第15讲 空间直线、平面的垂直（十大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

第15讲 空间直线、平面的垂直 【人教A版】 模块一 空间直线、平面的垂直（一） 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角θ必须是锐角或直角，即θ的范围是. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 2．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫 做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 3．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 4．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是. ④直线与平面所成的角θ的取值范围是. 5．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 【题型1 异面直线所成的角】 【例1】（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用几何法确定异面直线夹角. 【解答过程】由正方体可知，且四边形为正方形， 所以异面直线与所成的角的平面角为， 故选：B. 【变式1.1】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】连接，根据可知或其补角即为所求，然后利用余弦定理求解即可. 【解答过程】如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】连接，取的中点为，连接，则得，即异面直线AM和CN 所成角或其补角，求出相关边长，借助于，利用余弦定理即可求得. 【解答过程】 如图，连接，取的中点为，连接，因M、N分别是BC与AD的中点，故， 则即异面直线AM和CN 所成角或其补角，又因正四面体，则， 则，易知，则， 在中，由余弦定理，. 故选：A. 【变式1.3】（24-25高一下·云南昭通·期末）如图，三棱锥中，为等腰直角三角形，斜边为的中点，则直线所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据线线平行可得或其补角为所求角，即可利用三角形的边角关系，结合余弦定理求解即可. 【解答过程】如图，取的中点N，连接，易得，则所成的角即为直线所成的角． 由为等腰直角三角形，斜边，得， 所以均为正三角形， 则， 在中，由余弦定理，得， 所以直线所成角的余弦值为， 故选:A．    【题型2 线线垂直的判定】 【例2】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 【答案】A 【解题思路】易知与互为异面直线，根据线面垂直的判定定理与性质即可证明. 【解答过程】如图，易知与互为异面直线. 连接，则， 又面，面， 所以，又面， 所以面，又面， 所以. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，如果菱形所在的平面，那么与的位置关系是（    ） A．平行 B．不垂直 C．垂直 D．相交 【答案】C 【解题思路】连接，易知，由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定证面，最后由线面垂直的性质确定与的位置关系. 【解答过程】 连接，因为是菱形，所以， 又菱形所在的平面，面，所以， 又，面，所以面，面， 所以 . 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】找到异面直线的夹角，利用直三棱柱的性质求出夹角度数，再证明线线垂直即可. 【解答过程】如图，连接，设，，， 由直三棱柱性质得，， 因为，所以由勾股定理得， 因为三棱柱是直三棱柱，所以， 由勾股定理得，， 故，则，即． 由直三棱柱性质得，故就是直线与所成的角， 所以得证． 【变式2.3】（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明 （2）根据异面直线的定义可得 【解答过程】（1）如图所示，连接，    为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 【题型3 直线与平面垂直的判定】 【例3】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】连接，，即可证明平面，从而得到，同理可证，即可得到平面. 【解答过程】连接，，由正方体的性质可知，平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，故D正确； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故A错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故B错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故C错误； 故选：D. 【变式3.1】（2025·湖北·一模）如图，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出与平面平行的平面，证明面即可. 【解答过程】连接，如下图所示： 因为分别为的中点，故//，//， 又面面，故//面； 又面面，故//面； 又面，故面//面； 则垂直于平面的直线一定垂直于面； 显然面面，故， 又，面， 故面，又面，故； 同理可得，又面， 故面，也即面； 若其它选项的直线垂直于平面，则要与平行，显然都不平行. 故选：D. 【变式3.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．    【答案】证明见解析 【解题思路】利用面面垂直的性质证明线面垂直，然后根据线面垂直的判定定理可得平面CDP． 【解答过程】因为侧面ADP为正三角形，且M是DP的中点，所以， 又底面ABCD为正方形，所以． 因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 所以平面ADP， 又平面ADP，所以， 因为，且CD，平面CDP， 所以平面CDP． 【变式3.3】（24-25高二下·甘肃定西·期末）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，为的中点． (1)求证：平面； (2)过点的平面分别与交于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）要证线面垂直，先要证线线垂直，因此需要证； （2）要证线线平行，先要证线面平行，再通过线面平行的性质定理证明线线平行． 【解答过程】（1）平面平面， 又四边形为矩形， ， 又，平面， 平面， 又平面． ，为的中点， ， 又，平面， 平面． （2），平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， ． 【题型4 直线与平面所成的角】 【例4】（2025高一·全国·专题练习）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用正三棱锥的结构特征及线面角的定义求解. 【解答过程】如图，在正三棱锥中，设，则，    顶点在底面上的射影为正的中心，即为侧棱与底面所成的角， 因此，，所以侧棱与底面所成角的余弦值为. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高二上·北京·期中）我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据线面角定义找到直线与平面所成角的平面角，结合已知求其大小. 【解答过程】由题设知，直三棱柱底面为等腰直角三角形，且，， 若是中点，连接，则，且， 由面面，面，面面， 所以面，则直线与平面所成角为锐角， 且面，则 ， 由题意，在中，则，故. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【解题思路】（1）连接，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证线面平行即可. （2）先证明平面，即得为直线与平面所成角，借助于，即可求得答案. 【解答过程】（1）如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因是的中点，故得， 又因平面，平面，所以平面． （2）如图，连接，由（1）得是中点， 因为，所以， 又因为底面是正方形，且为对角线，所以， 又因为平面，所以平面 所以直线与平面所成角为， 因为在中， ，则， 故，即直线与平面所成角的大小为． 【变式4.3】（24-25高一下·内蒙古包头·期末）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2.     (1)求证：平面⊥平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用线线垂直证明平面，进而得到平面⊥平面； （2）利用线线垂直证明平面，得到即为与平面所成的角，即可求解. 【解答过程】（1）因为为正方形，所以， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 即平面⊥平面； （2）连接，由（1）知，平面，平面， 所以，因为，，平面， 所以平面，所以即为与平面所成的角， 因为，所以，所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 【题型5 线面垂直性质定理的应用】 【例5】（2025·重庆·三模）已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由线面垂直判定定理及线面垂直的性质即可判断得出结论. 【解答过程】由，，则可能有，或者与相交，不能推出， 若，，则有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一下·云南红河·期中）若直线平面，直线平面，则与（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用线面垂直的性质推理即得. 【解答过程】由直线平面，直线平面，得直线直线. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据线面垂直的判定定理可证平面，平面，则可得． 【解答过程】∵平面，平面，∴， 又，∴， ∵，是的中点，∴， 又，，平面，∴平面， ∵，，∴， 又，，，平面， ∴平面，∴． 【变式5.3】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）连接，利用中位线性质得，进而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用等腰三角形的中线即高线得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质证明即可. 【解答过程】（1）连接，因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，且是的中点，所以，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 模块二 空间直线、平面的垂直（二） 1．二面角 (1)二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α -l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是. 2．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂 直，记作α⊥β. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 3．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 4．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α⇒b⊥α. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α ⇒a⊥β. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【题型6 面面垂直的判定】 【例6】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线与平面，则能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用线面垂直的性质、面面垂直的判定及充分条件的定义逐项判断. 【解答过程】对于A，由，得，而，则，A不是； 对于B，，分别是平面内互相垂直的异面直线，满足，B不是； 对于C，由，得，又，则，C是； 对于D，由，得二面角的平面角可以是锐角、直角，也可以是钝角，D不是. 故选：C. 【变式6.1】（2025高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 【答案】C 【解题思路】由面面垂直的判定定理判断． 【解答过程】在空间四边形中，, 又由,且面，平面，平面， 所以平面， 又因为平面, 所以平面⊥平面， 故选：C. 【变式6.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【解题思路】由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面. 【解答过程】因为底面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 而平面，所以平面平面． 【变式6.3】（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解题思路】证明和，根据面面垂直的判定定理即可证明结论. 【解答过程】连接交于点，连接．因为四边形是菱形， 所以，且为的中点． 因为，所以． 又因为，平面，且，所以平面． 而平面，所以平面平面． 【题型7 面面垂直性质定理的应用】 【例7】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，，是直线，，是平面，， ，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直 【答案】C 【解题思路】利用面面垂直与线面垂直的性质定理即可求解. 【解答过程】因为，，，，所以， 又，所以． 故选：C. 【变式7.1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知平面平面，点，则过点且垂直于平面的直线（    ） A．只有一条，不一定在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，一定在平面内 D．有无数条，一定在平面内 【答案】C 【解题思路】利用面面垂直的性质可得对应的结论. 【解答过程】根据面面垂线的性质定理可知，当平面垂直平面时， 过平面上一点且垂直于平面的直线，在平面内只有一条. 故选：C. 【变式7.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案． 【解答过程】因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面． 【变式7.3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由面面垂直的性质定理证明即可； （2）由线面垂直判定定理和性质定理证明即可. 【解答过程】（1）因为四边形是菱形且， 所以是正三角形，因为G为的中点，所以， 又平面⊥平面，且平面∩平面，平面， 所以平面， （2）因为侧面为正三角形，为边的中点， 所以，又由（1）可知， 又，BG，平面， 所以平面，又平面， 所以. 【题型8 二面角】 【例8】（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【解题思路】作出二面角的平面角，再利用平面几何知识计算即可. 【解答过程】如图，设正方体的棱长为，取中点，连结，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 故为所求二面角的平面角， 因为，所以. 故选：B.    【变式8.1】（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】设，若分别为的中点，连接，根据已知及线面垂直的判定、性质定理证明、，结合二面角的定义找到其平面角，进而求其正切值. 【解答过程】设，易知为等腰梯形，故， 所以，故， 若分别为的中点，连接，则，即， 由是以为直角顶点的等腰直角三角形，则， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，故， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则， 综上，二面角的平面角为，且为直角三角形， 由，，所以. 故选：D. 【变式8.2】（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知正方体图， (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. （2）将问题转化为平面与平面所成锐二面角的余弦求解. 【解答过程】（1）在正方体中，,， 则四边形是平行四边形，于是，又平面，平面 因此平面，同理平面，而平面， 所以平面平面. （2）取中点，连接，则， 于是是二面角的平面角，令正方体的棱长为， 则，， 由平面平面，得二面角的大小等于， 所以二面角的大小的余弦值为. 【变式8.3】（24-25高一下·吉林长春·期末）如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由已知先证明平面，然后由面面垂直的判定定理即可证明； （2）连接，过点作，垂足为，连接，得出二面角的平面角为，即可求解. 【解答过程】（1）因为分别是的中点，所以， 因为，所以，则，，即， 又因为，平面，所以平面， 故平面，又平面， 所以平面平面. （2）连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 因为平面，直线与平面所成的角为 所以，即， 因为，，所以，是等腰直角三角形， 可得，所以，即为等边三角形， 则点为中点，， 在中，，在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 【题型9 点、线、面的距离问题】 【例9】（24-25高一下·重庆·期末）长方体中，，则点到平面的距离为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等体积法，求点到面的距离即可. 【解答过程】 如图所示，由，得， ∵长方体中，，∴， ∴，， 所以. 故选：B. 【变式9.1】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【解答过程】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 【变式9.2】（24-25高一下·吉林·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【解答过程】（1）底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 【变式9.3】（24-25高一下·河北承德·期末）如图，在正四棱台中，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）连接交于点，连接，证明，然后得证线面平行； （2）由等体积法计算：. 【解答过程】（1）连接交于点，连接， 是正四棱台的对角面与下底面和上底面的交线，则， 又，所以，即， 所以是平行四边形，所以，， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）平面，所以， 正四棱台中，， 作于，则是正四棱台的高，正四棱台中，，，则， ， 所以， 又，是中点，所以， 由（1）知，而， 所以， 设点到平面的距离为，则，， 所以点到平面的距离为. 【题型10 平行关系与垂直关系的综合应用】 【例10】（24-25高一下·天津·月考）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）连接交于，连接，利用中位线定理可得，进而可证结论； （2）由面面垂直的判定定理可得平面底面，进而利用面面垂直的性质可得平面，进而可证结论. 【解答过程】（1）连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又E是侧棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为侧棱底面，平面，所以平面底面， 又因为底面，，平面底面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 【变式10.1】（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）取中点，连接，，利用中位线的性质，结合平行四边形的判定与性质，得出一组线线平行，最后根据线面平行的判定定理即可得证. （2）利用线面平行的性质和正方形的性质，得出另一组线面平行，根据面面平行的判定定理即可得证. 【解答过程】（1）取中点，连接，， 因为为中点，所以是中位线， 所以，， 因为是中点，在正方形中，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，， 因为平面，平面， 所以平面.    （2）因为平面，平面， 所以， 因为正方形，所以， 因为，平面 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【变式10.2】（24-25高一下·北京房山·期末）如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面BCE； (3)求点B到平面ACE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由平面得，结合利用线面垂直的判定定理可证； （2）取为的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理可证； （3）利用等体积法计算出三棱锥的体积，再求出的面积，即可求得点B到平面ACE的距离. 【解答过程】（1）在直三棱柱中，平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面； （2）取为的中点，连接，因为F是的中点，故，且， 又，且，所以，且， 又，所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，而平面，平面，平面BCE；    （3）由题意，，，所以， 因为E是的中点，平面， 所以，所以， 又， 设点B到平面ACE的距离为，则，解得， 所以点B到平面ACE的距离为. 【变式10.3】（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面平面，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用中位线性质可得，再由线面平行判定定理可证明所以平面； （2）根据线面垂直性质由平面可得，结合正方形中可证明平面，再由线面垂直判定定理证明平面； （3）易证平面，由平面平面，根据线面平行性质定理证明，即可得平面． 【解答过程】（1）连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）∵平面，平面∴， 又∵在正方形中，， ，，平面， ∴平面， 又∵平面，∴， ∵，为中点，故， 又，且平面PCB，平面， ∴平面 （3）在正方形中，有， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为面，平面平面，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 一、单选题 1．（24-25高一下·福建南平·期末）设，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【解题思路】利用线面垂直的性质判断A，举反例判断B，C，D即可. 【解答过程】对于A，由线面垂直的性质得若，，则，故A正确， 对于B，若，，则或相交，故B错误， 对于C，若，，则或，故C错误， 对于D，若，，则或异面，故D错误. 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）设α是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解题思路】选项A和D，通过举出例子判断正误；选项B，由线面垂直的判定定理得结果正确；选项C，利用线面垂直的性质，可得，从而判断出结果的正误. 【解答过程】对于选项A，如图1，当，满足时， 与可以斜交，故选项A错误， 对于选项B，因为，所以， 因为，则，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，因为，所以，故选项C错误， 对于选项D，若，则与可以相交、平行或异面，如图2， 满足，而与异面，故选项D错误，    故选：B. 3．（24-25高一下·山西吕梁·期末）如图，在正三棱柱中，，则异面直线BC与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】连接，利用异面直线的定义确定夹角，进而求出其余弦值. 【解答过程】在正三棱柱中，连接， 由，得为异面直线BC与所成角或其补角， 中，，同理， 在等腰中，， 所以异面直线BC与所成角的余弦值为. 故选：A. 4．（24-25高一下·安徽宣城·期末）若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】根据空间中点线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判断各选项正误，得出结果. 【解答过程】根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两直线相互平行，所以A正确； 若，则存在一条直线，且，由，所以， 因为，，，所以，B选项正确； 根据面面垂直的判定定理，若，则，所以C正确； 根据面面平行的判断定理，两条相交直线平行于一个面，则经过这两条相交直线的面与这个面平行，所以D错误； 故选：D. 5．（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据定义找出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中计算. 【解答过程】由已知，，又平面， 所以平面，所以是PB与平面ABCD所成角， 平面ABCD，则， 由题意，，所以， 所以， 故选：D. 6．（24-25高一下·河北邯郸·月考）如图，在三棱锥中，平面平面，平面平面，则点A到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据面面垂直性质可得平面，再利用线面垂直判定定理可得平面，即，根据等体积法计算可求得结果. 【解答过程】由平面平面，平面平面，且平面平面， 所以可得平面； 又平面，所以， 又，所以， 因为，平面，所以平面； 又平面，可得； 又因为，因此； 设点A到平面的距离为， 所以三棱锥的体积， 即，解得. 故选：D. 7．（24-25高一下·天津西青·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，面，，则异面直线与所成角的大小及平面与平面所成的二面角的大小分别为（    ）. A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【解题思路】通过证明平面，得证，即可确定异面直线所成角大小，再证明是平面与平面所成的二面角的平面角，求出其大小后可得结论． 【解答过程】面，面，则，同理，， 是正方形，则， 平面，所以平面， 又平面，所以，即异面直线与所成角的大小为，这时可确定只有选项A正确； 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是平面与平面所成的二面角的平面角， 而，所以，即平面与平面所成的二面角大小为， 故选：A． 8．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A． 平面 B．平面 C． D．平面平面 【答案】D 【解题思路】连接，，根据线面平行的判定定理判断A，利用三角形的中位线和平行关系判断B，根据线面垂直的判断定理和性质定理判断C，根据面面垂直的性质定理判断D. 【解答过程】连接，， 因为分别是和的中点，所以且， 又因为垂直于平面，所以平面，B正确； 因为平面，所以， 又因为是正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，C正确； 因为，垂直于平面，所以且， 所以四边形是平行四边形，， 又因为平面，平面，所以 平面，A正确； 由和为中点可知， 假设平面平面， 又平面，平面平面，则平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，与是正三角形矛盾， 所以平面与平面不垂直，D错误； 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）若直线与平面垂直，则下列说法正确的是（   ） A．直线与平面的所有直线都垂直 B．在平面内存在与直线异面的直线 C．在平面内存在无数条直线与直线相交 D．在平面内存在与直线平行的直线 【答案】ABC 【解题思路】根据线面垂直的定义与性质，逐一分析各选项. 【解答过程】A选项：根据线面垂直的定义，若，则面内的所有直线，A正确； B选项：已知，设，平面内所有不过点的直线均与异面，因此存在无数条这样的直线，B正确； C选项：平面内所有过垂足的直线均与相交于，这样的直线有无数条，C正确； D选项：若，则平面内所有直线均与垂直，不可能存在与平行的直线，D错误. 故选：ABC. 10．（24-25高一下·云南玉溪·期末）如图，三棱台中，平面平面，，，则（    ） A．平面 B． C． D．与平面所成角的正弦值为 【答案】AC 【解题思路】对于A，由线面平行的判定定理即可得证；对于BC，说明，结合即可判断；对于D，由线面角的定义验算即可判断. 【解答过程】对于A，，平面，平面，平面，故A正确； 对于BC，如图，作，交于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面，在中，， ，，， 又，是直角三角形，且， ，而平面，， 又平面，平面，， 平面， 平面，， 在三棱台中，，，不垂直于，故B错误，C正确； 对于D，设，则，，在中，，， 在中，，作于， 平面，平面， ，而平面，平面，， 平面， 平面，，是直角三角形，且， 设与平面所成角为，则即为与平面所成角， 且， 在中，， ，，故D错误. 故选：AC． 11．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角为 D．平面和平面夹角为 【答案】ABC 【解题思路】利用正方体的结构特征，结合平面基本事实、线面垂直的判定推理判断AB；利用线面角及面面角的几何法求解判断CD. 【解答过程】在正方体中，连接，由为的中点，得是的中点， 对于A，，平面，而，则平面， 而平面，平面，且平面平面， 所以 ，即，，三点共线，A正确； 对于B，由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，所以，同理， 而平面，因此平面，B正确； 对于C，连接，令交点为，连接，由选项B，同理平面， 则是直线与平面所成的角， 所以，所以， 因此直线与平面所成角为，C正确； 对于D，由选项B得，则是平面和平面夹角， 而平面，则，，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高一下·山东淄博·月考）如图，点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 【答案】 【解题思路】连接、，不妨设，分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，结合余弦定理求解即可. 【解答过程】连接、，不妨设，如下图所示： 在正方体中，，， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 所以异面直线与所成角为或其补角， 在中，由勾股定理可得，同理可得， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·上海·月考）如图，设为正方形所在平面外一点，平面 则点到直线的距离为 . 【答案】 【解题思路】要求点到直线的距离，需要作出，然后计算即可. 【解答过程】 作于， 因为平面 平面 所以， 因为 所以， 因为正方形边长为，所以， 因为，，所以， 所以， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【解题思路】由二面角的平面角的定义，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可得. 【解答过程】如图，    设，取的中点为，连接， 由，可得， 所以为二面角的平面角， 由， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为1.若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【解题思路】作出两异面直线所成的角为，再由正方体性质计算即可. 【解答过程】因为分别是的中点， 所以，又因为， 所以异面直线与所成角为（或其补角）. 由于，于是， 所以异面直线与所成角的大小为. 16．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点. (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）通过构造平行四边形找到与平面内直线平行的线，从而证明线面平行； （2）根据线面垂直的性质和矩形的性质证明线面垂直. 【解答过程】（1）如图取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点， 根据三角形中位线定理，在中，，且， 又因为底面为矩形，是的中点， 所以，且， 由此可得，且， 所以四边形是平行四边形， 那么， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又因为底面是矩形，所以， 而，、平面， 又平面， 所以平面. 17．（24-25高二下·安徽安庆·月考）如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点. (1)证明：； (2)当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由勾股定理逆定理证明即可； （2）由线面角的定义说明为与平面所成角，结合解三角形知识求解即可. 【解答过程】（1）设等边三角形的边长，连接、， 因为点为的中点. 则， 因为，所以，又， 所以，所以； （2）因为，所以，又，平面， 所以平面，连接，则为与平面所成角， 又平面，所以， 又，，所以为等腰直角三角形，所以， 所以，即与平面所成角的余弦值为. 18．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧棱底面，且． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由四边形为菱形得到对角线垂直，由线面垂直得到，从而证明线面垂直； （2）设到平面的距离为h，利用等体积法列出方程，求解即可. 【解答过程】（1）因为底面是菱形，所以， 因为底面，底面，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）设点到平面的距离为h， 由题可知PA为三棱锥的高，， 所以三棱锥的体积为， 又因为，且， 所以，解得， 所以点到平面的距离为． 19．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）连接，连接交于点，连接，先得到四边形为矩形，可得为的中点，结合为的中点，可得，进而求证即可； （2）由，为的中点，可得，再根据平面平面可得平面， 进而得到，进而求证即可； （3）取为的中点，作，垂足为，连接，分析得到是二面角的平面角，解三角形即得. 【解答过程】（1）如图，连接，连接交于点，连接，    因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形， 所以四边形为矩形， 故为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，   又因为，平面， 所以平面． （3）如图，取为的中点， 由，得， 又因平面平面，平面平面，平面， 平面， 作，垂足为，连接，    由，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，则， 所以就是二面角的平面角， 在中，，，得， 所以， 故所求二面角的余弦值为． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 空间直线、平面的垂直 【人教A版】 模块一 空间直线、平面的垂直（一） 1．异面直线所成的角 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角θ必须是锐角或直角，即θ的范围是. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 2．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫 做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 3．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 4．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是. ④直线与平面所成的角θ的取值范围是. 5．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 【题型1 异面直线所成的角】 【例1】（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一下·云南昭通·期末）如图，三棱锥中，为等腰直角三角形，斜边为的中点，则直线所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【题型2 线线垂直的判定】 【例2】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 【变式2.1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，如果菱形所在的平面，那么与的位置关系是（    ） A．平行 B．不垂直 C．垂直 D．相交 【变式2.2】（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，求证：． 【变式2.3】（24-25高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【题型3 直线与平面垂直的判定】 【例3】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2025·湖北·一模）如图，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：平面CDP．    【变式3.3】（24-25高二下·甘肃定西·期末）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，为的中点． (1)求证：平面； (2)过点的平面分别与交于点，若，求证：． 【题型4 直线与平面所成的角】 【例4】（2025高一·全国·专题练习）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·北京·期中）我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【变式4.3】（24-25高一下·内蒙古包头·期末）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2.     (1)求证：平面⊥平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【题型5 线面垂直性质定理的应用】 【例5】（2025·重庆·三模）已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5.1】（24-25高一下·云南红河·期中）若直线平面，直线平面，则与（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【变式5.3】（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在四面体中，是的中点，分别是的中点，.求证： (1)平面； (2). 模块二 空间直线、平面的垂直（二） 1．二面角 (1)二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α -l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). (3)二面角的平面角 ①自然语言 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和 OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. ②图形语言 ③符号语言 ∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角. (4)二面角大小的度量 ①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面 角是直角的二面角叫做直二面角. ②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时， 规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是. 2．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂 直，记作α⊥β. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 3．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 4．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 (1)判定直线与直线垂直的方法 ①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直. ②利用直线与平面垂直的性质来判定. ③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. (2)判定直线与平面垂直的方法 ①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. ②利用直线与平面垂直的判定定理来判定. ③利用平面与平面垂直的性质定理来判定. ④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α⇒b⊥α. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α ⇒a⊥β. (3)平面与平面垂直的其他性质与结论 ①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. ②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. ⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直. (4)线、面垂直位置关系的相互转化 (5)平行关系与垂直关系的相互转化 【题型6 面面垂直的判定】 【例6】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线与平面，则能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（2025高一下·全国·专题练习）在空间四边形中，，那么必有（    ） A．平面⊥平面 B．平面⊥平面 C．平面⊥平面 D．平面⊥平面 【变式6.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面； 【变式6.3】（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，且底面是菱形．求证：平面平面． 【题型7 面面垂直性质定理的应用】 【例7】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，，是直线，，是平面，， ，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直 【变式7.1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知平面平面，点，则过点且垂直于平面的直线（    ） A．只有一条，不一定在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，一定在平面内 D．有无数条，一定在平面内 【变式7.2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【变式7.3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 【题型8 二面角】 【例8】（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式8.1】（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【变式8.2】（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知正方体图， (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小的余弦值. 【变式8.3】（24-25高一下·吉林长春·期末）如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【题型9 点、线、面的距离问题】 【例9】（24-25高一下·重庆·期末）长方体中，，则点到平面的距离为（   ） A．2 B． C． D． 【变式9.1】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9.2】（24-25高一下·吉林·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【变式9.3】（24-25高一下·河北承德·期末）如图，在正四棱台中，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【题型10 平行关系与垂直关系的综合应用】 【例10】（24-25高一下·天津·月考）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【变式10.1】（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【变式10.2】（24-25高一下·北京房山·期末）如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面BCE； (3)求点B到平面ACE的距离. 【变式10.3】（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设平面平面，求证：平面． 一、单选题 1．（24-25高一下·福建南平·期末）设，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（24-25高一下·全国·课后作业）设α是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一下·山西吕梁·期末）如图，在正三棱柱中，，则异面直线BC与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽宣城·期末）若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河北邯郸·月考）如图，在三棱锥中，平面平面，平面平面，则点A到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·天津西青·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，面，，则异面直线与所成角的大小及平面与平面所成的二面角的大小分别为（    ）. A．和 B．和 C．和 D．和 8．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A． 平面 B．平面 C． D．平面平面 二、多选题 9．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）若直线与平面垂直，则下列说法正确的是（   ） A．直线与平面的所有直线都垂直 B．在平面内存在与直线异面的直线 C．在平面内存在无数条直线与直线相交 D．在平面内存在与直线平行的直线 10．（24-25高一下·云南玉溪·期末）如图，三棱台中，平面平面，，，则（    ） A．平面 B． C． D．与平面所成角的正弦值为 11．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角为 D．平面和平面夹角为 三、填空题 12．（24-25高一下·山东淄博·月考）如图，点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 13．（24-25高二上·上海·月考）如图，设为正方形所在平面外一点，平面 则点到直线的距离为 . 14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知一个六条棱均相等的四面体，则二面角的余弦值为 . 四、解答题 15．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为1.若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小.    16．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点，分别为，的中点. (1)平面； (2)平面. 17．（24-25高二下·安徽安庆·月考）如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点. (1)证明：； (2)当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值； 18．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧棱底面，且． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 19．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $