精品解析：河南省邓州市2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

邓州市2025~2026学年第一学期期末考试九年级 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（ ） A. 蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B. C. 蜡烛火焰长 D. 线段中点与线段中点的连线不一定经过点O 4. 二维码在日常生活中被广泛应用．如图，兴趣小组将二维码打印在面积为的正方形纸片上，利用计算机软件进行随机掷点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ） A B. C. D. 6. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的长度是，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C 米 D. 米 8. 如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ） A. 19 B. 17 C. 15 D. 13 9. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 10. 如图，某机器人按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，按这样的运动规律，则第2027次运动到点（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 设，请用含有的式子表示___________． 12. 已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，请写出一个符合要求的m数值______． 13. 将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，，当时，线段的长为_______． 14. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 15. 如图，矩形中，，，是边的中点，是边上任意一点，连接．把沿着折叠，使点落在处，当为直角三角形时，的长为___________． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算与解方程： （1）． （2）． 17. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能，为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 18. 如图，中，是的延长线上一点，与交于点． （1）求证：； （2）若周长为5，求的周长． 19. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 2 0 1 2 3 4 5 0 0 m （1）此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； （2）在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 20. 某小区有一个半径为的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心处达到最大高度为，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式； （2）填空：喷水池中心的装饰物高___________米． （3）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为处，通过计算说明身高的王师傅是否被淋湿？ 21. 某数学小组进行实践活动，下面是测量西安鼓楼高度的实践报告： 利用数学知识测量西安鼓楼的高度 测量过程及示意图 如图，天气晴朗的周末，数学小组成员在D处利用测角仪测得鼓楼顶端A的仰角，沿方向移动至点F，放置标杆，的顶端E和鼓楼顶端A的影子末端重合于点G． 说明：已知，点在同一直线上，图中所有点在同一平面内． 测量数据 ． 参考数据 ，，． 请你利用以上实践报告，求出西安鼓楼的高度． 22. 今年超市以每件20元的进价购进一批商品，当商品售价为每件30元时，六月份销售500件、七、八月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，八月份的销售量达到720件． （1）求七、八这两个月销售量的月平均增长百分率； （2）经市场预测，九月份销售量将与八月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销售量增加180件，当商品降价多少元时，商场九月份的获利最大？最大利润是多少元？ 23. 综合与探究 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是___________； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，求的面积； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邓州市2025~2026学年第一学期期末考试九年级 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意； B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意； C．是二次根式，故符合题意； D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； 故选C． 2. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解、整体代入思想．由一元二次方程的解，得 ，然后，整体代入代数式即可求值． 【详解】解：∵ 是方程 的一个根， ∴，即 ， ∴． 故选 ：D． 3. 小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（ ） A. 蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B. C. 蜡烛火焰长 D. 线段中点与线段中点的连线不一定经过点O 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、位似变换，根据相似三角形的判定与性质以及位似图象的定义判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，故B正确； ∴，故蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形，故A正确； ∴， ∴，即蜡烛火焰长，故C正确； 线段中点与线段中点的连线一定经过点O，故D错误， 故选：D． 4. 二维码在日常生活中被广泛应用．如图，兴趣小组将二维码打印在面积为的正方形纸片上，利用计算机软件进行随机掷点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．根据频率估计概率的原理，黑色阴影的面积等于正方形面积乘以点落在黑色阴影的频率． 【详解】解：二维码打印在面积为的正方形纸片上，点落在黑色阴影的频率稳定在左右， 二维码中黑色阴影的面积． 故选：A． 5. 把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，掌握抛物线的平移技巧是解题关键． 根据平移法则：“左加右减，上加下减”，按平移要求写出平移后表达式即可． 【详解】解：根据平移规则：把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是． 故选：B． 6. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设长方形的一边长为米，则长方形的另一边长为，再根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设长方形的一边长为米，则长方形的另一边长为米， 由题意得，， 故选：D． 7. 如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的长度是，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形边角关系进行求解是解答此类题的关键．原来树的长度是的长．已知的值，可在中，根据的度数，通过解直角三角形求出的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∴． 故选：A． 8. 如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ） A. 19 B. 17 C. 15 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 根据三角形中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ． 故选：C． 9. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 10. 如图，某机器人按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，按这样的运动规律，则第2027次运动到点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点的坐标规律探索，根据题意归纳出规律为点的横坐标为运动次数，纵坐标每4次一轮，分别为1,0,2,0，进而求解即可． 【详解】解：第一次运动后的坐标为， 第二次运动后的坐标为， 第三次运动后的坐标为， 第四次运动后的坐标为， 第五次运动后坐标为， ⋯， ∴可以得出规律为点的横坐标为运动次数，纵坐标每4次一轮，分别为1,0,2,0， ∵， ∴第2027次运动到点， 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 设，请用含有的式子表示___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法． 直接根据作答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 12. 已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，请写出一个符合要求的m数值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程根的判别式的应用． 利用关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：，列出不等式求解集即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴， ∴， 解得：， ∴符合题意； 故答案为：（答案不唯一）． 13. 将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，，当时，线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，先求出，由长求出即可． 【详解】解： 直角三角板 的刻度分别为 在直角三角形中，． 故答案为：． 14. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线，可求出当时，或，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，或， ∴通过图象可知：不等式的解集是或， 故答案为：或． 15. 如图，矩形中，，，是边的中点，是边上任意一点，连接．把沿着折叠，使点落在处，当为直角三角形时，的长为___________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、矩形与折叠综合问题，分类讨论：当时，当时，利用勾股定理及矩形与折叠的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：是边的中点， ， 当时，如下图： ， ， 矩形沿折叠，使点B落在点处， ， 在矩形中，， ， ， ； 当时，如下图： 矩形沿折叠，使点B落在点处， ， ， ∴点E，点，点C三点共线， 在中，， ， ， ， ， 解得， 综上所述，或， 故答案为：或1． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算与解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次根式的乘法，特殊角的三角函数值． （1）先化简二次根式，并计算三角函数，二次根式的乘法，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）移项后根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ． 17. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能，为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率．从条形统计图，扇形统计图中获取正确的信息是解题的关键． （1）利用组人数除以组所占百分比求出调查的总人数，利用组所占百分比得到组人数，再得到组人数，然后补全统计图即可； （2）根据题意画出树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由图可知，调查的总人数为（人）， A组的人数为（人）， C组的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：由题意可画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种， （恰好抽中甲、乙两人）． 18. 如图，中，是的延长线上一点，与交于点． （1）求证：； （2）若的周长为5，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）的周长为10 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键． （1）由四边形是平行四边形，得， ，所以，进而推断出． （2）根据相似三角形的性质，由的周长为5，故可求的面积． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形，E是延长线上一点， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 又的周长为5， 的周长为10． 19. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 2 0 1 2 3 4 5 0 0 m （1）此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； （2）在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 【答案】（1）， （2）二次函数的图象见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的画法、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据可得：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知． 故答案为：，5； 【小问2详解】 解：二次函数的图象如图所示： 【小问3详解】 解：根据函数图象，当时，的取值范围是． 故答案为：． 20. 某小区有一个半径为的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心处达到最大高度为，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式； （2）填空：喷水池中心的装饰物高___________米． （3）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为处，通过计算说明身高的王师傅是否被淋湿？ 【答案】（1） （2） （3）身高的王师傅不会被淋湿 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，（1）由题意得抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为， 再利用待定系数法求解析式即可； （2）把代入解析式求解即可； （3）把代入解析式求解即可； 【小问1详解】 解：由题意知抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入，得：， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时， ∴身高的王师傅不会被淋湿． 21. 某数学小组进行实践活动，下面是测量西安鼓楼高度的实践报告： 利用数学知识测量西安鼓楼的高度 测量过程及示意图 如图，天气晴朗的周末，数学小组成员在D处利用测角仪测得鼓楼顶端A的仰角，沿方向移动至点F，放置标杆，的顶端E和鼓楼顶端A的影子末端重合于点G． 说明：已知，点在同一直线上，图中所有点在同一平面内． 测量数据 ． 参考数据 ，，． 请你利用以上实践报告，求出西安鼓楼的高度． 【答案】西安鼓楼的高度为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形（正切函数的应用），解题的关键是通过延长构造矩形转化线段关系，再利用相似三角形和直角三角形的边角关系建立关于鼓楼高度的方程． 延长 交于M，证得四边形为矩形，得到和；在中，利用的正切值表示与的关系；证明，根据相似比列出含的方程；解方程求出的高度． 【详解】解：延长交于点M，则四边形是矩形， ∴． 在，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴西安鼓楼的高度为． 22. 今年超市以每件20元的进价购进一批商品，当商品售价为每件30元时，六月份销售500件、七、八月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，八月份的销售量达到720件． （1）求七、八这两个月销售量月平均增长百分率； （2）经市场预测，九月份的销售量将与八月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销售量增加180件，当商品降价多少元时，商场九月份的获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）解：七、八这两个月销售量的月平均增长百分率为； （2）解：当商品降价3元时，商场九月份的获利最大，最大利润是8820元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用和二次函数的实际应用，解题的关键是根据销量、利润、进价、售价之间的关系正确列出一元二次方程和函数表达式． （1）设平均增长率为，根据六月份、八月份销量列一元二次方程，即可求解； （2）设商品降价元，九月份利润为，用含的代数式表示出九月份销量及单件利润，以及根据二次函数的顶点式求最值，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均增长率为， 由题意知， 解得（不合题意，舍去）． 答：七、八这两个月销售量的月平均增长百分率为； 【小问2详解】 解：设当商品降价元时，商场九月份可获利元， 由题意知 ， 由题意，得，即． ，图象开口向下， 当时，函数取得最大值，且满足， 最大值为8820． 答：当商品降价3元时，商场九月份的获利最大，最大利润是8820元． 23. 综合与探究 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是___________； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，求的面积； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）的面积为30； （3）线段的长为或20． 【解析】 【分析】（1）利用“一线三直角“证明即可得出结论； （2）证明可求的长度，即可求出的面积； （3）由已知条件过作的垂线段，可得两个直角三角形，然后解这两个直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：∵线段绕点顺时针旋转得到线段，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵线段绕点顺时针旋转得到线段，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴，． ∵，， ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴． ∴． ∴的面积为30； 【小问3详解】 解：①当点在点左侧时，如图1，过作于， ∵，，， ∴，， ∴，． 设，则，， ∴， ∴， ∴． ∴； ②当点在点右侧时，如图2，过作交延长线于， ∵，，， ∴，， ∴，． 设，则，， ∴． ∴． ∴． ∴． 综上，线段的长为或20． 【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、解直角三角形、勾股定理等知识，通过添加合适的辅助线构造直角三角形及“分类讨论”思想的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $