精品解析：四川省内江市威远县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期九年级期末测评 数学 本测评卷包括第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分，测评时间120分钟． 注意事项： 1．答第I卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第II卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在测评卷上． 2．测评结束后，监测员将答题卡收回． 第I卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，本选项符合题意； B、中，被开方数含有分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、是整数，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：A． 2. 已知，那么下列比例式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．直接利用比例的性质变形得出答案． 【详解】解：， ， 则． 故选：B． 3. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，随机事件，不符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选：D． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的根的判别式解答即可． 【详解】解：∵方程的判别式， ∴方程没有实数根； 故选：A． 5. 如图，为纪念国画大师张大千，某校拟打造一处“大千荷韵”主题矩形展区，展区长，宽．计划在展区四周铺设宽度相同的文创花卉带，中间区域种植仿真荷花草坪．如果要求草坪的面积为展区总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设花卉带的宽度应为米，根据矩形的面积公式，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设花卉带的宽度应为米， 由题意，得． 故选：D． 6. 在中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数，根据三角函数的定义进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 7. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、判断点所在的象限， 理解一元二次方程的解的定义是解题关键．把代入方程，求出的值，再根据点的符号特征，求出点所在的象限即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∴在第二象限． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 9. 如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 根据黄金分割点的定义得到，代入数据即可得出的长度． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴，即 ∴． 故选：C． 10. 若关于的一元二次方程的两根分别为，则方程的两根分别为（ ） A. 1，5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解；利用换元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程（a≠0）的两根. 【详解】解：记，则即的两根为， 故或， 故选：D． 11. 如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值为（ ） A. 32 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键．过点，作轴， 轴，垂足分别为，，通过同角的余角相等证明，再证明，，，又，再根据反比例函数比例系数的几何意义，得出，然后求出的值即可． 【详解】解：过点，作轴， 轴，垂足分别为，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 12. 如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，易证四边形是平行四边形，推出，此时取得最小值，再根据矩形的性质证明，推出，再证明，进而证明，推出，利用勾股定理求出，结合，求出，证明，推出，由勾股定理求出，再根据，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 此时取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第II卷（非选择题 共72分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将最后答案填在题中的横线上．） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于， ∴， 解不等式得：． 故答案为： ． 14. 从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由单词“happy”中有两个p，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：从单词“happy”中随机抽取一个字母， 共有5种可能结果； 抽中p有2种可能结果， 抽中p的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了随机抽样的概率的求法；掌握概率公式是解题的关键． 15. 设是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 2031 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则．将代入原方程，可得，再求出，然后将待求式整理为，最后代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，含角的菱形，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，和点，分别在直线和轴上．已知，，根据所给图形，可以依次求出点，则图中点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据所给图形，依次求出点，发现规律即可解决问题． 【详解】解：过点作轴于点， ∵含角的菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 同理可得出：，则， 则点的坐标是：， ∴点的坐标是：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）2；（2）或 【解析】 【分析】本题考查含三角函数的实数的混合运算，因式分解法解一元二次方程； （1）先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂，然后把三角函数值代入计算即可； （2）将方程变形后用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： （2）解： 解得或 18. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：（优秀），（良好），（一般），（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】（1）50，7； （2）见解析，108°； （3）． 【解析】 【分析】此题主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出的值； （2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可得，这次抽样调查共抽取：（人），， 故答案为：50，7． 【小问2详解】 由（1）知，，等级为的有：（人）， 补充完整的条形统计图如图所示，等所在扇形圆心角的度数为： ． 【小问3详解】 树状图如下所示： 由上可得，一共存在种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有种， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为． 19. 如图，B港口在A港口的南偏西方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西方向，B港口在货轮的北偏西方向，求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．（参考数据：） 【答案】货轮距离A港口约141海里 【解析】 【分析】过点B作于点H，分别解直角三角形求出AH、HC即可得到答案． 【详解】解：过点B作于点H， 根据题意得，， 在中，， ∵， ， ∴（海里） （海里） 在中， ∵ ∴（海里）． ∴（海里） 答：货轮距离A港口约141海里． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20. 如图，中，，点、分别为边、上的点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． （2）由已知可得，根据得到，代入数值即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 21. 内江作为“甜城”，某非遗工坊依托本地甘蔗红糖文化，制作售卖内江糖画主题文创汉服．该汉服每套的成本为100元，当售价为200元时，平均每周可售出120套．经调查发现，该汉服售价每降低1元，平均每周可多售出3套． （1）该工坊第一周售卖该汉服的营业额为24000元，受宣传影响，后续每周营业额的平均增长率相同，第三周营业额达到34560元，求后续每周营业额的平均增长率； （2）若要使每周销售该汉服的利润为13500元，求每套汉服的售价． 【答案】（1） 后续每周营业额的平均增长率为； （2） 每套汉服的售价为元或元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每周营业额的平均增长率为，根据第一周售卖该汉服的营业额为24000元，第三周营业额达到34560元，列出方程求解即可； （2）设每套汉服的售价为元，则每周的销售量为套，根据利润每套的售价每套的成本销量，列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每周营业额的平均增长率为， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 答：后续每周营业额的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每套汉服的售价为元，则每周的销售量为套， 根据题意 ，得， 整理得， 解得或， 答：每套汉服的售价为元或元． 22. 如图，在中，，，，点是的中点，点是边上的动点，过点作交射线于点． （1）求的长； （2）连接，当以点，，为顶点的三角形与相似时，求的长； （3）连接，当时，求的长． 【答案】（1）8； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用； （1）利用勾股定理解答即可； （2）过点E作，垂足为H．得，设，，证，分或两种情况求解即可： （3）连接，过点E作，垂足为H．设，，，，，证，得，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作，垂足为H． ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当和相似时，有两种情况： 第一种：， ∴，即解得， ∴， 第二种：， ∴，即解得， ∴． ∴当和相似时，长为或． 【小问3详解】 解：连接，过点E作，垂足为H． 由（2）得， ∵，，， 设，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，化简得， 解得（负值舍去）， ∴， ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期九年级期末测评 数学 本测评卷包括第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分，测评时间120分钟． 注意事项： 1．答第I卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第II卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在测评卷上． 2．测评结束后，监测员将答题卡收回． 第I卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，那么下列比例式中成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 5. 如图，为纪念国画大师张大千，某校拟打造一处“大千荷韵”主题矩形展区，展区长，宽．计划在展区四周铺设宽度相同的文创花卉带，中间区域种植仿真荷花草坪．如果要求草坪的面积为展区总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的一元二次方程的两根分别为，则方程的两根分别为（ ） A. 1，5 B. C. D. 11. 如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值为（ ） A. 32 B. C. 16 D. 12. 如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共72分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将最后答案填在题中的横线上．） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 14. 从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为______． 15. 设是方程两个实数根，则的值为_____． 16. 如图，含角菱形，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，和点，分别在直线和轴上．已知，，根据所给图形，可以依次求出点，则图中点的坐标是_____． 三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：（优秀），（良好），（一般），（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 19. 如图，B港口在A港口的南偏西方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西方向，B港口在货轮的北偏西方向，求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．（参考数据：） 20. 如图，中，，点、分别为边、上的点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 内江作为“甜城”，某非遗工坊依托本地甘蔗红糖文化，制作售卖内江糖画主题文创汉服．该汉服每套的成本为100元，当售价为200元时，平均每周可售出120套．经调查发现，该汉服售价每降低1元，平均每周可多售出3套． （1）该工坊第一周售卖该汉服的营业额为24000元，受宣传影响，后续每周营业额的平均增长率相同，第三周营业额达到34560元，求后续每周营业额的平均增长率； （2）若要使每周销售该汉服利润为13500元，求每套汉服的售价． 22. 如图，在中，，，，点是的中点，点是边上的动点，过点作交射线于点． （1）求长； （2）连接，当以点，，为顶点的三角形与相似时，求的长； （3）连接，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $