第七章 复数全章综合检测卷（提高篇）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

第七章 复数全章综合检测卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·湖南长沙·月考）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 2．（5分）（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一下·广东·期中）设（i为虚数单位），则的虚部是（    ） A．3 B． C．4 D． 4．（5分）（24-25高一下·辽宁·期末）若复数为纯虚数，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．且 5．（5分）（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一下·天津·月考）已知复数的实部为-1，则下列说法正确的是（   ） A．复数z的虚部为5 B．复数z的共轭复数 C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限 7．（5分）（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 8．（5分）（24-25高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025高一·全国·专题练习）将复数化为三角形式正确的是（　  　） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数，以下复数运算一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（6分）（24-25高一下·吉林·期中）已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C．的虚部为 D．若复数满足，则的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数 . 13．（5分）（24-25高一下·黑龙江·期末）已知是虚数单位，则 ． 14．（5分）（24-25高一下·江苏连云港·期中）设i为虚数单位，复数的共轭复数为，若，则在复平面内对应的点位于第 象限. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 16．（15分）（24-25高一下·贵州·月考）已知复数z对应复平面内的点. (1)设，求的模； (2)如果，求实数a，b的值. 17．（15分）（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知为三角形的一个内角，为虚数单位，复数，且在复平面上对应的点在实轴上． (1)求； (2)设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的面积． 18．（17分）（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 19．（17分）（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知复数，（为虚数单位）满足__________. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题. (1)若，求复数以及； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数全章综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·湖南长沙·月考）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【答案】C 【解题思路】根据复数的概念即可求解. 【解答过程】A.，说法不正确； B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确； C.当时，是实数，说法正确； D.复数的虚部是1，说法不正确. 故选：C. 2．（5分）（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义得到不等式组，求解即可． 【解答过程】由， 则在复平面内对应的点为，且位于第一象限， 所以，解得， 所以的取值范围为． 故选：A． 3．（5分）（24-25高一下·广东·期中）设（i为虚数单位），则的虚部是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的乘法运算结合共轭复数概念计算求解. 【解答过程】因为（i为虚数单位），则， 所以则的虚部是3. 故选：A. 4．（5分）（24-25高一下·辽宁·期末）若复数为纯虚数，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【解题思路】根据纯虚数的概念列方程，求解即得答案. 【解答过程】复数为纯虚数， 则，解得， 故选：B. 5．（5分）（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【解答过程】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B. 6．（5分）（24-25高一下·天津·月考）已知复数的实部为-1，则下列说法正确的是（   ） A．复数z的虚部为5 B．复数z的共轭复数 C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】C 【解题思路】首先展开复数的乘积，利用实部为求出的值，再代入计算虚部、模、共轭复数和对应点的象限，逐一验证选项即可. 【解答过程】由的实部为可得，， 解得，则. 复数的虚部为，故A错误； 复数的共轭复数，故B错误； ，故C正确； z在复平面内对应的点为，在第三象限，故D错误. 故选：C. 7．（5分）（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【解题思路】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【解答过程】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B. 8．（5分）（24-25高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【解题思路】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【解答过程】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025高一·全国·专题练习）将复数化为三角形式正确的是（　  　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】由复数的三角形式逐个判断即可. 【解答过程】 所以辅角主值为，辅角为， 结合选项令，可得辅角为，BC两种情况不存在， 故选：AD. 10．（6分）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数，以下复数运算一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】根据复数的乘法运算及复数的模判断A，根据复数除法运算及复数的模判断B，根据复数的模及共轭复数判断C，根据复数的乘法运算及复数模判断D. 【解答过程】设，由题意， 对A， ，， 所以，故A正确； 对于B： ， 而，所以，故B正确； 对于C：设，则，，，所以，故C正确； 对于D：， 所以不恒成立，故D错误. 故选：ABC. 11．（6分）（24-25高一下·吉林·期中）已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C．的虚部为 D．若复数满足，则的取值范围为 【答案】ACD 【解题思路】先化简复数，再根据复数的模，复数的几何意义，复数的运算及虚部的概念可判断A、B、C；由，根据复数的几何意义得到复数的轨迹，从而得到复数的取值范围即可判断D. 【解答过程】由题意，得. 对于A，，故A正确； 对于B，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B不正确； 对于C，的虚部为，故C正确； 对于D，由知，的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 则表示圆上的点到点的距离， ，，即，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数 . 【答案】3 【解题思路】根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得. 【解答过程】因是纯虚数， 可得，解得. 故答案为：3. 13．（5分）（24-25高一下·黑龙江·期末）已知是虚数单位，则 ． 【答案】0 【解题思路】根据虚数单位的幂次的运算性质，分别计算、、、的值，再将它们相加. 【解答过程】根据虚数单位的幂次的运算性质得： ， ， ， 故 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·江苏连云港·期中）设i为虚数单位，复数的共轭复数为，若，则在复平面内对应的点位于第 象限. 【答案】一 【解题思路】由虚数单位的乘方周期性，根据复数除法与共轭复数，结合复数的几何意义，可得答案. 【解答过程】由，则，即， 所以，其在复平面上的点为，则该点在第一象限. 故答案为：一. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1或2 (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解； （2）根据复数的概念列式即可求解； （3）根据复数的几何意义列式即可求解. 【解答过程】（1）由题意 ， 若是实数，则，解得或 （2）若是纯虚数，则，解得； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得. 16．（15分）（24-25高一下·贵州·月考）已知复数z对应复平面内的点. (1)设，求的模； (2)如果，求实数a，b的值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据复数几何意义得，再结合共轭复数概念、复数乘方运算以及复数模的计算公式即可得到答案； （2）根据复数的乘方和除法运算即可得到方程组，解出即可. 【解答过程】（1）由题设知， 则， 故. （2）由， 有， 由题设条件，知， 根据复数相等的定义，得，解得. 17．（15分）（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知为三角形的一个内角，为虚数单位，复数，且在复平面上对应的点在实轴上． (1)求； (2)设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的面积． 【答案】(1) (2)1 【解题思路】（1）化简，即可根据复数的几何意义列方程求解， （2）化简，得对应的点的坐标，即可根据向量数量积的坐标运算得垂直关系求解. 【解答过程】（1）∵，， 因为在复平面上对应的点在实轴上， 所以， ，所以，故； （2）由（1）知：，， 所以，， 所以． 在复平面上对应的点分别为，，， 所以，，， 所以，，所以，． 18．（17分）（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 (2)最大值为7，最小值为3 【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状. （2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案. 【解答过程】（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 19．（17分）（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知复数，（为虚数单位）满足__________. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题. (1)若，求复数以及； (2)若是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）选条件①，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求出，再利用复数除法运算及模的意义求解；选条件②，利用复数乘法运算及复数的意义求出，再利用复数除法运算及模的意义求解. （2）利用实系数一元二次方程的虚根成对出现，再借助韦达定理计算即得. 【解答过程】（1）选条件①，，由，得， 因此，即，又，解得， 所以，. 选条件②，，由 得，因此，解得， 所以，. （2）是实系数一元二次方程的根，则也是该方程的根， 于是，则实数， 所以实数的值为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $