山东省泰安市第三中学2025-2026学年高一上学期期末学情检测数学模拟卷

山东省泰安市第三中学2026年高一上学期期末学情检测模拟卷 一、单选题 1．集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，且，则的最小值是（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 3．设，，，则，，的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 6．已知函数（且），若函数图象上关于原点对称的点至少有对，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为在上单调递增，且为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A．4是的一个周期 B．为偶函数 C． D．在上单调递减 二、多选题 9．已知函数的部分图像如图所示，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．在上单调递减 D．把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数 10．已知函数且，则（    ） A．在上是单调函数 B．的值域为 C．当时，的图象关于直线对称 D．关于的方程有实数根 11．已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 三、填空题 12．已知，，则 . 13．设，且，函数的值域为，则实数的取值范围是 . 14．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 四、解答题 15．已知集合. (1)当时，求； (2)若集合为非空集合且，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 16．求值 (1)； (2)． 17．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18．已知函数． (1)求函数的定义域并判断函数的奇偶性； (2)解不等式． 19．已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据题意，利用集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合交集的定义与运算，可得. 故选：B. 2．A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用方法计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 3．B 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 4．B 【分析】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D，根据且时，可排除A，C. 【详解】记，函数的定义域是， ，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误； 当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误． 故选：B. 5．C 【分析】分和两种情部况，解不等式即可． 【详解】当时，由，得，所以，所以，解得， 当时，由，则，解得， 综上，原不等式解集为或． 故选：C． 6．A 【分析】求出关于原点对称的函数为，转化为与的图象交点个数至少有3对，分和两种情况，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】关于原点对称的函数为， 依题意，与的图象交点个数至少有3对， 若，画出与的图象，如下： 显然两函数图象只有1个交点，不合题意； 若，画出与的图象，如下： 需满足，解得. 综上，可得实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点点睛： 求出关于原点对称的函数， 解题关键在于：将问题转化为与的图象交点个数至少有个，通过作图，数形结合进行求解. 7．D 【分析】根据图象可确定A；求出周期即可求得，利用图象过特殊点即可确定，由此可得函数解析式，结合图象的平移变换即可求得答案. 【详解】根据图象可得，周期， 又，则，所以， ，则，，因为，则， 所以函数的解析式为， 由函数的图象向右平移个单位长度得到 的图象，即， 故选：D. 8．C 【分析】根据给定条件，探讨函数的周期性、对称性，再逐项分析判断. 【详解】由，得，由是奇函数，得， 则，即，因此，8是的一个周期， 对于A，，4不是的周期，A错误； 对于B，由，得函数的图象关于直线对称， 由，得的图象关于点对称，因此的图象关于点对称， 函数的图象关于直线不对称，则不为偶函数，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，在上单调性与它在上的单调性相同， 因此在上单调递增，D错误. 故选：C 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 9．AC 【分析】根据图象求出函数中的参数可得函数的解析式，然后根据余弦函数的性质逐项分析即可. 【详解】由图象可得，设函数的周小正周期为， 由图象可得，所以， 由， 故A选项正确； 因为， 所以，即 又，所以当， 所以函数， 令，即 令， 故函数的图象不关于点对称，故B选项不正确； 因为，所以， 由在单调递减，所以C选项正确； 的图像向左平移个单位后得到： ， 由的定义域为关于原点对称， 且， 所以的图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数， 故D选项不正确； 故选：AC. 10．ACD 【分析】利用指数函数和对数函数的性质求解单调性判断A，利用指数函数和对数函数的性质求解值域判断B，分别代入和，利用对称性的定义判断C，利用函数值域的性质判断D即可. 【详解】对于A，对于，我们对的范围分类讨论， 当时，当时，则，由指数函数性质得递减， ，当时，则， 由对数函数性质得递减，， 在上是单调递减；当时，当时，则， 由指数函数性质得单调递增，则， 当时，则，由对数函数性质得单调递增， ，在上是单调递增， 综上可得，在上是单调函数，故A正确， 对于B，对于，我们对的范围分类讨论， 当时，当时，则，由指数函数性质得单调递减， 故，当时，则， 由对数函数性质得单调递减，故， 则的值域为，当时，当时，则， 由指数函数性质得单调递增，则， 由指数函数性质得， 当时，则，由对数函数性质得单调递增， 故，则的值域为， 综上，的值域不一定为，故B错误， 对于C，当时，当时，则， 设在上，则， 得到，即，化简得， 此时点在上，而和关于对称， 则的图象关于直线对称，故C正确， 对于D，当时，的值域为，所以的值域也是， 则和一定有交点，即关于的方程有实数根， 当时，则的值域为，所以的值域是， 因为，则和一定有交点，即关于的方程有实数根，综上可知D正确. 故选：ACD 11．ABC 【分析】利用赋值法计算可得AB正确，根据函数奇偶性定义可得满足，即可知C正确，结合选项中的函数值可判断D错误. 【详解】对于A，令，可得，可得，即A正确； 对于B，令，可得，可得，即B正确； 对于C，令，可得，即， 因此是奇函数，所以C正确； 对于D，因为，而，因此不是单调函数，即D错误. 故选：ABC 12． 【分析】结合题设，根据两角和与差的余弦、正弦公式得到，，两式相除即可求解. 【详解】由，得， 由，得， 所以. 故答案为：. 13． 【分析】首先求出时函数的取值范围，依题意可得当时，，即可得到，从而得解. 【详解】因为， 当时，，则在上单调递减， 所以，即； 要使得函数的值域为， 所以当时，，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14． 【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】， 又函数在单调递增， 所以，解得. 故答案为：. 15．(1)； (2) (3). 【分析】（1）当时，得到，结合集合交集，并集和补集的运算，即可求解； （2）根据题意，得到，列出不等式组，即可求解； （3）由，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得集合，因为， 所以，或， 则. （2）解：由集合为非空集合且，可得， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （3）解：由集合，且， 当时，则满足，解得，此时满足； 当时，则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算即得； （2）利用对数的运算性质和换底公式计算即得. 【详解】（1）； （2） . 17．(1) (2)该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，结合题意求分段函数解析式； （2）分和两种情况，结合二次函数和基本不等式运算求解. 【详解】（1）当时，可得； 当时，可得； 所以. （2）若，则， 所以当时，万元； 若，则， 当且仅当，即台时，等号成立，万元； 因为，所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元. 18．(1)，偶函数 (2)当时不等式解集为，，当时不等式解集为. 【分析】（1）定义域，根据对数函数真数大于$0$的性质，列出不等式组求解；判断奇偶性，通过计算并与比较，依据奇偶性定义得出结论； （2）对于解不等式，先化简不等式，再根据对数函数单调性（分和两种情况）求解. 【详解】（1）由题意得解得：， 函数的定义域是，定义域关于原点对称，， 所以函数是偶函数； （2）即， 化简得：， 当时，由题意得：， 解得：， 当时，由题意得：， 解得， 综上所述当时不等式解集为，， 当时不等式解集为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象的特殊点，结合周期的性质和公式、代入法进行求解即可； （2）不等式化简为，再根据余弦函数的性质，结合特殊角的余弦值进行求解即可； （3）根据诱导公式以及同角三角函数基本关系化简方程得，， 再令，则，根据与的对应关系可知， 在上有两个不相等的实数根，再参变分离， 转化为，换元后，再利用方程的根与图象交点个数关系求解即可. 【详解】（1）由图可知，周期，故， 此时，代入，可得， 故，解得， 由于，故取，，； （2）由， 则有，解得， 所以不等式的解集为. （3）由可得 ， 该方程在上有四个不同的实数根， 令，则，， 则，， 令，则， 如图，要使在上有四个不同的实数根，    则需要在上有两个不相等的实数根， 故， 由于时，无解，故， 则，令，则且， 故， 由于在上单调递减， 此时至多一个实数根，不符合题意，故， 如图：当时， ， ，当且仅当时，取等号， 故．    2 1 学科网（北京）股份有限公司 $