第12讲 简单几何体的表面积与体积（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

第12讲 简单几何体的表面积与体积 【人教A版】 模块一 简单几何体的表面积与体积 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 3．空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 ①求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减. ②求组合体的体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 【题型1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积】 【例1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出正四棱台的高，再利用正四棱台的体积公式计算求解即可. 【解答过程】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 则该正四棱台的体积为. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正四棱锥结构特征可求得侧面的高，由此可计算得到结果. 【解答过程】正四棱锥的底面边长为，高为，正四棱锥侧面的高为， 正四棱锥的侧面积. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高一下·安徽合肥·期末）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（   ） A．12 B．24 C．32 D．48 【答案】A 【解题思路】求得斜高，结合表面积公式求解即可. 【解答过程】如图，是正四棱锥的高，所以， 是斜高，由可得， 所以，在中，， ，所以，所以， 所以， 所以． 故选：A. 【变式1.3】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为6m，下底面边长为8m，侧面积为，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用台体侧面积求斜高，再由斜高求台体的高，最后利用台体体积公式求体积即可. 【解答过程】 取上、下底面中心分别为，取一个侧面等腰梯形的上、下中点分别为， 连接，由底面是正六边形性质可得：， 由上底面边长为，下底面边长为，可得， 则， 再由侧面积为，可得， 根据勾股定理得， 所以正六棱台的体积为 ， 故选：B. 【题型2 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】 【例2】（24-25高一下·江苏南通·月考）若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据已知求出圆锥筒的高和底面半径，应用圆锥的体积公式求体积即可. 【解答过程】由题设，所得圆锥的底面周长为，易知圆锥的底面半径为，母线长为， 所以圆锥的高为，故圆锥筒的体积为. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高一下·云南玉溪·期末）圆锥的底面半径为，圆锥的高是1，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出母线长，再利用圆锥的侧面积公式即可求得结果. 【解答过程】由圆锥的底面半径为，圆锥的高是1，即圆锥的母线长为， 所以其侧面积为，故D正确. 故选：D． 【变式2.2】（24-25高一下·山西·期中）若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由圆柱表面积及体积公式即可求解. 【解答过程】设圆柱母线长为，,则表面积， 体积，所以． 故选：A. 【变式2.3】（24-25高一下·安徽宣城·期末）一圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，下列说法不正确的是（    ） A．圆台的母线长是20cm B．圆台的高是cm C．圆台的表面积是 D．圆台的体积是 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，作出圆台侧面展开图，求出圆台的母线长和高，再利用表面积和体积公式求解判断作答. 【解答过程】依题意，圆台侧面展开图，如图，     设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得， 又，则，同理， 于是圆台的母线cm，高cm， 表面积， 体积，ABC正确，D错误. 故选：D. 【题型3 球的表面积与体积】 【例3】（24-25高一下·广西百色·期末）已知球的体积是，则该球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据球体体积公式列方程求解. 【解答过程】设球的半径为，因为，解得：. 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一下·河北衡水·月考）一球体的表面积为，该球体的体积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出球体的半径，结合球体体积公式可得结果. 【解答过程】设球体半径为，则该球的表面积为，可得， 因此，该球的体积为. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知圆柱的底面半径和高相等，若该圆柱的表面积与某球的表面积相等，则圆柱与球的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设圆柱底面半径、球的半径分别为,由圆柱与球的表面积公式和体积公式列比例式求解． 【解答过程】设圆柱底面半径、球的半径分别为,则， 所以，所以． 故选：B. 【变式3.3】（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知过球面上三点A， B， C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由，求得的外接圆半径为，再由，求得球的半径，即可求解球的表面积． 【解答过程】因为，， 所以的外接圆半径为． 设球半径为，则， 所以， ． 故选：D． 【题型4 组合体的表面积与体积】 【例4】（24-25高一下·北京丰台·期末）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为R，圆柱的高也为R，则银杯盛酒部分的容积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意可知，银杯盛酒部分的容积为半球的体积加圆柱的体积，将已知条件代入体积公式求解即可. 【解答过程】半球的体积为，圆柱的体积为， 因此银杯盛酒部分的容积为. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高一下·山东临沂·期末）如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的底面半径为3，圆锥的高为4，若该几何模型的体积为60π，则其表面积为（    ） A．48π B．60π C．72π D．144π 【答案】C 【解题思路】由圆柱、圆锥体积公式列方程求得圆柱的高，再结合圆柱、圆锥的表面积公式求解即可. 【解答过程】设圆柱的高为，则，解得， 故所求为. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高一下·云南昆明·月考）锤是中国古代的十八般兵器之一，《说唐演义全传》中天下第一好汉李元霸，宋代名将岳飞的儿子岳云手中的武器都是大锤，还有著名的故事“八大锤大闹朱仙镇”等.大锤有各种形状，其中就有半正多面体形状的.图（1）是著名京剧《八大锤》中的一个场景，图中的大锤共有14个面，其中6个面为正方形，8个面为等边三角形，因此有时也叫做十四面体.图（2）是一个棱数为24的十四面体，它的棱长为1，则该多面体的体积是（   ）                    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先算出正方体的体积，再算出截去的8个相同三棱锥的总体积，最后用正方体体积减去8个三棱锥的总体积，从而得到十四面体的体积. 【解答过程】如图，该十四面体是由棱长为的正方体截去8个相同的三棱锥得到的，所以该多面体的体积. 故选：D.    【变式4.3】（24-25高一下·北京平谷·期末）玩陀螺不仅可以释放往日情怀，找回童年的乐趣，也可锻炼人体协调性和腕部力量，培养敏锐观察力．如图，一个实木陀螺近似的看成同底的一个圆柱和一个圆锥构成．已知这个陀螺是由一个底面直径为6cm．高也为6cm的圆柱实木制成的，为了陀螺旋转的稳定性，设计圆柱部分与圆锥部分的高比为，则这个陀螺的体积最大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设圆锥部分的高为,则圆柱部分的高为,得,则这个陀螺的体积为:,进行求解即可. 【解答过程】设圆锥部分的高为,则圆柱部分的高为, 依题意得,得, 则这个陀螺的体积为:, 因为,则, 得这个陀螺的体积最大约为: . 故选:C. 模块二 球的截面与球的切、接问题 1．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 2．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 【题型5 球的截面问题】 【例5】（25-26高二上·湖南·月考）若平面截球所得截面圆的直径为2，球心到的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据球截面的性质，结合球的表面积公式进行求解即可. 【解答过程】如图所示，由题可得截面圆的半径为， 因为球心到的距离为1，所以, 球的半径， 所以球的表面积为. 故选：C. 【变式5.1】（25-26高三上·河北·月考）某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为，则该球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设截面圆的半径为，球的半径为，根据截面圆的面积求得，利用球的截面性质求，再利用球的表面积公式求结论. 【解答过程】设截面圆的半径为，球的半径为， 由题意知截面圆的面积为，所以， 因为球心到截面圆的距离为，故， 所以该球的表面积. 故选：C. 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课后作业）用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为 ． 【答案】 【解题思路】利用球的截面圆的性质计算即得. 【解答过程】用平面去截球所得截面的面积为，所以截面圆的半径为1． 已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径， 所以球的体积为． 故答案为：. 【变式5.3】（24-25高一下·广西河池·期末）正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为 . 【答案】 【解题思路】根据正四面体的特征可结合三角形的边角关系求解长度，即可根据勾股定理求解球半径，由与截面垂直时截面最小，即可根据勾股定理求解. 【解答过程】由正四面体的特征可知其外接球的球心在高所在的直线上，设球心为， 则,, , 设外接球的半径为,则, 代入的值可得, 要使过点作正四面体外接球的截面中面积最小，则到球心的距离最大，即与截面垂直时，此时截面最小， 则到球心的距离, 故截面圆的半径为, 因此截面圆的面积为， 故答案为：. 【题型6 几何体的外接球问题】 【例6】（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正四棱台的性质找到其外接球的球心，然后设球心为，点距离下底面的高度为. 根据题意列出方程，求解即可. 【解答过程】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为. 因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，. 设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得， 则，所以正四棱台的外接球表面积为. 故选：D. 【变式6.1】（24-25高一下·四川乐山·期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两两垂直，三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径，得到表面积. 【解答过程】显然，两两垂直，其中， 故三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球， 故外接球半径为， 故三棱锥外接球表面积为. 故选：B. 【变式6.2】（24-25高一下·山西太原·月考）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，设球的半径为，结合题意列方程求出外接球半径即得. 【解答过程】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为． 故选：B． 【变式6.3】（2025·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】假设圆的半径，则圆的半径可知，进而通过勾股定理可求圆台的高，分别利用圆台和球的体积计算即可. 【解答过程】过作圆台的轴截面，如图所示 为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍， 不妨设圆的半径，则圆的半径 依题意， ，， ， 故选：D. 【题型7 几何体的内切球问题】 【例7】（2025·重庆·模拟预测）已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】假设内切球的半径为，依题意可求出，进而利用球的表面积公式求解即可. 【解答过程】设内切球的半径为，依题意可知圆柱的高和底面直径均为， 圆柱的体积，解得， 故圆柱内切球的表面积为, 故选：C. 【变式7.1】（24-25高三上·江西吉安·月考）已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解法一：作出该圆台的轴截面，利用圆台的母线长为，再利用勾股定理求出，由球表面积可得答案；解法二：作出该圆台的轴截面，利用求出，即，再由球表面积可得答案. 【解答过程】解法一：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为 所以圆台的母线长为，故， 故球的表面积为. 解法二：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为， ，所以， 即，又，所以， 可得，即， 则球的半径， 故球的表面积为. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高一下·吉林延边·月考）已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为90°，若的面积为． (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥的内切球的表面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为，依题意可得，再由的面积求出，即可得到，从而求出侧面积；（2）作出轴截面，利用三角形相似求出内切球的半径，即可求出球的面积. 【解答过程】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为， 由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得， 又，所以， 又因为的面积为， ，解得（负值舍去）， 又，所以， 圆锥的侧面积． （2）作出轴截面如图所示： 根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点， 设内切球半径为，即，则， 所以， 由（1）可知，圆锥的高， 则有，解得， 所以圆锥的内切球的表面积. 【变式7.3】（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱锥的高为2，，其内部有一个球与它的四个面都相切，求： (1)正三棱锥的表面积； (2)正三棱锥内切球的表面积与体积． 【答案】(1)； (2)，． 【解题思路】（1）根据正三棱锥棱长与锥体的高关系求出锥体的表面积； （2）根据等体积法求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积和体积. 【解答过程】（1）由题意，如图所示． 底面三角形中心到AC的距离， 则正棱锥侧面的斜高为．    ． 故． （2）设正三棱锥的内切球球心为， 联结、、、， 而点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径， ． 又， ，解得． ， ． 【题型8 实际问题中表面积与体积的计算】 【例8】（24-25高二下·云南昆明·月考）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【答案】B 【解题思路】由勾股定理求得斜高，根据正四棱台的表面积计算，可得答案. 【解答过程】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图：    则，，， 易知， 根据题意可得正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的表面积为， 所以该零部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 【变式8.1】（24-25高一下·山东日照·期末）降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中把24小时内的降水量叫做日降水量.某学生用上口直径为20cm，底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶放置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，雨水的高度是桶深的，则本次降雨的日降水量是（    ） A．29.6mm B．46.3mm C．63.5mm D．82.2mm 【答案】A 【解题思路】作出辅助线，求出桶的深度，得到雨水的高度，进而求出雨水的体积，圆台型水桶的上口直径为20cm，面积为 ，从而得到本次降雨的日降水量. 【解答过程】如图所示，cm，cm，， 过点作⊥于点，则，cm， cm， 桶的深度为cm， 故雨水的高度为cm，由三角形相似知，cm， 故cm， 雨水的体积 ， 圆台型水桶的上口直径为20cm，面积为 ， 故本次降雨的日降水量是cm，故为29.6mm. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高一下·福建泉州·期末）如图，某款厨房用的香料粉收纳盘为正四棱台造型，其两底面的边长分别为6cm，2cm．若该收纳盘中香料粉的每日使用量保持不变，收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则剩余的香料粉大约还可以连续使用（   ） A．7天 B．11天 C．15天 D．19天 【答案】A 【解题思路】根据棱台的体积公式，计算求值，再计算出使用的天数. 【解答过程】由题意可知，设香料收纳盘的高为，则收纳盘的容积为． 收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则所用的容积为， 所以剩余的香料粉的容积为， 因此根据比例关系可得剩余的香料粉还可以连续使用7天. 故选：A． 【变式8.3】（24-25高一下·湖北十堰·期末）某甜品店推出一款球形创意冰激凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容器中.已知巧克力圆台容器的上底面圆的半径为8厘米，下底面圆的半径为2厘米，若该球形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及上、下底面均相切（不考虑巧克力圆台容器的厚度），则该球形创意冰激凌的体积是（   ） A．立方厘米 B．16π立方厘米 C．立方厘米 D．立方厘米 【答案】C 【解题思路】作出示意图，四边形是该圆台容器的轴截面，圆是球形创意冰激凌的截面，E，F分别为圆O切，的切点，进而利用平面几何知识求得球的半径，进而可求体积. 【解答过程】如图，设，分别是该圆台容器上、下底面圆的圆心， 四边形是该圆台容器的轴截面， 圆是球形创意冰激凌的截面，E，F分别为圆O切，的切点， 则，. 作，垂足为H， 则，，. 因为，所以，则， 即该球形创意冰激凌的半径为4， 故该球形创意冰激凌的体积为立方厘米. 故选：C. 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接由圆锥的侧面积公式得到. 【解答过程】因为，所以圆锥的侧面积. 故选：C. 2．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据棱锥及棱柱的体积公式计算求解. 【解答过程】如图所示，几何体为正三棱柱，且所有棱长均为， 底面ABC为正三角形，侧面为正方形， 则 ． 故选:A． 3．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆柱内切球的特性可知，然后求体积计算比值即可. 【解答过程】根据题意，设圆柱内切球半径为，底面半径为，高为， 又圆柱存在内切球，所以， ， 所以. 故选：C. 4．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【解答过程】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 5．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知平面截球的截面面积为，点到平面的距离为3，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出截面圆的半径，进而得到球的半径，得到球的体积. 【解答过程】平面截球的截面为圆，设圆的半径为，则，解得， 又点到平面的距离为3，则球的半径为， 所以球的体积为 故选：D. 6．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1且侧棱长为，则棱锥侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【解答过程】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故选：A. 7．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积公式可得结果. 【解答过程】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. 8．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据棱锥与棱柱的体积公式，结合图形，可得答案. 【解答过程】取的中点为，连接，如下图： 易知三棱柱的体积是三棱柱的一半， 由图可知三棱锥与三棱柱同底等高， 则三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一， 即四棱锥的体积是三棱柱体积的三分之二， 综上可得四棱锥的体积是是三棱柱的三分之一， 即. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 【答案】AC 【解题思路】根据正三棱台的结构特征和表面积公式进行计算求解即可. 【解答过程】对于选项A： 因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2， 所以上底面面积为，所以A正确； 对于选项B： 正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为： ，所以B错误； 对于选项C： 该正三棱台的下底面面积为. 所以该三四棱台的表面积为，所以C正确； 对于选项D： 设为正三棱台的高，根据勾股定理可得， 解得，所以D错误. 故选：AC. 10．（24-25高一下·四川成都·期末）如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 【答案】ACD 【解题思路】利用圆台的表面积公式和体积公式，梯形的面积公式计算即可判断A，B，C项；将圆台侧面展开，利用弧长公式和勾股定理即可求解. 【解答过程】对于A，圆台轴截面为等腰梯形，其中， 则其面积为：，故A正确； 对于B，由图知，圆台的母线长， 则圆台的表面积为：，故B错误； 对于C，该圆台的体积为，故C正确； 对于D，将圆台沿着母线展开，得到如图的扇环形，由题意，蚂蚁爬行的最短路程为的长. 因劣弧的长为，故的弧度数为， 又点是的中点，故，由勾股定理，，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·四川成都·期末）陶艺是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心圆锥，若该圆锥底面直径和高均为2，现过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱，得到工艺品如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．剩下几何体的表面积为 B．剩下几何体的体积为 C．挖去圆柱体的外接球表面积为 D．若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，则该球体的半径为 【答案】BCD 【解题思路】结合图形，利用圆锥、圆柱的表面积和体积公式计算即可判断A，B；对于C，根据圆柱的对称性判断外接球的球心，易得其半径，即得其表面积；对于D，利用等体积列方程求解即得. 【解答过程】对于A，设圆柱体的底面半径为，高为，则，， 圆锥的母线长为，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱得到的几何体的表面积为： ，故A错误； 对于B，由题意，剩下几何体的体积为： ，故B正确； 对于C，如图，设的中点为，由圆柱的对称性可知，圆柱的外接球的球心即点， 设外接球的半径为，由图知，， 则圆柱的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，设该实心球的半径为，依题意，， 即得，则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高一下·四川雅安·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长是，则它的体积是 . 【答案】 【解题思路】取正棱台的轴截面，利用勾股定理得到高，然后求体积即可. 【解答过程】 如图，截取棱台过侧棱的轴截面，为侧棱，， 则，，， 所以，即棱台的高为2， 所以棱台的体积. 故答案为：. 13．（24-25高一下·广东江门·期末）若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为 ． 【答案】 【解题思路】根据几何体的体积公式，求出各几何体体积，求出结果. 【解答过程】设球的半径为， 则圆锥的体积为， 圆柱的体积为， 球的体积为， 圆锥、圆柱、球的体积比为， 故答案为：. 14．（24-25高一下·福建福州·期末）用透明塑料制作一个由圆柱和圆台组合而成的封闭容器，并往容器内部灌入一些水．图1和图2为该容器在不同放置方式下的轴截面，其尺寸（单位：cm）如图所示．若如图1放置该容器时，其圆台部分恰好充满水，则如图2倒立放置该容器时，圆柱部分水面高度h为 cm． 【答案】 【解题思路】根据水的体积恒定，应用圆台、圆柱的体积公式列方程求圆柱部分水面高度h. 【解答过程】由题设，水的体积为， 所以，可得. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·江西赣州·期末）（1）已知圆锥的母线长是，侧面积是，求该圆锥的高？ （2）已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，求它的体积？ 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）利用圆锥的侧面积求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理可求得该圆锥的高； （2）求出圆台的高，利用圆台的体积公式可求得该圆台的体积. 【解答过程】（1）设圆锥的母线长为，高为，底面半径为， 则该圆锥的侧面积为，解得， 故该圆锥的高为； （2）如图是圆台的轴截面，圆台上、下底面半径分别为、，母线长为，设圆台的高为， 则，解得， 故该圆台的体积为. 16．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图所示，球的一个截面圆的面积是，球心到该截面圆圆心的距离是，求该球的表面积及体积． 【答案】，． 【解题思路】由题意求出球的半径，再求其表面积与体积即可． 【解答过程】由题意，球的一个截面圆的面积是． 则， 则， 在中，， 则， 解得， 所以球的表面积为， ． 17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 【答案】(1) (2)侧面积；表面积. 【解题思路】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，从而可得出大棱锥的底面边长和斜高，然后可分别求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积，从而可求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比； （2）根据条件可求出大棱锥的底面边长和斜高，从而可求出大棱锥的侧面积；根据（1）的结论可求出棱台的侧面积；再求出棱台的上下底面的面积，从而可求出棱台的表面积. 【解答过程】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为， 所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为， 棱台的侧面积为， 所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比. （2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm， 因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm， 所以大棱锥的侧面积为， 所以棱台的侧面积为， 棱台的上，下底面的面积和为， 所以棱台的表面积为. 18．（24-25高一下·辽宁·月考）如图所示，某模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面直径为，高为，圆锥母线长为. (1)求该模型的体积； (2)现要用油漆对500个这种模型进行粉刷，油漆费用为每平方米30元，求总费用. 【答案】(1) (2)元 【解题思路】（1）先求出圆锥的高，再根据圆柱与圆锥的体积公式，即可求解； （2）先求出组合体的表面积，再求总费用. 【解答过程】（1） 如图所示，由题可知，，. 所以在中，， 所有该圆柱的体积为， 截去的圆锥的体积为， 故该模型的体积为. （2）由题可知该圆柱的侧面积为， 圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为， 故该模型的表面积为， 所以油漆的总费用为元. 19．（24-25高一下·海南海口·月考）如图，三棱锥的各顶点都在球的表面上，底面中，，，侧棱底面ABC. (1)求三棱锥的表面积； (2)求球的体积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先根据余弦定理求出，然后求出底面三角形的面积，然后根据垂直关系求出其它三角形的面积，进而得到三棱锥的表面积. （2）首先求出球的半径，然后根据球的体积公式进而可求出球的体积. 【解答过程】（1）在底面中，由，可得， 又，由余弦定理可得，， 所以，即， 故. 又，侧棱底面， 所以， . 又，且， 则为等腰三角形，设边上的高为， 则， 所以三棱锥的表面积为. （2）设球的半径为.因为，，， 所以三棱锥外接球与以为棱的长方体的外接球是同一个球， 即球O的直径恰好是以为棱的长方体的体对角线， 故，故球的半径， 所以球的体积为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 简单几何体的表面积与体积 【人教A版】 模块一 简单几何体的表面积与体积 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 3．空间几何体表面积与体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的表面积与体积的方法 ①求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减. ②求组合体的体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 【题型1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积】 【例1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·安徽合肥·期末）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（   ） A．12 B．24 C．32 D．48 【变式1.3】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为6m，下底面边长为8m，侧面积为，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【题型2 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】 【例2】（24-25高一下·江苏南通·月考）若用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一下·云南玉溪·期末）圆锥的底面半径为，圆锥的高是1，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一下·山西·期中）若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一下·安徽宣城·期末）一圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，下列说法不正确的是（    ） A．圆台的母线长是20cm B．圆台的高是cm C．圆台的表面积是 D．圆台的体积是 【题型3 球的表面积与体积】 【例3】（24-25高一下·广西百色·期末）已知球的体积是，则该球的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一下·河北衡水·月考）一球体的表面积为，该球体的体积为（  ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知圆柱的底面半径和高相等，若该圆柱的表面积与某球的表面积相等，则圆柱与球的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知过球面上三点A， B， C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积（    ） A． B． C． D． 【题型4 组合体的表面积与体积】 【例4】（24-25高一下·北京丰台·期末）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱构成的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，已知半球的半径为R，圆柱的高也为R，则银杯盛酒部分的容积为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一下·山东临沂·期末）如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的底面半径为3，圆锥的高为4，若该几何模型的体积为60π，则其表面积为（    ） A．48π B．60π C．72π D．144π 【变式4.2】（24-25高一下·云南昆明·月考）锤是中国古代的十八般兵器之一，《说唐演义全传》中天下第一好汉李元霸，宋代名将岳飞的儿子岳云手中的武器都是大锤，还有著名的故事“八大锤大闹朱仙镇”等.大锤有各种形状，其中就有半正多面体形状的.图（1）是著名京剧《八大锤》中的一个场景，图中的大锤共有14个面，其中6个面为正方形，8个面为等边三角形，因此有时也叫做十四面体.图（2）是一个棱数为24的十四面体，它的棱长为1，则该多面体的体积是（   ）                    A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一下·北京平谷·期末）玩陀螺不仅可以释放往日情怀，找回童年的乐趣，也可锻炼人体协调性和腕部力量，培养敏锐观察力．如图，一个实木陀螺近似的看成同底的一个圆柱和一个圆锥构成．已知这个陀螺是由一个底面直径为6cm．高也为6cm的圆柱实木制成的，为了陀螺旋转的稳定性，设计圆柱部分与圆锥部分的高比为，则这个陀螺的体积最大约为（   ） A． B． C． D． 模块二 球的截面与球的切、接问题 1．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 2．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 【题型5 球的截面问题】 【例5】（25-26高二上·湖南·月考）若平面截球所得截面圆的直径为2，球心到的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（25-26高三上·河北·月考）某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为，则该球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课后作业）用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为 ． 【变式5.3】（24-25高一下·广西河池·期末）正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为 . 【题型6 几何体的外接球问题】 【例6】（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一下·四川乐山·期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一下·山西太原·月考）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（2025·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A． B． C． D． 【题型7 几何体的内切球问题】 【例7】（2025·重庆·模拟预测）已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高三上·江西吉安·月考）已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一下·吉林延边·月考）已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为90°，若的面积为． (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥的内切球的表面积． 【变式7.3】（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱锥的高为2，，其内部有一个球与它的四个面都相切，求： (1)正三棱锥的表面积； (2)正三棱锥内切球的表面积与体积． 【题型8 实际问题中表面积与体积的计算】 【例8】（24-25高二下·云南昆明·月考）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【变式8.1】（24-25高一下·山东日照·期末）降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中把24小时内的降水量叫做日降水量.某学生用上口直径为20cm，底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶放置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，雨水的高度是桶深的，则本次降雨的日降水量是（    ） A．29.6mm B．46.3mm C．63.5mm D．82.2mm 【变式8.2】（24-25高一下·福建泉州·期末）如图，某款厨房用的香料粉收纳盘为正四棱台造型，其两底面的边长分别为6cm，2cm．若该收纳盘中香料粉的每日使用量保持不变，收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则剩余的香料粉大约还可以连续使用（   ） A．7天 B．11天 C．15天 D．19天 【变式8.3】（24-25高一下·湖北十堰·期末）某甜品店推出一款球形创意冰激凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容器中.已知巧克力圆台容器的上底面圆的半径为8厘米，下底面圆的半径为2厘米，若该球形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及上、下底面均相切（不考虑巧克力圆台容器的厚度），则该球形创意冰激凌的体积是（   ） A．立方厘米 B．16π立方厘米 C．立方厘米 D．立方厘米 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知平面截球的截面面积为，点到平面的距离为3，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1且侧棱长为，则棱锥侧面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 10．（24-25高一下·四川成都·期末）如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 11．（24-25高一下·四川成都·期末）陶艺是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心圆锥，若该圆锥底面直径和高均为2，现过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱，得到工艺品如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．剩下几何体的表面积为 B．剩下几何体的体积为 C．挖去圆柱体的外接球表面积为 D．若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，则该球体的半径为 三、填空题 12．（24-25高一下·四川雅安·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长是，则它的体积是 . 13．（24-25高一下·广东江门·期末）若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为 ． 14．（24-25高一下·福建福州·期末）用透明塑料制作一个由圆柱和圆台组合而成的封闭容器，并往容器内部灌入一些水．图1和图2为该容器在不同放置方式下的轴截面，其尺寸（单位：cm）如图所示．若如图1放置该容器时，其圆台部分恰好充满水，则如图2倒立放置该容器时，圆柱部分水面高度h为 cm． 四、解答题 15．（24-25高一下·江西赣州·期末）（1）已知圆锥的母线长是，侧面积是，求该圆锥的高？ （2）已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，求它的体积？ 16．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图所示，球的一个截面圆的面积是，球心到该截面圆圆心的距离是，求该球的表面积及体积． 17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 18．（24-25高一下·辽宁·月考）如图所示，某模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面直径为，高为，圆锥母线长为. (1)求该模型的体积； (2)现要用油漆对500个这种模型进行粉刷，油漆费用为每平方米30元，求总费用. 19．（24-25高一下·海南海口·月考）如图，三棱锥的各顶点都在球的表面上，底面中，，，侧棱底面ABC. (1)求三棱锥的表面积； (2)求球的体积. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $