2026年中考数学第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第9课时：《方程与不等式的应用》

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第9课时 方程与不等式的应用 一、核心知识 （一）四大方程核心定义与应用场景 一元一次方程： ，适用于单一等量关系 + 不等式限定范围的问题（如购物预算、人数分配）。 二元一次方程组： ，适用于两个关联等量关系 + 不等式筛选方案（如两种商品采购、行程相遇）。 一元二次方程： ，适用于增长率、利润最值、几何面积等需二次关系表达的问题。 分式方程： ，适用于比例关系、行程（速度未知）、工程（效率未知） 问题，解后必须检验增根。 （二）方程与不等式联用核心逻辑 共性解题步骤：审（找等量 / 不等关系）→ 设（未知数）→ 列（方程 + 不等式）→ 解（方程 / 不等式组）→ 验（解的合理性）→ 答。 联用核心场景： 方程求 “具体关系”（如未知数表达式、数量关联），不等式定 “范围边界”（如正整数解、费用上限）。 参数问题：通过方程表示未知数，代入不等式求参数取值范围。 实际应用：用不等式筛选方程的符合题意解（如人数、件数为正整数）。 （三）四大方程与不等式联用模型 方程类型 核心等量关系 常用不等关系 高频应用场景 一元一次方程 总量 = 部分和、单价 × 数量 = 总价 至少（≥）、最多（≤）、不超过 预算控制、行程速度限定 二元一次方程组 两种量的总量关系、两种量的配比关系 某量不少于另一量、总量上限 两种商品采购方案、人员分配 一元二次方程 增长率：a (1±x)ⁿ=b、总利润 = 单件利润 × 销量 利润≥目标值、根为正 / 负 利润最值、面积限定、增长率范围 分式方程 路程 / 速度 = 时间、工作量 / 效率 = 时间 速度 / 效率为正数、完成时间≤期限 行程追及相遇、工程进度控制 二、核心能力 （一）一元一次方程与不等式综合 题型 1：已知方程的解满足不等式，求参数范围 解题思路 先解一元一次方程得 x = k（k 含参数），代入不等式建立关于参数的不等式，注意方程系数不为 0 的隐含条件。 题型 2：实际问题中的方程 + 不等式建模 解题思路 用方程表示数量关联，用不等式限定实际意义（如正整数、费用上限），筛选符合条件的解。 （二）二元一次方程组与不等式综合 题型 1：方程组的解满足不等式，求参数范围 解题思路 消元法解方程组得 x、y 的参数表达式，代入不等式（组），求解参数范围。 题型 2：方案设计类（方程组 + 不等式组） 解题思路 用方程组求两种量的单价 / 效率，用不等式组限定总量 / 费用，列举所有正整数解作为方案。 （三）一元二次方程与不等式综合 题型 1：根的特征结合不等式求参数 解题思路 用判别式 Δ 判断根的个数，用韦达定理表示根的和 / 积，结合根的特征（正根、异号根）列不等式组，注意 a≠0。 题型 2：增长率 / 利润问题中的不等式限定 解题思路 用一元二次方程表示增长 / 利润关系，用不等式设定目标边界（如利润≥某值），求解符合条件的解。 （四）分式方程与不等式综合 题型 1：分式方程的解满足不等式 解题思路 去分母转化为整式方程求解，检验分母不为 0，再代入不等式求参数范围。 题型 2：增根与不等式结合 解题思路 先求分式方程的增根（使分母为 0 的 x 值），将增根代入整式方程得参数表达式，再结合不等式限定参数范围。 三、易错警示 一元一次方程： 移项未变号导致解错误，代入不等式后参数范围失真；忽略实际意义（如负解未舍去）。 二元一次方程组 消元时符号计算错误，导致 x、y 表达式出错；漏列不等式组（如仅考虑一个量的范围）。 一元二次方程 忽略二次项系数 a≠0；未验证 Δ≥0 直接用韦达定理；增长率问题中舍去负根不说明理由。 分式方程 解后未检验增根；忽略不等式中分母不为 0 的隐含条件。四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·天津中考）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A. B. C. D. 2.（24-25·四川中考）学校准备添置一批课桌椅，原订购套，每套元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了套，每套减价元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为元，则可列方程为（   ） A. B. C. D. 3.（24-25·新疆模拟）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（    ） A. B. C. D. 4.（25-26·山东模拟）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”设绳长尺，竿长尺，根据题意得（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，托尺）（        ） A. B. C. D. 5.（24-25·广西模拟）随着电影《哪吒之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共套，第二次的总价比第一次多元，且两次进价都是元/套．设该书店第一次购进套，第二次购进套，根据题意，所列方程组正确的是（   ） A. B. C. D. 6.（24-25·山东模拟）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（    ） A. B. C. D. 7.（24-25·贵州模拟）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A. B. C. D. 8.（24-25·河南模拟）某书店今年月份盈利元，月份盈利元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 9.（23-24·黑龙江模拟）某商场将进货价为元的某种服装以元售出，平均每天可售件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件应降价（      ） A.元 B.元 C.元 D.元 10.（23-24·山西中考）某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为元，购买茶具的费用为元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜元．设购买扇子的单价为元．则满足的方程为（    ） A. B. C. D. 11.（23-24·四川中考）甲乙两人各自加工个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（    ） A. B. C. D. 12.（23-24·广东模拟）某环保知识竞赛一共有道题，规定：答对一道题得分，答错或不答一道题扣分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（分或分以上），则小明至少答对了      道题．（      ） A. B. C. D. 13.（24-25·天津模拟）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A. B. C. D.  14.（24-25·福建模拟）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①班学生的最高身高为； ②班学生的最低身高小于； ③班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 15.（24-25·河北模拟）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·河北中考）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则____________． 17.（24-25·甘肃模拟）学习情境·阅读理解  阅读下列材料：设，则，则由，即．所以．根据上述提供的方法把列两个数化成分数___________，_________． 18.（23-24·河南模拟）解方程组时，一学生把看错而得到而正确的解是那么_______________. 19.（25-26·全国模拟）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给赋不同的值，可得的值为__________． 20.（25-26·福建月考）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量为辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，则所列方程为____________． 21.（24-25·四川模拟）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价元/瓶，经过连续两次降价后．现在仅卖元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为___________． 22.（24-25·江苏模拟）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是_______________． 23.（23-24·内蒙古中考）年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵元，且用元购进小号“龙辰辰”的数量是用元购进大号“龙辰辰”数量的倍，则大号“龙辰辰”的单价为______________元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为____________元． 24.（24-25·北京模拟）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．求甲乙两公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装间教室，请根据题意列出方程______________． 25.（24-25·山东中考）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则________________． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）   26.（24-25·湖南模拟）年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售，两类特产．类特产进价元/件，类特产进价元/件．已知购买件类特产和件类特产需元，购买件类特产和件类特产需元． （1）求类特产和类特产每件的售价各是多少元？ （2）类特产供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件类特产降价元，每天的销售量为件，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在的条件下，由于类特产供货紧张，每天只能购进件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为元，求与的函数关系式，并求出每件类特产降价多少元时总利润最大，最大利润是多少元？（利润＝售价-进价） 27.（24-25·云南中考）某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运千克，机器人搬运千克所用时间与机器人搬运千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 28.（24-25·贵州中考）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装、两种型号生产线.已知，同时开启一条型和一条型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条型和两条型生产线每月可以生产抹茶共． （1）求一条型和一条型生产线每月各生产抹茶多少吨？ （2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的、两种生产线共条，该车间接到一个订单，要求个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条型生产线？ 29.（24-25·黑龙江中考）年月日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买个“蜀宝”和个“锦仔”共需花费元，购买个“蜀宝”和个“锦仔”共需元． （1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ （2）若学校计划购买这两种吉祥物共个，投入资金不少于元又不多于元，有哪几种购买方案？ （3）设学校投入资金元，在的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 30.（24-25·江西模拟）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的个矩形地块，请你求出小路的宽度．   31.（24-25·湖北模拟）某商店出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系：，已知该商品的成本是元件，售价不低于成本价且不高于元． （1）若该商品的日销售量为盒，求该商品的每件售价是多少元？ （2）在条件（）下，该商店决定在假日期间采用降价促销的方式回馈顾客，当该商品每件降价多少元时，商店的日销售纯利润为元． 32.（24-25·全国模拟）某超市购进甲、乙两种商品，年甲、乙两种商品每件的进价均为元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降元，乙种商品年每件的进价为元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）年该超市用不超过元的资金一次购进甲、乙两种商品共件，求最少购进多少件甲种商品． 33.（23-24·四川模拟）某商店用元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了元． （1）该商店第一次购进这种水果多少千克？ （2）假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的千克按标价的五折优惠销售，若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？ 34.（24-25·黑龙江中考）一条公路上依次有、、三地，一辆轿车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离（单位：）与轿车的行驶时间（单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中的值是______，的值是______； （2）在货车从地返回地的过程中，求货车距出发地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距． 35.（24-25·全国模拟）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． （1）甲在秒内经过的路程为__________；（单位：） （2）求出发后，甲、乙速度相等的时间； （3）求出发后，甲、乙相遇的时间． 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第9课时 方程与不等式的应用 一、核心知识 （一）四大方程核心定义与应用场景 一元一次方程： 含 1 个未知数且次数为 1 的整式方程（ax + b = 0，a≠0） ，适用于单一等量关系 + 不等式限定范围的问题（如购物预算、人数分配）。 二元一次方程组： 两个含相同未知数的二元一次方程组成 ，适用于两个关联等量关系 + 不等式筛选方案（如两种商品采购、行程相遇）。 一元二次方程： 含 1 个未知数且最高次数为 2 的整式方程（ax² + bx + c = 0，a≠0） ，适用于增长率、利润最值、几何面积等需二次关系表达的问题。 分式方程： 分母含未知数的方程 ，适用于比例关系、行程（速度未知）、工程（效率未知） 问题，解后必须检验增根。 （二）方程与不等式联用核心逻辑 共性解题步骤：审（找等量 / 不等关系）→ 设（未知数）→ 列（方程 + 不等式）→ 解（方程 / 不等式组）→ 验（解的合理性）→ 答。 联用核心场景： 方程求 “具体关系”（如未知数表达式、数量关联），不等式定 “范围边界”（如正整数解、费用上限）。 参数问题：通过方程表示未知数，代入不等式求参数取值范围。 实际应用：用不等式筛选方程的符合题意解（如人数、件数为正整数）。 （三）四大方程与不等式联用模型 方程类型 核心等量关系 常用不等关系 高频应用场景 一元一次方程 总量 = 部分和、单价 × 数量 = 总价 至少（≥）、最多（≤）、不超过 预算控制、行程速度限定 二元一次方程组 两种量的总量关系、两种量的配比关系 某量不少于另一量、总量上限 两种商品采购方案、人员分配 一元二次方程 增长率：a (1±x)ⁿ=b、总利润 = 单件利润 × 销量 利润≥目标值、根为正 / 负 利润最值、面积限定、增长率范围 分式方程 路程 / 速度 = 时间、工作量 / 效率 = 时间 速度 / 效率为正数、完成时间≤期限 行程追及相遇、工程进度控制 二、核心能力 （一）一元一次方程与不等式综合 题型 1：已知方程的解满足不等式，求参数范围 解题思路 先解一元一次方程得 x = k（k 含参数），代入不等式建立关于参数的不等式，注意方程系数不为 0 的隐含条件。 题型 2：实际问题中的方程 + 不等式建模 解题思路 用方程表示数量关联，用不等式限定实际意义（如正整数、费用上限），筛选符合条件的解。 （二）二元一次方程组与不等式综合 题型 1：方程组的解满足不等式，求参数范围 解题思路 消元法解方程组得 x、y 的参数表达式，代入不等式（组），求解参数范围。 题型 2：方案设计类（方程组 + 不等式组） 解题思路 用方程组求两种量的单价 / 效率，用不等式组限定总量 / 费用，列举所有正整数解作为方案。 （三）一元二次方程与不等式综合 题型 1：根的特征结合不等式求参数 解题思路 用判别式 Δ 判断根的个数，用韦达定理表示根的和 / 积，结合根的特征（正根、异号根）列不等式组，注意 a≠0。 题型 2：增长率 / 利润问题中的不等式限定 解题思路 用一元二次方程表示增长 / 利润关系，用不等式设定目标边界（如利润≥某值），求解符合条件的解。 （四）分式方程与不等式综合 题型 1：分式方程的解满足不等式 解题思路 去分母转化为整式方程求解，检验分母不为 0，再代入不等式求参数范围。 题型 2：增根与不等式结合 解题思路 先求分式方程的增根（使分母为 0 的 x 值），将增根代入整式方程得参数表达式，再结合不等式限定参数范围。 三、易错警示 一元一次方程： 移项未变号导致解错误，代入不等式后参数范围失真；忽略实际意义（如负解未舍去）。 二元一次方程组 消元时符号计算错误，导致 x、y 表达式出错；漏列不等式组（如仅考虑一个量的范围）。 一元二次方程 忽略二次项系数 a≠0；未验证 Δ≥0 直接用韦达定理；增长率问题中舍去负根不说明理由。 分式方程 解后未检验增根；忽略不等式中分母不为 0 的隐含条件。四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·天津中考）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系． 设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可． 【解答】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得： ． 故选： 2.（24-25·四川中考）学校准备添置一批课桌椅，原订购套，每套元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了套，每套减价元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为元，则可列方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为，实际利润为，两者相等即可求解． 【解答】解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元． 根据题意得：， 故选． 3.（24-25·新疆模拟）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设每一个小长方形的长为，宽为，根据大长方形的宽为及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：设每一个小长方形的长为，宽为， 依题意，得：． 故选：． 4.（25-26·山东模拟）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”设绳长尺，竿长尺，根据题意得（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，托尺）（        ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】此题暂无解析 【解答】A  5.（24-25·广西模拟）随着电影《哪吒之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共套，第二次的总价比第一次多元，且两次进价都是元/套．设该书店第一次购进套，第二次购进套，根据题意，所列方程组正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了二元一次方程组的应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键．该书店第一次购进套，则第二次购进套，根据两次购进该漫画册共套，第二次的总价比第一次多元，列方程组． 【解答】解：该书店第一次购进套，第二次购进套，两次购进该漫画册共套，两次进价都是元/套．第二次的总价比第一次多元， ． 故选：． 6.（24-25·山东模拟）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【解答】解：设宽为步，则长为步 由题意，得：， 故选： 7.（24-25·贵州模拟）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【解答】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， 故选： 8.（24-25·河南模拟）某书店今年月份盈利元，月份盈利元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，月到月共经过两个月，每个月的增长率为，则月份的盈利为月份的盈利乘以，即可建立方程． 【解答】解：设该书店每月盈利的平均增长率为， 由题意得： ， 故选：．  9.（23-24·黑龙江模拟）某商场将进货价为元的某种服装以元售出，平均每天可售件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件应降价（      ） A.元 B.元 C.元 D.元 【答案】B 【解析】设应降价元，根据题意列写方程并求解可得答案． 【解答】设应降价元则根据题意，等量方程为： 解得：或 要尽快较少库存，舍去 故此题答案为． 10.（23-24·山西中考）某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为元，购买茶具的费用为元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜元．设购买扇子的单价为元．则满足的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】题目主要考查分式方程的应用，设购买扇子的单价为元，则茶具的单价为元，根据“购买扇子的数量是购买茶具数量的倍”列出分式方程即可，理解题意是解题关键． 【解答】解：设购买扇子的单价为元，则茶具的单价为元， 根据题意得：， 故选：． 11.（23-24·四川中考）甲乙两人各自加工个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，再根据时间工作总量工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少分钟列出方程即可． 【解答】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件， 由题意得， 故选：． 12.（23-24·广东模拟）某环保知识竞赛一共有道题，规定：答对一道题得分，答错或不答一道题扣分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（分或分以上），则小明至少答对了      道题．（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设小明答对了道题，则答错和不答的一共有道题，再根据答对一题得分，答错或不答一道题扣分列出不等式求解即可． 【解答】解：设小明答对了道题，则答错和不答的一共有道题，由题意得，， 解得， 为正整数， 的最小值为， 小明至少答对了道题， 故此题答案为． 13.（24-25·天津模拟）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【解答】解：①四边形是矩形，分别为边的中点， ，， 篱笆的长度是， ， ， 的长不超过， ， ， 的长可以是，故①正确； ②设，则， ， 当时，解得，， ， ， 的长为，故②错误； ③， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ， 当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：．   14.（24-25·福建模拟）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①班学生的最高身高为； ②班学生的最低身高小于； ③班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】C 【解析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设班同学的最高身高为，最低身高为，班同学的最高身高为，最低身高为，根据班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断②． 【解答】解：设班同学的最高身高为，最低身高为，班同学的最高身高为，最低身高为， 根据班班长的对话，得，， ， 解得， 故①错误，③正确； 根据班班长的对话，得，， ， ， ， 故②正确， 故选：． 15.（24-25·河北模拟）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】C 【解析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意可得，，据此求出时，的长，再利用勾股定理求出此时的长即可判断①；根据三角形面积计算公式得到，则可建立方程，解方程即可判断②；求出时和时，的面积即可判断③． 【解答】解：由题意得，， ， 当时，则， ， ，故①说法正确； ， 当的面积为时，则， 整理得，解得或， ， 的面积可以为，故②符合题意； 当时，， 当时，， 当时和当时，的面积相等， 又四边形的面积， 当时和当时，四边形的面积相等，故③错误； 故选：． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·河北中考）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则_____99_______． 【答案】 【解析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为，则，，根据重叠后的总长度为为等量关系列出关于的一元一次方程，求解即可得出答案． 【解答】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ，， ， 故答案为：99 17.（24-25·甘肃模拟）学习情境·阅读理解  阅读下列材料：设，则，则由，即．所以．根据上述提供的方法把列两个数化成分数____________，___________． 【答案】, 【解析】本题主要考查一元一次方程的应用．掌握题干中给定的无限循环小数化为分数的方法是解题的关键． 分别根据题中给定方法解答即可． 【解答】解：设，则：， 则由②-①得：， ，即； 设，则：， 则由②-①得：， ，即． 故答案为：，．  18.（23-24·河南模拟）解方程组时，一学生把看错而得到而正确的解是那么_____11___________. 【答案】 【解析】将错误的解和正确的解分别代入方程组，得出和，，联立关于的方程组，解得的值，即可得解. 【解答】将代入方程组，得① 将代入方程组，得②， 联立，得 解得 故答案为： 19.（25-26·全国模拟）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给赋不同的值，可得的值为__________． 【答案】 【解析】本题考查代数式求值，解方程组，当时，得到①，当时，得到②，然后求解即可． 【解答】解：当时，， ， ①， 当时，， ②， ，得：， ． 故答案为：． 20.（25-26·福建月考）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量为辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，则所列方程为____________． 【答案】 【解析】根据第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量为辆列方程即可． 【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为， 根据题意可得，， 故答案为：．  21.（24-25·四川模拟）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价元/瓶，经过连续两次降价后．现在仅卖元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为____________． 【答案】 【解析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是找出题目中的等量关系． 设该种药品平均每场降价的百分率为，根据原价为元可以表示出两次降价后的价格， 结合现在仅卖元/瓶，列出关于的方程，通过解方程即可得到降价的百分率． 【解答】解：该种药品平均每场降价的百分率为， 根据题意得， 解得或， 由于是平均每次降价的百分率，所以， 故舍去， 即． 故答案为． 22.（24-25·江苏模拟）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是______1_________． 【答案】 【解析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【解答】解：设这个数为，则有 ， ， ， 解得． 故答案为：．  23.（23-24·内蒙古中考）年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵元，且用元购进小号“龙辰辰”的数量是用元购进大号“龙辰辰”数量的倍，则大号“龙辰辰”的单价为________55_______元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_____1260__________元． 【答案】, 【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，先求出的取值范围，再设该网店所获利润为元，建立关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【解答】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以大号“龙辰辰”的单价为元，小号“龙辰辰”的单价为元． 设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个， 由题意得：， 解得， 设该网店所获利润为元， 则， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 即该网店所获最大利润为元， 故答案为：；1260 24.（24-25·北京模拟）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．求甲乙两公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装间教室，请根据题意列出方程________________． 【答案】 【解析】本题考查利用分式方程解决实际应用问题，解题的关键是找到等量关系式．设乙公司每天安装间教室，根据乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．列式即可得到答案． 【解答】解：设乙公司每天安装间教室，由题意可得， ， 故答案为： 25.（24-25·山东中考）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则_________________． 【答案】 【解析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【解答】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 四边形的面积等于四边形面积的倍 整理得， 设， 解得或（舍去） 故答案为：． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）   26.（24-25·湖南模拟）年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售，两类特产．类特产进价元/件，类特产进价元/件．已知购买件类特产和件类特产需元，购买件类特产和件类特产需元． （1）求类特产和类特产每件的售价各是多少元？ （2）类特产供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件类特产降价元，每天的销售量为件，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在的条件下，由于类特产供货紧张，每天只能购进件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为元，求与的函数关系式，并求出每件类特产降价多少元时总利润最大，最大利润是多少元？（利润＝售价-进价） 【答案】类特产的售价为元/件，类特产的售价为元/件 类特产每件售价降价元时，每天销售利润最犬，最大利润为元 【解析】（1）本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件类特产的售价为元，则每件类特产的售价为元，进一步得到关于的一元一次方程求解即可； 根据降价元，每天可多售出件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到得取值范围； 结合中类特产降价元与每天的销售量件，得到类特产的利润，同时求得类特产的利润，整理得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【解答】（1）解：设每件类特产的售价为元，则每件类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件类特产的售价（元）． 答：类特产的售价为元/件，类特产的售价为元/件． （2）由题意得 类特产进价元/件，售价为元/件，且每件售价不低于进价 ． 答：． （3） ． 当时，有最大值 答：类特产每件售价降价元时，每天销售利润最大，最大利润为元．   27.（24-25·云南中考）某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运千克，机器人搬运千克所用时间与机器人搬运千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人每小时搬运千克化工原料，机器人每小时搬运千克化工原料 【解析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人每小时搬运千克化工原料，则机器人每小时搬运千克化工原料，根据机器人搬运千克所用时间与机器人搬运千克所用时间相等建立方程求解即可． 【解答】解；设机器人每小时搬运千克化工原料，则机器人每小时搬运千克化工原料， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答；机器人每小时搬运千克化工原料，机器人每小时搬运千克化工原料． 28.（24-25·贵州中考）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装、两种型号生产线.已知，同时开启一条型和一条型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条型和两条型生产线每月可以生产抹茶共． （1）求一条型和一条型生产线每月各生产抹茶多少吨？ （2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的、两种生产线共条，该车间接到一个订单，要求个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条型生产线？ 【答案】一条型生产线每月生产抹茶，一条型生产线每月生产抹茶 至少需要安装条型生产线 【解析】（1）设一条型生产线每月生产抹茶，一条型生产线每月生产抹茶，根据“同时开启一条型和一条型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条型和两条型生产线每月可以生产抹茶共”建立二元一次方程组求解； （2）设需要安装条型生产线，则安装种生产线条，根据“个月生产抹茶不少于”建立一元一次不等式求解即可． 【解答】（1）解：设一条型生产线每月生产抹茶，一条型生产线每月生产抹茶， 由题意得：， 解得：， 答：一条型生产线每月生产抹茶，一条型生产线每月生产抹茶； （2）解：设需要安装条型生产线，则安装种生产线条， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 最小取， 答：至少需要安装条型生产线． 29.（24-25·黑龙江中考）年月日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买个“蜀宝”和个“锦仔”共需花费元，购买个“蜀宝”和个“锦仔”共需元． （1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ （2）若学校计划购买这两种吉祥物共个，投入资金不少于元又不多于元，有哪几种购买方案？ （3）设学校投入资金元，在的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案一需要的资金最少，最少资金是元 【解析】（1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，根据购买个“蜀宝”和个“锦仔”共需花费元，购买个“蜀宝”和个“锦仔”共需元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“蜀宝”个，根据投入资金不少于元又不多于元，列出不等式组，进行求解即可； （3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【解答】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ， 解得：， ， ； 共有种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， 随着的增大而增大， 当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是元． 30.（24-25·江西模拟）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【解答】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为．  31.（24-25·湖北模拟）某商店出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系：，已知该商品的成本是元件，售价不低于成本价且不高于元． （1）若该商品的日销售量为盒，求该商品的每件售价是多少元？ （2）在条件（）下，该商店决定在假日期间采用降价促销的方式回馈顾客，当该商品每件降价多少元时，商店的日销售纯利润为元． 【答案】元． （元）， 【解析】此题暂无解析 【解答】（1）解：日销售量为盒， ∴ 把代入 得：  解得：   答：若该商品的日销售量为盒时，该商品的售价是每件元． （2）设销售单价为元时，销售利润为元， 根据题意得： ． 整理得：  解得：  降价为： （元）， 答：该商品每件降价元时，商店的日销售纯利润为元 32.（24-25·全国模拟）某超市购进甲、乙两种商品，年甲、乙两种商品每件的进价均为元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降元，乙种商品年每件的进价为元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）年该超市用不超过元的资金一次购进甲、乙两种商品共件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】乙种商品每件进价的年平均下降率为 最少购进甲种商品件 【解析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为，根据乙商品年的进价为元，经过两次降价后，年的进价为元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过元列出不等式求出的取值范围即可得到答案． 【解答】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ， 解得， 的最小值为，即最少购进甲种商品件， 答：最少购进甲种商品件． 33.（23-24·四川模拟）某商店用元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了元． （1）该商店第一次购进这种水果多少千克？ （2）假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的千克按标价的五折优惠销售，若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？ 【答案】千克 元 【解析】（1）设该商店第一次购进水果千克，则第二次购进水果千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了元，列出方程求解即可； （2）设每千克水果的标价是元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于元列出不等式，然后求解即可得出答案． 【解答】（1）解：设该商店第一次购进水果千克，则第二次购进这种水果千克． 由题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解． 答：该商店第一次购进水果千克． （2）设每千克这种水果的标价是元，则 ， 解得． 答：每千克这种水果的标价至少是元 34.（24-25·黑龙江中考）一条公路上依次有、、三地，一辆轿车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离（单位：）与轿车的行驶时间（单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中的值是___300____，的值是___2____； （2）在货车从地返回地的过程中，求货车距出发地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距． 【答案】， 或或 【解析】（1）根据货车的图象得到、两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【解答】（1）解：由图象可知，、两地的距离为，、两地的距离为， ， 轿车的速度为：， 轿车从开往地所需的时间为：， ； 故答案为：，； （2）轿车比货车晚到达终点， 货车到达地所用时间为：， ， 货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地， ， 设， ，解得：， ； （3）由可知，货车的速度为：， 当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距．  35.（24-25·全国模拟）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． （1）甲在秒内经过的路程为_______6m______；（单位：） （2）求出发后，甲、乙速度相等的时间； （3）求出发后，甲、乙相遇的时间． 【答案】 秒 秒 【解析】（1）由图可知，甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线，又因其过点，因而甲的速度与时间的函数解析式为，然后根据即可求出甲在秒内经过的路程； （2）由图可知，甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线，因而设，又因其过点，把代入，得，解得，则乙的速度与时间的函数解析式为，当甲、乙速度相等时，根据题意得，解方程即可求出的值； （3）甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，甲的路程为，乙的路程为，根据题意得，解方程即可求出的值． 【解答】（1）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线， 又其过点， 甲的速度与时间的函数解析式为， 甲在秒内经过的路程为： ， 故答案为：； （2）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线， 设， 又其过点， 把代入，得：， 解得：， 乙的速度与时间的函数解析式为， 当甲、乙速度相等时，根据题意得： ， 解得：， 出发后，甲、乙速度相等的时间为秒； （3）解：甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等， 甲的路程为：， 乙的路程为：， 根据题意得：， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 出发后，甲、乙相遇的时间为秒． 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $