山东省泰安市第二中学2025-2026学年高二上学期期末模拟卷

泰安市第二中学2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 一、单选题 1．定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．已知圆，直线与交于两点，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 4．设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（    ） A．244 B．243 C．242 D．241 6．如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（    ） A．8 B．4 C． D． 7．如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 10．已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B． C．的前项和 D．的前项和 11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到抛物线的准线的距离为4 B． C．若的中点的纵坐标为4，则 D．若，则 三、填空题 12．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 13．已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为 ． 14．双曲线的左右焦点分别为、，左右顶点分别为A、B，若P是右支上一点（与B点不重合），如图，过点P的直线l与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S、T两点，则下列结论中正确的是 （写出所有正确的序号）    （1）P到两条渐近线的距离之积为2 （2）当直线l运动时，始终有 （3）在中， （4）内切圆半径取值范围为 四、解答题 15．已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 16．数列满足，各项均为正数的等差数列的前项和为，4是，的等比中项，且. (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围. 17．已知双曲线 (1)求双曲线C的焦点坐标、渐近线方程和离心率； (2)已知为坐标原点，若直线与双曲线交于A，B两点，求的面积. 18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点．    (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 19．已知椭圆过，不与轴垂直的直线交椭圆于两点，且为线段中点，设直线的斜率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若坐标原点关于点的对称点在椭圆上， （i）求的取值范围； （ii）证明：的面积为定值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据斜坐标的定义直接计算可得. 【详解】因为向量在基底下的斜坐标为， 所以， 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D. 2．D 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】由等差数列的性质可知， 则，故. 故选：D 3．B 【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论. 【详解】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内， 圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示： 圆心到直线的距离为，所以， 又，可得； 因此可得， 所以的面积为. 故选：B. 4．A 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 5．A 【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】由题意可知，且， 设等比数列的公比为， 则，得， . 故选：A 6．C 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，然后求出直线的方程，联立该直线与抛物线方程，求出点的坐标，进而求出. 【详解】由抛物线的方程可知，焦点， 因为，所以直线的斜率， 因此直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得，， 解得，，由图可知点的横坐标为，. 故选：C. 7．B 【分析】以、、为基底向量，计算基底间的数量积，进而表示出与，通过向量的数量积与模长公式，结合异面 直线所成角的余弦公式（向量夹角余弦的绝对值）求解. 【详解】记，，， 则，，， 又，， 所以， ， ， 记与所成的角为，则． 故选：B 8．D 【分析】设，根据题目条件和椭圆的定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求出椭圆离心率. 【详解】设，则，由椭圆的定义，得， 由，得，即， 整理得，解得，则，即点在轴上， 如图，在直角中，， 在中，，化简得， 所以椭圆的离心率. 故选：. 9．ABC 【分析】根据给定条件，取空间向量的一个基底，利用空间向量的线性运算和数量积运算，逐项求解判断. 【详解】在平行六面体中，为空间的一个基底， 则，， ， 对于A，， ，A正确； 对于B，，则 ，因此，B正确； 对于C，，则， ，而， 因此向量与夹角是，C正确； 对于D，，则 ，而 ，， ，D错误. 故选：ABC 10．ACD 【分析】根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式，判断数列单调性，根据分组求和法，裂项求和法，求出数列前项和；逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由得，化简得，即， 所以，因为，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，A正确； 由是以2为首项，以2为公比的等比数列，可得， 求得，， 可知恒正，且随着的增大而增大，所以随着的增大而减小，所以B错误； 由可得，所以C正确； 由， 得， 所以D正确； 故选：ACD. 11．ABD 【分析】对A，由抛物线方程求得焦点坐标和准线方程可求解判断；对BCD，设直线，设，则联立直线与抛物线，利用韦达定理求解判断. 【详解】对于A：抛物线的焦点，准线方程为：， 所以焦点到准线的距离为，A正确； 对于B：设直线，设， 则由得， 所以， 又由抛物线定义可得， 所以，B正确； 对于C：若的中点的纵坐标为，则，得， 所以，，C错误； 对于D：若，则，又， 所以，整理得，又， 所以，即，因为，所以， 所以，解得， 所以，D正确； 故选：ABD. 12． 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 13． 【分析】根据等比数列的通项公式及前项和公式得到方程组，求出和，即可得到，从而得到，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】由于，则， 解得或，因为等比数列为递增数列，， 所以 所以，故. 因为， 所以. 故答案为： 14．（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）根据点到直线的距离直接计算可得； （2）根据线段与线段的中点是否重合可得； （3）根据直线的倾斜角与三角形内角的关系，再结合三角恒等变换可得； （4）根据三角形内切圆半径与三角形的面积的关系，将半径表示成关于P点的横坐标的一个函数关系，从而求得半径的范围. 【详解】①由双曲线，可化为，则，， 双曲线的渐近线方程为，即. 设，因P点在双曲线上，所以， 所以P到两条渐近线和的距离分别为： ，，所以 故（1）正确； ②由直线l与双曲线C的左右支都相交，所以直线l的斜率存在， 设l的方程为，，，，. 联立，消去y得， 若，即，方程有且仅有一个解，与题意不符. 所以，且是方程的两个根，由韦达定理得， 所以的中点的横坐标为. 再联立，解得，再由，解得. 所以的中点的横坐标为，与的中点的横坐标相同，且P，Q，S，T都在直线l上. 所以与的中点重合，根据中点的性质可得. 故（2）正确； ③在中，，，设，，则. 因直线的倾斜角为，直线的倾斜角的补角为，且. 所以，， . 所以. 故（3）正确； ④设内切圆半径为r，设，，则.， 所以. 同理. 所以 由，， 所以， 因，所以，得，， 所以.所以内切圆半径取值范围为. 故（4）正确. 故答案为：（1）（2）（3）（4）. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 16．(1)，，. (2) 【分析】令，数列的前项和为，则，利用 与的关系即可求解.对于数列，利用基本量建立方程组，即可求解. （2）利用裂项相消法求出，由，得，所以，解不等式即可求解. 【详解】（1）令，得. ①， ②， 由①-②得， 即. 经检验，也成立，故数列的通项公式为， 设等差数列的公差为. 因为4是，的等比中项，所以，即. 由，得，即. 由，得或， 当时，，舍去； 当时，，，. （2）. 则 . 因为，所以，. 若恒成立，则，解得或. 所以实数的取值范围为 17．(1)焦点坐标为，渐近线方程为，离心率 (2) 【分析】（1）方程化为双曲线标准方程，得到即可求解； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可得弦长，再由点到直线距离得高，即可求出面积. 【详解】（1）由题意，知双曲线的标准方程为， 所以，故， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，离心率. （2）联立双曲线与直线的方程，化简得. 设，则， 利用弦长公式，得. 因为点到直线的距离为， 所以. 18．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连接，，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）取中点为中点为，连接，，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，并求出相关平面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，，    在中，分别为中点，则且， 又正方形中，为中点，则， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面； （2）取中点为中点为，连接，， 在中，，所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，又四边形为正方形，则， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，      因为，则， 所以，设平面的法向量为， 由，得，所以， 取，则，可得， 易知平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则． 由图，二面角为锐角，所以其余弦为． 19．(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法，列方程组求解即可； （2）（i）依题意，设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，以及题设条件推得，代入的表达式，利用不等式的性质即可求得的取值范围；（ii）在（i）的基础上，求出到直线的距离和弦长，代入三角形的面积公式化简计算即可证明. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为：, 由椭圆经过点，可得，解得， 故椭圆的标准方程为； （2）（i）依题意，设直线的方程为， 由，消去，可得， 则 设，且，， 则 因为线段中点，则得, 又点关于点的对称点是，则得，即， 因点在椭圆上，则有，即，则有， 因 . 由，可得，则，故. 即的取值范围为； （ii）设到直线的距离为，则， ， 故为定值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $