第11课时 一次函数及应用 讲义（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练） 2026年中考数学一轮复习

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第11课时 一次函数及应用 一、核心知识 （一）一次函数的定义与表达式 定义：形如______y = kx + b______（k、b 为常数，且______k≠0______）的函数叫做一次函数。 特殊情况：当______b=0______时，函数化为 y = kx（k≠0），叫做______正比例函数______，是一次函数的特殊形式。 表达式类型： 一般式： y = kx + b（k≠0） 。 （二）一次函数的图象与性质 图象形状：一次函数 y = kx + b 的图象是一条______直线______，正比例函数 y = kx 的图象是经过______原点 (0,0)______的直线。 图象性质（k、b 的作用）： 系数 k：决定直线的______增减性______和倾斜程度： k > 0：y 随 x 的增大而______增大______，直线从左到右上升； k < 0：y 随 x 的增大而______减小______，直线从左到右下降； |k | 越大，直线越______陡峭______；|k | 越小，直线越 平缓 。 常数b：决定直线与 y 轴的交点坐标：直线与 y 轴交于点______(0,b)______： b > 0：交点在 y 轴______正半轴______； b = 0：交点在 原点 ； b < 0：交点在 y 轴______负半轴______。 直线平移规律（针对 y = kx + b）： 向上平移 m 个单位： y = kx + (b + m) ； 向下平移 m 个单位： y = kx + (b - m) ； 向左平移 m 个单位： y = k (x + m) + b ； 向右平移 m 个单位： y = k (x - m) + b（“上加下减常数项，左加右减自变量”） 。 （三）一次函数的求解方法（待定系数法） 步骤： 设：设一次函数表达式为 y = kx + b（k≠0） ，正比例函数设为 y = kx（k≠0） ； 代：将图象上______两个______已知点的坐标代入表达式，列二元一次方程组； 解：解方程组求出 k、b 的值； 写：写出一次函数的最终表达式。 （四）一次函数的应用 核心关联： 一次函数与一元一次方程：kx + b = 0 的解是直线与______x 轴______交点的横坐标； 一次函数与一元一次不等式：kx + b > 0（或 < 0）的解集是直线在 x 轴______上方（或下方）______对应的 x 的取值范围； 一次函数与二元一次方程组：两个一次函数图象的______交点坐标______是对应方程组的解。 常见应用场景： 行程问题：路程 s = vt + s0 （v 为速度，s0为初始路程）； 利润问题：总利润 y = 单件利润 × 销量 + 固定成本 ； 方案设计问题：根据函数增减性选择最优方案（如最低成本、最高利润）； 分段函数问题：根据不同区间的计费标准、折扣规则列分段函数，再求解。 二、核心能力 （一）一次函数图象与性质分析 题型 1：由 k、b 判断图象或由图象求 k、b 的范围 解题思路 紧扣 k 的增减性、b 的截距意义，结合选项排除错误答案；若图象过特定象限，列关于 k、b 的不等式组求解。 题型 2：直线平移与对称 解题思路 根据平移规律 “上加下减、左加右减” 直接变形表达式；关于 x 轴对称时，x 不变、y 变号；关于 y 轴对称时，y 不变、x 变号。 （二）待定系数法求一次函数解析式 题型 1：已知两点求解析式 解题思路 直接代入两点坐标，解二元一次方程组求 k、b，注意正比例函数需验证 b=0。 题型 2：结合图象特征求解析式（如过原点、与坐标轴交点） 解题思路 先确定特殊点坐标（如与 x 轴交点 (a,0)、与 y 轴交点 (0,b)），再代入表达式求解。 （三）一次函数与方程、不等式综合 题型 1：由函数图象解方程、不等式 解题思路：找到直线与 x 轴、y 轴的交点，结合图象上下位置关系确定解集；方程的解对应交点横坐标。 题型 2：由方程、不等式求函数参数 解题思路：将方程的解、不等式的解集转化为函数图象上的点或范围，列关于 k、b 的方程（组）或不等式求解。 （四）一次函数实际应用 题型 1：行程、利润等单一情境应用 解题思路 找准等量关系，设自变量（如时间、销量），列一次函数表达式，再根据题意求解（如求时间、最大利润）。 题型 2：方案设计与分段函数 解题思路 分段函数需明确分界点，分区间列表达式；方案设计需根据函数增减性，在自变量取值范围内找最优解（k>0 取最大值，k<0 取最小值）。 三、易错警示 混淆 k、b 的意义 错误：认为 k>0 时直线过第二象限（实际 k>0 仅决定上升，过象限还需看 b）； 提醒：直线过象限由 k 和 b 共同决定，可画图辅助判断（如 k>0、b>0 过一、二、三象限）。 待定系数法漏条件 错误：仅用一个点求一次函数解析式（需两个独立条件）； 提醒：一次函数有 k、b 两个参数，必须代入两个点的坐标列方程组。 平移规律应用错误 错误：将 y = 2x + 1 向右平移 2 个单位化为 y = 2x + 3（正确为 y = 2 (x - 2) + 1 = 2x - 3）； 提醒：“左加右减” 针对自变量 x，不是常数项 b。 实际应用忽略自变量取值范围 错误：利润问题中解得销量为负数未舍去； 提醒：实际问题中自变量（如人数、销量、时间）需为非负数或正整数，需筛选符合题意的解。 分段函数分界点处理错误 错误：计费问题中忽略分界点是否含等号（如 “不超过 3km 收费 10 元”，x≤3 时 y=10）； 提醒：分界点的等号只能归属于一个区间，避免重复或遗漏。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·上海中考）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了正比例函数的定义，形如为常数且的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【解答】解：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； ，该函数为二次函数（最高次数为），而正比例函数为一次函数，不符合题意； ，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； ，该函数可化简为，符合的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：． 2.（24-25·青海模拟）图中表示一次函数与正比例函数是常数，且图象的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图像， 分和两种情况分别确定函数图像所在象限，再判断即可． 【解答】解：当时，一次函数的图像经过第一，二，三象限，正比例函数经过第二，四象限； 当时，一次函数的图像经过第二，三，四象限，正比例函数经过第一，三象限， 所以符合题意． 故选：． 3.（25-26·全国模拟）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出的值． 【解答】解： 一次函数的图象经过点， 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：． 4.（24-25·山东中考）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值的取值范围，即可得出结果． 【解答】解：一次函数的函数值随的增大而减小， ， 当时，， 选项中只有符合要求， 故选：． 5.（24-25·陕西模拟）在平面直角坐标系中，直线与直线交点的横坐标为，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】此题考查了一次函数图象的交点问题．先利用直线求出交点的纵坐标，再把交点的坐标代入直线即可求出答案． 【解答】解：把代入得到， 直线与直线交点坐标为， 把代入得到， 解得， 故选：  6.（24-25·内蒙古模拟）已知实数，满足，则经过点的直线表达式可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据算术平方根的非负性，平方的非负性求得的值，进而将 【解答】 ， ，， 该点的坐标为 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 故选 7.（24-25·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，则的值为（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】先将点点坐标表示出来，把点代入直线可得出点坐标为，过做垂线垂直于直线交于点，求出和的长即可求出答案 【解答】 过作直线交于点 由题意可得，点坐标为点坐标为 把点横坐标代入直线，可得故点坐标为 直线 ，即是等腰直角三角形 在中，， 同理可得 故正确答案为 8.（24-25·陕西中考）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A. B. C. D . 【答案】B 【解析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【解答】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ， ， 过点，的直线向上平移个单位长度， 平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故选项符合题意，故选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故选项不符合题意； 故选： 9.（24-25·全国模拟）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 声音传播的速度 研究发现满足公式为常数，且．当温度为时，声音传播的速度为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数和常数项，再代入计算的值，即可解题． 【解答】解： 满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度为时，， 故选：． 10.（24-25·河北模拟）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【解答】解： ， 随的增大而减小， 又点，，在一次函数（是常数）的图象上，且， ． 故选：．  11.（24-25·福建模拟）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，则的取值为（      ） A. B. C. D.且 【答案】B 【解析】由题意可知，且在的下方，则，当经过点时，，此时两直线相交，则时，． 【解答】解：，直线经过定点， 无论取何值，始终有， ，且在的下方， ， 当经过点时， ， ， 此时两直线相交， 时，， 即． 故此题答案为． 12.（24-25·宁夏模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（   ） A.由图象可知； B.方程组的解为； C.方程的解为； D.当时． 【答案】D 【解析】先观察直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解；然后根据直线与轴交点的坐标可判断；最后根据直线在直线的上方，确定自变量的取值范围解答即可． 【解答】解：因为直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方，所以； 则正确； 因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程的解是， 则正确； 因为直线与轴交点的坐标是， 所以方程的解是， 则正确； 因为从交点向左时直线在直线的上方， 所以当时，， 则不正确． 故选：． 13.（24-25·陕西模拟）如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了一次函数与坐标轴交点，两直线交点等知识，利用数形结合是解题关键． 根据题意求出点坐标的值，进而求出直线的解析式，继而求出点的坐标，即可得解． 【解答】解：在直线上， ， ， ， 将代入， 得，解得，故， 直线与轴交于点， ， ， ， ， ． 故选：． 14.（24-25·河北中考）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【解答】解：设直线的解析式为，代入 直线的解析式为 ， 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， 直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， 直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， 当为时，平移方式为向右平移个单位，， 直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， 直线平移后的解析式为，此时点和在正方形内部，不符合题意， 故选：． 15.（25-26·全国期中）关于函数，给出下列说法正确的是：（    ） ①当时，该函数是一次函数； ②若点在该函数图像上，且，则； ③若该函数不经过第四象限，则； ④该函数恒过定点． A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ 【答案】A 【解析】本题考查一次函数的定义、一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键． 根据一次函数的定义、一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征逐项分析求解即可． 【解答】解：当时，该函数是一次函数，正确，故①符合题意； 若点在该函数图像上，且， ， 随的增大而增大，则正确，故②符合题意； 若该函数不经过第四象限，则， 原说法错误，故③不符合题意； 令，则该函数恒过定点，正确，故④符合题意； 故符合题意的有①②④， 故选：． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.一次函数，当时，，则的值等于________；当_____1__时，． 【答案】，1 【解析】 【解答】把时，代入得 解得 所以 把代入得， 解得 所以当时， 故答案为 17.（25-26·广东月考）点和点是一次函数图象上两点，当时，有，则_____<_______．（填“”或“”） 【答案】 【解析】根据正比例函数的性质，当时，有，可得随的增大而减小，即可得出，即可求解． 【解答】解：当时，有，可得随的增大而减小， ， 故答案为：． 18.（25-26·青海模拟）如表给出了直线上部分点的坐标值，表给出了直线上部分点的坐标值．那么直线和直线交点坐标为__________． 表： 表： 【答案】 【解析】本题考查了两直线相交的问题：如一个点的坐标同时满足两个直线的解析式，则这个点是这两直线的交点．通过观察直线上和上部分点的坐标值，会发现当时，的值都是，即两直线都经过点，即交点． 【解答】解：通过观察表可知，直线和直线交点坐标为． 故答案为： 19.（24-25·江苏模拟）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点．则关于的方程的解为___________． 【答案】 【解析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，利用一次函数的图象解一元一次方程时，关键是找准方程的解是相应的一次函数为何值时对应的的值． 方程的解即为当时方程的解，而一次函数的图象与轴交于点，则当时，，即可求解． 【解答】解：方程的解即为当时方程的解， 一次函数的图象与轴交于点， 当时，， 故答案为：． 20.（25-26·四川模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移个单位长度后与线段有交点，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键． 先求出平移后的解析式为，分别代入、的坐标，求得对应的的值， 根据函数图象即可解答． 【解答】解：把直线向上平移个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， 将直线向上平移个单位长度后与线段有交点，则． 故答案为：． 21.（24-25·四川模拟）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“不动点”，例如：直线，上存在“不动点”．若函数的图象上存在唯一“不动点”，则____或或__________． 【答案】或或 【解析】根据题意列出关于的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【解答】解：由题意可知，方程有唯一解， 整理得：，且． 即， 解得或． 当时，它是一次函数，存在唯一“不动点”， 故答案为：或或． 22.（25-26·江苏模拟）直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转至，求的函数解析式_________________ 【答案】 【解析】过点作交于点，首先求出，，然后求出，然后根据题意得到是等腰直角三角形，表示出，利用求出，然后利用待定系数法求解即可． 【解答】如图所示，过点作交于点， 直线与轴交于点， 当时，， ， 当时，即，解得， ， 直线绕着点逆时针旋转至， 设点的坐标为， ，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，即， 解得， ， ， 解得，（舍去）， ， 设的表达式为， 将，代入得， ，解得， ． 故答案为：． 23.（24-25·安徽期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是           ． 【答案】 【解析】 首先求出点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可． 【解答】 解：把代入得：，解得：， 则， 根据图象可得不等式的解集是， 故此题答案为：． 24.（24-25·江苏模拟）设直线和直线（是正整数）与轴围成的三角形面积为，则____________． 【答案】 【解析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，两直线的交点问题．先求出第个三角形与轴的交点横坐标为与，可得第个三角形在轴上这条边的长为，然后联立，求出两直线的交点坐标为，从而得到，即可求解． 【解答】解：分别令两直线中， ，， 解得：，， 即第个三角形与轴的交点横坐标为与， 第个三角形在轴上这条边的长为， 联立得：， 解得：， 两直线的交点坐标为， ， ． 故答案为：． 25.（25-26·河北开学）电信公司手机的收费标准有两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示．当通话时间为分钟时，按这两类收费标准缴费的差为_____16__________元． 【答案】 【解析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 设类收费的解析式为，类收费的解析式为，分别用待定系数法求出函数解析式，当时，求出的值，计算即可得到答案． 【解答】解：设类收费的解析式为， 把代入得， 解得：， 类收费的解析式为； 设类收费的解析式为， 把代入得， 解得， 设类收费的解析式为； 当时， ， ， （元）， 当通话时间为分钟时，按这两类收费标准缴费的差为元， 故答案为：．  （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·广东模拟）已知函数. （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）当为何值时，是的正比例函数？ 【答案】解：由题意得：，解得：， 所以当时，是的一次函数． 由题意得：且，解得：， 所以当时，是的正比例函数． 【解析】（1）暂无 （2）暂无 【解答】（1）解：由题意得：，解得：， 所以当时，是的一次函数． （2）由题意得：且，解得：， 所以当时，是的正比例函数． 27.（24-25·陕西模拟）为加强劳动教育，落实五育并举，实验中学在校园内建立了一处劳动教育基地，用来种植菜苗．从种植开始，每隔天记录一次数据，数据记录如下： 已种菜苗天数天 ．．． 菜苗高度 ．．． （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若菜苗高度与已种菜苗天数（天）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是__一次___函数关系； （2）根据以上判断，求关于的函数表达式； （3）根据实践经验可知，这种菜苗在高度达到时成熟，求菜苗成熟时，种植这种菜苗的天数的值． 【答案】图见解答，一次； ； 【解析】（1）根据题目给出的数据，在平面直角坐标系中描出对应的点，然后通过观察这些点的分布，可以判断出菜苗高度与已种菜苗天数之间的函数关系； （2）直接利用待定系数法求一次函数的关系式即可； （3）利用这个函数表达式来求解菜苗成熟时的种植天数即可． 【解答】（1）解：描出表中数据对应的点，如图： 通过观察图像，我们可以看出这是一个一次函数关系． 故答案为：一次． （2）设关于的函数表达式为， 将代入，得到方程组：， 解得：， 关于的函数表达式为； （3）根据题目描述，这种菜苗在高度达到时成熟， 将代入，解得：， 菜苗成熟时，种植这种菜苗的天数的值为35.  28.（24-25·湖北期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点 （1）求一次函数、反比例函数的表达式： （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】  ,  ； 或. 【解析】此题暂无解析 【解答】（1）解：∵ 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,, ∴ ∴ ∴   ∴ 反比例函数的解析式为：  , 把代入，得 ∴   解得：  ∴ 一次函数的解析式为： ； （2）关于的不等式的解集， 即反比例函数的图象在一次函数的图象上方． ∴ 根据图象，关于的不等式的解集为：或. 29.（24-25·北京模拟）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于，直接写出的取值范围． 【答案】， 【解析】（1）将点和代入一次函数求解即可得； （2）先求出当时，，再根据函数的增减性求解即可得． 【解答】（1）解：一次函数的图象过点和， ， 解得． （2）解：由可知，， 随的增大而增大， 当时，， 当时，， 要使得当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于， 则随的增大而增大，且当时，，即， ． 30.（25-26·甘肃模拟）如图，点在轴上，点和点都在轴上． （1）直线的表达式是____y=−x−3__________________ （2）在直线上且位于轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是______y<−3_____ （3）当的取值范围是___x<−3______时，直线在直线的上方 （4）直线向右平移____2__个单位后经过点 【答案】 【解析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）根据图象即可求解； （3）根据图象即可求解； （4）假设直线向右平移个单位后经过点，得出平移后解析式为，将代入即可求解； 【解答】（1）解：设这个一次函数的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的表达式是； （2）解：根据图象可得，在直线上且位于轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是； （3）解：根据图象可得，当直线在直线的上方时，； （4）解：直线的表达式是， 假设直线向右平移个单位后经过点， 则平移后解析式为， 将代入得， 解得：， 故直线向右平移个单位后经过点．  31.（24-25·新疆模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，，，连接． （1）求所在直线的表达式； （2）从点处发射激光．①当激光轴时，与交于点，求线段的长度； ②已知所在直线的表达式为，请直接写出激光与线段（不含端点）有交点时的取值范围． 【答案】 ①；② 【解析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题意可得点的横坐标为，然后将代入所在直线的表达式可求得点的纵坐标即可；②先根据所在直线过、两点可求得一个临界点，在根据当轴时，与交于点，即可取无限大，据此即可解答． 【解答】（1）解：设直线的函数解析式为，则有：，解得：， 设直线的函数解析式为． （2）解：①如图： 点处发射激光，轴，与交于点， 点的横坐标为， 将代入所在直线的表达式可得：, , 线段的长度为． ②所在直线的表达式为， ，即 ，， 当所在直线过时，，解得：， 由当轴时，与交于点，即可取无限大 的取值范围． 32.（24-25·新疆期中）已知两直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点（如图）． （1）求点坐标． （2）求两直线与坐标轴所围成的四边形的面积． 【答案】 【解析】（1）联立两条直线解析式方程组求解即可； （2）使用割补法，用大三角形面积减去小三角形面积得到四边形面积． 【解答】（1）点为两直线交点，联立得， 解得， ； （2）将代入得，， 将代入得， ， 将代入得， ， ， ， ． 33.（25-26·吉林模拟）数学项目小组为解决由根弹簧构成且成本不超过元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息 如图，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 拉力 信息 在弹性限度内，弹簧伸长后最大长度均为．弹簧每根元，弹簧每根元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）在图中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． （2）求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． （3）如何购买两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 【答案】见解答，这些点分布在同一直线上 ，弹簧在弹性限度内的最大拉力是 购买弹簧根、弹簧根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为 【解析】（1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）设弹簧为根，则弹簧为根，根据最大拉力得到函数解析式，根据增减性解题即可． 【解答】（1）解：描点并连线如图所示： 由图象可知，这些点分布在同一直线上． （2）由可知，与之间是一次函数关系， 设关于的函数表达式为为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为， 当时，， 弹簧在弹性限度内的最大拉力是； （3）设购买弹簧根，则购买弹簧根， 根据题意，得， 解得， 当时，， 随的增大而增大， 且为非负整数， 当时值最大，最大（根）． 答：购买弹簧根、弹簧根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为． 34.（25-26·广东模拟）【阅读理解】 点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若 则称为点的“微距值”；若 则称₂为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为． 【知识应用】 （1）点的“微距值”为___2____； （2）若点的“微距值”为， 求的值； （3）若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标． 【答案】 或． 或． 【解析】（1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小． （2）由点的“微距值”为，点到轴的距离，“微距值”为，根据定义可知且，进而求解的值． （3）设点的坐标为，由点在直线上，得．点的“微距值”为，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，，分别求解和的值确定点坐标． 【解答】（1）解：点到轴的距离，到轴的距离． ，即， 点的“微距值”为 故答案为:2 （2）解：点到轴的距离， 点的“微距值”为，且， 点到轴的距离． 或． （3）解：设点的坐标为， 点在直线上， ． 情况一：当时 此时，即． 当时，代入，得， 移项可得，即， 解得， 此时， ， 不满足，舍去． 当时，代入，得， 移项可得，即，解得， 此时，，满足， 点坐标为． 情况二：当时 此时，即． 当时，代入， 得，此时， ，不满足， 舍去． 当时，代入， 得，此时， ，满足， 点坐标为． 综上，点的坐标为或． 35.（25-26·江西月考）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计，的下方，从离桌面的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计，各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 （1）当小铝块下降时，直接写出弹簧测力计和弹簧测力计的示数． （2）当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式． （3）当弹簧测力计悬挂的小铝块下降时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出，的值． 【答案】弹簧测力计的示数为，弹簧测力计的示数为； ； ，． 【解析】（1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为，将代入计算即可． 【解答】（1）解：由图②可知，当小铝块下降时，弹簧测力计的示数为，弹簧测力计的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ， 设当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， 深度为． 第 1 页 共 46 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第11课时 一次函数及应用 一、核心知识 （一）一次函数的定义与表达式 定义：形如____________（k、b 为常数，且____________）的函数叫做一次函数。 特殊情况：当____________时，函数化为 y = kx（k≠0），叫做____________，是一次函数的特殊形式。 表达式类型： 一般式： 。 （二）一次函数的图象与性质 图象形状：一次函数 y = kx + b 的图象是一条___________，正比例函数 y = kx 的图象是经过____________的直线。 图象性质（k、b 的作用）： 系数 k：决定直线的___________和倾斜程度： k > 0：y 随 x 的增大而____________，直线从左到右上升； k < 0：y 随 x 的增大而___________，直线从左到右下降； |k | 越大，直线越____________；|k | 越小，直线越 。 常数b：决定直线与 y 轴的交点坐标：直线与 y 轴交于点___________： b > 0：交点在 y 轴___________； b = 0：交点在 ； b < 0：交点在 y 轴___________。 直线平移规律（针对 y = kx + b）： 向上平移 m 个单位： ； 向下平移 m 个单位： ； 向左平移 m 个单位： ； 向右平移 m 个单位： 。 （三）一次函数的求解方法（待定系数法） 步骤： 设：设一次函数表达式为 ，正比例函数设为 ； 代：将图象上__________已知点的坐标代入表达式，列二元一次方程组； 解：解方程组求出 k、b 的值； 写：写出一次函数的最终表达式。 （四）一次函数的应用 核心关联： 一次函数与一元一次方程：kx + b = 0 的解是直线与____________交点的横坐标； 一次函数与一元一次不等式：kx + b > 0（或 < 0）的解集是直线在 x 轴____________对应的 x 的取值范围； 一次函数与二元一次方程组：两个一次函数图象的___________是对应方程组的解。 常见应用场景： 行程问题：路程 （v 为速度，s0为初始路程）； 利润问题：总利润 ； 方案设计问题：根据函数增减性选择最优方案（如最低成本、最高利润）； 分段函数问题：根据不同区间的计费标准、折扣规则列分段函数，再求解。 二、核心能力 （一）一次函数图象与性质分析 题型 1：由 k、b 判断图象或由图象求 k、b 的范围 解题思路 紧扣 k 的增减性、b 的截距意义，结合选项排除错误答案；若图象过特定象限，列关于 k、b 的不等式组求解。 题型 2：直线平移与对称 解题思路 根据平移规律 “上加下减、左加右减” 直接变形表达式；关于 x 轴对称时，x 不变、y 变号；关于 y 轴对称时，y 不变、x 变号。 （二）待定系数法求一次函数解析式 题型 1：已知两点求解析式 解题思路 直接代入两点坐标，解二元一次方程组求 k、b，注意正比例函数需验证 b=0。 题型 2：结合图象特征求解析式（如过原点、与坐标轴交点） 解题思路 先确定特殊点坐标（如与 x 轴交点 (a,0)、与 y 轴交点 (0,b)），再代入表达式求解。 （三）一次函数与方程、不等式综合 题型 1：由函数图象解方程、不等式 解题思路：找到直线与 x 轴、y 轴的交点，结合图象上下位置关系确定解集；方程的解对应交点横坐标。 题型 2：由方程、不等式求函数参数 解题思路：将方程的解、不等式的解集转化为函数图象上的点或范围，列关于 k、b 的方程（组）或不等式求解。 （四）一次函数实际应用 题型 1：行程、利润等单一情境应用 解题思路 找准等量关系，设自变量（如时间、销量），列一次函数表达式，再根据题意求解（如求时间、最大利润）。 题型 2：方案设计与分段函数 解题思路 分段函数需明确分界点，分区间列表达式；方案设计需根据函数增减性，在自变量取值范围内找最优解（k>0 取最大值，k<0 取最小值）。 三、易错警示 混淆 k、b 的意义 错误：认为 k>0 时直线过第二象限（实际 k>0 仅决定上升，过象限还需看 b）； 提醒：直线过象限由 k 和 b 共同决定，可画图辅助判断（如 k>0、b>0 过一、二、三象限）。 待定系数法漏条件 错误：仅用一个点求一次函数解析式（需两个独立条件）； 提醒：一次函数有 k、b 两个参数，必须代入两个点的坐标列方程组。 平移规律应用错误 错误：将 y = 2x + 1 向右平移 2 个单位化为 y = 2x + 3（正确为 y = 2 (x - 2) + 1 = 2x - 3）； 提醒：“左加右减” 针对自变量 x，不是常数项 b。 实际应用忽略自变量取值范围 错误：利润问题中解得销量为负数未舍去； 提醒：实际问题中自变量（如人数、销量、时间）需为非负数或正整数，需筛选符合题意的解。 分段函数分界点处理错误 错误：计费问题中忽略分界点是否含等号（如 “不超过 3km 收费 10 元”，x≤3 时 y=10）； 提醒：分界点的等号只能归属于一个区间，避免重复或遗漏。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·上海中考）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A. B. C. D. 2.（24-25·青海模拟）图中表示一次函数与正比例函数是常数，且图象的是（   ） A. B. C. D. 3.（25-26·全国模拟）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A. B. C. D. 4.（24-25·山东中考）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A. B. C. D. 5.（24-25·陕西模拟）在平面直角坐标系中，直线与直线交点的横坐标为，则的值为（    ） A. B. C. D. 6.（24-25·内蒙古模拟）已知实数，满足，则经过点的直线表达式可能是（    ） A. B. C. D. 7.（24-25·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，则的值为（      ） A. B. C. D. 8.（24-25·陕西中考）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A. B. C. D . 9.（24-25·全国模拟）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 声音传播的速度 研究发现满足公式为常数，且．当温度为时，声音传播的速度为（   ） A. B. C. D. 10.（24-25·河北模拟）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 11.（24-25·福建模拟）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，则的取值为（      ） A. B. C. D.且 12.（24-25·宁夏模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（   ） A.由图象可知； B.方程组的解为； C.方程的解为； D.当时． 13.（24-25·陕西模拟）如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A. B. C. D. 14.（24-25·河北中考）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A. B. C. D. 15.（25-26·全国期中）关于函数，给出下列说法正确的是：（    ） ①当时，该函数是一次函数； ②若点在该函数图像上，且，则； ③若该函数不经过第四象限，则； ④该函数恒过定点． A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.一次函数，当时，，则的值等于_______；当______时，． 17.（25-26·广东月考）点和点是一次函数图象上两点，当时，有，则___________．（填“”或“”） 18.（25-26·青海模拟）如表给出了直线上部分点的坐标值，表给出了直线上部分点的坐标值．那么直线和直线交点坐标为_________． 表： 表： 19.（24-25·江苏模拟）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点．则关于的方程的解为___________． 20.（25-26·四川模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移个单位长度后与线段有交点，则的取值范围是_____________． 21.（24-25·四川模拟）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“不动点”，例如：直线，上存在“不动点”．若函数的图象上存在唯一“不动点”，则______________． 22.（25-26·江苏模拟）直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转至，求的函数解析式________________ 23.（24-25·安徽期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是         ． 24.（24-25·江苏模拟）设直线和直线（是正整数）与轴围成的三角形面积为，则___________． 25.（25-26·河北开学）电信公司手机的收费标准有两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示．当通话时间为分钟时，按这两类收费标准缴费的差为______________元． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·广东模拟）已知函数. （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）当为何值时，是的正比例函数？ 【答案】解：由题意得：，解得：， 所以当时，是的一次函数． 由题意得：且，解得：， 所以当时，是的正比例函数． 27.（24-25·陕西模拟）为加强劳动教育，落实五育并举，实验中学在校园内建立了一处劳动教育基地，用来种植菜苗．从种植开始，每隔天记录一次数据，数据记录如下： 已种菜苗天数天 ．．． 菜苗高度 ．．． （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若菜苗高度与已种菜苗天数（天）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是____函数关系； （2）根据以上判断，求关于的函数表达式； （3）根据实践经验可知，这种菜苗在高度达到时成熟，求菜苗成熟时 28.（24-25·湖北期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点 （1）求一次函数、反比例函数的表达式： （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 29.（24-25·北京模拟）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于，直接写出的取值范围． 30.（25-26·甘肃模拟）如图，点在轴上，点和点都在轴上． （1）直线的表达式是_____________________ （2）在直线上且位于轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是_________ （3）当的取值范围是________时，直线在直线的上方 （4）直线向右平移______个单位后经过点 31.（24-25·新疆模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，，，连接． （1）求所在直线的表达式； （2）从点处发射激光．①当激光轴时，与交于点，求线段的长度； ②已知所在直线的表达式为，请直接写出激光与线段（不含端点）有交点时的取值范围． 32.（24-25·新疆期中）已知两直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点（如图）． （1）求点坐标． （2）求两直线与坐标轴所围成的四边形的面积． 33.（25-26·吉林模拟）数学项目小组为解决由根弹簧构成且成本不超过元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息 如图，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 拉力 信息 在弹性限度内，弹簧伸长后最大长度均为．弹簧每根元，弹簧每根元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）在图中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． （2）求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． （3）如何购买两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 34.（25-26·广东模拟）【阅读理解】 点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若 则称为点的“微距值”；若 则称₂为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为． 【知识应用】 （1）点的“微距值”为______； （2）若点的“微距值”为， 求的值； （3）若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标． 35.（25-26·江西月考）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计，的下方，从离桌面的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计，各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 （1）当小铝块下降时，直接写出弹簧测力计和弹簧测力计的示数． （2）当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式． （3）当弹簧测力计悬挂的小铝块下降时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出，的值． 第 1 页 共 46 页 学科网（北京）股份有限公司 $