第7章 计数原理（单元自测卷）高二数学苏教版

第7章 计数原理 单元自测卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C B B C D A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABC BC CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．64 13． 14．5160 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【解析】（1）； 3分 （2）； 7分 （3）由，得，即， 所以，整理得， 所以. 13分 16．【解析】（1）先排甲，有1种排法，再排其他5人，有种排法， 所以共有（种）排法． 4分 （2）方法一：特殊元素法：先排甲，有种排法，再排其他5人，有种排法， 所以共有（种）排法． 9分 方法二：特殊位置法：先排排头和排尾，有种排法，再排其他4个位置，有种排法， 所以共有（种）排法． （3）对甲进行分类，第一类，甲在排尾，有（种）排法； 第二类，甲不在排尾，有（种）排法， 所以共有（种）排法． 15分 17．【解析】（1）由题意得，不同的送法有种； 4分 （2）因为在椭圆C中，， 所以当时，可以是5，7，9，10，有4种选择； 当时，可以是5，7，9，有3种选择； 当时，可以是5，7，有2种选择； 由分类加法计数原理，可以组成个椭圆C ； 8分 （3）①若甲去C社区，则剩余3人去3个社区，有种不同的安排方案； ②若甲不去C社区，则安排甲，有2种不同的方案， 再安排乙，有2种不同的方案，丙、丁去剩下的2个社区，有种不同的方案， 由分步乘法计数原理，得有种不同的方案， 由分类加法计数原理，得不同的安排方案有种. 15分 18．【解析】（1）展开式末三项的二项式系数分别为， 则，即，整理得， 而为正整数，因此，集合， 从集合中任取一个元素的试验有11个样本点， 满足不等式的事件有一个样本点5，所以所求概率为. 5分 （2）当时， ， 所以除以7所得的余数等于13除以7所得的余数6. 10分 （3）由（1）知，展开式通项为， 设第项即为系数最大的项，则，整理得，解得， 所以展开式系数最大的项为或. 17分 19．【解析】（1）． 4分 （2）性质①不能推广，例如当时有意义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是：，，m是正整数． 6分 证明：当时，有， 当时， ． 9分 （3）①因， 而， 所以． 13分 ②当时，组合数； 当时，； 当时，由可知， 所以， 因为时，，所以，即时，． 综上，当，m是正整数时，． 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 计数原理 单元自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，从中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（   ） A．12 B．11 C．8 D．6 【答案】B 【解析】个位数取自集合，十位数取自集合，共有个， 个位数取自集合，十位数取自集合，共有个， 这两类中重复的有数字，故所有样本点的个数为. 故选：B 2．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（    ） A．18 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【解析】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：C 3．展开式的各项系数之和为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】令，得，即展开式的各项系数之和为. 故选：C 4．如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】元件不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有种， 元件正常，当且仅当元件都不通，设备从a到b的电路工作不正常，只有1种， 所以. 故选：B 5．已知的二项式系数和为64，则其中错误的是（    ） A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 【答案】B 【解析】由题意可得，解得，故正确； 二项式的展开式的通项公式为，，1，，6，令，解得，则常数项为第4项，故错误； 因为，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，最大值为，故正确； 令，则展开式的所有项的系数和为，故正确， 故选：B 6．的展开式中的系数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】解法一：因为， 所以展开式中的系数为1； 解法二：展开式中的项为， 所以的系数为1. 故选：C 7．某人计划到山东旅游，打算用连续5天时间游玩泰山、崂山、蓬莱阁3个景点，其中泰山、崂山2个景点分别安排连续的两天游玩，则不同的日程安排种数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】首先考虑蓬莱阁的游玩，可能安排在第1天或第3天或第5天，所以共有种不同的日程安排． 故选：D 8．若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为既能被整除又能被整除，故能被整除， 因为 ， 且能被整除，故能被整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（  ）. A．从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法 【答案】ABC 【解析】对于A，根据分类加法计数原理可知，共有种不同的选法，故A正确. 对于B，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的选法，故B正确. 对于C，可分为三类：第一类是1幅选自国画，1幅选自油画，有种不同的选法； 第二类是1幅选自国画，1幅选自水彩画，有种不同的选法； 第三类是1幅选自油画，1幅选自水彩画，有种不同的选法， 故共有种不同的选法，故C正确. 对于D，可以分两个步骤完成：第一步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法； 第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法， 根据分步乘法计数原理知，不同挂法的种数是，故D错误. 故选：ABC. 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 11．现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、礼仪、司机三项工作可以安排，以下说法正确的是（    ） A．每人安排一项工作的不同方法数为 B．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 C．若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不用的安排方法为 D．每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 【答案】CD 【解析】对于A，由乘法原理可得每人安排一项工作的不同方法数为，故A错误； 对于B，每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加， 则每项工作的人生分别为或， 故不同的安排方法， 而，故B错误； 对于C，若多面手丙做翻译，则不同的安排方法为， 若多面手丙不做翻译，则不同的安排方法为， 故不同的安排方法为，故C正确； 对于D，每人安排一项工作做翻译或司机，共有， 如果只参加翻译或司机，共有2种安排，故不同的安排方法数为，故D正确. 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有 种. 【答案】64 【解析】由题意每个人都有4种选法，故不同的选法有种. 故答案为：64. 13．已知，则 ． 【答案】 【解析】令，则， 即. 故答案为：. 14．在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有 种. 【答案】5160 【解析】①当与同行，与也同行时，有种种植方案； 与不同行时，有种种植方案； ②当与不同行时，有种种植方案. 故不同的种植方案有（种）. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 求值（用数字表示） (1) (2) (3)已知，求 【解析】（1）； 3分 （2）； 7分 （3）由，得，即， 所以，整理得， 所以. 13分 16．（15分） 让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲必须在排头； (2)甲不在排头也不在排尾； (3)甲不在排头，乙不在排尾． 【解析】（1）先排甲，有1种排法，再排其他5人，有种排法， 所以共有（种）排法． 4分 （2）方法一：特殊元素法：先排甲，有种排法，再排其他5人，有种排法， 所以共有（种）排法． 9分 方法二：特殊位置法：先排排头和排尾，有种排法，再排其他4个位置，有种排法， 所以共有（种）排法． （3）对甲进行分类，第一类，甲在排尾，有（种）排法； 第二类，甲不在排尾，有（种）排法， 所以共有（种）排法． 15分 17．（15分） （1）从5本不同的书中选出3本送给3位同学，每人1本，有多少种不同的送法？ （2）已知集合，，从集合A中选1个元素作为，从集合B中选1个元素作为，可以组成多少个椭圆？ （3）现有甲、乙、丙、丁四位志愿者被安排到A，B，C，D四个社区做活动，每人去1个社区，每个社区都有志愿者．由于距离限制，甲不去B社区，乙不去C社区，共有多少种不同的安排方案？ 【解析】（1）由题意得，不同的送法有种； 4分 （2）因为在椭圆C中，， 所以当时，可以是5，7，9，10，有4种选择； 当时，可以是5，7，9，有3种选择； 当时，可以是5，7，有2种选择； 由分类加法计数原理，可以组成个椭圆C ； 8分 （3）①若甲去C社区，则剩余3人去3个社区，有种不同的安排方案； ②若甲不去C社区，则安排甲，有2种不同的方案， 再安排乙，有2种不同的方案，丙、丁去剩下的2个社区，有种不同的方案， 由分步乘法计数原理，得有种不同的方案， 由分类加法计数原理，得不同的安排方案有种. 15分 18．（17分） 已知（为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67. (1)求的值，从集合中任取一个元素，求该元素满足不等式的概率； (2)若，求除以7所得的余数； (3)求展开式中系数最大的项. 【解析】（1）展开式末三项的二项式系数分别为， 则，即，整理得， 而为正整数，因此，集合， 从集合中任取一个元素的试验有11个样本点， 满足不等式的事件有一个样本点5，所以所求概率为. 5分 （2）当时， ， 所以除以7所得的余数等于13除以7所得的余数6. 10分 （3）由（1）知，展开式通项为， 设第项即为系数最大的项，则，整理得，解得， 所以展开式系数最大的项为或. 17分 19．（17分） 规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①，②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由； (3)①已知，，求证：； ②已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 【解析】（1）． 4分 （2）性质①不能推广，例如当时有意义，但无意义； 性质②能推广，它的推广形式是：，，m是正整数． 6分 证明：当时，有， 当时， ． 9分 （3）①因， 而， 所以． 13分 ②当时，组合数； 当时，； 当时，由可知， 所以， 因为时，，所以，即时，． 综上，当，m是正整数时，． 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 计数原理 单元自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，从中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（   ） A．12 B．11 C．8 D．6 2．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（    ） A．18 B．9 C．8 D．7 3．展开式的各项系数之和为（   ） A．0 B．1 C． D． 4．如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知的二项式系数和为64，则其中错误的是（    ） A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 6．的展开式中的系数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．某人计划到山东旅游，打算用连续5天时间游玩泰山、崂山、蓬莱阁3个景点，其中泰山、崂山2个景点分别安排连续的两天游玩，则不同的日程安排种数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（  ）. A．从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、礼仪、司机三项工作可以安排，以下说法正确的是（    ） A．每人安排一项工作的不同方法数为 B．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 C．若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不用的安排方法为 D．每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有 种. 13．已知，则 ． 14．在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有 种. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 求值（用数字表示） (1) (2) (3)已知，求 16．（15分） 让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲必须在排头； (2)甲不在排头也不在排尾； (3)甲不在排头，乙不在排尾． 17．（15分） （1）从5本不同的书中选出3本送给3位同学，每人1本，有多少种不同的送法？ （2）已知集合，，从集合A中选1个元素作为，从集合B中选1个元素作为，可以组成多少个椭圆？ （3）现有甲、乙、丙、丁四位志愿者被安排到A，B，C，D四个社区做活动，每人去1个社区，每个社区都有志愿者．由于距离限制，甲不去B社区，乙不去C社区，共有多少种不同的安排方案？ 18．（17分） 已知（为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67. (1)求的值，从集合中任取一个元素，求该元素满足不等式的概率； (2)若，求除以7所得的余数； (3)求展开式中系数最大的项. 19．（17分） 规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． (1)求的值； (2)组合数的两个性质：①，②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由； (3)①已知，，求证：； ②已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $