第07讲 数系的扩充和复数的概念（六大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

第07讲 数系的扩充和复数的概念 【人教A版】 模块一 数系的扩充和复数的概念 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①i2=-1，即i是方程x2+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【注意】 1．虚部指的是虚数单位i前面的系数，不包含i. 2．了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件以及三者之间的关系. 3．实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小. 【题型1 虚数单位i及其性质】 【例1】（2025高二上·黑龙江·学业考试）在复数集中，为虚数单位，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 【变式1.1】（25-26高三上·湖北·月考）（   ） A．1 B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则 . 【变式1.3】（24-25高一下·河北张家口·月考） . 【题型2 复数的基本概念】 【例2】（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2.1】（24-25高一下·湖南长沙·月考）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【变式2.2】（2025·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【变式2.3】（2025高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【题型3 求复数的实部与虚部】 【例3】（24-25高一下·湖南长沙·期末）复数，则复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D．1 【变式3.1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）若复数，则复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D． 【变式3.2】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）若复数的实部为，虚部为b，则=（  ） A．7 B．5 C． D．9 【变式3.3】（24-25高一下·广西来宾·月考）复数的实部和虚部分别是（   ） A．2， B．2，－5 C．－2， D．－2，5 【题型4 复数的相等】 【例4】（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式4.1】（24-25高一下·浙江·期中）若，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式4.2】（24-25高一下·吉林·期中）已知为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4.3】（24-25高一下·陕西·期中）已知复数，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型5 复数的分类及辨析】 【例5】（24-25高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5.1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课堂例题）指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？. 【变式5.3】（24-25高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【题型6 已知复数的类型求参数】 【例6】（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6.1】（24-25高一下·天津静海·期中）已知，，则“”是“复数是实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6.2】（24-25高一下·江苏盐城·期中）实数取何值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)0? 【变式6.3】（24-25高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 一、单选题 1．（24-25高一下·河南开封·期末）下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 3．（24-25高一下·北京朝阳·期末）复数（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）若 ，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 6．（24-25高一下·重庆万州·月考）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（   ） A．2 B． C． D．-2 7．（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（2025高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 二、多选题 9．（24-25高一下·湖南株洲·期中）下列复数是纯虚数的为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·河南·月考）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 11．（24-25高一下·安徽安庆·月考）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 三、填空题 12．（24-25高一下·甘肃张掖·期末）已知复数为纯虚数，则实数的值为 ． 13．（24-25高一下·广西百色·期末）已知，则 . 14．（24-25高一下·安徽·期中）若复数: 的虚部大于0，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 16．（24-25高一下·吉林·期中）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，求a的取值范围. 17．（24-25高一下·山西·期中）已知复数． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 18．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 19．（24-25高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 数系的扩充和复数的概念 【人教A版】 模块一 数系的扩充和复数的概念 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①i2=-1，即i是方程x2+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程x2+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【注意】 1．虚部指的是虚数单位i前面的系数，不包含i. 2．了解虚数、纯虚数、实数三者的限制条件以及三者之间的关系. 3．实数可以比较大小，但是虚数不能比较大小. 【题型1 虚数单位i及其性质】 【例1】（2025高二上·黑龙江·学业考试）在复数集中，为虚数单位，则（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】利用复数的运算性质求解即可. 【解答过程】由复数运算性质得，故A正确. 故选：A. 【变式1.1】（25-26高三上·湖北·月考）（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据虚数单位i的性质求解，即得答案. 【解答过程】. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则 . 【答案】0 【解题思路】根据的运算公式，即可求解. 【解答过程】. 故答案为：0. 【变式1.3】（24-25高一下·河北张家口·月考） . 【答案】0 【解题思路】利用虚数单位的性质进行计算即可. 【解答过程】， 故答案为：0. 【题型2 复数的基本概念】 【例2】（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解题思路】利用复数的概念逐一判断各个命题即得. 【解答过程】对于复数（R），当且时为纯虚数， 在①中，若，则不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误； 在④中，i的平方等于，④正确. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高一下·湖南长沙·月考）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【答案】C 【解题思路】根据复数的概念即可求解. 【解答过程】A.，说法不正确； B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确； C.当时，是实数，说法正确； D.复数的虚部是1，说法不正确. 故选：C. 【变式2.2】（2025·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【解题思路】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可. 【解答过程】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性. 故选：B. 【变式2.3】（2025高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解题思路】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【解答过程】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：. 【题型3 求复数的实部与虚部】 【例3】（24-25高一下·湖南长沙·期末）复数，则复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解题思路】根据复数的概念即得． 【解答过程】复数的虚部即． 故选：A． 【变式3.1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）若复数，则复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】由复数的乘方以及虚部的概念，可得答案. 【解答过程】由，则其虚部为. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一下·湖南邵阳·期中）若复数的实部为，虚部为b，则=（  ） A．7 B．5 C． D．9 【答案】C 【解题思路】根据复数实部和虚部的定义求出的值，进而求解即可. 【解答过程】由题意，，则. 故选：C. 【变式3.3】（24-25高一下·广西来宾·月考）复数的实部和虚部分别是（   ） A．2， B．2，－5 C．－2， D．－2，5 【答案】B 【解题思路】由复数的实部与虚部的定义，即可得到结果. 【解答过程】复数的实部是，虚部是. 故选：B. 【题型4 复数的相等】 【例4】（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】由条件结合复数相等的定义求，再求即可. 【解答过程】因为，所以，，故，故C正确. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高一下·浙江·期中）若，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】根据复数相等的定义，即可求解. 【解答过程】由得，所以，，所以. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高一下·吉林·期中）已知为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】利用复数相等的定义即可求得. 【解答过程】因，则由复数相等的定义可得：. 故选：B. 【变式4.3】（24-25高一下·陕西·期中）已知复数，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据复数相等可得，结合三角函数及二次函数的性质即可求解. 【解答过程】因为，所以 则． 令， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以． 故选：. 【题型5 复数的分类及辨析】 【例5】（24-25高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据纯虚数的概念，即可得答案. 【解答过程】，是纯虚数，，，是实数，是虚数． 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】B 【解题思路】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解. 【解答过程】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课堂例题）指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？. 【答案】实数为；虚数为； 纯虚数为 【解题思路】根据复数为实数、虚数和纯虚数的条件，判断出实数、虚数和纯虚数. 【解答过程】实数为； 虚数为； 纯虚数为. 【变式5.3】（24-25高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【答案】见解析 【解题思路】直接利用复数的基本概念逐一分析得答案． 【解答过程】、0是实数，的实部为，虚部为0；0的实部与虚部均为0． 、、、是虚数；i为纯虚数. 的实部为，虚部为6；的实部与虚部均为；的实部为，虚部为；的实部为0，虚部为1． 【题型6 已知复数的类型求参数】 【例6】（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】由纯虚数概念得到求解即可. 【解答过程】因为复数是纯虚数， 所以， 解得. 故选：A. 【变式6.1】（24-25高一下·天津静海·期中）已知，，则“”是“复数是实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据复数的概念，即可得出答案. 【解答过程】若，则复数是实数； 若复数是实数，则. 所以“”是“复数是实数”的充要条件. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高一下·江苏盐城·期中）实数取何值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)0? 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【解题思路】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可； （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可； （3）根据复数相等列式求解即可. 【解答过程】（1）当，即或时，复数是实数； （2）当，即且时，复数是虚数； （3）当即时，复数是0. 【变式6.3】（24-25高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【答案】(1) (2)或 (3)且 【解题思路】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值； （2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值； （3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可. 【解答过程】（1）当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； （2）当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； （3）当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 一、单选题 1．（24-25高一下·河南开封·期末）下列各数中，是纯虚数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据纯虚数的概念，可得答案. 【解答过程】由为实数，复数中实部为，则ABD错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 【答案】A 【解题思路】由复数的实部虚部的定义可知答案. 【解答过程】由复数的实部虚部的定义可知，若（为实数）则为复数的实部，为复数的虚部，则z的虚部是. 故选：A. 3．（24-25高一下·北京朝阳·期末）复数（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用，可求值. 【解答过程】. 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）若 ，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】根据两个复数相等的充要条件，得到、的值，从而求出. 【解答过程】由，所以，，则. 故选：A. 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【解题思路】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【解答过程】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：A. 6．（24-25高一下·重庆万州·月考）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（   ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【解题思路】利用复数的实部和虚部求解即可. 【解答过程】由复数的实部与虚部之和为0， 得，即. 故选：A. 7．（24-25高一下·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】由复数相等的条件即可求解. 【解答过程】因为， 所以，. 故选：B. 8．（2025高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【解题思路】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③. 【解答过程】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一下·湖南株洲·期中）下列复数是纯虚数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】利用纯虚数的定义分析求解即可. 【解答过程】由纯虚数的定义得纯虚数实部为0，虚部不为0， 而A，C实部不为0，B，D实部为0且虚部不为0， 故，是纯虚数，故B，D正确. 故选：BD. 10．（24-25高一下·河南·月考）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【答案】AC 【解题思路】应用复数定义分别判断实部及虚部判断A，B，再根据复数类型计算求参判断C，D. 【解答过程】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 11．（24-25高一下·安徽安庆·月考）下列命题不正确的是（    ） A．复数不可能是纯虚数 B．若复数，则当且仅当时，为虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若，则复数为纯虚数 【答案】ABC 【解题思路】根据复数的分类条件，逐项判断即可. 【解答过程】对于A，当，时，复数为纯虚数，故A错误； 对于B，当 ，时，，为虚数，故B错误； 对于C，当时，为实数，故C错误； 对于D，当时，，为纯虚数，故D正确. 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高一下·甘肃张掖·期末）已知复数为纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】 【解题思路】根据纯虚数的定义列式计算即可. 【解答过程】由题可得． 故答案为：． 13．（24-25高一下·广西百色·期末）已知，则 . 【答案】3 【解题思路】根据复数相等的定义列式求解即可. 【解答过程】因为， 则，解得. 故答案为：3. 14．（24-25高一下·安徽·期中）若复数: 的虚部大于0，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】解不等式可求数a的取值范围. 【解答过程】由复数z的虚部大于0，得 ，解得 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【答案】(1)实部为2，虚部为3，是虚数 (2)实部为，虚部为，是虚数 (3)实部为，虚部为1，是虚数 (4)实部为，虚部为0，是实数 (5)实部为0，虚部为，是纯虚数 (6)实部为0，虚部为0，是实数 【解题思路】根据复数得出实部及虚部，进而根据复数类型定义判断复数是实数还是虚数或纯虚数即可. 【解答过程】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数. 16．（24-25高一下·吉林·期中）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，求a的取值范围. 【答案】 【解题思路】根据复数能与实数比较大小可知该复数为实数，利用复数为实数的条件得到关于、的方程组，再结合不等式求解的取值范围. 【解答过程】由题，所以为实数， 即， 则有，解得，即a的取值范围为. 故答案为：. 17．（24-25高一下·山西·期中）已知复数． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据纯虚数定义列式求参； （2）根据复数相等列式，结合三角函数值域求范围即可. 【解答过程】（1）因为为纯虚数，所以解得． （2）由于，所以 所以， 又，所以当时，，当时，， 所以实数的取值范围是． 18．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案； （2）由条件可得可得答案. 【解答过程】（1）由复数是纯虚数，得，解得； （2）由复数的实部和虚部互为相反数，得， 化简得，解出或， 当时，不符合题意，（舍去），而满足， 所以实数的值为． 19．（24-25高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 【答案】(1)或 (2)且且 (3) 【解题思路】（1）根据复数是实数，列出方程，解方程即可得解； （2）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案. 【解答过程】（1）因为复数为实数，所以，即或， 所以或时，复数为实数. （2）因为为虚数，则，解得且且， 所以且且时，复数为纯虚数. （3）因为为纯虚数，则，解得， 所以时，复数为纯虚数. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $