2025-2026学年包头市高三数学上学期数学期末考试模拟试卷

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2025-2026年包头市高三数学上学期期末考试模拟试卷解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的备选答案中，只有一个选项是符合题意的。） 1．若复数为纯虚数，则（　　） A． B．0 C．2 D．4 解：复数为纯虚数，，得． ，则．故选：． 2设集合，，则集合（　　） A． B． C． D．， 解：集合或，集合， 所以．故选：． 3．已知平面向量满足，，，则在上的投影数量为（　　） A． B． C． D． 解：设，因为，且， 所以，解得， 所以在上的投影数量为．故选：． 4已知变量，之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　） A． B． C．1 D．12 解：因为，，所以，， 因为经验回归方程过点，，即， 所以，解得．故选：． 5已知，且，则（　　） A． B． C． D． 解：由题意得 ， 结合，可得， 所以，， 可得．故选：． 6在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 解：设正三棱柱的底面边长为，由直线与平面所成角为， 可得正三棱柱的高为， 所以四棱锥的体积为，解得， 设该三棱柱的外接球的球心为，中点为上下底面正三角形的中心连线的中点， 设球的半径为，则根据勾股定理可得： ，所以该三棱柱的外接球的表面积．故选：． 7．已知双曲线的右焦点、左顶点分别为，，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点，．若△为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 解：因为双曲线的右焦点、左顶点分别为，所以，， 所以直线的方程为， 由，可得，由，可得， 因为△为等边三角形，所以， 即， 整理可得，所以双曲线的离心率为．故选：． 8．△的三个内角，，对应的三条边分别为，，，且为的中点，，则的取值范围为（　　） A．， B．， C． D． 解：△的三个内角，，对应的三条边分别为，，， 由及正弦定理， 可得，而，则， 根据诱导公式和二倍角的正弦公式可得， 由，得，因此，，则， 由是的中点，得，两边平方得， 而，则， 当且仅当时取等号，因此，又，所以， 解得，所以的取值范围为．故选：． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。） 9已知函数，则（　　） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上的值域为 D．在上单调递增 解：根据，不是最值，可知的图象不关于直线对称，故错误； 根据，可知的图象关于点对称，故正确； 当时，， 所以，即的值域为，故正确； 当时，， 结合正弦函数的单调性，可知在上单调递减，故错误．故选：． 10已知抛物线的焦点为，过的直线与交于、两点，，为坐标原点，则（　　） A．的准线方程为 B． C．的最小值为3 D．△的面积的最小值为4 解：根据题意知，的焦点为，准线方程为，因此选项错误； 若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不符合题意， 设为，，、，，联立抛物线和直线可得，化简得， 根的判别式△，因此根据韦达定理可得，，所以，所以，因此选项正确； 分别过、作的准线的垂线，垂足分别为、，则， 当且仅当、、三点共线时等号成立，此时，因此选项正确； 三角形的面积， 当时，△的面积取得最小值2，因此选项错误．故选：． 11．已知数列满足，的前项和为，则　　 A． B．数列是等比数列 C．，，构成等差数列 D．数列前100项和为 解：由，①取，可得，故正确； ，② ①②得：， 则，，验证适合上式，可得， 则数列是首项为2，公差为1的等差数列，故错误； 则，，， 而， ，则，即，，构不成等差数列，故错误； ， 则数列前100项和为，故正确． 故选：． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．若，则________ 解：因为，所以， 故． 13 若直线与函数和的图象分别相切于点，，则______ 解：因为与的导数分别为：与， 设，，，则根据题意可得， 所以，所以， 所以，所以，所以或， 当时，不满足， 所以，，所以，，所以． 14 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，直线与所成角的大小为，则四棱锥的体积为 　　． 解：如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设，则，0，，，0，，，，，，，，，0，， ，，，，，， 直线与所成角的大小为，， 解得，四棱锥的体积为： ．故答案为：． 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 记正项等比数列的前项和为，已知． （1）求的公比； （2）若，数列的前项和为，正整数满足，求． 解：（1）设等比数列的公比为，且， 若，则，由，得，显然不成立， 则，所以， 所以，即， 分解因式可得，解得，所以．所以数列的公比为2； （2）由（1）知的公比为2，因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 化简得，解得（负根已舍去）． 16不同大模型各有千秋，适配领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对，两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率； （2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； （3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小（结论不要求证明）． 解：（1）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为， 该校乙学院学生使用款大模型的概率为； （2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以； （3）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为， 该校乙学院学生使用款大模型的概率为， 所以，由二项分布的方差公式可知， ，则． 17 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，为中点，过点作的垂线交于点，交于点． （1）证明：平面； （2）若，，求平面与平面所成角的余弦值． 解（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因为平面，可得， 又因为，，所以平面； （2）解：由题意可得，，两两互相垂直，， 以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，0，，，2，，，2，，，1，，，0，， 设，则， 因为，， 可得，解得，则． 设平面的法向量为， 由，令，则平面的一个法向量为， 由（1）得为平面的一个法向量， 可得，，， 设平面与平面所成角为，则，， 因此平面与平面所成角的余弦值为． 18已知函数． （1）求在，上的最值． （2）设函数． 讨论的单调性； 若为的一个极值点，且（a）（b），，证明为定值． 解：（1），令，解得或． 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在时取得极大值（1），在时取得极小值（3）， 又，（4）， 所以在，上的最大值为3，最小值为． （2），， 判别式△， 当时，，，在上单调递增； 当时，△，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减． （ⅱ）证明：因为为的一个极值点，所以（a），即（a）， 所以，由（a）（b）得， 整理得， ， 化简得，因为，所以， 将代入，得， 整理得，， 化简得，因为，所以，即，所以为定值． 19已知椭圆经过点，左、右焦点分别为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点． 求证：四边形的面积为定值；求△面积的最大值． 解：（1）因为椭圆的左、右焦点分别为，，所以， 因为椭圆经过点，所以，解得，则椭圆的标准方程为； （2）证明：由（1）得，， 设，，，，因为点在椭圆上，所以， 即，直线的方程为， 令，解得，即，直线的方程为， 令，解得，即， 所以，， ，则四边形面积为定值，定值为2； 直线的方程为， 点，到直线的距离为且， 所以， 当且仅当时，等号成立．则． 包头市景泰中学高xxx年级第xxx次月考（xxx）学科试卷 第xxx页（共xxx页） 包头市景泰中学高xxx年级第xxx次月考（xxx）学科试卷 第xxx页（共xxx页） 学科网（北京）股份有限公司 $○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2025-2026年包头市高三数学上学期期末考试模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的备选答案中，只有一个选项是符合题意的。） 1．若复数为纯虚数，则（　　） A． B．0 C．2 D．4 2设集合，，则集合（　　） A． B． C． D．， 3．已知平面向量满足，，，则在上的投影数量为（　　） A． B． C． D． 4已知变量，之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为，若，，则（　　） A． B． C．1 D．12 5已知，且，则（　　） A． B． C． D． 6在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 7．已知双曲线的右焦点、左顶点分别为，，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点，．若△为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 8．△的三个内角，，对应的三条边分别为，，，且为的中点，，则的取值范围为（　　） A．， B．， C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。） 9已知函数，则（　　） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上的值域为 D．在上单调递增 10已知抛物线的焦点为，过的直线与交于、两点，，为坐标原点，则（　　） A．的准线方程为 B． C．的最小值为3 D．△的面积的最小值为4 11．已知数列满足，的前项和为，则　　 A． B．数列是等比数列 C．，，构成等差数列 D．数列前100项和为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．若，则________ 13 若直线与函数和的图象分别相切于点，，则______ 14 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，直线与所成角的大小为，则四棱锥的体积为 　　． 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 记正项等比数列的前项和为，已知． （1）求的公比； （2）若，数列的前项和为，正整数满足，求． 16不同大模型各有千秋，适配领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对，两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率； （2）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； （3）从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小（结论不要求证明）． 17 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，为中点，过点作的垂线交于点，交于点． （1）证明：平面； （2）若，，求平面与平面所成角的余弦值． 18已知函数． （1）求在，上的最值． （2）设函数． 讨论的单调性； 若为的一个极值点，且（a）（b），，证明为定值． 19已知椭圆经过点，左、右焦点分别为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点． 求证：四边形的面积为定值；求△面积的最大值． 包头市景泰中学高xxx年级第xxx次月考（xxx）学科试卷 第xxx页（共xxx页） 包头市景泰中学高xxx年级第xxx次月考（xxx）学科试卷 第xxx页（共xxx页） 学科网（北京）股份有限公司 $