精品解析：安徽省六安市霍邱县农机校初中部2025-2026学年八年级上学期数学期末班级对抗赛

八年级数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的概念，掌握函数的概念是解决本题的关键． 有两个变量x和y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y与之对应，那么y就是x的函数，据此判断即可． 【详解】解：A、y不是x的函数，不符合题意； B、y不是x的函数，不符合题意； C、y不是x的函数，不符合题意； D、y是x的函数，符合题意． 故选D． 3. 如图，已知，下列添加任何条件不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：在和中 ． ， ． ． 在和中 ． 在和中 ． 故B、C、D选项正确符合题意，A选项不符合题意． 故选：A． 4. 下列各命题的逆命题，属于假命题的是（ ） A. 锐角三角形是等边三角形 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等 D. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题与逆命题的真假判断，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先写出各选项的逆命题，再判断即可． 【详解】解：锐角三角形是等边三角形的逆命题是“等边三角形是锐角三角形”，逆命题是真命题，故A不符合题意； 直角三角形的两个锐角互余的逆命题是“有两个角互余的三角形是直角三角形”，逆命题是真命题，故B不符合题意； 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等的逆命题是“如果两个三角形中三边分别对应相等，那么这两个三角形全等”，逆命题是真命题，故C不符合题意； 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等的逆命题是“如果两个三角形中三角分别对应相等，那么这两个三角形全等”，逆命题是假命题，故D符合题意； 故选D 5. 已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据函数的图象经过第一、二、四象限，得到，从而得到，再根据一次函数的性质判断的图象． 【详解】解：∵函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴的图象过第一、二、三象限， 故选：B． 6. 在下列条件：；；；：：：：中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是灵活利用三角形内角和定理求得内角的度数．根据三角形的内角和是，逐个判断即可． 【详解】解：①由、可得，即，为直角三角形； ②由、可得，即，，是直角三角形； ③由、可得，即，，不是直角三角形； ④由，可以设，，，由可得：，解得，则，，，为直角三角形； 能确定为直角三角形的有3个． 故选：C． 7. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分平分，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 9. 一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（ ） ①两地相距千米； ②出发小时，货车与小汽车相遇； ③出发小时，小汽车比货车多行驶了千米； ④小汽车的速度是货车速度的倍． A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，由函数图象即可判断①②；再根据函数图象可知出发小时，小汽车到达地，即可求出小汽车和货车的速度，即可判断③④，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得，两地相距千米，出发小时，货车与小汽车相遇，故①②正确； 由图象可知，出发小时，小汽车到达地， ∴小汽车的速度为千米小时， ∴货车的速度为千米小时， ∴出发小时，小汽车比货车多行驶了千米，故③正确； ∵小汽车的速度为千米小时，货车的速度为千米小时， ∴小汽车的速度是货车速度的倍，故④正确； 综上，说法中正确的是①②③④， 故选：． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∠ABC 的平分线分别交 AC、AD于E、F 两点，M为EF 的中点，AM的延长线交 BC于点N，连接EN，下列结论：①△AFE为等腰三角形；②DF= DN；③AN = BF；④EN⊥NC．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的全等，角平分线的定义，逐一判断即可． 【详解】∵∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC ， ∴∠DBF+∠DFB=90°，∠ABE+∠AEF=90°，∠ABE=∠DBF， ∴∠AEF=∠DFB=∠AFE， ∴△AFE为等腰三角形， ∴结论①正确； ∵△AFE为等腰三角形，M为EF 的中点， ∴∠AMF=90°， ∴∠DBF=∠DAN， ∵∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D， ∴AD=BD， ∴△DBF≌△DAN， ∴DF= DN，AN=BF， ∴结论②③正确； ∵∠ABM=∠NBM，∴∠BMA=∠BMN= 90°，BM=BM， ∴△BMA≌△BMN， ∴AM=MN， ∴BE是线段AN的垂直平分线， ∴EA=EN， ∴∠EAN=∠ENA=∠DAN， ∴AD∥EN， ∵AD⊥BC ∴EN⊥NC， ∴结论④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等，线段的垂直平分线的定义和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识，灵活运用知识是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，共20分． 11. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 若点到轴的距离为2，到轴的距离为3，且，则点P的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，点到坐标轴的距离． 由点到轴的距离为2，可得，由点到轴的距离为3，可得，结合，即可得点P的坐标． 【详解】解：∵点到轴的距离为2，到轴的距离为3， ∴，， ∴，， ∵， ∴，或， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 13. 如图，点在的平分线上，于点C，点F在，若，，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含角直角三角形的性质，从而完成求解． 根据角平分线的性质，得，再根据含角直角三角形的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点G， ∵点在的平分线上， ，， ， ， ． 故答案为：6． 14. 如图，在中，，，D为线段上一动点不与点B，C重合，连接，作，交线段于 （1）当D为中点时，______； （2）当时，______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得，，再根据得，然后根据三角形外角性质即可得出的度数； （2）设，根据三角形外角性质得，由此得，再求出，则，再由三角形外角性质得，证明和中全等得，则，进而得，由此解出继而可得出的度数． 此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 【详解】解：（1）当D为中点时，如图1所示： 在中，，， ， 为中点， ， ， ， ， 是的外角， ， 故答案为：90； （2）当时，如图2所示： 设， 是的外角， ， 又，， ， ， 在中，，， ， ， ， 是的外角， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 解得：， 故答案为： 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若，且∥轴，求点的坐标． 【答案】（1）点M的坐标为； （2）点M的坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质， （1）根据在轴上点的坐标的纵坐标为0，以此建立方程求解即可； （2）根据轴可知，点M，N的横坐标相等，以此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点N的坐标为，直线轴， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为． 16. 已知一次函数． （1）图象经过，求的值； （2）随的增大而减小，求的取值范围； （3）函数图象不经过第三象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质求解即可； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过， ， 解得：， 的值为． 【小问2详解】 解：随的增大而减小， ， 解得：， 的取值范围为． 【小问3详解】 解：一次函数的图象不经过第三象限， ， 解得：， 的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，熟知一次函数图象与系数之间的关系是解题的关键． 17. 已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）把向下平移个单位长度得到，请画出； （2）请画出关于轴对称的，并写出的坐标； （3）在（1）、（2）的条件下，边上有一点的坐标为，则经过平移、对称后对应点的坐标为______． （4）求的面积． 【答案】（1） 如图所示： （2） （3） （4）6.5 【解析】 【分析】此题主要考查了作图--轴对称变换和平移变换，关键是找出组成图形的关键点平移后的对应点位置． （1）首先确定、、三点向下平移个单位长度后的对应点位置，然后再连接即可； （2）首先确定、、关于轴对称的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）根据的平移、对称变换规律可得点对应点的坐标； （4）利用割补法把补成一个长方形，利用长方形的面积减去周围多余三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示：的坐标； 【小问3详解】 解：根据题意，得； 【小问4详解】 解：的面积：． 18. 如图，已知，． （1）用尺规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若边的垂直平分线交于、交于； ①连接，求的周长； ②若，求的度数． 【答案】 （1）如图，DE即为所求； （2）①11；②26° 【解析】 【分析】（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作DE垂直平分BC； （2）①运用垂直平分线的性质得出BD=DC，利用△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC即可求解； ②根据等边对等角得到∠DBC=∠C，再利用三角形外角的性质得到结果． 【详解】解：（1）略 （2）①∵DE是BC边的垂直平分线， ∴BD=DC， ∵AB=4，AC=7， ∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+7=11； ②∵BD=CD， ∴∠DBC=∠C， ∴∠ADB=∠DBC+∠C=52°， ∴∠DBC=26°． 【点睛】本题主要考查了作图-复杂作图及垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是熟记作垂直平分线的方法． 19. 如图，，，．，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴∠ACB=∠ECD=90° ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE 即∠ACE=∠BCD 又． ∴△ACE≌△BCD ∴ （2）90° 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解； （2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）∵△ACE≌△BCD ∴∠A=∠B 设AE与BC交于O点, ∴∠AOC=∠BOF ∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180° ∴∠BFO=∠ACO=90° 故=180°-∠BFO=90°． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 20. 如图，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若点在直线上，轴，交直线于点，，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像上点坐标的特征、解绝对值方程等知识点，用含字母的代数式表示相关点坐标及相关线段的长度是解题的关键． （1）把代入得，再运用待定系数法求解即可； （2）由得，即有，设，由轴，得，根据，可得，解绝对值方程求得a的值即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得：， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：在中，令，得：， ， ， 设，由轴，得， ， ， ， ，解得：或， 或． 21. 新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“恒等点”．例如，如图①，②，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值相等，则点是“恒等点”． （1）点________“恒等点”（填“是”或“不是”）． （2）点是“恒等点”，求的值． （3）如图②，点是线段上一点，连接、，若“恒等点”，是正数，且，求点的坐标． 【答案】（1）不是 （2） （3）点坐标为 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，掌握“恒等点”的定义是解题的关键． （1）根据“恒等点”的定义进行判断即可； （2）根据“恒等点”的定义，列出方程进行求解即可； （3）根据“恒等点”的定义，求出的值，设，则，根据列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形， 长方形的周长，长方形的面积 点不是“恒等点”； 【小问2详解】 过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形， 长方形的周长，长方形的面积 点是“恒等点” ，解得 ； 【小问3详解】 点是“恒等点”，是正数 解得 点的坐标为 设，则 ， 解得 点坐标为 22. 某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表， 商品名称 甲 乙 进价（元/件） 80 100 售价（元/件） 160 240 设其中甲种商品购进x件 （1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元． ①求y与x的函数关系式； ②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案． 【答案】（1）购进甲种商品105件，乙种商品95件． （2）．该商场获得的最大利润为22000元． （3）商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：根据数量关系列出关于x的一元一次方程；找出y关于x的函数关系式；根据一次函数的系数分类讨论． （1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了件，由总价=甲的单价×购进甲种商品的数量+乙的单价×购进乙种商品的数量，可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可得出结论； （2）①根据利润=甲商品的单件利润×数量+乙商品的单件利润×数量，即可得出y关于x的函数解析式； ②根据总价=甲的单价×购进甲种商品的数量+乙的单价×购进乙种商品的数量，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据y关于x函数的单调性即可解决最值问题； （3）根据利润=甲商品的单件利润×数量+乙商品的单件利润×数量，可得出y关于x的函数解析式，分x的系数大于0、小于0以及等于0三种情况考虑即可得出结论． 【小问1详解】 甲种商品购进x件，乙种商品购进了件，根据题意得：， 解得：， （件）． 答：购进甲种商品105件，乙种商品95件． 【小问2详解】 ①由已知可得：．即 ②由已知得：， 解得：， ，在x取值范围内单调递减， 当时，y有最大值，最大值为． 故该商场获得的最大利润为22000元． 【小问3详解】 ， 即，其中． ①当时，，y随x的增大而减小， 当时，y有最大值， 即商场应购进甲、乙两种商品各100件，获利最大． ②当时，，， 即商场应购进甲种商品的数量满足的整数件时，获利都一样． ③当时，，，y随x的增大而增大， 当时，y有最大值， 即商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大． 23. 在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且平分交于点F，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：是等边三角形； （3）如图3，当，且时，求证：． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （3） 证明：如图3，延长交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】对于（1），利用“边角边”定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论； 对于（2），在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形； 对于（3），延长交于N，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了三角形的综合题，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，下列添加任何条件不能证明的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各命题的逆命题，属于假命题的是（ ） A. 锐角三角形是等边三角形 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等 D. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等 5. 已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 在下列条件：；；；：：：：中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分平分，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（ ） ①两地相距千米； ②出发小时，货车与小汽车相遇； ③出发小时，小汽车比货车多行驶了千米； ④小汽车的速度是货车速度的倍． A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 10. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∠ABC 的平分线分别交 AC、AD于E、F 两点，M为EF 的中点，AM的延长线交 BC于点N，连接EN，下列结论：①△AFE为等腰三角形；②DF= DN；③AN = BF；④EN⊥NC．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4小题，共20分． 11. 函数中自变量的取值范围是______． 12. 若点到轴的距离为2，到轴的距离为3，且，则点P的坐标为______． 13. 如图，点在的平分线上，于点C，点F在，若，，则___________． 14. 如图，在中，，，D为线段上一动点不与点B，C重合，连接，作，交线段于 （1）当D为中点时，______； （2）当时，______ 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若，且∥轴，求点的坐标． 16. 已知一次函数． （1）图象经过，求的值； （2）随的增大而减小，求的取值范围； （3）函数图象不经过第三象限，求的取值范围． 17. 已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）把向下平移个单位长度得到，请画出； （2）请画出关于轴对称的，并写出的坐标； （3）在（1）、（2）的条件下，边上有一点的坐标为，则经过平移、对称后对应点的坐标为______． （4）求的面积． 18. 如图，已知，． （1）用尺规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若边的垂直平分线交于、交于； ①连接，求的周长； ②若，求的度数． 19. 如图，，，．，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 20. 如图，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若点在直线上，轴，交直线于点，，求点的坐标． 21. 新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“恒等点”．例如，如图①，②，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值相等，则点是“恒等点”． （1）点________“恒等点”（填“是”或“不是”）． （2）点是“恒等点”，求的值． （3）如图②，点是线段上一点，连接、，若“恒等点”，是正数，且，求点的坐标． 22. 某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表， 商品名称 甲 乙 进价（元/件） 80 100 售价（元/件） 160 240 设其中甲种商品购进x件 （1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元． ①求y与x的函数关系式； ②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案． 23. 在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且平分交于点F，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：是等边三角形； （3）如图3，当，且时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $