第7章 计数原理全章综合检测卷（基础篇）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

第7章 计数原理全章综合检测卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·江苏南通·月考）若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】利用组合数的性质建立方程，求解参数即可. 【解答过程】因为，所以或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 综上，得到，故B正确. 故选：B. 2．（5分）（24-25高二下·广东湛江·期末）在的展开式中，的系数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】写出通项公式，然后代值计算即可. 【解答过程】由题意可得，的通项 ， ， 令，得， 所以的系数为， 故选：A. 3．（5分）（24-25高二下·山东威海·期末）用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】D 【解题思路】根据分步乘法原理计算求解. 【解答过程】用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数个位数字有2种情况，首位数字有3种情况，十位数字有3种情况， 所以三位奇数的个数为种情况. 故选：D. 4．（5分）（24-25高二下·山东·月考）若，则的值为（   ） A．－121 B．－122 C．121 D．122 【答案】A 【解题思路】由求出的值，由求出的值，两式相加即可求出的值. 【解答过程】由， 令，得①， 令，得②， ①+②得，， 所以. 故选：A. 5．（5分）（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【解题思路】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【解答过程】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 6．（5分）（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【答案】C 【解题思路】变形为，再利用二项展开式即可得到答案. 【解答过程】因为 ， 且显然能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数. 因为，所以除以128的余数为41. 故选：C. 7．（5分）（24-25高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 【答案】D 【解题思路】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【解答过程】根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，    分4步进行分析： ①，对于区域A，有5种颜色可选； ②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选， 则区域D、E有种选择， 所以不同的涂色方案有种. 故选：D. 8．（5分）（24-25高二下·广西南宁·期中）南宁三中五象校区高二年级在本学期组建了年级学生会，共设了学习部、生活部和文体部三个部门，现有5个同学去竞聘年级学生会委员，若每个部门至少聘用他们中的一个人，每人恰被一个部门聘用，并且甲同学和乙同学不会被同一个部门聘用，则不同的聘用情况总数是（    ） A．336 B．162 C．114 D．60 【答案】C 【解题思路】根据不平均分组分配计算原理，算出总事件的情况，再排除甲同学和乙同学在同一组的情况即可. 【解答过程】根据题意分组的方法有两种，第一种：3、1、1，第二种：2、2、1， 第一种方案共有：，第二种方案共有：， 故总体的分配方案共有150种， 又甲同学和乙同学不会被同一个部门聘用， 则在第一种方案中甲同学和乙同学在同一组的方案有：， 在第二种方案中甲同学和乙同学在同一组的方案有：， 故符合题意得方案有：, 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ） A．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 B．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 C．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 D．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 【答案】BD 【解题思路】根据两个计数原理的定义逐一判断选项即可. 【解答过程】对于A，分步乘法计数原理要求每一步都完成，才能说任务完成，故A错误； 对于B，从书架上任取数学书、语文书各1本，完成这件事需要分两步：第一步取1本数学书， 有若干种取法；第二步取1本语文书，故应是分步计数问题，故B正确； 对于C，任务“从甲地经丙地到乙地”，分为从甲地到丙地， 再从丙地到乙地两步完成，是分步计数问题，故C错误； 对于D，分类加法计数原理中的每一类方法都能一次性地完成任务， 故可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题，即D正确. 故选：BD. 10．（6分）（24-25高二下·广东湛江·期中）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（    ） A． B．只有第4项的二项式系数最大 C．若，则展开式中常数项为15 D．若展开式中各项系数之和为64，则 【答案】ABC 【解题思路】根据二项式系数和计算判断A，根据展开式项数判断B，应用通项公式计算判断C，应用赋值法求系数和判断D. 【解答过程】A：展开式各项的二项式系数之和为，则，故A正确； B：当为偶数时，中间项的二项式系数最大，由，第4项作为中间项，其二项式系数最大，B正确； C：当时，展开式通项为，令，解得，此时常数项为，C正确； D：由题设，令，则，解得或，D错误； 故选：ABC. 11．（6分）（24-25高二下·贵州黔西·期末）某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（   ） A．共有种安排方式 B．每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C．丙独自一人在一家公司的概率为 D．、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 【答案】BC 【解题思路】利用分步乘法计数原理判断A；利用分组分配列式计算判断B；求出概率判断C；视为一个整体，列式计算判断D. 【解答过程】对于A，每个人有3种去向，则不同安排方式共有种，A错误； 对于B，5个人分成3组，有种分法，再将每种分法的3组安排到3家公司， 不同安排方法数为，B正确； 对于C，丙独自一人在一家公司的安排方法数为，概率为，C正确； 对于D，视为一个整体，相当于4个人至少分到2家公司，甲乙不在同一家公司， 不同安排方法数为，D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·广东广州·期末）计算： ． 【答案】48 【解题思路】根据题意结合组合数公式运算求解. 【解答过程】由题意可得：. 故答案为：48. 13．（5分）（24-25高二下·湖北荆州·期末）今天是星期二，则天后是星期 ． 【答案】三 【解题思路】利用二项式定理的整除问题即可求得结果. 【解答过程】因为, 前10个数除以7都能除尽，最后的那个数1即是余数，故天后是星期三. 故答案为：三. 14．（5分）（24-25高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有 种． 【答案】144 【解题思路】先对进行捆绑，再与全排，最后用插空法求解即可. 【解答过程】由题知，先把学生与进去捆绑有种，再与进行全排，有种， 最后把2名老师插入4个空中，有种，所以共有. 故答案为：144. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·宁夏银川·期中）（1）计算：； （2）计算：. （3）已知：，求n. 【答案】（1）0； （2）252； （3） 【解题思路】（1）利用排列数性质化简计算可求值； （2）利用组合数的性质可求值； （3）利用组合数公式与排列数公式计算可求解. 【解答过程】（1）； （2）。 ； （3）由已知可得，所以， 所以，所以，解得或， 经检验知不符合题意，故舍去; 符合题意， 故. 16．（15分）（24-25高二上·江西·期末）从这7个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【答案】(1)720 (2)420 【解题思路】（1）按照千位，百位，十位，个位的顺序，利用分布乘法计数原理即可求； （2）个位数字可能为0，2，4，6，有四种情况，利用分类加法计数原理即可求. 【解答过程】（1）第一步：千位不能为0，有6种选择； 第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择； 第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择； 第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择． 根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数． （2）第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个； 第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个． 根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数． 17．（15分）（24-25高二下·陕西西安·月考）已知的展开式中的所有二项式系数之和为32． (1)求的值； (2)求展开式中的系数． 【答案】(1)； (2)10. 【解题思路】（1）由所有二项式系数之和为32，可得，从而可求出的值； （2）由（1）可得二项展开式的通项为，然后令，求出的值，从而可求出答案. 【解答过程】（1）由题意，展开式中的所有二项式系数之和为，解得. （2）由（1）可得，， 则二项展开式的通项为， 令，解得， 所以，展开式中的系数为. 18．（17分）（24-25高二下·山东济南·月考）4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)3名女生不相邻． (2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾． (3)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变． 【答案】(1)1440种 (2)3720种 (3)840种 【解题思路】（1） 先安排男生，再插空法求解，得到答案； （2）正难则反的方法，先全排列，再求出男生甲在排头，女生乙在排尾及两者同时发生的情况数，列式计算； （3）用定序倍缩法进行求解. 【解答过程】（1）先安排男生，有种可能，再将3名女生插空，有种可能，故3名女生不相邻的站法有种； （2）4名男生和3名女生站成一排，共有种情况， 其中男生甲在排头的情况有种情况，女生乙在排尾的情况有种情况，男生甲在排头的同时，女生乙在排尾的情况有种情况， 所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的情况有种； （3）甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，可以用定序倍缩法进行求解，即站法有种． 19．（17分）（24-25高二下·广东佛山·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)证明：能被3整除. 【答案】(1). (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）由的展开式中的系数为，得到，即可求解； （2）分别令和，得出关系式，两式相减，即可求解； （3）当，可得，结合，进而证得能被3整除. 【解答过程】（1）由的展开式中的系数为， 所以，即解得. （2）由， 令，得， 令，得， 两式相减得. （3）证明：当，可得， ， 所以能被3整除. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 计数原理全章综合检测卷（基础篇） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·江苏南通·月考）若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（5分）（24-25高二下·广东湛江·期末）在的展开式中，的系数是（ ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二下·山东威海·期末）用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 4．（5分）（24-25高二下·山东·月考）若，则的值为（   ） A．－121 B．－122 C．121 D．122 5．（5分）（24-25高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 6．（5分）（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 7．（5分）（24-25高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 8．（5分）（24-25高二下·广西南宁·期中）南宁三中五象校区高二年级在本学期组建了年级学生会，共设了学习部、生活部和文体部三个部门，现有5个同学去竞聘年级学生会委员，若每个部门至少聘用他们中的一个人，每人恰被一个部门聘用，并且甲同学和乙同学不会被同一个部门聘用，则不同的聘用情况总数是（    ） A．336 B．162 C．114 D．60 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ） A．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 B．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 C．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题 D．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 10．（6分）（24-25高二下·广东湛江·期中）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（    ） A． B．只有第4项的二项式系数最大 C．若，则展开式中常数项为15 D．若展开式中各项系数之和为64，则 11．（6分）（24-25高二下·贵州黔西·期末）某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（   ） A．共有种安排方式 B．每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C．丙独自一人在一家公司的概率为 D．、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·广东广州·期末）计算： ． 13．（5分）（24-25高二下·湖北荆州·期末）今天是星期二，则天后是星期 ． 14．（5分）（24-25高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活动需分配4名大学生和2名老师（甲、乙）排成一列合影．要求大学生与必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·宁夏银川·期中）（1）计算：； （2）计算：. （3）已知：，求n. 16．（15分）（24-25高二上·江西·期末）从这7个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 17．（15分）（24-25高二下·陕西西安·月考）已知的展开式中的所有二项式系数之和为32． (1)求的值； (2)求展开式中的系数． 18．（17分）（24-25高二下·山东济南·月考）4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)3名女生不相邻． (2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾． (3)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变． 19．（17分）（24-25高二下·广东佛山·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)证明：能被3整除. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $