第09讲 复数的四则运算（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

第09讲 复数的四则运算 【人教A版】 模块一 复数的四则运算 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 【题型1 复数的加、减运算】 【例1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据复数加法运算法则求解. 【解答过程】由，， 则， 故选：D. 【变式1.1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的加减法运算法则求解. 【解答过程】由题意可得：. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用复数的加减法运算可得答案； （2）利用复数的加减法运算可得答案． 【解答过程】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式1.3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用复数的加法运算可得答案； （2）利用复数的加法运算可得答案； （3）利用复数的减法运算可得答案． 【解答过程】（1）； （2）； （3）． 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 【例2】（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解题思路】先根据复数几何意义得坐标，再根据对称得到坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点间距离公式得结果. 【解答过程】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 【变式2.1】（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】根据复数加减的几何意义可求. 【解答过程】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【解答过程】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 【变式2.3】（2025·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【答案】C 【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 【题型3 复数的乘、除运算】 【例3】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复数的乘法公式计算即可. 【解答过程】由题可知：， 所以. 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数的除法运算求得复数即可. 【解答过程】由题意得，. 故选：C. 【变式3.2】（2025高三上·江苏南通·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数的除法运算化简，求得，再根据复数乘法运算计算即可求解. 【解答过程】，则， 故，所以. 故选：B. 【变式3.3】（24-25高一下·江西南昌·月考）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用复数的乘法可求乘积； （2）利用复数的减法可求差； （3）利用复数的除法可求商. 【解答过程】（1）. （2）. （3）. 【题型4 复数的乘方】 【例4】（24-25高一下·陕西·月考）（   ） A． B．0 C．2i D． 【答案】D 【解题思路】由复数乘方运算即可求解. 【解答过程】. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高一下·湖北宜昌·期末）复数中i为虚数单位，且，则（ ） A．2 B． C． D．0 【答案】D 【解题思路】由复数运算求解即可. 【解答过程】. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高一下·河南南阳·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用复数的除法与复数的乘方化简可得结果. 【解答过程】因为，故. 故选：D. 【变式4.3】（24-25高一下·湖北武汉·期末）若i为虚数单位，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D．i 【答案】A 【解题思路】应用复数的乘方运算化简，即可得. 【解答过程】由 ，虚部为. 故选：A. 【题型5 根据复数的四则运算结果求参数】 【例5】（2025·陕西安康·模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案. 【解答过程】， 由已知得，解得， 故选：D. 【变式5.1】（2025高三·全国·专题练习）若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】化简复数，利用实部与虚部的和即可求出的值. 【解答过程】由题意， ， ∵实部与虚部的和为3， ∴，． 故选：D. 【变式5.2】（24-25高一下·河南郑州·月考）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【解答过程】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 【变式5.3】（24-25高一下·陕西咸阳·月考）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】先运用复数的四则运算法则化简，再根据等部复数的定义列方程计算即得. 【解答过程】因，依题意得，. 故选：D. 【题型6 根据复数的四则运算结果求复数特征】 【例6】（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知复数，则的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数乘除法运算法则得到，再结合虚部的定义判断即可. 【解答过程】，则的虚部为-2. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高三下·北京·开学考试）已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据共轭复数的定义以及复数的减法运算即可求解. 【解答过程】设，则，由可得，所以， 故z的虚部为， 故选：B. 【变式6.2】（24-25高三上·广西·月考）已知复数满足，则的虚部为（   ） A．－1 B．1 C．－i D．i 【答案】B 【解题思路】通过复数的除法计算出即可得出答案. 【解答过程】，虚部为1. 故选：B. 【变式6.3】（24-25高二下·江西九江·月考）设复数z的共轭复数为、复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出复数z，进而求出复数z的共轭复数为，即可得到答案. 【解答过程】，则.则的虚部为3. 故选：A. 模块二 复数范围内方程的根 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【题型7 复数范围内分解因式】 【例7】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式 ． 【答案】 【解题思路】利用平方差公式以及复数运算来求得正确答案. 【解答过程】 . 故答案为：. 【变式7.1】（24-25高一下·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为 . 【答案】 【解题思路】先求解判别式，再利用求根公式得出两个根，写出因式分解式即可. 【解答过程】令， ，所以， 即. 故答案为: . 【变式7.2】（24-25高一上·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据，利用平方差公式即可得解； （2）将原式配成完全平方式，再根据，利用平方差公式即可得解； 【解答过程】（1） （2） . 【变式7.3】（24-25高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （2）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （3）先应用求根公式再写成两个因式相乘； 【解答过程】（1） ； （2）； （3）令，， 解方程可得：，， 所以. 【题型8 复数范围内方程的根】 【例8】（24-25高一下·重庆·期中）若是关于x的方程的虚数根，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】利用实系数一元二次方程的虚根是共轭虚数，再利用韦达定理即可求解. 【解答过程】由实系数一元二次方程的两个虚根是共轭虚数， 所以可知和是方程的两个根， 根据韦达定理可得：， ， 故选：B. 【变式8.1】（24-25高一下·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】由求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，结合列方程求出的值. 【解答过程】由关于的一元二次方程有两个虚根， 得，即，解得或， 则，， 整理得，解得或，则， 所以实数的值为3. 故选：B. 【变式8.2】（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2)4，13 【解题思路】（1）根据纯虚数的概念，建立不等式以及方程，可得答案； （2）将复数代入方程，利用复数相等，建立方程，可得答案. 【解答过程】（1）由题可得，，且， 由得或，由，得， 故． （2）当时，， 代入关于的方程，得， 整理得，， 因为为实数，所以， 解得，故实数的值分别为4，13. 【变式8.3】（24-25高一下·四川雅安·期末）已知复数，（其中）. (1)若为实数，求的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 【答案】(1) (2)、 【解题思路】（1）利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的类型得到方程，解得即可； （2）首先求出，代入方程，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 因为为实数，所以，解得． 故为实数时，的值为． （2）当时，，， 则复数， 因为是方程（，为实数）的一个根， 所以， 化简得， 由，解得. 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏固原·期末）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复数代数形式的加法求解即得. 【解答过程】. 故选：A. 2．（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知，则的虚部为（ ） A． B．i C． D．i 【答案】C 【解题思路】将通过分子分母都乘以分母的共轭复数，整理成的形式，求出，继而得到的虚部. 【解答过程】由题意可得，故，其虚部为． 故选:C． 3．（2025高二上·云南·学业考试）已知为虚数单位，设复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复数加减法运算求解. 【解答过程】复数，得. 故选：A. 4．（24-25高一下·云南·期中）若复数是方程的一个根，，则方程的另一个根为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】方法一：将代入方程中化简可求出，然后解方程求解即可；方法二：根据实系数一元二次方程的两虚数根互为共轭复数求解. 【解答过程】因为是方程的一个根， 则，即， 则，所以， 所以方程为， 所以方程的根为， 所以方程的另外一个根为， 方法二：因为实系数一元二次方程的两虚数根互为共轭复数， 所以方程的另一个根为. 故选：A. 5．（24-25高一下·新疆·期末）已知，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】应用复数的乘除运算得求出参数值，即可得. 【解答过程】因为，所以，则，故. 故选：B. 6．（24-25高一下·海南·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数的运算法则，准确运算，即可求解. 【解答过程】由复数，可得. 所以, 故选：B. 7．（24-25高一下·江苏常州·期末）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】，再根据复数的除法和乘法运算计算得，进而得到答案. 【解答过程】因为，所以， 所以复数的虚部是1， 故选：A. 8．（2025·山东青岛·三模）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据实系数方程的复数根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值. 【解答过程】已知是实系数方程的一个复数根，根据实系数方程的复数根成对出现的性质，可知方程的另一个根为. 对于方程，由韦达定理可得两根之和，其中，，则，即，解得. 由韦达定理可知两根之积，则. 可得：，即. 的值为，的值为. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·河南开封·期末）已知复数，则下列复数中虚部为0的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】利用共轭复数的概念，复数的加法，减法，乘法，除法运算法则，逐项计算即可判断正误. 【解答过程】因为复数，所以，所以复数的虚部为0，故A正确； 因为复数，所以，所以复数的虚部为2，故B不正确； 因为复数，所以，所以复数的虚部为0，故C正确； 因为复数，所以， 所以复数的虚部为，故D不正确. 故选：AC. 10．（24-25高一下·四川遂宁·期末）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部为 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【解题思路】根据虚部的概念判断A，求出共轭复数后利用乘法法则化简求解判断B，求复数的和判断C，根据纯虚数的概念求解判断D. 【解答过程】因为复数，所以虚部为，， 所以，， 若是实数，是纯虚数，则，解得， 故选项AB错误，CD正确. 故选：CD. 11．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．方程的另一个根为 C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据实系数一元二次方程根的性质判断各个选项即可. 【解答过程】是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根， 所以，A选项正确；B选项错误； ，所以，C选项正确； ，所以，D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一下·上海·期末）在复数范围内因式分解： ． 【答案】 【解题思路】根据已知条件，结合求根公式和复数的概念，即可求解． 【解答过程】令， ，由求根公式可知，， 故． 故答案为：． 13．（2025高一下·江苏南京·专题练习）计算 . 【答案】 【解题思路】根据复数的乘方运算法则求解即可. 【解答过程】因为， 所以. 因为 ， 所以. 所以 . 故答案为：. 14．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 【答案】 【解题思路】由复数的乘法、除法运算求得，再结合共轭复数的概念即可求解. 【解答过程】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）（3）由复数四则运算法则进行计算即可求解. 【解答过程】（1）原式． （2） =. （3） ． 16．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在复数范围内解方程： (1)； (2). 【答案】(1)或； (2). 【解题思路】（1）利用分解因式法求解方程. （2）利用配方法求解方程. 【解答过程】（1）由，得，即，解得或， 所以方程的解为或. （2）由，得，则，解得， 所以方程的解为. 17．（24-25高一下·河北·期末）设复数（其中）. (1)若，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】(1)3 (2)或 【解题思路】（1）利用共轭复数的定义和两复数相等得到方程组，求出，得到答案； （2）将代入方程，化简后，根据两复数相等得到方程组，求出答案. 【解答过程】（1），因为，所以， 故，所以. （2）是关于的方程的一个根， ，即. 所以，解得或，故或. 18．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，，求的值． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据纯虚数的定义列出关于方程，求解即可； （2）根据题意得出复数及共轭复数，利用复数的乘除法计算即可. 【解答过程】（1）由题意，因为z是纯虚数，所以有， 解得. （2）因为，所以，， 则， 所以，. 则. 19．（24-25高一下·上海·月考）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据实系数一元二次方程的虚根成对出现，求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，进而求得； （2）先计算，再根据纯虚数的实部为且虚部不为来确定实数的值. 【解答过程】（1）对于实系数一元二次方程，若复数是方程的根，则其共轭复数也是方程的根. 已知是方程（为实数 ）的一个根， 那么z的共轭复数也是该方程的根. 根据韦达定理，在一元二次方程中，两根之和，两根之积. 计算的值：，所以，即. 计算的值：， 因为，所以，所以. 所以. （2）已知，计算： 因为是纯虚数，根据纯虚数的定义：实部为，虚部不为. 则有 解，可得 当时，，满足条件. 所以实数的值为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 复数的四则运算 【人教A版】 模块一 复数的四则运算 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 【题型1 复数的加、减运算】 【例1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数等于（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)． 【变式1.3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 【例2】（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【变式2.1】（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2.2】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（2025·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【题型3 复数的乘、除运算】 【例3】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2025高三上·江苏南通·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一下·江西南昌·月考）计算： (1)； (2)； (3). 【题型4 复数的乘方】 【例4】（24-25高一下·陕西·月考）（   ） A． B．0 C．2i D． 【变式4.1】（24-25高一下·湖北宜昌·期末）复数中i为虚数单位，且，则（ ） A．2 B． C． D．0 【变式4.2】（24-25高一下·河南南阳·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一下·湖北武汉·期末）若i为虚数单位，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D．i 【题型5 根据复数的四则运算结果求参数】 【例5】（2025·陕西安康·模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式5.1】（2025高三·全国·专题练习）若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5.2】（24-25高一下·河南郑州·月考）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一下·陕西咸阳·月考）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【题型6 根据复数的四则运算结果求复数特征】 【例6】（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知复数，则的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【变式6.1】（24-25高三下·北京·开学考试）已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式6.2】（24-25高三上·广西·月考）已知复数满足，则的虚部为（   ） A．－1 B．1 C．－i D．i 【变式6.3】（24-25高二下·江西九江·月考）设复数z的共轭复数为、复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A．3 B． C． D． 模块二 复数范围内方程的根 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【题型7 复数范围内分解因式】 【例7】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在复数范围内分解因式 ． 【变式7.1】（24-25高一下·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为 . 【变式7.2】（24-25高一上·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【变式7.3】（24-25高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【题型8 复数范围内方程的根】 【例8】（24-25高一下·重庆·期中）若是关于x的方程的虚数根，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式8.1】（24-25高一下·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式8.2】（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【变式8.3】（24-25高一下·四川雅安·期末）已知复数，（其中）. (1)若为实数，求的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏固原·期末）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 2．（2025高一下·江苏南京·专题练习）已知，则的虚部为（ ） A． B．i C． D．i 3．（2025高二上·云南·学业考试）已知为虚数单位，设复数，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·云南·期中）若复数是方程的一个根，，则方程的另一个根为（    ） A． B． C．2 D． 5．（24-25高一下·新疆·期末）已知，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（24-25高一下·海南·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏常州·期末）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东青岛·三模）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·河南开封·期末）已知复数，则下列复数中虚部为0的有（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·四川遂宁·期末）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部为 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 11．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．方程的另一个根为 C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·上海·期末）在复数范围内因式分解： ． 13．（2025高一下·江苏南京·专题练习）计算 . 14．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 四、解答题 15．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 16．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在复数范围内解方程： (1)； (2). 17．（24-25高一下·河北·期末）设复数（其中）. (1)若，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 18．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，，求的值． 19．（24-25高一下·上海·月考）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $