专题03 一线三等角模型三线合一模型和手拉手模型（几何模型讲义）（重庆专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦一线三等角、三线合一、手拉手三大几何全等核心模型，按“定义-构造条件-分类应用”架构梳理考点，设计“模型梳理-方法指导-真题解析-分层练习”教学流程，帮助学生突破几何构造难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“模型分类+核心素养融合”，如一线三等角按直角、锐角、钝角分类讲解，手拉手结合等腰三角形、等边三角形类型分析，通过“构造步骤分解”培养几何直观和推理意识。精选2023重庆中考真题精讲，配合分层例题和限时训练，助力学生快速掌握模型应用，教师可据此精准把控复习节奏，提升复习效率。

专题03 一线三等角模型三线合一模型和手拉手模型 一线三等角与手拉手（旋转型）是初中几何全等高频模型，核心均为构造边 / 角相等匹配全等判定。一线三等角以同一直线三个等角为特征，借等角的余角 / 补角相等推角相等，作垂线或延长线段补全结构；手拉手是共顶点等腰三角形（顶角、腰相等），绕顶点旋转使两腰重合构造全等，对应边夹角等于原顶角。 2 2 4 6 模型1.一线三等角模型 6 模型2.三线合一模型 16 模型3.手拉手模型 22 40 一线三等角构造全等模型与手拉手模型（旋转型全等），是初中几何中依托图形特征与变换规律构造全等的核心模型，均源于全等三角形判定定理（ASA、AAS、SAS等），是解决角度、线段关系难题的高频工具。一线三等角模型以“同一直线上存在三个相等的角”为核心特征，常见于等腰三角形、矩形、坐标系等背景题，通过角的和差推导得出两组对应角相等，再结合公共边或题目给出的相等线段，快速满足全等判定条件，核心作用是转化分散的线段与角度，搭建解题桥梁；手拉手模型的关键结构是“共顶点、双等腰、顶角相等”，由两个顶角相等的等腰三角形共顶点旋转形成，旋转过程中对应边、对应角始终保持相等，本质是利用旋转变换的全等不变性，多用于证明线段相等、线段夹角等于顶角（或其补角），帮助快速识别图形间的旋转关联，高效构造全等。二者均通过精准捕捉图形结构共性，简化辅助线添加思路，大幅降低复杂几何题的解题难度。垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明。 （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【分析】证明，得到，即可得解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键． （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 ． 【答案】4 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，是边的中线， ∴，， 在中，，， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键． 【一】一线三等角模型 核心结论：一条直线上存在三个相等的角（顶点共线），可通过补全线段或作垂线构造全等三角形，核心是利用 “角角边（AAS）” 或 “角边角（ASA）” 证明全等。 一、模型核心定义 “一线三等角” 指三个角相等且它们的顶点在同一条直线上（“一线” 即顶点共线的直线，“三等角” 为∠A=∠B=∠C）。当满足 “两角相等 + 一组对应边相等” 时，可快速构造出全等三角形，是几何证明和求线段长度的常用模型。 二、构造全等的关键条件 有一条固定直线（记为 l），三个角的顶点 P、Q、R 依次在直线 l 上。 三个角相等：∠APQ=∠PQR=∠QRB=α（α 为锐角、直角或钝角）。 存在一组对应边相等（如 AP=QR、PQ=RB 等，或可通过已知条件推导得出）。 三、常见模型分类（按角的类型） 1. 直角型（最常用，又称 “K 型全等”） 核心特征：三个角均为 90°，即∠1=∠2=∠3=90°，点P在线段AB上。 构造方式：点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)。 点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) 结论：△APC≌△BDP（AAS）。 2. 锐角型 核心特征：三个角为锐角（∠1<90°），顶点共线，角的两边分别相交形成两条线段。 构造方式：在角的两边上截取等长线段，或作角的另一边的平行线，使第三个等角的两边与前两个角的边相交。 全等依据：∠1=∠2=∠3，一组对应边相等，夹角的补角相等，从而满足 AAS 全等。 3. 钝角型 核心特征：三个角为钝角（α>90°），顶点共线，角的两边反向延长后相交。 构造方式：延长钝角的两边，使三个角的边形成封闭图形，利用 “钝角的补角相等” 找到相等的角。 全等依据：钝角相等→补角相等，结合一组对应边相等，满足 ASA 全等。 四、构造全等的实操步骤 识别 “一线”：确定三个角的顶点所在的共线直线（可是已知直线，也可通过延长线段得到）。 确认 “三等角”：验证三个角是否相等（已知条件或通过角度计算推导）。 补全 “对应边”：若缺少对应边相等的条件，可通过截取、作垂线、平行线等方式构造等长线段。 证明全等：利用等角关系推导第三个相等的角，结合构造的等长线段，用 AAS 或 ASA 证明全等。 应用结论：通过全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）求解未知线段或角度。 【二】三线合一模型 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 【三】手拉手模型 核心结论：手拉手模型是基于旋转全等的几何模型，核心是 “共顶点、等线段、旋转角相等”，通过旋转使两组等线段重合，构造全等三角形（SAS 判定）。 一、模型核心三要素 共顶点：两个等腰三角形（或含等线段的图形）有公共顶点（记为点 O）。 等线段：公共顶点出发的两组线段分别相等，即 OA=OB，OC=OD。 等旋转角：两组等线段的夹角相等（∠AOB=∠COD，即旋转角相等）。 二、模型构造与全等证明 构造逻辑 以公共顶点 O 为旋转中心，将其中一个三角形（如△COD）绕点 O 旋转，使等线段 OC 与 OA（或 OD 与 OB）重合，最终△COD 与△AOB 全等。 全等判定（固定 SAS） 边：OA=OB（已知等线段），OC=OD（已知等线段）。 角：∠AOC=∠BOD（∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，旋转角相等推导）。 结论：△AOC≌△BOD（SAS）。 三、模型分类（按公共顶点夹角类型） 1. 顶角相等的等腰三角形（最常用） 特征：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD（顶角相等）。 典型结论：全等后对应边 AC=BD，对应角∠OAC=∠OBD，且 AC 与 BD 的夹角等于顶角（或其补角）。 2. 等边三角形手拉手 特征：△OAB 和△OCD 均为等边三角形，公共顶点 O，等边三角形三边相等、三角均为 60°。 特殊结论：除全等外，AC=BD，且 AC 与 BD 的夹角为 60°，可进一步构造等边三角形或特殊角。 3. 等腰直角三角形手拉手 特征：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°。 特殊结论：AC=BD 且 AC⊥BD，两条对应边垂直且相等，是几何证明中 “垂直 + 相等” 的常用模型。 模型1.一线三等角模型 例1如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 【答案】B 【分析】根据题意证明即可得出结论． 【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴， ∵∠ACE＝90°， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 例2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝3 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题． 例3．如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积是 ． 【答案】17 【详解】解：作于D，作于E，则，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：17． 例4．如图，是等边三角形，点是边上一点（不与，重合），点是边上一点，且，以为边在右侧作等边三角形，是的中点，连接，，当最小时，的度数是 ． 【答案】 【详解】解：在上取点N，使，连接、， 、是等边三角形， ，，， 中，， 又点在上， ， ， 在和中， ， ， ，， ，，即， ， ， 即点一定在的角平分线上， 延长交于点， 由三线合一定理可得，点一定在的垂直平分线上， 作点关于的对称点，连接、， 由对称性质可知，垂直平分， ， 则当、、三点共线时，最小，即最小， ，， ， ， 是等边三角形， ， 又是的中点， 是中点， 等边中，即， ， ，垂直平分， 等腰三角形中，， ． 综上，当最小时，． 故答案为：． 例5．如图，在中，，，点D在线段上运动点D不与点B，C重合，连接，作，交线段于点若是等腰三角形，则 ． 【答案】6或 【详解】解：，， ，， 如图1，是等腰三角形，且， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 如图2，是等腰三角形，且，则， ， ，平分， ； 点D不与点B重合， ， ， ， ， 不存在是等腰三角形，且的情况， 综上所述，的长为6或， 故答案为：6或 例6．如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为 ． 【答案】9 【详解】解：∵，，，， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：9． 例7．如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则 ．    【答案】7 【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案； 【详解】解：∵BE⊥l，CF⊥l， ∴∠AEB=∠CFA=90°． ∴∠EAB+∠EBA=90°． 又∵∠BAC=90°， ∴∠EAB+∠CAF=90°． ∴∠EBA=∠CAF． 在△AEB和△CFA中 ∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△AEB≌△CFA． ∴AE=CF，BE=AF． ∴AE+AF=BE+CF． ∴EF=BE+CF． ∵， ∴； 故答案为：7． 例8．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 ． 【答案】 【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H， ∵l1⊥l3，l2⊥l3， ∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°， ∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ， ∴∠PAC＝∠BCQ， 在△ACP和△CBQ中， ， ∴△ACP≌△CBQ（AAS）， ∴AP＝CQ，PC＝BQ， ∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝， ∵AP∥BQ， ∴∠OAP＝∠OBH， ∵点O是斜边AB的中点， ∴AO＝BO， 在△APO和△BHO中， ， ∴△APO≌△BHO（AAS）， ∴AP＝BH，OP＝OH， ∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ， ∴PQ＝QH＝， ∵∠PQH＝90°， ∴PH＝PQ＝12， ∵OP＝OH，∠PQH＝90°， ∴OQ＝PH＝6． 故答案为：6 例9．如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为 ． 【答案】13 【详解】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠DAC+∠DCA=90°， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB ∴∠DAC=∠ECB， ∴△DAC≌△ECB（AAS）， ∴CE=AD=5，CD=BE=8， ∴DE=CD+CE=13， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 模型2.三线合一模型 例1．如图，在中，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点F，则的长（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】解：是等腰三角形，且为底边中点， ，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：A． 例2．如图，在中，是边上的中线，点在边上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴，，且． ∵， ∴． 又∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 例3．如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，由题可得点是的中点，即可求解 【详解】解：∵于点D， ∴ 故选：B. 例4．如图所示，在中，，，，，分别是边，上的高，是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：，是边上的高， 是的垂直平分线， ，， 是边上的高， 当B、P、E三点共线时，的值最小，即的长， ，，，，分别是边，上的高， ， 则， ， 的最小值是， 故答案为：． 例5．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的性质得到即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：6 例6．如图，等腰的底边，面积为8，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若D为边的中点，G为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】6 【详解】解：连接， ∵腰的垂直平分线分别交于点E，F， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∵等腰的底边，D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， ∴周长的最小值为； 故答案为：6． 例7．如图，在中，，，垂足为，点在上，找出图中的全等三角形，并任选其中一对进行证明． 【答案】，，，证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的性质．由已知条件可分别根据三角形全等的判定定理证得；根据证得；根据证得． 【详解】解：图中的全等三角形有：，，； ∵，， ∴D是的中点，，， ∵，， ∴； ∵，，， ∴； ∴， ∵，，， ∴． 例8．如图，在中，为线段的中点，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴为等腰三角形底边上的中线， ∴， 即； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 例9．如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积； （1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证； （2）由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：，为中点， ． （2）解：的面积 （）． 模型3.手拉手模型 例1．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠BAC=，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（    ）    A．4 B．2+6 C．+3 D．6 【答案】A 【详解】解：以AB为边，在AB的左侧作等边ABF，连接EF，    ∵BED和ABF都是等边三角形， ∴，BE=BD，BF=AB=AF， ∴∠FBE=∠ABD， ∴（SAS）， ∴FE=AD， ∵，∠BAC=，   ∴ ∴F，A，C在同一条直线上， ∵FE=AD， ∴AD+CE=FE+CECF， 当C，E，F在同一直线上时，AD+CE取最小值，最小值为CF， ∵AB=AC=2，AB=AF， ∴AF=2， ∴CF=， 即AD+CE的最小值为． 故选：A． 例2．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连结，若，，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】在Rt△ABC中可直接运用勾股定理求出BC，然后结合“手拉手”模型证得△ABC≌△ADE，即可得到DE=BC，从而求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，AC=5， ∴由勾股定理得：BC=4， ∵和均为等边三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD， 即：∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)， ∴DE=BC=4， 故选：C． 例3．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（　　） ①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE＝BD•CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB=AC，AD=AE， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD， ∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴CE=BD， ∠ABD=∠ACE，故①正确； ∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°， 在△BCG中，∠BGC=180°-（∠BCG+∠CBG）=180°-90°=90°， ∴BD⊥CE， ∴S四边形BCDE=BD•CE，故④正确； 由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2， 在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2， ∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2， 在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2， 在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2， ∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2， ∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确； 从题干信息没有给出 所以只有时，=90°， 无法说明，更不能说明 故②错误； ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ADB=∠AEC， 条件不足以证明 ∠AEC与∠AEB相等无法证明， ∴∠ADB=∠AEB不一定成立，故③错误； 综上所述，正确的结论有①④⑤共3个． 故选：C． 例4．如图，在中，，，点E是高上一个动点，连接．若将线段绕点A逆时针旋转60°得到，连接，则点E在运动的过程中，线段扫过的面积是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，以为边作等边三角形， ∴，， 又∵由旋转可知：，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴点在过点垂直于的直线上，当点与点重合时，点在点处，当点与点重合时，点在点处，此时， ∴线段扫过的面积是的面积， 过点D作，垂足为， ∵，， ∴， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴的面积． 故答案为：． 例5．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 【答案】6 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：6． 例6．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边DE上，连接BD，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有 （填序号） 【答案】①②③④ 【分析】首先可根据“手拉手”模型推出，进而利用全等三角形的证明①，并进一步利用全等三角形得到的基本性质证明后续问题即可． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∴，故①正确； 由三角形外角定理，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即：，故③正确； ∵， ∴在中，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的运用等，能够通过“手拉手”模型准确找到全等三角形，并且熟练运用勾股定理是解题关键． 例7．在等腰中，，，点为边上一点，连接； (1)如图1，若平分，过点作的平行线交于点，求； (2)如图2，为左侧一点，连接交于，连接，满足且，点为上一点，满足，过点作交于，求证：； (3)如图3，将沿着直线翻折到处，连接，，以为斜边构等腰（使得、、三点呈逆时针排布），当取得最小值时，求． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，且， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． （2）如图，过点D作，设， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，即，解得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，故． （3）如图，过点A作，过点B作， 是等腰直角三角形， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 根据翻折可知， ， 点N在以点P为圆心，为半径的圆上运动， 如图，当三点共线时，最短，最短为， 过点A作，过点M作， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， ． 例8．在中，，，点E是平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接， (1)如图1，若点E为的中点，，求点A到的距离； (2)如图2，若点E在的内部，延长交于点F，当F为中点时，求证：； (3)如图3，在第（1）问的条件下，点M是直线上一点，连接，将沿翻折得到，点P是直线上一点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，，当的值最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴， 设点A到的距离为h， ∵， ∴， 解得：， 即点A到的距离为； （2）证明：如图2，连接，并延长至点G，使，连接，过点F作于点F，交延长线于点H， ∵，，点F为的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，在上取点、，使为等边三角形，作，垂足为，连接，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， 当P在M右侧时，如图3， 由绕点P顺时针旋转得到，可知：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点与成夹角直线运动，（当P在M左侧时，同理可证） 由折叠可知：，在以为圆心，以为半径的半圆上运动， ∵，当、、三点共线时等号成立， 又∵当时，最小，最小， ∴当、、三点共线时，而且时，最小，如图4， 此时， ∴，， ∴， ∴， 过点D作，垂足为， ∵，， ∴， ∴ 例9．如图，在等边中，延长到点，连接． (1)点是内一动点，满足，以为边作等边，点落在线段上，若，求的度数； (2)如图2，的角平分线交于，在边上取点，使得，连接，在边上取一点，使得，连接、．用等式表示线段、、三者之间的关系； (3)如图3，已知，点是内一动点且满足，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵在等边中， ∴，， ∵在等边中， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ （2）解：过点作，交于，连接， 设， ∵是的角平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴点是的内角平分线的交点， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴ （3）解：以为边在下方作等边，作于点，如图， 同理（1），易证， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴当最小时，即，最小， 此时， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 一、单选题 1．如图，中，，平分，则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵中，，平分， ∴， 故A，C，D正确， 没有条件证明，故B错误， 故选：B． 2．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点．把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H．证明△BAD≌△CAE,然后可推出△PQR是等腰直角三角形，S△PQR＝•PQ2,由AB＝5，AD＝2可知3≤BD≤7，从而得到≤PQ≤，那么≤•PQ2≤,即可得出答案． 【详解】解：连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H． ∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，∠ABH＝∠OCH， ∵∠AHB＝∠CHO， ∴∠O＝∠BAH＝90°， ∵点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点， ∴PQ＝BD，PQ∥BO，QR＝EC，QR∥CO， ∵BO⊥OC， ∴PQ⊥RQ，PQ＝QR， ∴△PQR是等腰直角三角形， ∴S△PQR＝•PQ2， ∵AB＝5，AD＝2， ∴3≤BD≤7， ∴≤PQ≤， ∴≤•PQ2≤， ∴△PQR的面积不可能是8， 故答案为：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③DOB=50°；④点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断． 【详解】∵DAB=CAE ∴DAB+BAC=CAE+BAC ∴DAC=EAB ∵AB=AD，AC=AE ∴△ADC≌△ABE ∴CD=BE，故①②正确； ∵△ADC≌△ABE ∴ADC =ABE 设AB与CD交于G点， ∵AGD =BGC ∴DOB=DAB=50°,故③正确； 过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点， 则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高 ∵△ADC≌△ABE ∴AF=AH ∴点A在DOE的平分线上，④正确 故选D． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定． 4．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=EC，由EC-EH，即AE-EH即可求出HC的长． 【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB=∠AEH=90°， ∵∠AHE=∠CHD， ∴∠BAD=∠BCE， ∵在△HEA和△BEC中， ∠BAD＝∠BCE，∠AEH＝∠BEC＝90°，EH＝EB， ∴△HEA≌△BEC（AAS）， ∴AE=EC=4， 则CH=EC-EH=AE-EH=4-3=1． 故选A. 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 5．如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（   ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的全等的判定和性质，证得是解答本题的关键．作于D，作于E，再证明，因此可得，再结合勾股定理求得，然后再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图：作于D，作于E，    ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：． 故选：A． 二、填空题 6．如图，在中，平分交于点交于点，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，等腰三角形的性质．根据三线合一可得是边上的中线，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 7．如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键．根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，，（，）， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴点的横坐标为， ∴ 故答案为：． 8．如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】由线段CD的长求的面积，故过B作CD的垂线，则由三角形面积公式可知：，再由题中的和等腰直角三角形ABC，即可求证，最后由即可求解． 【详解】解：过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线． 9．如图，已知四边形是正方形，对角线、相交于，设、分别是、上的点，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】8 【分析】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，且，，则，，而，则，再证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，则，所以． 【详解】解：四边形是正方形，对角线、相交于， ，，且，， ，， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的面积是8． 故答案为：8 10．如图和是外两个等腰直角三角形，，下列说法正确的是： ． ①，且； ②； ③平分； ④取的中点，连，则． 【答案】①③④ 【分析】①由与是等腰直角三角形，，，可证，，且， ，即可退出； ②由，由勾股定理，， ，即可； ③过点作，，可证，由性质得，结合，，即可； ④取中点，使得，易证，推出，再证，推出，由，推出即可． 【详解】与是等腰直角三角形， ，，， ，在与中， ，， ， 设交于点， 由①可知且， ， ，即， 故①符合题意． ②， ，， ， 且，， ． 故②不符合题意． ③证明，过点作，， 由①可知，且，， 在与中， ，， ，且，， 平分，故③符合题意． ④作中点，倍长，使得， 在与中，， ，则， ，， ，， ，在与中， ，， ， ，， ，即， 故④符合题意． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等，两直线垂直，勾股定理知识，掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等，两直线垂直，勾股定理知识是解题关键． 三、解答题 11．如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得，再结合平行线的性质，得，即，进行作答． （2）根据等腰三角形的性质得，再结合平行线的性质，得，故，又因为等角对等边，得，由（1）得是等腰三角形，则，即可作答． 【详解】（1）证明： 是等腰三角形的底边上的高， ， ， 根据平行线的性质得，， ， 是等腰三角形； （2）解：是等腰三角形的底边上的高， ∴， ， ， ， ， ， 由（1）得是等腰三角形； ∴， ． 12．（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了邻补角的意义，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． （1）由已知推出，因为，推出，根据即可得到，得到，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； （3）与（1）（2）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）证明：∵， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ． （3）， 理由：∵， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 13．（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长； （2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明； （3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理． （1）由等腰三角形的性质得，证明，得，，进而求解即可； （2）由等腰三角形的性质得，证明，得，，即可得证； （3）由三角形内角和定理证得，进而证得，得，进而求得，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． （3）∵，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 14．综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 【答案】（1）① ；② ；（2）与的位置关系和数量关系没有发生变化，见解析；（3）与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 【分析】（1）根据题意证明，再根据全等可得，，即可求解； （2）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，，即可求解； （3）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，即可求解； 【详解】解：（1）理由：延长交于点，如图 在和中， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为： ① ；②； （2）由题意得， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图；          ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的位置关系和数量关系没有发生变化； （3）设， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不垂直， ∴与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键. 15．【发现问题】 (1)如图1，已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是 ． (2)将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是 ． 【探究拓展】 (3)如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点F，直接写出的度数和线段、间的数量关系． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② (3)， 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得线段和的数量关系； （2）①利用等边三角形的性质可以证明，从而得到线段和的数量关系； ②在①的基础上可得，运用三角形内角和定理可求出的度数； （3）利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，可以求出，运用等量代换可以求出，则．根据相似三角形的性质与三角形内角和定理，可以得出的度数和线段、间的数量关系． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴； （2）①结论：， 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②由①可知，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∴，     同理，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，， ∴， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一线三等角模型三线合一模型和手拉手模型 一线三等角与手拉手（旋转型）是初中几何全等高频模型，核心均为构造边 / 角相等匹配全等判定。一线三等角以同一直线三个等角为特征，借等角的余角 / 补角相等推角相等，作垂线或延长线段补全结构；手拉手是共顶点等腰三角形（顶角、腰相等），绕顶点旋转使两腰重合构造全等，对应边夹角等于原顶角。 目录 1 2 2 5 模型1.一线三等角模型 5 模型2.三线合一模型 7 模型3.手拉手模型 9 12 一线三等角构造全等模型与手拉手模型（旋转型全等），是初中几何中依托图形特征与变换规律构造全等的核心模型，均源于全等三角形判定定理（ASA、AAS、SAS等），是解决角度、线段关系难题的高频工具。一线三等角模型以“同一直线上存在三个相等的角”为核心特征，常见于等腰三角形、矩形、坐标系等背景题，通过角的和差推导得出两组对应角相等，再结合公共边或题目给出的相等线段，快速满足全等判定条件，核心作用是转化分散的线段与角度，搭建解题桥梁；手拉手模型的关键结构是“共顶点、双等腰、顶角相等”，由两个顶角相等的等腰三角形共顶点旋转形成，旋转过程中对应边、对应角始终保持相等，本质是利用旋转变换的全等不变性，多用于证明线段相等、线段夹角等于顶角（或其补角），帮助快速识别图形间的旋转关联，高效构造全等。二者均通过精准捕捉图形结构共性，简化辅助线添加思路，大幅降低复杂几何题的解题难度。垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明。 （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 ． 【一】一线三等角模型 核心结论：一条直线上存在三个相等的角（顶点共线），可通过补全线段或作垂线构造全等三角形，核心是利用 “角角边（AAS）” 或 “角边角（ASA）” 证明全等。 一、模型核心定义 “一线三等角” 指三个角相等且它们的顶点在同一条直线上（“一线” 即顶点共线的直线，“三等角” 为∠A=∠B=∠C）。当满足 “两角相等 + 一组对应边相等” 时，可快速构造出全等三角形，是几何证明和求线段长度的常用模型。 二、构造全等的关键条件 有一条固定直线（记为 l），三个角的顶点 P、Q、R 依次在直线 l 上。 三个角相等：∠APQ=∠PQR=∠QRB=α（α 为锐角、直角或钝角）。 存在一组对应边相等（如 AP=QR、PQ=RB 等，或可通过已知条件推导得出）。 三、常见模型分类（按角的类型） 1. 直角型（最常用，又称 “K 型全等”） 核心特征：三个角均为 90°，即∠1=∠2=∠3=90°，点P在线段AB上。 构造方式：点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)。 点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) 结论：△APC≌△BDP（AAS）。 2. 锐角型 核心特征：三个角为锐角（∠1<90°），顶点共线，角的两边分别相交形成两条线段。 构造方式：在角的两边上截取等长线段，或作角的另一边的平行线，使第三个等角的两边与前两个角的边相交。 全等依据：∠1=∠2=∠3，一组对应边相等，夹角的补角相等，从而满足 AAS 全等。 3. 钝角型 核心特征：三个角为钝角（α>90°），顶点共线，角的两边反向延长后相交。 构造方式：延长钝角的两边，使三个角的边形成封闭图形，利用 “钝角的补角相等” 找到相等的角。 全等依据：钝角相等→补角相等，结合一组对应边相等，满足 ASA 全等。 四、构造全等的实操步骤 识别 “一线”：确定三个角的顶点所在的共线直线（可是已知直线，也可通过延长线段得到）。 确认 “三等角”：验证三个角是否相等（已知条件或通过角度计算推导）。 补全 “对应边”：若缺少对应边相等的条件，可通过截取、作垂线、平行线等方式构造等长线段。 证明全等：利用等角关系推导第三个相等的角，结合构造的等长线段，用 AAS 或 ASA 证明全等。 应用结论：通过全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）求解未知线段或角度。 【二】三线合一模型 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 【三】手拉手模型 核心结论：手拉手模型是基于旋转全等的几何模型，核心是 “共顶点、等线段、旋转角相等”，通过旋转使两组等线段重合，构造全等三角形（SAS 判定）。 一、模型核心三要素 共顶点：两个等腰三角形（或含等线段的图形）有公共顶点（记为点 O）。 等线段：公共顶点出发的两组线段分别相等，即 OA=OB，OC=OD。 等旋转角：两组等线段的夹角相等（∠AOB=∠COD，即旋转角相等）。 二、模型构造与全等证明 构造逻辑 以公共顶点 O 为旋转中心，将其中一个三角形（如△COD）绕点 O 旋转，使等线段 OC 与 OA（或 OD 与 OB）重合，最终△COD 与△AOB 全等。 全等判定（固定 SAS） 边：OA=OB（已知等线段），OC=OD（已知等线段）。 角：∠AOC=∠BOD（∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，旋转角相等推导）。 结论：△AOC≌△BOD（SAS）。 三、模型分类（按公共顶点夹角类型） 1. 顶角相等的等腰三角形（最常用） 特征：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD（顶角相等）。 典型结论：全等后对应边 AC=BD，对应角∠OAC=∠OBD，且 AC 与 BD 的夹角等于顶角（或其补角）。 2. 等边三角形手拉手 特征：△OAB 和△OCD 均为等边三角形，公共顶点 O，等边三角形三边相等、三角均为 60°。 特殊结论：除全等外，AC=BD，且 AC 与 BD 的夹角为 60°，可进一步构造等边三角形或特殊角。 3. 等腰直角三角形手拉手 特征：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°。 特殊结论：AC=BD 且 AC⊥BD，两条对应边垂直且相等，是几何证明中 “垂直 + 相等” 的常用模型。 模型1.一线三等角模型 例1如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 例2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 例3．如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积是 ． 例4．如图，是等边三角形，点是边上一点（不与，重合），点是边上一点，且，以为边在右侧作等边三角形，是的中点，连接，，当最小时，的度数是 ． 例5．如图，在中，，，点D在线段上运动点D不与点B，C重合，连接，作，交线段于点若是等腰三角形，则 ． 例6．如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为 ． 例7．如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则 ．    例8．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 ． 例9．如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为 ． 模型2.三线合一模型 例1．如图，在中，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点F，则的长（   ） A．5 B．6 C． D． 例2．如图，在中，是边上的中线，点在边上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 例3．如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 例4．如图所示，在中，，，，，分别是边，上的高，是上的动点，则的最小值是 ． 例5．如图，在中，，，，则的长为 ． 例6．如图，等腰的底边，面积为8，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若D为边的中点，G为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 例7．如图，在中，，，垂足为，点在上，找出图中的全等三角形，并任选其中一对进行证明． 例8．如图，在中，为线段的中点，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 例9．如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 模型3.手拉手模型 例1．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠BAC=，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（    ）    A．4 B．2+6 C．+3 D．6 例2．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连结，若，，则（    ） A． B． C．4 D． 例3．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（　　） ①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE＝BD•CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4．如图，在中，，，点E是高上一个动点，连接．若将线段绕点A逆时针旋转60°得到，连接，则点E在运动的过程中，线段扫过的面积是 ． 例5．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 例6．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边DE上，连接BD，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有 （填序号） 例7．在等腰中，，，点为边上一点，连接； (1)如图1，若平分，过点作的平行线交于点，求； (2)如图2，为左侧一点，连接交于，连接，满足且，点为上一点，满足，过点作交于，求证：； (3)如图3，将沿着直线翻折到处，连接，，以为斜边构等腰（使得、、三点呈逆时针排布），当取得最小值时，求． 例8．在中，，，点E是平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接， (1)如图1，若点E为的中点，，求点A到的距离； (2)如图2，若点E在的内部，延长交于点F，当F为中点时，求证：； (3)如图3，在第（1）问的条件下，点M是直线上一点，连接，将沿翻折得到，点P是直线上一点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，，当的值最小时，直接写出的面积． 例9．如图，在等边中，延长到点，连接． (1)点是内一动点，满足，以为边作等边，点落在线段上，若，求的度数； (2)如图2，的角平分线交于，在边上取点，使得，连接，在边上取一点，使得，连接、．用等式表示线段、、三者之间的关系； (3)如图3，已知，点是内一动点且满足，当最小时，直接写出的面积． 一、单选题 1．如图，中，，平分，则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点．把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③DOB=50°；④点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（   ） A． B． C． D．7 二、填空题 6．如图，在中，平分交于点交于点，若，则的长度为 ． 7．如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为 ． 8．如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为 ． 9．如图，已知四边形是正方形，对角线、相交于，设、分别是、上的点，若，，则四边形的面积是 ． 10．如图和是外两个等腰直角三角形，，下列说法正确的是： ． ①，且； ②； ③平分； ④取的中点，连，则． 三、解答题 11．如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 12．（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 13．（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长； （2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明； （3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________． 14．综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 15．【发现问题】 (1)如图1，已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是 ． (2)将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是 ． 【探究拓展】 (3)如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点F，直接写出的度数和线段、间的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $