专题04 平面直角坐标系相关压轴题分类训练（5种类型40道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版七年级下册

专题04 平面直角坐标系相关压轴题分类训练 （5种类型40道） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足．地 城 类型01 面积相关存在性问题 (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点 (3)存在，点Q坐标为 或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、解一元一次方程、绝对值，（1）利用非负数的性质求出a，b的值，再利用三角形面积公式计算即可． （2）设点，构建方程求出p的值即可． （3）如图，设交y轴于点N，设、，利用面积法求出点N的坐标，再利用面积法构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又，， ∴，， ∴，， 过点C作轴于点N， 点， ， ，， ∴， ∴． （2）解：设点． ∵， 解得或 ， 当时，与重合，不合题意，舍去， ∴点． （3）解：如图，连接，设交y轴于点N，设、， ∵， ， ， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)求a，b的值； (2)在y轴的正半轴上存在一点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）设，根据面积关系列式求解即可得到答案； （3）分负半轴及x轴两类讨论，设出点坐标列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在． 当M在y轴负半轴时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴； 当M在x轴上时，设， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴或； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平面内点与坐标原点及坐标轴上点围成图形面积问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离问题转换成三角形的高． 3．如图，在直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式，，．    (1)求，，的值； (2)在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在第二象限内有一点，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据“两个非负数相加，和为，则这两个非负数的值为”，列方程解出，，的值； （2）根据的面积是面积的，于是得到，即可求得结论； （3）把、、的值代入面积的公式中列出等式，求出的值，代入求的坐标即可． 【详解】（1），， ，，， ，，； （2）的面积是面积的， ， ∴点Q的纵坐标的绝对值为2，点Q的纵坐标为2或． 或； （3），，， 的各顶点坐标为：，，； ； 又∵四边形的面积与的面积相等， ， ，， 在第二象限内有一点， 【点睛】本题考查了点的坐标的确定及非负数的性质，解此类题目时可根据非负数的性质分别求出各个数的值，再根据面积相等即可得出答案．解此类题目时刻将不规则图形拆成两个三角形的和，再进行计算即可． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点的坐标为或； (3)存在这样的点，点坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形等知识； （1）由非负数的性质即可求得a，b的值，从而求得A、B的坐标及的面积； （2）设，由的面积为6，建立关于n的方程，求出n的值，即可求解； （3）设，由（1）知：；分点P位于y轴左侧，点P位于y轴右侧，两种情况考虑即可． 【详解】（1）解：由得：，， ，， ，， ，， ， （2）解：设， ， ， ， 或， 点的坐标为或． （3）解：存在，理由：设， 由（1）知：， ， 当P位于y轴左侧时，设直线交y轴于点D，如图； ， ， ， ； 当P位于y轴右侧时，过点P作轴于点D，如图； ， ， ， ； 存在这样的点，点坐标为或． 5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）当时，，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解： ； （3）解：存在，设点的坐标为， 当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为或 6．在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用非负性可求a、b的值，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当E在直线上方时；②当E在直线下方时；分别根据的面积是6，列方程求解； （3）由与的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：设E为， 分以下两种情况讨论： ①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接， 则 ， ∴，， ②当E在直线下方时，同样可得， ∴，， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、， 依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形： ①如图，当点P在梯形的内部时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点P在梯形的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点在x轴上， 如图，作轴于G，连接， ， ， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P点的坐标为或． 7．如图在直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式： (1)求的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在．点P的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用非负性进行求解即可； （2）利用梯形的面积公式进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：由（1）得， ∴轴， ∴四边形为直角梯形，且， ∴四边形的面积． （3）解：存在．∵三角形的面积， ， ， ∴点P的坐标为或． 8．如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)写出点的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使得三角形与三角形面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)存在，点P的坐标是或 【分析】（1）根据平移的要求分别确定点的位置，即可得到三角形； （2）根据（1）的图形即可得到点的坐标； （3）先求出三角形的面积为，设点P的坐标为，列出方程，求出或，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求作的三角形； （2）解：点的坐标为，点的坐标为； （3）解：由题意得三角形的面积为， 设点P的坐标为， ∵三角形与三角形面积相等， ∴， ∴即， ∴或， ∴或， ∴点P的坐标是或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中三角形的平移，点的坐标，数轴上点的距离等知识，绝对值方程等知识，综合性较强，熟知平面直角坐标系中点的平移规律，准确根据题意列出绝对值方程并正确求解是解题关键． 9．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知点，，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．连接，，．地 城 类型02 最值问题 (1)直接写出点的坐标： ； (2)若点是轴上一点，的长是否有最小值？若有，直接写出最小值；若没有，说明理由； (3)第二象限内有一点，若点到轴的距离与点到轴的距离相等，试写出一个满足要求的点的坐标． 【答案】(1)； (2)最小值为； (3)（答案不唯一）． 【分析】本题考查了根据平移方式确定点的坐标，点到坐标轴的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平移方式确定点的坐标，即可求解； （2）根据题意可得当时，轴，此时的长有最小值，最小值为； （3）根据题意得出点的纵坐标为，即可求解． 【详解】（1）解： ∵点，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴点的坐标为，即； （2）∵， ∴当时，轴，此时的长有最小值，最小值为； （3）∵点， ∴点到轴的距离为， ∴点到轴的距离为，即的纵坐标的绝对值为． 又∵点在第二象限， ∴点的纵坐标为， ∴满足题意． 10．在平面直角坐标系中，有个点，记为：，，…，若这个点的横坐标的最大值记为，纵坐标的最大值记为，将【，，…，】记为这个点的“和值”． 例如：对于，则“和值”【，】． 已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标为、、、，边与轴交于点． (1)“和值”【，，】______； (2)已知，过点作直线轴，直线与直线、分别交于点、记【、、、】． ①当时，______； ②当点在轴上运动时，判断有最大值还是最小值，并写出的最大或最小值以及相应的点的坐标． 【答案】(1) (2)①②m有最小值，当时，，对应点；无最大值 【分析】本题考查平面直角坐标系点的特征，和值的定义，熟练掌握平面直角坐标系点的特征是解题的关键； （1）根据和值的定义求解即可； （2）①根据题意，求解， ，进而求解和值；②根据的不同范围，分析横纵坐标最大值即可求解； 【详解】（1）解：根据图象，可得， 横坐标最大值：、、中最大为； 纵坐标最大值：、、中最大为； 【，，】； 故答案为： （2）①当时，则， ， 横坐标最大值： 、， 中最大为1； 纵坐标最大值：、、， 中最大为； 求和值：； 故答案为： ②根据的不同范围，分析横纵坐标最大值： 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而增大）； 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而增大）。 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而减小）； 综上，m有最小值：当时，，对应点； 无最大值：随增大而无限增大； 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点B，点B在y轴上，则点B的坐标为 ；线段经过原点O，点D是上一动点，若点，点，且，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，根据平移方式可得，根据点B在y轴上，可得，据此可得点B坐标；可求出，由垂线段最短可知，当时，有最小值，则此时有，据此可得答案． 【详解】解：∵点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点B， ∴点B的坐标为，即， ∵点B在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，则此时有， ∵， ∴， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M的坐标为为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标与几何图形，垂线段最短，解题的关键在于利用等面积法求解．根据N为线段上一动点，P为线段上一动点，过点M作于点P，交于点N，此时的最小值为，连接，根据求解，即可解题． 【详解】解：过点M作于点P，交于点N，此时的最小值为，连接， ，，， ， ， ， 即的最小值为4， 故答案为：4． 13．中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一角，横着走竖着走都可以），如图中“马”从点出发，可到达，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，能够将实际问题转化为平面直角坐标系中点的关系是解题的关键．根据题意画出“马”从点出发到点的路线，进而求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 当点 往右上角方向走“日”字时， 有最小值，由图象可得，的最小值为9， 故选：D． 14．对于平面直角坐标系中的点和图形W，给出如下定义：若图形W中的任意一点满足且，则称点P为图形W的一个覆盖特征点． 例如：已知，，则点为线段的一个覆盖特征点． (1)已知点， ①在，，中，是三角形的覆盖特征点的为　　　； ②请在平面直角坐标系中用阴影表示三角形的覆盖特征点组成的图形． (2)点N是坐标轴上的动点．若点是三角形的覆盖特征点，且的最小值为6，请求出点N的坐标． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)或 【分析】本题考查新定义，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最小值与纵坐标的最小值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键． （1）①根据覆盖特征点的定义得到，然后逐一判断解答即可②根据画出阴影区域即可； （2）分为点N在y轴上和点N在x轴上两种情况，根据覆盖特征点的定义解答即可． 【详解】（1）解：（1）①根据覆盖特征点的定义可得：， ∴符合的点的坐标可以为，， 故答案为：； ②根据，则覆盖特征点的图形如图中阴影部分； （2）解：当点N在y轴上时，设点N的坐标为， 则，根据最小是6，x最小为3，解得， ∴点N的坐标为； 当点N在x轴上时， 设点N的坐标为，则， 根据最小是6，y最小为2解得， ∴点N的坐标为； 故答案为：或． 15．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)若点为轴上一点，则的最小值为____________． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析； (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则的最小值即为，由勾股定理可得答案． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求， ． （3）作点关于轴的对称点'，连接，交轴于点，连接，    则的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上几何变换的性质是解题的关键． 16．阅读理解：在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“非常距离”为； 若，则点与点的“非常距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）． 已知点，B为y轴上的一个动点． (1)若点，则点A与点B的“非常距离”为　　　； (2)若点A与点B的“非常距离”为2，求出点B的坐标； (3)点A与点B的“非常距离”的最小值为　　　． 【答案】(1)3 (2)点B的坐标是或 (3) 【分析】本题主要考查了新定义“非常距离”、坐标与图形性质、绝对值以及最小值，正确理解“非常距离”的定义是解题的关键． （1）根据若，则点P1与点P2的“非常距离”为，求解即可； （2）设点B的坐标为，根据“非常距离”的定义可以确定，据此求得y的值即可； （3）设点B的坐标为，根据，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，，， ∴点A与点B的“非常距离”为3， 故答案为：3； （2）解：设点B的坐标为， ∵， ∴，解得：或， ∴点B的坐标是或； （3）解：设点B的坐标为， 当，点A与点B的“非常距离”最小值为， 故答案为：． 17．如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，．地 城 类型03 平面直角坐标系相关规律性问题      （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． （2）若按（）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉的指数次幂是解题的关键． （）根据规律直接写出结论； （）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（）解：∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：， 又∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：， 故答案为：，； （）解：由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是， 故的坐标为：， 由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是， 故的坐标为：， 故答案为：，． 18．如图，在平面直角坐标系中，点根据这个规律，探究可得点，，，…根据这个规律，探究可得点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律． 由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、、，纵坐标依次是2、0、、0、2、0、、，四个一循环，继而求得答案． 【详解】解：观察图形可知，点，，，的横坐标依次是1、2、3、4、、，纵坐标依次是2、0、、0、2、0、、，四个一循环， 而， 故点坐标是． 故答案为：． 19．在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到，第二次向右蹦到，第三次向下蹦到，第四次向右蹦到，第五次向上蹦到，…，按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其蹦的路线如图所示．那么按照上述规律，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，根据图象得出每移动4次图象完成一个循环，结合得出点在第个循环的第4个点的位置，即纵坐标与的相同，为，再根据，，，……，得出，求出的坐标是，即可得解． 【详解】解：由题意得：，，，，，，，，……， ∴每移动4次图象完成一个循环， ∵， ∴点在第个循环的第4个点的位置，即纵坐标与的相同，为， ∵，，，……， ∴， ∴的坐标是， 故答案为：． 20．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整数点．如图，一列按箭头方向有规律排列的整数点，其坐标依次为，，，，，，，，…，根据规律，第2024个整数点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型点的坐标，根据图形得出每个正方形点阵的整点数量与坐标的关系，是解题的关键． 观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，n为大于1的正整数，当n为偶数时，最后一个点在轴上，第个点的坐标为，当n为奇数时，最后一个点在直线上，第个点的坐标为，然后按照规律求解即可． 【详解】解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵， 如：第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， ，45为奇数， 第2025个点的坐标为， 退1个点，得到第2024个点是， 故答案为：． 21．如图，在直角坐标系中第一次将变换成，第二次将变换，第三次将变换成，已知：； 观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将变换成则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 若按第题中找到的规律将进行了n次变换，得到的推测点坐标为 ，点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据图形变化规律写出图形变换后点的坐标，根据点的坐标变化的规律写出、的坐标即可； 根据点A的坐标每变化一次，纵坐标的长度不变，但奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，横坐标的长度变为上一次的倍，奇数次变化是负数，偶数次变化是正数；点的坐标的长度每变化一次横坐标就变为上一次的倍，奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，纵坐标都是，然后写出即可． 【详解】解：根据图形变换的规律： ，，，， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为； ，，，， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为 ； 解：由图形变换的规律可得： 点坐标为：； 点的坐标为：． 【点睛】本题考查了规律型中的坐标问题，解题的关键是根据给定点的坐标结合图形找出变化规律． 22．如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：，，，，，，，，，，，，，，…按这个规律，则是第 个点．    【答案】99 【分析】先根据点的坐标，找出规律，再计算求解． 【详解】解：横纵坐标和是0的有1个点， 横纵坐标和是1的有2个点， 横纵坐标和是2的有3个点， 横纵坐标和是3的有4个点， ， 横纵坐标和是的有个点， ， ， 横纵坐标和是13的有14点，分别为：、、、、、、、、、、、、、、 是第个点， 故答案为：99． 【点睛】本题考查了点的坐标，找到坐标的排列规律是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A向右平移一个单位得到，再向上平移一个单位得到；点向右平移2个单位得到，再向上平移2个单位得到；点向右平移3个单位得到，再向上平移3个单位得到；…，按这个规律平移得到，则点的坐标为 ；按这个规律平移，则的横坐标为 ．         【答案】 512572 【分析】根据点A向右平移一个单位得到，再向上平移一个单位得到；点向右平移2个单位得到，再向上平移2个单位得到；点向右平移3个单位得到，再向上平移3个单位得到；…，得出规律：从点A开始，第偶数个点的横坐标为，纵坐标为：；第奇数个点的横坐标为，纵坐标为：，最后代入数据求值即可． 【详解】解：∵点A向右平移一个单位得到，再向上平移一个单位得到；点向右平移2个单位得到，再向上平移2个单位得到；点向右平移3个单位得到，再向上平移3个单位得到；…， ∴从点A开始，第偶数个点的横坐标为： ， 纵坐标为：； 第奇数个点的横坐标为： ， 纵坐标为：， 当第10个点时，， 解得：， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， 即； 当第2023个点时，， 解得：， ∴的横坐标为：． 故答案为：；512572． 【点睛】本题主要考查了点的规律探索，解题的关键是根据已知点总结规律，得出第偶数个点的横坐标为：，纵坐标为：；第奇数个点的横坐标为：，纵坐标为：． 24．如图所示的平面直角坐标系中，有一系列规律点，它们分别是以O为顶点，边长为正整数的正方形的顶点，A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，A5(2，2)，A6(0，2)，A7(0，3)，A8(3，3)……依此规律A100坐标为 ． 【答案】(34，0) 【分析】本题是一道关于数字猜想的问题，根据已知条件得出坐标之间每三个增加一次，找出第100个所在位置即可得出答案． 【详解】解：∵A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）、A5（2，2）、A6（0，2）、A7（0，3）、A8（3，3）…， ∴数据每隔三个增加一次，100÷3得33余1，则点A在x轴上， 故A100坐标为（34，0）， 故答案为：（34，0） 【点睛】本题考查了规律型-点的坐标：通过特殊到一般解决此类问题，利用前面正方形的边长与字母A的脚标数之间的联系寻找规律． 25．在平面直角坐标系中，，，，且．地 城 类型04 探究角的数量关系 (1)请直接写出点，，的坐标； (2)如图1，点在线段上，点从点出发沿轴负方向平移，线段轴，． ①当线段最短时，求的面积； ②点在运动过程中，探究，，之间的数量关系，并证明； (3)若第一象限的一点是射线上的一点． ①求与的数量关系； ②若点，点在线段上，直线将四边形分成面积之比为1：4的两部分，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①②或 (3)①② 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行线的性质，非负性等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，然后写出点的坐标即可； （2）①由垂线段最短可知，当时，最短，据此求解即可；②根据平行线的性质得解即可； （3）①由题易得，进而易得；②分两种情况讨论，的面积占总面积的或，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴，，； （2）解：①由垂线段最短可知，当时，最短， 如图，设与轴交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； ②如图，当点在轴右侧时， ∵轴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在轴左侧时， 同理可知：， ∴； 综上所述：或； （3）解：①如图，过作轴于点，则， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作轴，轴，则， ∴， ∴； ②， 若，如图： 则，即，解得：， ∴， ∴； 若，如图： 则，即，解得：，（舍去）， 综上所述：； 26．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），则与存在怎样的数量关系？请直接写出来． 【答案】(1)，； (2)或 (3)或或． 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，求点的坐标，角的和差． （1）利用平移变换的性质求解； （2）先求出的值，进而分情况讨论即可； （3）分三种情形：①如图1中，当点在直线的左侧时，②如图2中，当点在直线的左侧或直线上且在直线的右侧时，③如图3中，当点在直线的右侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得：，； （2）解：∵点A，B，的坐标分别为，， ∴， 设， ∵， 如图，当M在B左侧时， ， 解得：， 即； 如图，当M在B右侧时， ， 解得：， 即； （3）解：①如图1中，当点在直线的左侧或上时，， ∴； ②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的右侧时，， ∴； ③如图3中，当点在直线的右侧时，， ∴； 综上所述，与的关系为：或或． 27．如图，在平面直角坐标系中，点满足，轴，垂足为，    (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，若点在轴上，连接，使，求点的坐标； (3)如图2，是线段所在直线上一动点，连接，为轴负半轴上一点，平分，交直线于点，作，当点在直线上运动过程中，请探究与的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)或 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，角的和差，角平分线的定义等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由非负性可求，的值，即可求点坐标和点坐标； （2）设，由面积关系可求的值，即可求点坐标； （3）由角平分线的定义和平行线的性质可得， ， 由余角的性质可求解. 【详解】（1） ∴ ∴ ∴点 ∵轴， 故答案为： （2）若点在轴上时，设 ∵ ∴= 解得，或 ∴或 若点在轴上时不成立 （3）    ∵平分    ∴ ∵轴    ∴，即 ∵    ∴    ∴    ∴ 28．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，且满足，连接，交轴于点，并过点作轴于点． (1)求的面积； (2)当的坐标为，若轴上有一动点，使得，求出点的坐标； (3)如图，过点作交轴于点，当分别平分、时，写出与、的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)，理由如下见解析． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，平行线的性质，角平分线的定义，绝对值非负性，牢记平行线的性质和角分平线的定义是解题的关键． （）根据 可求得和的值，确定点，，的坐标，进而求得和的长度，根据三角形面积公式计算即可求得答案； （）先求得的长度，点的位置有两种情况：在点上方或在点下方，分情况写出点的坐标即可； （）过点作，根据平行线性质可得到与，的数量关系，根据角平分线的定义，进而求得与 ，的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴点，，的坐标分别为，，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵点的坐标为， ∴当点在点上方时，点的坐标为； 当点在点下方时，点的坐标为， ∴点的坐标为或； （3）解：，理由如下： 如图，过点作， ∵，分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 29．如图1，在平面直角坐标系中，、、，其中a、b满足：．平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上． (1)点C坐标 ，点D坐标 ； (2)如图1，将点E向下移动1个单位得到点P，连接、，在y轴上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由； (3)如图2，点H是射线上一动点，与点O、D不重合，连接不过点C，若与的平分线交于点M，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质求得点A，B的坐标，再根据平移的性质即可得出点C，D的坐标； （2）连接，利用求得的面积，设点，则，利用与面积相等建立方程求解即可； （3）当点H在延长线上时，由角平分线的性质得，，由平移的性质得， 从而得，由外角的性质得，则，根据三角形内角和得，利用等角代换可证；同理可证当点H在线段上时，，再利用平角的性质和等角代换得； 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴，， ∵平移线段得到线段，且C、D两点分别落在y轴和x轴上， 则线段先向左平移1个单位长度后，再向下平移3个单位长度， ∴，． 故答案为：，． （2）如图，连接， ∵，， ∴， ∵将点向下移动1个单位得到点P， ∴点， ∴ ， 设点，则， ∵与面积相等， ∴， 即， 解得或， ∴或． （3）如图，当点H在延长线上时，延长交于G，令交于K， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点H在线段上时，令交于K，交于G． ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 综上，或． 【点睛】本题是坐标与图形综合问题，主要考查了非负数的性质、平移的性质、三角形的面积，平行线的性质和坐标系中的动点问题，熟练掌握以上性质并灵活运用是解题的关键． 30．平面直角坐标系中，，，，均为整数，且满足，点在轴负半轴上且，将线段平移到，其中点的对应点是点，点的对应点是点． (1)请直接写出点，，的坐标； (2) 如图（1），若点的坐标为，点为线段上一点，且的面积大于3，求的取值范围； (3)如图（2），若与轴的交点在点上方，点为轴上一动点，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)；； (2) (3)当点在点的下方时，；当点在、与的延长线与轴的交点之间时，；当点在的延长线与轴的交点上方时， 【分析】（1）由非负性可求，的值，由三角形的面积公式可求点坐标； （2）由平移得出，求出，根据，结合，得出，求出，根据，结合的面积大于3，得出，求出m的范围即可； （3）分三种情况讨论，由平移的性质，平行线的性质以及角的数量关系可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， 点坐标为； （2）解：如图，连接， 将线段平移到，点的坐标为，， ∴线段向左平移5个单位， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 解得：， ∵ ， ∵的面积大于3， ∴， 解得：， ∵为线段上一点， ∴ ∴． （3）解：如图，当点在点的下方时，延长交于， 将线段平移到， ，， ， ， ， ， ； 如图，当点在的上方、的延长线与轴的交点下方时，延长交于点， 将线段平移到， ， ， ， ， ， ； 如图，当点在的延长线与轴的交点上方时， ， 又， ， 由对顶角得， ， ， ， 综上所述：当点在点的下方时，；当点在、与的延长线与轴的交点之间时，；当点在的延长线与轴的交点上方时，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了平移的性质，三角形面积公式，坐标与图形，平行线的性质，三角形外角的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 31．如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，， 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律，即可解答； （2）分类讨论，根据点在点左边或者右边，两种情况，利用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点在轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答． 【详解】（1）解：，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段， ， 故答案为：； （2）解：当点在点右边时，如图， ， ， ， 即； 当点在点左边时，如图， ， ， ， ， 即； （3）解：当点在轴正半轴时， ， ， ， ①点在点右边，如图， 可得， 设， 可得方程， 解得， ； ②点在点左边，如图，连接， 可得， 设，则， 可得方程， 解得， ； 当点在轴负半轴时， ③点在点左边，如图， 可得， 设， 可列方程， 解得， ； ④点在点右边，如图，连接， 可得， 设， 可列方程， 解得， ， 综上，点的坐标为，，． 32．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，其中满足，点M在线段上． (1)求A，B两点的坐标； (2)将平移到，点A对应点，点对应点，若，求m，n，t的值； (3)如图2，若点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点（不包含点A，点B），连接，平分，试探究与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)理由见解析． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形、平面直角坐标系中点的平移、平行线的性质、三角形外角的定义和性质、平面直角坐标系中点的平移等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）利用非负数的性质解得a，b的值，即可获得答案； （2）分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点H， 过点C作于G，易得 利用面积法解得n的值，即可确定 进而可得点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点然后确定m，t的值即可； （3）过点O作交于点N，过点P作交y轴于点M，证明 即可获得答案． 【详解】（1）解： 又 解得： ∴； （2）解：如图1， 分别过点B， A作x轴， y轴的垂线交于点H，过点C作于G， ， ， ， 即， 解得： ∴点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点 ∵点在线段上，其对应点为， ； （3）解：理由如下： 如图2，过点O作交于点N， 过点P作交y轴于点M， 设， ∵平分， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ． 33．在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒．地 城 类型05 平面直角坐标系中的平移问题 (1)求点C的坐标； (2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，；当时， 【分析】本题考查了算术平方根与绝对值的非负性，平移性质，一元一次方程的实际应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据算术平方根与绝对值的非负性求出点B坐标，再结合平移性质进行求解，即可得到点C的坐标； （2）根据题意分以下两种情况讨论：当点P在线段上运动时，当点P在线段上运动时，再结合建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 解得， 点， ， 根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， ∵垂直x轴， ∴垂直x轴， ∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4， 点C的坐标为； （2）解：存在， 根据题意分以下两种情况讨论： 当点P在线段上运动时，点P的坐标为，则，如图， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴； 当点P在线段上运动时，点P的坐标为，即，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴， ∴此时． 综上所述，当时，；当时，． 34．如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度． (1)m的值为_________； (2)在x轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，把线段向上平移2个单位得到线段，连接，，交y轴于点G，过点C作于点D，将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形和长方形重叠面积为1时，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在点M，点M的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）根据坐标轴上A，B两点间的距离等于8个单位长度，列出方程，计算求解即可； （2）根据题意先确定的面积，进而求出的面积，利用的面积公式进行求解计算即可； （3）设经过秒后长方形和长方形重叠面积为1，分情况讨论当长方形和长方形重叠部分在长方形左侧或右侧时的情况，由重叠面积为，列出方程计算求解即可． 【详解】（1）解：点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度， ，， ， 解得， 故答案为：2； （2）解：点M存在； 、， ， 的面积的面积， ， 当点M在x轴上时，设， ， ， ， 或， 答：存在点M，点M的坐标为或； （3）解：设经过秒后长方形和长方形重叠面积为1， 由题意可知，秒后，点、、， 当长方形和长方形重叠部分在长方形左侧时， 高必为2， 底为， ， ， 点也运动秒， ， 点在上， ； 当长方形和长方形重叠部分在长方形右侧时， 高必为2， 底为， ， ， 点也运动秒， ， ， 点在上， ，即， 综上所述，点M的坐标为：或． 答：点M的坐标为：或． 35．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：，， ， ， ，, , 当时，运动10个单位，此时运动到点，故坐标为． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． 在点时：， 在点时：， 故答案为：． （3）①当在线段上时， ，即， ， ； ②当在线段上时， ，即， ， ， ； 故答案为：或． 36．如图1，在平面直角坐标系中，大正方形OABC的边长为m厘米，小正方形ODEF的边长为n厘米，且． (1)求点、点的坐标． (2)起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x轴向右平移，如图2．设平移的时间为t秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米． ①当t=1.5时，S=________平方厘米； ②在这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为________平方厘米； ③在小正方形平移过程中，若S=2，则小正方形平移的时间t为________秒． (3)将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x轴向右平移，在平移过程中，连接AD，过D点作DM⊥AD交直线BC于M，∠DAx的角平分线所在直线和∠CMD的角平分线所在直线交于N（不考虑N点与A点重合的情形），求∠ANM的大小并说明理由． 【答案】(1)，； (2)①3；②4；③1秒或5秒； (3)或，理由见解析． 【详解】（1）解：∵ ． ，， ，， （2）解：①当t=1.5时，小正方形向右移动1.5cm， S=2×1.5=3cm2； ②如图1所示，小正方形的一条对角线扫过的面积为灰色平行四边形， 面积为2×2=4cm2； ③如图2，小正方形平移距离为4+1=5cm， ∴小正方形平移的距离为1cm或5cm， ∴t=1或5． 综上所述，小正方形平移的时间为1或5秒， （3）解：如图3，当点N在射线MG的反向延长线上时， 过D作DQ∥x轴，过N作NP∥x轴， ∵MN平分∠CMD， ∴设∠CMG=∠DMG=y，则∠PNM=∠NMB=y， ∠MDQ=∠CMD=2y， ∵DM⊥AD， ∴∠ADQ=∠OAD=90°−2y， ∴∠DAx=180°−∠OAD=180°−（90°−2y）=90°+2y， ∵AN平分∠DAx， ∴∠NAx=∠DAx=45°+y=∠PNA， ∴∠ANM=∠PNA−∠PNM=45°+y−y=45°， 当点N在射线MG上时， 同理∠ANG=45°， ∴∠ANM=135°， 综上：∠ANM=135°或45°． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质及平移的性质是解题的关键． 37．在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时， ①求t的值． ②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合，， ∴点为点向右平移4个单位，向下平移4个单位， 将点向右平移4个单位，向下平移4个单位，得到，即：， （2）解：①设直线与x轴的交点为E，则，连接，， ， 三角形的面积三角形的面积， , , 三角形的面积， ， ， 即； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，， ∴， 设,而，， ∴，， ∴点， ∴点； 当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴，即； 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是平移的性质，坐标与图形面积，中点坐标公式的应用，非负数的性质；清晰的分类讨论是解本题的关键. 38．如图1，在直角坐标系中直线与、轴的交点分别为，，且满足. （1）求、的值； （2）若点的坐标为且，求的值； （3）如图2，点坐标是，若以2个单位/秒的速度向下平移，同时点以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是秒，若点落在内部（不包含三角形的边），求的取值范围． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】（1）根据非负数和为0，则每一个非负数都是0，即可求出a，b的值； （2）设直线AB与直线x＝1交于点N，可得N（1，5），根据S△ABM＝S△AMN−S△BMN，即可表示出S△ABM，从而列出m的方程． （3）根据题意知，临界状态是点P落在OA和AB上，分别求出此时t的值，即可得出范围． 【详解】（1）∵，， ∴， 解得：， （2）设直线与直线交于，设 ∵a＝−4，b＝4， ∴A（−4，0），B（0，4）， 设直线AB的函数解析式为：y＝kx＋b， 代入得，解得 ∴直线AB的函数解析式为：y＝x＋4， 代入x=1得 ∵ ∴＝×5×|5−m|−×1×|5−m|＝2|5−m|， ∵ ∴ ∴或 解得：或， （3）当点P在OA边上时，则2t＝2， ∴t＝1， 当点P在AB边上时，如图，过点P作PKx轴，AK⊥x轴交于K， 则KP'＝3−t，KA'＝2t−2， ∴3−t＝2t−2， ∴ 综上所述：． 【点睛】本题主要考查了平移的性质、一般三角形面积的和差表示、以及非负数的性质等知识点，第（2）问中用绝对值来表示动点构成的线段长度是正确解题的关键． 39．在平面直角坐标系中，，，，且． (1)填空：______，______； (2)如图（1），平移线段至的位置，使A点的对应点是点C，B点的对应点是点D，连接，，直线交x轴于点P，求点D与点P的坐标； (3)如图（2），连接，点T是x轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，求的长． 【答案】(1)5， (2)， (3)的长为或16 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了坐标系中的平移、算术平方根非负数的性质、三角形的面积． （1）先根据算术平方根的非负性，得到关于m，n的方程，解方程即可求得m，n； （2）先根据（1）求出，，，再根据“平移线段至，使A点的对应点是点C”，得出平移的方向与距离，由此求得，设，利用三角形面积，得出关于a的方程求解即可求得点P的坐标； （3）先求出四边形的面积分，再分“”、“”两种情况，分别求出的长． 【详解】（1）解：∵， 由题意得：， 解得：， 故答案为：5，； （2）解：在平面直角坐标系中，，，，且，， ∴，，， ∵平移线段至，使A点的对应点是点C，点，， ∴点A向右移动5个单位，向上移动1个单位， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； （3）解：设， ∵，，， ∴ ， 分以下两种情况： 当时，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 综上所述，点T是x轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，的长为或16． 40．如图，点、的坐标分别为，且满足，现同时将分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到、对应点，连接． (1)求点、的坐标； (2)如图1，点是轴负半轴上一动点，连接，其中直线交轴于点，若，求的值； (3)如图2，连接，在直线上取一点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或者 【分析】（1）利用实数的非负性，得到，确定a，b的值，即可求得点、的坐标； （2）先利用平移确定C，D的坐标，再根据，利用分割法表示出面积等式，构造关于的方程，解答即可； （3）利用分类思想解答即可． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解：， 将分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到、对应点， ， 点是轴负半轴上一动点， ， 整理得： ． （3）分如下两种情况进行讨论： ①当在中间，如图所示：过作于于，过点作于， ， ， ， ， ②当在延长线上，则只能在第二象限，如图所示：过作于，于，过点作于， ， ， ， ， 在第二象限 -14分 综上所述：或者． 【点睛】本题考查了非负性的应用，平移，图形面积分割法表示，线段的计算，分类思想应用，熟练掌握平移，面积表示是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04平面直角坐标系相关压轴题分类训练 (5种类型40道) 类型]面积相关存在性问题 类型2最值问题 平面直角坐标系相关压轴题 类型3平面直角坐标系相关规律性问题 类型4探究角的数量关系 类型5平面直角坐标系中的平移问题 目目 类型01 面积相关存在性问题 1.如图，在平面直角坐标系中，已知点Aa,0),B(b,0),C(-1.5,-2),其中a,b满足a+1+(b-3)2=0 (1)求ABC的面积； (2)在x轴上求一点P,使得△ACP的面积与ABC的面积相等； 3)在y轴上是否存在一点Q,使得△BCQ的面积与ABC的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不 存在，请说明理由. 2.如图，在平面直角坐标系中，已知A(a,0),B(b,0),C(-1,2),且a+2+(b-32=0. 1/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA (1)求a,b的值： (2)在y轴的正半轴上存在一点M,使三角形COM的面积等于三角形ABC面积的一半，求出点M的坐标； (3)在坐标轴的其他位置是否存在点M,使三角形COM的面积等于三角形ABC面积的一半？若存在，请直 接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由. 3.如图，在直角坐标系中，已知A0,a,B(b,0),C(b,c三点，其中a,b,c满足关系式， a+b-5+W2a-b-1=0,(c-4)2≤0. (1)求a,b,C的值； (2)在直线BC上是否存在点Q,使△ABQ的面积是△ABC面积的二？若存在，求出点Q的坐标；若不存在， 请说明理由； (3)如果在第二象限内有一点P 是否存在点P,使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 4.如图，在平面直角坐标系中，Aa,0),B(0,b,a,b满足a+4+(b-4)=0. 备用图 (1)求A、B两点的坐标及△AB0的面积； 2/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点C是x轴上一点，且ABC的面积为6，求点C的坐标： (3)若MN是x轴上方到x轴的距离为6的一条直线，在直线MN上是否存在点P,使△ABP的面积等于 △ABO的面积，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 5.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为0，a),(b,0),(c,a,且a,b,c满足关系式 Va-4+(c+5)2+lb+3=0. (1)求A,B,C三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点P(2,n,请用含的式子表示四边形0PBC的面积； (3)在(2)的条件下，当n=-2时，在y轴上是否存在点M,使三角形B0M的面积等于四边形OPBC面积 的？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，请说明理由。 6.在平面直角坐标系中A(-a,b)、B(a,a),a、b满足V2a-4)+3a+b-12=0. A· B C B 图1 图2 图3 (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E,△ABE的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段AB沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、 C,在坐标平面内是否存在点P(x,y)(0<x<6)，,使得△PAD与△PBC的面积相等，且△PCD与△PAB的面 积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由 7.如图在直角坐标系中，已知A0,a,B(b,0),C(4,c三点，若a,b,c满足关系式： 3/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a-2+(b-4)+Vc-4=0. B (1)求a,b,c的值； (2)求四边形A0BC的面积： 1 )是否存在点Px2 使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍？若存在，求出点P的坐标，若 不存在，请说明理由。 8.如图所示，把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形ABC. 5 4 3 2 y -5-4-3-2-Q 12345x 2 B C -3 -5 (1)在图中画出三角形AB,C,； (2)写出点A,B的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P,使得三角形BCP与三角形ABC面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标； 若不存在，说明理由。 目目 类型02 最值问题 9.如图，平面直角坐标系中，点0为坐标原点，已知点A-1,4),B(-4,-1),将点A向右平移2个单位长 度，再向下平移3个单位长度得到点C,连接AB,AC,BC. 4/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 C 3-2-1QL1234x -3 (1)直接写出点C的坐标：- (2)若点P是y轴上一点，BP的长是否有最小值？若有，直接写出最小值；若没有，说明理由； (3)第二象限内有一点Q,若点Q到x轴的距离与点A到y轴的距离相等，试写出一个满足要求的点Q的坐标. 10.在平面直角坐标系中，有个点，记为：P,卫，…P,若这个点的横坐标的最大值记为P,纵坐标 的最大值记为P,将P+P=W【P,乃，，P】记为这n个点的“和值”. 例如：对于P(-1,3),Q(2,1)则“和值”W【P,9】=2+3=5. 己知：如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标为A(-2,2)、B(-2,-2)、C(2,-2)、 D(2,2),边AD与y轴交于点H. y A H -5-4-3 2-10 3451 -4 -5 (1)和值”W【B,C,H】=一： (2己知T(U,O),过点T作直线I⊥x轴，直线I与直线AC、BD分别交于点E、F记W【A、B、E、F】 =m. ①当t=1时，n=一 ②当点T在x轴上运动时，判断m有最大值还是最小值，并写出m的最大或最小值以及相应的点T的坐标. 11.如图，在平面直角坐标系中，已知点M(m,3m-5)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 到点B,点B在y轴上，则点B的坐标为：线段AC经过原点O,点D是AC上一动点，若点 5/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A-2,a,点C(4,c,且AC=7,则BD长度的最小值为 12.如图，在平面直角坐标系中，点A0,4)在y轴正半轴上，点B-3,0)在x轴负半轴上，且AB=5,点 M的坐标为2，O),N为线段OA上一动点，P为线段AB上一动点，则MN+NP的最小值为」 A B M -3-2-10123 13.中国象棋中“马走日字”(“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一角，横着走竖着走都可 以)，如图中"马”从点P1,0)出发，可到达A,B,C,D,E,F,G,H中任意一点，若“马”从点P出发连续走了n 次“日"字后到达点Q16,12),则的最小值为() G A.6 B.7 C.8 D.9 14.对于平面直角坐标系xOy中的点P(x,y)和图形W,给出如下定义：若图形W中的任意一点Q(a,b)满 足a≤x且b≤y,则称点P为图形W的一个覆盖特征点. 例如：已知A1,2),B(3,1,则点P(5,4)为线段AB的一个覆盖特征点. 6/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)已知点C(2,3, ①在P(1,3),P(3,3),P(4,4)中，是三角形ABC的覆盖特征点的为 ②请在平面直角坐标系中用阴影表示三角形ABC的覆盖特征点组成的图形， (2)点N是坐标轴上的动点.若点R(x,y)是三角形ABN的覆盖特征点，且x+y的最小值为6，请求出点N 的坐标. 15.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，ABC的三个顶点均在格点上. A (1)画出ABC关于原点对称的△AB,C; (2)画出ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△ABC2,并写出点B2、C,的坐标； 3)若点P为x轴上一点，则PA+PC的最小值为 16.阅读理解：在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P(x,y)与P（x2,y2)的“非常距离”，给出如下定 义： 若x-≥y-y,则点P与点B的“非常距离”为x-x； 若x-x2<少-2，则点P与点B的“非常距离”为y-y 7/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例如：点P(1,2),点P(3,5),因为1-3<2-5，所以点P与点D的“非常距离”为2-5=3，也就是图中线 段PQ与线段P,Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线PQ与垂直于x轴的直线P,2的交点）. 2 已知点40 B为y轴上的一个动点. (1)若点B(0,3,则点A与点B的“非常距离”为一 (2)若点A与点B的“非常距离”为2，求出点B的坐标 3)点A与点B的“非常距离”的最小值为一 目目 类型03 平面直角坐标系相关规律性问题 17.如图，在直角坐标系中，第一次将AOB变换成△OA,B,第二次将△OA,B,变换成△OA,B2,第三次将 △OAB2变换成△04B,已知A1,4),A(2,4),A4,4,A8,4；B(2,0),B4,0),B28,0), B,(16,0). A B B B2 B3 x (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OAB,变换成△OAB4,则A的 坐标是 B的坐标是 (2)若按(1)找到的规律将△0AB进行了n次变换，得到△OA,Bn,比较每次变换中三角形顶点有何变化， 找出规律，推测A,的坐标是_一，B的坐标是一 18.如图，在平面直角坐标系中，点根据这个规律，探究可得点A(1,2),A2,0),A3,-2),A44,0) 根据这个规律，探究可得点A2s的坐标是一 8/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 36 As 1 A40 A61 A8, -1OA1 2345 6789 -2 A A -3 19.在平面直角坐标系中，一只小蛤蟆从原点O出发，第一次向上蹦到A,第二次向右蹦到4，第三次向 下蹦到A,第四次向右蹦到A,第五次向上蹦到A,，,按照此规律依次不间断蹦，每次蹦1个单位，其 蹦的路线如图所示.那么按照上述规律，点A24的坐标是 A 4 A3 A A11 20.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整数点.如图，一列按箭头方向有规律排列的整 数点，其坐标依次为1,0)，(1,1)，(2,1)，(2,0)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(2,2)，，根据规律，第2024个整 数点的坐标为 4 3 345 21.如图，在直角坐标系中第一次将△0AB变换成△OA,B,第二次将△OA,B,变换△OA,B2,第三次将 △OAB2变换成△0AB,已知：A(1,3,A-2,-3),A24,3,A-8,-3),B(2,0),B-4,0),B2(8,0,B-16,0)； 9/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,)观察每次 -1614-13-12-11-10-9-8-7-6-5--32012345678x 变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将△OAB,变换成△OA,B,则点A,的坐标 为 点B,的坐标为 (2)若按第(1题中找到的规律将△0AB进行了n次变换，得到的△OA,B,推测点A,坐标为 点B坐标为 22.如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：(0,0)，(L,0),(0,1),(2,0) ,11),(0,2),(3,0),(2,),(1,2),(0,3),(4,0),3,1),(2,2),1,3),按这个规律，则(6,7)是第 个 点. 23.如图，在平面直角坐标系x0y中，已知A(-6,-3),点A向右平移一个单位得到A,再向上平移一个单位 得到4；点4向右平移2个单位得到4，再向上平移2个单位得到A;点A向右平移3个单位得到A, 再向上平移3个单位得到A;,按这个规律平移得到A。,则点A。的坐标为一；按这个规律平移， 则A23的横坐标为 10/19