第08讲 复数的几何意义（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

第08讲 复数的几何意义 【人教A版】 模块一 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 【题型1 复数的坐标表示】 【例1】（24-25高一下·北京西城·期末）在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义可得，即可求解. 【解答过程】在复平面内，复数z对应点的坐标为， 所以，，在复平面中对应的点坐标为. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一下·北京顺义·期中）如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据复数的几何意义，由点的坐标得出复数. 【解答过程】复数对应的点，则复数. 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一下·云南昭通·月考）在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数的几何意义得出向量的坐标，由此可得出向量的坐标，进而可得对应的复数. 【解答过程】正方形，且对应的复数为， 则对应的复数为， 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一下·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出点的坐标，由对称求出点的坐标，进而求出对应的复数. 【解答过程】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D. 【题型2 实轴、虚轴上点对应的复数】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【解答过程】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 【变式2.1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 【答案】C 【解题思路】根据复数的几何意义，由复数对应点代入直线方程可求得，即可得出结果. 【解答过程】复数在复平面内对应的点为， 代入直线，可得，即， 则，在复平面内对应的点为. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 【答案】或 【解题思路】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【解答过程】由题意可知，复数表示的点的坐标为， 由题意可得，解得或. 故答案为：或. 【变式2.3】（24-25高一下·全国·单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 【答案】 【解题思路】根据复平面的概念以及复数的坐标表示列式可求出结果. 【解答过程】因为为实数，且复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 所以，解得或. 故答案为：. 【题型3 判断复数对应的点所在的象限】 【例3】（24-25高一下·福建福州·期末）已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解题思路】由共轭复数的定义及复数的坐标表示判断即可. 【解答过程】由题设，对应点为，该点位于第四象限. 故选：D. 【变式3.1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】利用复数的几何意义可得出结论. 【解答过程】当时，， 所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高一下·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【解题思路】由复数的几何意义及平面向量的坐标运算求解． 【解答过程】依题意得，， 则， 得向量所对应的复数在复平面上所对应的点为：， 则点位于第一象限， 故选：A. 【变式3.3】（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知复数（，i为虚数单位），且，当取得最小值时，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解题思路】根据题意，化简得到，得出时，取得最小值，此时复数，再结合复数的几何意义即可求解. 【解答过程】因为，可得， 所以，当时，取得最小值为，可得， 此时z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D. 【题型4 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例4】（24-25高一下·河北·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数对应的点位于第二象限，得出实部小于0，虚部大于0，列出不等式组，求出解集即可. 【解答过程】易得在复平面内对应的点为， 由题意可得，解得． 故选：B． 【变式4.1】（24-25高一下·安徽芜湖·期末）复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由复数确定点的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围. 【解答过程】复数在复平面上对应的点的坐标为， 根据第二象限坐标的特点可得，从而可得. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高一下·山西·期末）设，复数. (1)若复数是纯虚数，求实数m的值； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据纯虚数的概念列出方程求解即可； （2）根据复数对应的点在第二象限，列出不等式组求解. 【解答过程】（1）因为， 又复数是纯虚数，所以， 解得. （2）复数z在复平面内对应的点为， 又复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以 解得，即实数m的取值范围是. 【变式4.3】（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【解题思路】（1）依题意可得实部为，解得即可； （2）依题意可得，解不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意得，解得或； （2）复数在复平面内对应的点为， 依题意可得， 则或 解得或，即实数的取值范围为或． 模块二 复数的模及模的几何意义 1．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 2．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 3．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【题型5 求复数的模】 【例5】（24-25高一下·甘肃兰州·期末）复数，其中为虚数单位，则（    ） A．25 B．3 C．5 D． 【答案】C 【解题思路】根据复数模的计算公式计算即可. 【解答过程】因为，所以. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高三上·重庆长寿·期末）设复数，则复数的共轭复数的模为（    ） A．7 B．1 C．5 D．25 【答案】C 【解题思路】共轭复数的定义求出，再由复数的模长公式求解即可. 【解答过程】复数，则， 所以. 故选：C. 【变式5.2】（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知为虚数单位，则（   ） A．2 B．3 C．5 D． 【答案】D 【解题思路】由复数模长公式直接计算即可. 【解答过程】由题. 故选：D. 【变式5.3】（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】首先根据复平面内关于实轴对称的点的坐标特征求出复数，然后再根据复数模的计算公式求出. 【解答过程】，其在复平面内对应的点为. 因为复数与复数对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以对应的点为，那么复数. 由，其中，，将其代入模的计算公式可得： . 故选：B. 【题型6 由复数模求参数】 【例6】（24-25高二上·贵州毕节·期末）若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】利用复数模的定义，列式计算得解. 【解答过程】依题意，，解得. 故选：B. 【变式6.1】（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用复数模的意义求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】依题意，，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式6.2】（25-26高三上·广东·月考）已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用复数的模计算公式解得答案. 【解答过程】因为，所以，化简得， 解得. 故选：B. 【变式6.3】（2025·青海·一模）已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】先根据求出或，再结合z在复平面内对应的点位于第二象限排除即可. 【解答过程】由题意，得，得或， 因z在复平面内对应的点位于第二象限，所以，故，故， 故选：A. 【题型7 复数的模的几何意义】 【例7】（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由复数的几何意义，结合圆的面积公式求解即可. 【解答过程】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环， 则其面积为. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】首先根据复数的几何意义求复数对应的点的轨迹，再利用数形结合求模的最小值. 【解答过程】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心， 半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，    如图，最小值为. 故选：A. 【变式7.2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 【答案】(1)， (2)是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界 【解题思路】（1）利用求复数模的公式求解即可； （2）利用复数的几何意义，确定出点的集合即可判断． 【解答过程】（1），； （2）由（1）知，设（x、）． 因为不等式的解集是以为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合， 所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．    【变式7.3】（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 (2)最大值为7，最小值为3 【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状. （2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案. 【解答过程】（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期末）设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】先求出共轭复数，再写出该复数对应复平面内的点的坐标，最后判断位于第几象限 【解答过程】复数的共轭复数为，在复平面内所对应的点的坐标为，故位于第三象限. 故选：C. 2．（24-25高一下·湖南永州·期末）复数（i是虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】本题可根据复数的模的计算公式来求解. 【解答过程】根据复数模的计算公式可得： . 故选：B. 3．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】先求得复数的共轭复数，再由复数的几何意义确定对应点所在象限即可. 【解答过程】由复数可得， 复数对应的点的坐标为，在第三象限. 故选：C. 4．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据共轭复数的定义求解. 【解答过程】由题意，，根据共轭复数的定义，则. 故选：B. 5．（24-25高一下·云南保山·期末）在复平面内，若复数对应的点为，则复数的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】利用复数的几何意义写出复数，即得其虚部. 【解答过程】由题意得，故复数z的虚部为. 故选：A． 6．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【解答过程】由题意可知：， 可得， 所以向量对应的复数为， 所以向量对应复数的虚部为. 故选：B. 7．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】由复数的几何意义求解即可. 【解答过程】由，得， 所以复数在复平面内对应的点到点的距离恒等于1， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径， 即. 故选：B. 8．（24-25高一下·福建南平·期末）若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 【答案】C 【解题思路】对于A，由虚部定义可得答案；对于B，由复数坐标表示可得答案；对于C，由共轭复数定义可得答案；对于D，由复数模计算公式可得答案. 【解答过程】对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，对应的点为，在第三象限，故B错误； 对于C，因，则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【解题思路】先把复数整理成，根据复数对应的点位于第二象限列式，求出实数的取值范围，再逐一验证即可. 【解答过程】整理得，对应的点位于第二象限， 则，解得． 故选：AB. 10．（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（   ） A．复数的虚部为 B． C．复数的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BC 【解题思路】根据复数虚部的概念、模长计算公式、共轭复数的概念以及其几何意义，可得答案 【解答过程】对于A，由可得其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由可得其共轭复数为，故C正确； 对于D，由可得其在复平面上的对应点为，易知该点位于第四象限，故D错误. 故选：BC. 11．（25-26高三上·云南昆明·期中）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【解题思路】利用复数模的运算即可判断AB，利用复数的几何意义即可判断CD. 【解答过程】对于A，，故A正确； 对于B，因为当时，满足，故B错误； 对于C，因点的坐标为，则，，则对应的点在第三象限，故C正确； 对于D，由，可知点的集合所构成的图形为圆环,其面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）若在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则复数的模为 ． 【答案】 【解题思路】设复数，由复平面内对应点的坐标求出复数，再计算模长可得. 【解答过程】设复数，则， 因为复数所对应的点的坐标为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则 ． 【答案】 【解题思路】根据题意，得到和的坐标，求得，结合向量模的计算公式，即可求解. 【解答过程】由复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和， 可得，，所以， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的最小值是 . 【答案】 【解题思路】根据复数模的几何意义，数形结合，可求解. 【解答过程】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 表示点到点的距离. 如图：    可知当共线，且在之间时，取得最小值，为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·河南南阳·期末）设复数和复平面内的点对应，若点的位置满足下列要求，分别求实数的取值范围. (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意结合复数的几何意义，建立方程，求解参数即可. （2）根据题意，结合对应点所在的位置，建立不等式求解参数范围即可. 【解答过程】（1）因为复数和复平面内的点Z对应， 且复数在虚轴上，则满足，所以解得. （2）因为复数和复平面内的点Z对应， 且复数在第三象限，则满足，所以解得. 16．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数（，为虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据纯虚数定义求参数，进而求复数的模长； （2）由第一象限得，即可求范围. 【解答过程】（1）复数是纯虚数， ，解得，则，故. （2）若在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得，则的取值范围为. 17．（24-25高一下·天津·期末）已知是虚数单位，复数 (1)当时，求； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据条件，利用模长的计算公式，即可求解； （2）根据条件，利用复数的分类，得到，即可求解； （3）根据条件，利用复数的几何意义，得到，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，则. （2）因为是纯虚数，则，解得. （3）因为对应点为， 由题知，解得， 所以实数的取值范围为. 18．（24-25高一·全国·课堂例题）设：，点对应复数，在复平面内满足下列条件的点的集合是什么图形？ (1)； (2)． 【答案】(1)满足条件点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆 (2)以原点为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界 【解题思路】（1）根据复数模长的几何意义求解即可. （2）根据复数模长的几何意义求解即可. 【解答过程】（1）复数的模等于2，这表明，复数对应的向量之的长度等于2， 即点到原点的距离等于2， 因此满足条件点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． （2）不等式可以化为不等式组 不等式的解集是圆和该圆内部所有的点构成的集合， 不等式的解集是圆和该圆外部所有的点构成的集合， 这两个集合的交集，即上述不等式组的解集，也就是满足条件的点的集合． 所求的集合是以原点为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.      19．（24-25高一下·天津·期末）已知i是虚数单位，复数． (1)当时，求z的共轭复数； (2)若z是纯虚数，求m的值： (3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）代入，根据共轭复数的概念求解即可； （2）根据纯虚数的充要条件列方程求解即可； （3）根据复数对应的点第四象限实部为正，虚部为负可得的不等式，求解即可. 【解答过程】（1）当时，， 所以共轭复数 （2）， 因为复数z是纯虚数，所以， 解得， 所以； （3）因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限 所以，即 即，所以 所以，实数m的取值范围是. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 复数的几何意义 【人教A版】 模块一 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 【题型1 复数的坐标表示】 【例1】（24-25高一下·北京西城·期末）在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一下·北京顺义·期中）如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·云南昭通·月考）在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一下·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 实轴、虚轴上点对应的复数】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【变式2.1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 【变式2.2】（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 【变式2.3】（24-25高一下·全国·单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 【题型3 判断复数对应的点所在的象限】 【例3】（24-25高一下·福建福州·期末）已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3.1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3.2】（24-25高一下·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式3.3】（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知复数（，i为虚数单位），且，当取得最小值时，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型4 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例4】（24-25高一下·河北·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一下·安徽芜湖·期末）复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一下·山西·期末）设，复数. (1)若复数是纯虚数，求实数m的值； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 【变式4.3】（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 模块二 复数的模及模的几何意义 1．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，. 2．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 3．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【题型5 求复数的模】 【例5】（24-25高一下·甘肃兰州·期末）复数，其中为虚数单位，则（    ） A．25 B．3 C．5 D． 【变式5.1】（24-25高三上·重庆长寿·期末）设复数，则复数的共轭复数的模为（    ） A．7 B．1 C．5 D．25 【变式5.2】（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知为虚数单位，则（   ） A．2 B．3 C．5 D． 【变式5.3】（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 【题型6 由复数模求参数】 【例6】（24-25高二上·贵州毕节·期末）若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6.1】（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6.2】（25-26高三上·广东·月考）已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（2025·青海·一模）已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A． B． C．2 D． 【题型7 复数的模的几何意义】 【例7】（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 【变式7.2】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 【变式7.3】（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期末）设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一下·湖南永州·期末）复数（i是虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南保山·期末）在复平面内，若复数对应的点为，则复数的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 6．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 7．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（24-25高一下·福建南平·期末）若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 10．（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（   ） A．复数的虚部为 B． C．复数的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限 11．（25-26高三上·云南昆明·期中）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 三、填空题 12．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）若在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则复数的模为 ． 13．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则 ． 14．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的最小值是 . 四、解答题 15．（24-25高一下·河南南阳·期末）设复数和复平面内的点对应，若点的位置满足下列要求，分别求实数的取值范围. (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 16．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数（，为虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 17．（24-25高一下·天津·期末）已知是虚数单位，复数 (1)当时，求； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 18．（24-25高一·全国·课堂例题）设：，点对应复数，在复平面内满足下列条件的点的集合是什么图形？ (1)； (2)． 19．（24-25高一下·天津·期末）已知i是虚数单位，复数． (1)当时，求z的共轭复数； (2)若z是纯虚数，求m的值： (3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $