年，学校文创社特别推出两款纪念品：学霸笔记本和励志马克杯．已知购买4本学霸笔记本和5个励志马克杯的费用相同；购买6本学霸笔记本和4个励志马克杯共需138元．若学生会计划在校庆日向优秀学生代表赠送50本学霸笔记本和100个励志马克杯，则需准备的预算金额为多少元？ 12．（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． ◇提能力 一、单选题 1．（2025·广西南宁·模拟预测）若是方程的解，则（　　） A．1 B．3 C． D． 2．（2025·浙江衢州·一模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，则盈三；人出七，则不足四．问人数、物价各几何？”设共有x人，用不同的代数式表示物品价格，可得到方程（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北荆州·模拟预测）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺?设木头长尺，绳子长尺，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州铜仁·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 二、填空题 5．（2025·湖北荆州·三模）一元一次方程的解为 ． 6．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    7．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 三、解答题 9．（2025·浙江丽水·二模）解方程组：． 10．（2025·广东深圳·三模）（1）解二元一次方程组：； （2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下： 第1步，由，可设，，即； 第2步，将，代入中，得到______； 第3步，解得______； 第4步，即可求出方程组的解． 请你完成上面的填空． 11．（2025·湖南长沙·三模）人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么． (1)在校两名中学生的对话：甲同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次”，乙同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数才136次”．请你判断甲乙两名同学谁的说法是错误的?并说明理由． (2)若一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12，用列方程的方法确定． 12．（2025·河南郑州·模拟预测）某服装店经销，两种恤衫，进价和售价如下表所示： 品名           进价元件           售价元件           (1)第一次进货时，服装店用元购进、两种恤衫共件，购进、两种恤衫各多少件？全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种恤衫进价每件上涨了元，种恤衫进价每件上涨了元，但两种恤衫的售价不变．服装店计划购进，两种恤衫共件，且种恤衫的购进量不超过种恤衫购进量的倍．设此次购进种恤衫件，两种恤衫全部售完可获利元． ①请求出与的函数关系式； ②服装店第二次进货最多获利多少钱？ 9 / 56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $