精品解析：北京市景山学校景西实验中学2025-2026年上学期九年级期末数学试卷

北京市景山学校景西实验中学2025-2026年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分，每题均有四个选项，只有一个符合题意） 1. 在下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（　　） A. B. C. D. 2. 作为古蜀文明的艺术瑰宝，三星堆纹饰彰显着非凡创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 4. 若一个正多边形的中心角的度数为，则这个多边形的边数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（ ） A B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 8. 如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 10. 若点、是二次函数图象上的两点，那么与的大小关系是______（填“”、“”或“”）． 11. 在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为__________． 12. 某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据如下： 调查人数m 10 250 700 1000 5000 10000 20000 回复满意的人数n 8 218 621 898 4510 8990 18020 回复满意的频率（结果保留小数点后三位） 0.800 0.872 0.887 0.898 0.902 0.899 0.911 根据表中信息，估计平台用户回复满意的概率为_____（结果精确到0.1）． 13. 用一个半径为3的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为________． 14. 如图，中，点E在上，，交于点F，若，且，则_____． 15. “永定楼”，作为门头沟区的地标性建筑，因其坐落在永定河畔而得名．为测得其高度，低空无人机在A处，测得楼顶端B的仰角为30°，楼底端C的俯角为45°，此时低空无人机到地面的垂直距离AE为23 米，那么永定楼的高度BC是______米（结果保留根号）． 16. 甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 （1）如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； （2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 三、解答题（共68分，第17-20、22、25题，每题5分，第21、23、24、26题每题6分，第27-28题7分）解答题应写出文字说明或演算步骤． 17 解方程：． 18. 计算：． 19. 若m是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 20. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． （1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）； （2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元； 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像的一个交点为． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 23. 已知二次函数． （1）用配方法将化成的形式（要求过程）； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图像； （3）当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围； （4）当时，结合函数图像，直接写出x的取值范围． 24. 如图，在中，，以为直径的与边分别交于D、E两点，于点F． （1）求证：是的切线； （2）如果，求和长． 25. 小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点P到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 2 根据上述信息，回答下列问题： （1）直接写出第一次练习时，羽毛球飞行的最大高度； （2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式； （3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，则 （填“”，“”或“”）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线，经过点和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 27. 在中，，，D为平面内一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，取中点F，连接． （1）如图1，当点D在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，当点D在内部时， ①依题意补全图2； ②判断与的数量关系，并证明． 28. 如图1，平面中的线段和直线外一点P，对于P，A，B三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点P为线段的“优关联点”． （1）如图2，已知点，． ① 在点，，中，是线段的“优关联点”的是 ； ② 如果直线上存在线段“优关联点”，直接写出b的取值范围． （2）如图 3，已知点，，，，，如果在边上存在线段的“优关联点”，直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市景山学校景西实验中学2025-2026年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分，每题均有四个选项，只有一个符合题意） 1. 在下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握简单几何体的三视图是解题的关键． 根据俯视图是从上面所看得到的图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A.俯视图是圆，故不符合题意； B.俯视图是长方形，故不符合题意； C.俯视图是三角形，故符合题意； D.俯视图是圆，故不符合题意． 故选：C． 2. 作为古蜀文明的艺术瑰宝，三星堆纹饰彰显着非凡创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移规则，“左加右减，上加下减”，直接计算平移后的解析式即可． 【详解】解：∵抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， ∴平移后解析式为， 故选：A． 4. 若一个正多边形的中心角的度数为，则这个多边形的边数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，掌握正多边形的中心角等于除以边数n是解题的关键． 根据正多边形的中心角定义求解即可． 【详解】解：∵正多边形的中心角的度数为， ∴这个多边形的边数为． 故选B． 5. 如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：是的直径，， ，，，， 故A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 6. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：；首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】根据题意，画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果，所以两次摸出的小球标号相同的概率是， 故选：B． 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 8. 如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据等边三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，即可求证；②根据旋转的性质得出，即可证明是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出根据全等三角形的性质得出，则，即可推出． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，故②正确，符合题意； ③∵是等边三角形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 综上：正确的有①②③， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 10. 若点、是二次函数图象上的两点，那么与的大小关系是______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键． 先根据函数解析式确定出对称轴为直线，再根据二次函数的增减性解答． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上， ． 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，点A和点B的横纵坐标乘积均等于比例系数，由此建立等式并求解． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点和， ∴ ，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案：． 12. 某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据如下： 调查人数m 10 250 700 1000 5000 10000 20000 回复满意的人数n 8 218 621 898 4510 8990 18020 回复满意的频率（结果保留小数点后三位） 0.800 0.872 0.887 0.898 0.902 0.899 0.911 根据表中信息，估计平台用户回复满意的概率为_____（结果精确到0.1）． 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，用频率的集中趋势来估计概率． 当试验次数很大时，频率会在某个常数附近摆动，这个常数就可以作为该事件发生的概率的估计值.求解计划是观察表格中回复满意的频率数据，随着调查人数的增加，看频率的稳定趋势，从而估计出平台用户回复满意的概率． 【详解】解：从表格中可以发现，随着调查人数的不断增多，回复满意的频率在0.9附近波动． 所以估计平台用户回复满意的概率为0.9． 故答案为：0.9． 13. 用一个半径为3的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆的半径，半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此根据弧长公式求解即可． 【详解】解：， ∴这个圆锥的底面圆的半径为， 故答案为：． 14. 如图，在中，点E在上，，交于点F，若，且，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，设，，则，根据平行四边形的性质得出，，证出，得出比例式，代入求出即可，能求出和求出是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：6． 15. “永定楼”，作为门头沟区的地标性建筑，因其坐落在永定河畔而得名．为测得其高度，低空无人机在A处，测得楼顶端B的仰角为30°，楼底端C的俯角为45°，此时低空无人机到地面的垂直距离AE为23 米，那么永定楼的高度BC是______米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则∠DAC=45°，∠BAD=30°，进一步推出AD=CD=AE=米,再根据tan∠BAD= = ,从而求出BD的值，再由BC=BD+CD即可得到结果. 【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，则∠DAC=45°，∠BAD=30°， ∵AD⊥BC, ∠DAC=45°， ∴AD=CD=AE=米, 在Rt△ABD中， tan∠BAD= =， ∴BD=AD = =23(米) ∴BC=BD+CD= (米) 故答案为. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解． 16. 甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 （1）如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； （2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟悉理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给的组装顺序运算时间即可； （2）让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，排出顺序即可． 【小问1详解】 解：甲先拼接用9分钟，然后乙再给上色7分钟，这7分钟甲可以给B拼接，（分），还剩下的时间给拼接2分钟，这时还需要（分），乙开始给上色又花了7分钟，这7分钟甲给拼接，还留有（分），这3分钟甲给拼接，在乙完成的上色时甲给口拼接还需要（分），此时乙给上色9分钟，甲就能把拼接完了，最后乙再给上色； 综上所述，总时长为（分）； 故答案为：． 【小问2详解】 解：要用最短的时间完成这四个道具的制作，开始的时候要让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，所以制作的顺序应该是：； 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17-20、22、25题，每题5分，第21、23、24、26题每题6分，第27-28题7分）解答题应写出文字说明或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，利用因式分解法进行解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ． 18. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用零指数幂，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算即可． 【详解】解：原式 ． 19. 若m是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，完全平方公式，平方差公式，准确计算是解题的关键． 首先根据根的定义得到，得到，然后利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后整体代入即可解答． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴ ∴， ， ． 20. 如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，四边形平行四边形． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，由锐角三角函数求边长，熟练掌握各判定及性质定理是解题的关键： （1）利用四边形是平行四边形，推出，再根据等腰三角形的三线合一的性质推出，即可证得四边形是矩形； （2）根据三角函数得到，求出，再由矩形的性质求出． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵四边形矩形， ∴． 21. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． （1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）； （2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元； 【答案】（1）2x，（40﹣x） （2）10元或20元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，据此列代数式即可； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润等于每件的销售利润与日销售量的积，据此可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答． 【小问1详解】 解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：，解得：． 答：每件服装降价10元或20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像的一个交点为． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）y （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用、待定系数法求函数解析式、函数图像上点坐标的特征、函数的增减性等知识点，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）求出，再代入y得，即可求得反比例函数解析式； （2）由当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，即对任意，不等式恒成立，即且恒成立；再根据函数和在时是减函数，然后根据函数的增减性即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得：，解得：， ∴， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：当时，，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值， ∴对任意，不等式恒成立，即且恒成立， ∵函数在时，是增函数， ∴， 要使恒成立，则n必须小于或等于函数在该范围的下界，即； ∵函数在时，是减函数， ∴当时，， 要使恒成立，则n必须大于或等于函数在该范围的上界，即， 综上，n的取值范围是． 23. 已知二次函数． （1）用配方法将化成的形式（要求过程）； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图像； （3）当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围； （4）当时，结合函数图像，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了把二次函数化成顶点式、画二次函数图像、二次函数的图像确定函数值和自变量的取值范围等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）用配方法把二次函数化为顶点式即可解答； （2）根据题意画出函数图像即可； （3）由函数图像写出符合条件的y的取值范围即可； （4）由函数图像写出符合条件的x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：用配方法把二次函数化为顶点式可得： ． 【小问2详解】 解：列表如下： x … 0 1 … y … 0 0 … 根据表中数值描点，画图如下： 【小问3详解】 解：由函数图像可得：当时，y的取值范围是． 【小问4详解】 解：由函数图像可得：当时，x的取值范围是或． 24. 如图，在中，，以为直径的与边分别交于D、E两点，于点F． （1）求证：是的切线； （2）如果，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，求出推出，根据切线的判定即可证明结论； （2）如图：连接，解直角三角形求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出和，根据勾股定理得出关于的方程，求解即可． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵在中， ，， 设， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：，解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、解直角三角形、垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的性质的应用等知识点，正确作出辅助线、并灵活应用所学知识是解题的关键． 25. 小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点P到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 2 根据上述信息，回答下列问题： （1）直接写出第一次练习时，羽毛球飞行的最大高度； （2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式； （3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】（1）第一次练习时，羽毛球飞行的最大高度 （2） （3）＜ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、二次函数的性质、求二次函数的解析式等知识点，灵活运用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）依据题意，由，再根据二次函数的性质即可解答； （2）根据表格信息，设出抛物线解析式，再利用待定系数法求解即可； （3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为，然后再比较即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，y取最大值，最大为， ∴第一次练习时，羽毛球飞行的最大高度． 【小问2详解】 解：由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由题意可知：抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问3详解】 解：第一次练习时，当时，， ∴，（舍去）， ∴， 第二次练习时，当时，， ∴，（舍去）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线，经过点和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）将和点代入解析式即可求解； （2）①当，抛物线表达式为，直线表达式为，则，，即可求解； ②可求，，则，将问题转化为关于的二次函数求解，分和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，经过点和点， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：①如图， 当，抛物线表达式为，直线表达式为 ∵点作x轴的垂线，， ∴，， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧， 如图： 当时，则，其图象开口向上，对称轴为直线，此时始终符合的长随的长的增大而增大； 当时，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 函数的对称轴为直线， 当时，图象开口向下，， 要使得的长随的长的增大而增大 ∴， ∴， ∴； 当或均不符合题意， 综上所述，a的取值范围为或． 27. 在中，，，D为平面内一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，取中点F，连接． （1）如图1，当点D在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，当点D在内部时， ①依题意补全图2； ②判断与的数量关系，并证明． 【答案】（1），证明见解析 （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质，旋转的性质，三角形中位线定理、正方形的性质等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明可得，而，F为中点，知，即； （2）①根据已知补全图2即可；②如图：连接，将绕点C顺时针旋转得，连接，证明四边形是正方形，再将绕点A顺时针旋转得，证明D，B，H共线，可得是的中位线，故，从而． 【小问1详解】 解：，证明如下： ∵， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，F为中点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①根据题意补图如下： ②；证明如下： 如图2：连接，将绕点C顺时针旋转得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 如图2，将绕点A顺时针旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴D，B，H共线， ∵F是中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴． 28. 如图1，平面中的线段和直线外一点P，对于P，A，B三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点P为线段的“优关联点”． （1）如图2，已知点，． ① 在点，，中，是线段的“优关联点”的是 ； ② 如果直线上存在线段的“优关联点”，直接写出b的取值范围． （2）如图 3，已知点，，，，，如果在边上存在线段的“优关联点”，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）①② （2）， 【解析】 【分析】（1）根据定义得出所对的弧为优弧，，进而得出结果； （2）以为直径作，求出直线与相切时的b的值，进而得出结果； （3）求出以为直径的与相切时a的值，与相切时a的值，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：①如图1， 所对的弧为优弧， ， ，，， 是线段的“优关联点”， 故答案为：； ②如图2， 以直径作， 当切于点A或点B时，设其分别交y轴于点D，交x轴于E， 则直线， ∵直线，当时，； 当时，； ∴直线与x轴所成的锐角是， ∴， ∴， ∴直线交y轴于点， 可得， ， ， 同理得出：， ， 此时直线与y轴交于， ； 【小问2详解】 解：如图3， 当以为直径的与直线相切于点A或点B时， 连接， 则， 当在左侧时（除去A点），， ， ， ， 当在的右侧时（除去切点）， 此时：， ， 如图4， 当与相切时，或， 此时或， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系等知识，解决问题的关键是将题意转化为直线和圆的位置关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $