精品解析：湖南省邵阳市双清区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

2025年八年级（上）期末学情质量监测 数学 温馨提示：本试卷共三道大题，满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成三角形三边的一组是（ ） A. 2，6，8 B. 4，5，6 C. 2，2，6 D. 6，8，15 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（ ） A. 13 B. 11 C. 8 D. 6.5 5. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ） A. 缩小到原来的 B. 扩大倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 6. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长为(　 　) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 8. 以的顶点为圆心，任意长为半径画弧与分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一这两点间距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点并以为端点画射线，交于．若，那么的长是（ ） A. B. C. D. 9. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接，下面结论：① ② ③为等边三角形 ④ ⑤平分，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____． 12. 分解因式：___________. 13. 如图，，，垂足分别为，若用“”证明还需添加的条件为___________． 14. 如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为________． 15. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带___________去．     16. 利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算：________． 三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22每题9分，23题10分，24题12分，共72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算：． 18. 化简求值：，其中． 19. 如图，在中，，、是边上的点，且，求证：． 20. 如图，有两只猴子爬到一棵树上的点处，且，突然发现远方处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树的处，另一只猴子先爬到树顶处后再沿缆绳滑到处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为． （1）请用含有的整式表示线段的长： ； （2）求这棵树高有多少米？ 21. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 22. 如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H． （1）求证：MP=NP； （2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）． 23. “我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式：． 解：原式． 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； （3）已知，，是的三条边，且满足，试判断的形状． 24. 已知：在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明_______；再证明______；即可得出，，之间的数量关系是______． （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年八年级（上）期末学情质量监测 数学 温馨提示：本试卷共三道大题，满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不符合题意； B、，不是积的形式，不符合题意； C、，故原式分解错误，不符合题意； D、，分解正确，符合题意； 故选：D． 2. 下列各组数中，能构成三角形三边的一组是（ ） A. 2，6，8 B. 4，5，6 C. 2，2，6 D. 6，8，15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系；在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据“三角形中较短的两边之和大于第三边”对各选项进行判断． 【详解】解：A、∵，∴该三边不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，且∴该三边能组成三角形，故此选项符合题意； C、∵，∴该三边不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴该三边不能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（ ） A. 13 B. 11 C. 8 D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质．由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ， 的周长为． 故选：C． 5. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ） A. 缩小到原来的 B. 扩大倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 先把分式中的和都扩大倍，化简之后与原分式比较即可解答． 【详解】解：如果把分式中的和都扩大倍可得： ， 那么分式的值缩小到原来的， 故选：A． 6. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 7. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长为(　 　) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而结合勾股定理得出BD的长． 解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点， ∴AB=2DE=2×5=10， ∴在Rt△ABD中， BD==8． 故选C． “点睛”此题主要考查了勾股定理以及直角三角形斜边的中线的性质，得出AB的长是解题关键． 8. 以的顶点为圆心，任意长为半径画弧与分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一这两点间距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点并以为端点画射线，交于．若，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的作图，勾股定理，含30度角的直角三角形，根据角平分线的作图可得，利用勾股定理和角的直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：C． 9. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 10. 如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接，下面结论：① ② ③为等边三角形 ④ ⑤平分，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】由，，，可证，可判断①的正误；由，可判断②的正误；证明，则，可证是等边三角形，可判断③的正误；由，可得，可判断④的正误；如图，作于，于，由，，，可得，则平分，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∵，，， ∴，①正确，故符合要求； ∴， ∴，②正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，③正确，故符合要求； ∴， ∴，④正确，故符合要求； 如图，作于，于， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴平分，⑤正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，平行线的判定等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，平行线的判定是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于零、分式的分母不能为零是解题关键． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，解得：且． 故答案为：且． 12. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 13. 如图，，，垂足分别为，若用“”证明还需添加的条件为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“”是解题的关键．根据“”判定方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴根据“”证明需添加， 故答案为：． 14. 如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，勾股定理等知识；当时，线段的长取得最小值，利用勾股定理求得，，再由角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解：由垂线段最短知，当时，线段的长取得最小值， ∵，，， ∴， ∵平分，， ∴， 即的最小值为3． 故答案为：3． 15. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带___________去．     【答案】③ 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 故答案为：③． 16. 利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作： 例如：时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，若，计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据已知可得，然后利用完全平方公式得到的整系数方程为：，可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴得到的整系数方程为：， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22每题9分，23题10分，24题12分，共72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考察负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简和绝对值的性质．先计算各部分值，然后合并简化． 【详解】解： 18. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理化，熟练掌握分式的混合运算是解答的关键． 先根据分式的混合运算法则化简原式，再代值，然后分母有理化求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 如图，在中，，、是边上的点，且，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 20. 如图，有两只猴子爬到一棵树上的点处，且，突然发现远方处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树的处，另一只猴子先爬到树顶处后再沿缆绳滑到处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为． （1）请用含有的整式表示线段的长： ； （2）求这棵树高有多少米？ 【答案】（1）； （2）这棵树高米． 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理，解决本题的关键是利用含的代数式表示三角形各边的长度，再利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出树的高度即可． 根据，可得：； 在中，，可得：，解方程求出，即，根据树高为即可求出树的高度． 【小问1详解】 解：， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知， 在中，， ， 解得：， ， ∴这棵树高米． 21. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】（1）每个A种挂件的价格为25元 （2）该游客最多购买11个A种挂件 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； 【小问2详解】 解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件． 22. 如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H． （1）求证：MP=NP； （2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）． 【答案】（1） 如下图所示，过点M作MQCN， ∵为等边三角形，MQCN， ∴， 则AM=AQ，且∠A=60°， ∴为等边三角形，则MQ=AM=CN， 又∵MQCN， ∴∠QMP=∠CNP， 在， ∴， 则MP=NP； （2）0.5a． 【解析】 【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可； （2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵为等边三角形，且MH⊥AC， ∴AH=HQ， 又由（1）得，， 则PQ=PC， ∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 23. “我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式：． 解：原式． 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； （3）已知，，是的三条边，且满足，试判断的形状． 【答案】（1） （2）当，时有最小值3 （3）直角三角形 【解析】 【分析】（1）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方差公式分解因式即可得到答案； （2）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性即可求出多项式有最小值； （3）阅读材料，根据材料中的方法，先配方，再由平方的非负性及非负数和为零的条件求出，结合勾股定理的逆定理即可判定的形状． 【小问1详解】 解：由材料中的解法可知， ， 故答案为： 【小问2详解】 解：由材料中的解法可知， ， ， 当时，有最小值，最小值是； 【小问3详解】 解：由材料中的解法可知， ， ， 即， ， ， ， ，即是直角三角形． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及完全平方公式、配方法、平方差公式、因式分解、平方非负性、求多项式最值、非负数和为零的条件、勾股定理的逆定理等知识，读懂题意，理解配方法是解决问题的关键． 24. 已知：在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小宁同学先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小宁的解题思路是：先证明_______；再证明______；即可得出，，之间的数量关系是______． （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_______． 【答案】（1），， （2） 解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段，，之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【小问1详解】 解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段，，之间的数量关系是， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①或或，理由如下： ，如图：在上截取，使，连接， ∵ ∴ 在与中， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点E在延长线上，点F在延长线上， 此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段，，之间的数量关系为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $