第7章 计数原理全章综合检测卷（提高篇）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

第7章 计数原理全章综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·河南郑州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据组合数的性质列方程，解方程即可得，再根据排列数与组合数的公式直接可得解. 【解答过程】由组合数的性质可得，解得， 又，所以或， 解得（舍去）或， 故. 故选：C. 2．（5分）（24-25高二下·广东清远·期末）如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有（    ）    A．5种 B．6种 C．7种 D．9种 【答案】C 【解题思路】利用分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，可得答案. 【解答过程】由分类加法计数原理以及分步乘法计数原理可知， 不同的路径有种. 故选：C. 3．（5分）（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 【答案】A 【解题思路】利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【解答过程】因为二项式系数只有第6项最大，故， 又二项展开式的通项公式为， 令，则， 故， 故选：A. 4．（5分）（24-25高二下·江苏连云港·月考）灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为（   ） A．56 B．72 C．36 D．48 【答案】B 【解题思路】根据题意，分2步进行分析：①指导老师和站在两端，全排列即可；②中间5人分2种情况讨论：相邻且与相邻、相邻且不与相邻，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空，最后再由分步乘法计数原理计算可得答案. 【解答过程】根据题意，分2步进行分析： ①指导老师和站在两端，有种情况， ②中间5人分2种情况讨论： 若相邻且与相邻，有种安排方法， 若相邻且不与相邻，有种安排方法， 则中间5人有安排方法，则有种不同的安排方法. 故选：B. 5．（5分）（24-25高二下·安徽·期中）的展开式中的系数为（    ） A．120 B．100 C．80 D．60 【答案】D 【解题思路】利用二项式的通项公式即可求解. 【解答过程】因为， 其中展开式的通项为 （，1，…，5）， 所以的展开式中含的项为 ， 所以的展开式中的系数为． 故选：D． 6．（5分）（24-25高二下·安徽·月考）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（   ）    A．2520种 B．3360种 C．3570种 D．4410种 【答案】D 【解题思路】利用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决. 【解答过程】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择. 综上所述，不同的涂色方案有种. 故选：D. 7．（5分）（24-25高二下·浙江绍兴·期中）某地区安排，，，，，六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且，两人安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（   ） A．132 B．114 C．90 D．72 【答案】B 【解题思路】根据题意分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，第二种分配方式再分，两人一组去一个社区，，两人加上另一个人三人去一个社区，进行求解，最后利用分类加法原理求解即可. 【解答过程】第一种分配方式这每个社区各两人，则，为一组，再从，，，中选两人为一组，剩下的两人为一组，所以有种分配方法， 第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人， 当，两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，所以有种分配方法， 当，两人加上另一个人三人去一个社区，则剩下的3人，1人为一组，2人为一组，所以有种分配方法， 所以由分类加法原理可知共有种不同的分配方法. 故选：B. 8．（5分）（24-25高二下·江苏南京·月考）已知，则下列描述正确的是（   ） A． B． C． D．除以5所得的余数是1 【答案】D 【解题思路】利用赋值法即可判断ABC；根据二项式展开式的通项即可求解D. 【解答过程】 ， 令，可得，再令，可得， ，故A错误． 因为， 所以， 所以，故B错误． 由于为展开式各项系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故D确． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据排列数，组合数的计算公式逐项判断即可. 【解答过程】对A：因为．故A正确； 对B：根据组合数公式得， ， 所以．故B正确； 对C：， 而， 显然此时，．故C错误； 对D： ， 而，所以．故D正确. 故选：ABD. 10．（6分）（24-25高二下·广东深圳·期中）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【答案】AB 【解题思路】根据所用颜色种数，以及各区域所用颜色的规定，运用两个计数原理逐一计算判断即可. 【解答过程】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确； 对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则B和D同色，A和E同色，则共有种不同涂法，故B正确； 对于C，因4种不同颜色全部用上，B，D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B，D区域，有种涂法， 因三个区域都与B，D相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误； 对于D，按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 因B，D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A同色，此时共有24种涂法，故D错误． 故选：AB. 11．（6分）（24-25高二下·四川成都·期末）已知，则（   ） A． B． C．展开式中二项式系数最大的项是第5项 D．展开式中系数最大的项是第5项 【答案】ABC 【解题思路】对于A令即可判断，对于B令和即可求解，进而判断，对于C由二项式系数的性质即可判断，对于D由，求出即可判断. 【解答过程】对于A：令，得，故A正确； 对于B：令有， 令有， 所以，故B正确； 对于C：由于展开式中共有9项，故二项式系数最大的项为第5项，故C正确； 对于D：由，所以， 所以系数最大的项不是第5项，故D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·广东深圳·期末）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【解题思路】写出所求式子的展开式的通项，令通项的次数为即可求解. 【解答过程】的展开式通项， 则的展开式的通项为： ， 所以所求项的系数为． 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二下·陕西咸阳·期末）如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有 种． 【答案】 【解题思路】根据分步乘法计数原理求解即可. 【解答过程】解：参观路线分步完成： 第一步，选择三个“环形”路线中的一个流览，有3种选法； 而在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针2类方法完成； 第二步，选择余下的两个“环形”路线中的一个游览，有2种方法， 同理，在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针两类方法完成； 第三步，游览最后一个“环形”路线，也可以按顺时针或按逆时针两类方法完成， 根据分步乘法计数原理可知不同的参观路线共有种. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有 种. 【答案】114 【解题思路】正难则反，采用间接法，先求每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往的方法种数，再求在此条件下，甲，乙两名成员前往同一基地的方法种数，两数相减即可得解. 【解答过程】若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往， 则分组方式为1，1，3；1，2，2； 此时不同的分配方案共有种； 若甲，乙两名成员前往同一基地，考虑到甲乙特殊， 若三组人数为3，1，1，则甲乙还需一名成员，故不同的分配方案有； 若三组人数为2，2，1，则甲乙为一组，不同的分配方案有，所以共计36种， 故所求为种. 故答案为：114. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·安徽芜湖·期中）解下列方程或不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，利用组合数的性质，得到，求得或，结合，即可求得的值. （2）由不等式，求得，结合且，即可得到答案. 【解答过程】（1）解：由组合数的性质，可得，且， 即，则， 整理得，解得或， 又因为，即，所以. （2）解：由不等式， 可得， 化简得，解得， 又因为且，所以， 所以原不等式的解集是. 16．（15分）（24-25高二下·河北沧州·期末）已知二项展开式． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用赋值法可得系数和的值，即可求解； （2）先构造二项式展开，再得相应系数的正负，然后去绝对值,即可用赋值法求对应系数和. 【解答过程】（1）已知， 令，可得， 令，可得， 所以． （2）展开式的通项为． 当r为偶数时，； 当r为奇数时，． 所以． 令，则， 即． 17．（15分）（24-25高二下·湖南衡阳·期中）如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 【答案】(1)60 (2)240 【解题思路】（1）由分步乘法原理，先涂S，再涂A，再涂B，最后涂CD计算即可. （2）解法一：由分步乘法原理，先涂AC，再一次涂SAB，计算即可；解法二：分类分步原理，先按照A与C颜色相同与不同分类，再用分步乘法，最后求和即可. 【解答过程】（1）由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C颜色相同，且B，D颜色相同， 所以共有种不同的涂色方法. （2）解法一：由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同， 所以先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B，D颜色相同）； 再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上， 最后D涂B的颜色，有种不同的涂色方法. 根据分步计数原理知，共有种不同的涂色方法. 解法二：分两类. 第一类，A与C颜色相同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法； 第二类，A与C颜色不同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法. 根据分类计数原理知，共有种不同的涂色方法. 18．（17分）（24-25高二下·海南·期中）有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求： (1)位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法？ (2)位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ (3)将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）相邻问题用捆绑法； （2）先将甲乙捆绑与戊排列，再用插空法排列丙丁，根据分步乘法计数原理计算即可； （3）分两步，第一步，先将5人分为三组，分两类讨论，第二步再将这三组分配给三个班，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可． 【解答过程】（1）因为甲、戊相邻，故把甲、戊捆绑，与其余人全排列， 所以有种不同的排法； （2）首先将甲乙两人捆绑，与戊一起排，有种排法， 此时，共有3个空，丙、丁两人插空排列，共有种排法， 所以共有种不同的排法． （3）分步进行分析： 将位同学分成组， 若分成、、的三组，有种分法， 若分成、、的三组，有种分法， 则一共有种分组方法； 将分好的三组对应三个班，有种情况， 则一共有种不同的分配方法． 19．（17分）（24-25高二下·山东枣庄·期末）在的展开式中，求： (1)求常数项及此项的二项式系数． (2)求系数绝对值最大的项． (3)求展开式中第奇数项的系数之和． 【答案】(1)常数项为，其二项式系数为 (2) (3) 【解题思路】（1）根据二项展开式的通项公式计算可得结果； （2）设第项的系数绝对值最大，列不等式组计算可得结果； （3）根据展开式中第奇数项的系数和等于展开式中第奇数项系数和计算可得结果. 【解答过程】（1）由题意得，展开式的通项为， 令，可得， 所以展开式中的常数项为，其二项式系数为． （2）设第项的系数绝对值最大， 则， 即，解得， 因为，所以，故系数绝对值最大的项为． （3）因为 ， 所以展开式中第奇数项的系数和等于展开式中第奇数项系数和， 设， 令，得， 两式相加得，， 所以展开式中第奇数项的系数之和为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 计数原理全章综合检测卷（提高篇） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·河南郑州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二下·广东清远·期末）如图，要让电路从处到处只有一条支路接通，则不同的路径有（    ）    A．5种 B．6种 C．7种 D．9种 3．（5分）（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 4．（5分）（24-25高二下·江苏连云港·月考）灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为（   ） A．56 B．72 C．36 D．48 5．（5分）（24-25高二下·安徽·期中）的展开式中的系数为（    ） A．120 B．100 C．80 D．60 6．（5分）（24-25高二下·安徽·月考）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（   ）    A．2520种 B．3360种 C．3570种 D．4410种 7．（5分）（24-25高二下·浙江绍兴·期中）某地区安排，，，，，六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且，两人安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（   ） A．132 B．114 C．90 D．72 8．（5分）（24-25高二下·江苏南京·月考）已知，则下列描述正确的是（   ） A． B． C． D．除以5所得的余数是1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高二下·广东深圳·期中）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（    ） A B E C D A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 11．（6分）（24-25高二下·四川成都·期末）已知，则（   ） A． B． C．展开式中二项式系数最大的项是第5项 D．展开式中系数最大的项是第5项 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·广东深圳·期末）在的展开式中，项的系数为 ． 13．（5分）（24-25高二下·陕西咸阳·期末）如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有 种． 14．（5分）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有 种. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·安徽芜湖·期中）解下列方程或不等式： (1)； (2). 16．（15分）（24-25高二下·河北沧州·期末）已知二项展开式． (1)求的值； (2)求的值． 17．（15分）（24-25高二下·湖南衡阳·期中）如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 18．（17分）（24-25高二下·海南·期中）有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求： (1)位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法？ (2)位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ (3)将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 19．（17分）（24-25高二下·山东枣庄·期末）在的展开式中，求： (1)求常数项及此项的二项式系数． (2)求系数绝对值最大的项． (3)求展开式中第奇数项的系数之和． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $