3.1 等量关系和方程（课件）2025--2026学年湘教版七年级数学上册

湘教版七年级数学上册 第3章 一次方程（组） 3.1 等量关系和方程 丢番图是古希腊数学家.人们对他的生平事迹知道的很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅程.上帝赐予他的童年占六分之一，又过十二分之一，他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛.五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半便入黄泉.悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.——出自《希腊诗文选》第126 题. 导入新课 3 (1)能求出丢番图去世的年龄吗？ (2)如果设他的年龄为x 岁，能列出含有未知数x的等式吗？ 这个等式与之前学过的代数式有什么不同？ 如何知道一个数是不是这个等式中x的值？ 导入新课 4 主题一：方程及一元一次方程的概念 问题1：为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9 月举办一次中学生篮球联赛.比赛规则为：胜一场得2 分，输一场得1 分.某校初中男子篮球队参加了14 场比赛，共得26 分.问：其中蕴含怎样的等量关系？ 如何根据等量关系，列出相应等式？ 题中的等量关系：胜的场数得分＋输的场数得分＝总得分. 还能说出其他等量关系吗？ 胜的场数＋输的场数＝总场数 高效课堂 5 结合前面所学用字母表示数，可以先将问题中的未知量用字母表示，然后再探索解决办法.如果设该队胜了x 场，则该队输了多少场？ 如何根据前面找出的等量关系“胜的场数得分＋输的场数得分＝总得分”列出等式？ 设该队胜了x 场，则该队输了(14－x)场.又由于胜一场得2 分，输一场得1 分，总共得了26 分，2x＋(14－x)＝26①. 高效课堂 6 如果设输了x 场，会列出等式吗？ 设该队输了x 场，则该队胜了(14－x)场.又由于胜一场得2 分，输一场得1 分，总共得了26 分，则2(14－x)＋x＝26. 还有其他列出等式的方法吗？ 也可根据输的场数＋胜的场数＝14，列等式为 高效课堂 7 问题2：如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，高为1 m，表面积为6.8 m2.其中蕴含怎样的等量关系？ 如何根据等量关系，列出相应等式？ (长×宽＋宽×高＋长×高)×2＝表面积. 还能说出其他等量关系吗？ 若设包装盒底面的宽是y m，能根据等量关系，列出等式吗？ (1.2×y＋y×1＋1.2×1)×2＝6.8，即2.4y＋2y＋2.4＝6.8. 高效课堂 8 式子2x＋(14－x)＝26，2.4y＋2y＋2.4＝6.8中的x，y 叫作未知数，含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程. 以上两个方程含有几个未知数？ 未知数的次数是几次？ 只含有一个未知数；未知数的次数是1. 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程. 高效课堂 9 主题二：方程的解 做一做：《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元400 年前后，传本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第31 题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35 个头，从下面数有94 只脚.问笼中各有多少只鸡和兔？ (1)找出上述趣题中的等量关系； (2)适当设未知数，列出一元一次方程. 高效课堂 10 上述趣题中存在以下等量关系： (1)兔的只数＋鸡的只数＝35；(2)免的脚数＋鸡的脚数＝94. 根据等量关系，设出未知数，列出一元一次方程. 可设兔有x 只，则鸡有(35－x)只.由于每只兔有4 只脚，每只鸡有2 只脚，并且笼子里总共有94 只脚，因此，可得如下一元一次方程：4x＋2(35－x)＝94①. 将方程①左边的多项式整理，得4x＋(70－2x)＝2x＋70， 从而方程①变成2x＋70＝94②. 高效课堂 11 把方程的左边和右边分别看成多项式，找到一个数，将这个数代入方程，能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中未知数的一个值. 高效课堂 12 议一议：如何找到一个数，使方程2x＋70＝94②左、右两边多项式的值相等？ 对于方程②，就是要找到一个数，使得它的2倍与70的和等于94.根据方程②中x的实际意义可知，这个数一定是正整数. 高效课堂 13 求方程的解，我们可采取估值的方法，如下表所示： 因此，只有一个数12符合条件. 高效课堂 14 对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解.习惯上记作x＝c. 结论：由上可知，12是方程2x＋70＝94②的唯一解，于是上述趣题中兔有12 只，鸡有23 只. 高效课堂 15 主题三：例题讲解 例 分别检验x的下列值是否是方程2.5x＋318＝1 068的解. (1)x＝300； (2)x＝330. 解 (1)把x用300代入原方程得，左边＝2.5×300＋318＝1 068，左边＝右边，所以x＝300是方程2.5x＋318＝1 068的解. (2)把x用330代入原方程得，左边＝2.5×330＋318＝1 143，左边≠右边，所以x＝330不是方程2.5x＋318＝1 068的解. 高效课堂 16 练一练：分别检验x的下列值是不是方程x－3＝2x－8的解. (1)x＝5； (2)x＝－2. 答案： (1)把x 用5代入原方程左、右两边，得左边＝5－3＝2，右边＝2×5－8＝2，左边＝右边.所以x＝5是方程x－3＝2x－8的解. (2)把x 用－2代入原方程左、右两边，左边＝－2－3＝－5，右边＝2×(－2)－8＝－12，左边≠右边.所以x＝－2不是方程x－3＝2x－8的解. 高效课堂 17 说明： 在检验x＝5是否为x－3＝2x－8的解时，写成了5－3＝2×5－8，得2＝2.这种做法是错误的.因为在代入数值之前还不能断定方程两边是否相等，这样做就事先认定方程两边的值相等了，因此是错误的. 高效课堂 18 1.根据题意列方程：(设某数为x) (1)某数的5倍是30，列方程为　 　；  (2)某数减去6，差是25，列方程为　 　；  (3)某数的6倍比该数的2倍大12，列方程为　 　；  (4)某数的一半加上4，比该数的5倍小13，列方程为 　.  x＋4＝5x－13   　 　6x－2x＝12　 　x－6＝25　 　5x＝30　 课堂评价 小结：若一个式子是方程，则它必须满足两个条件： （1）是等式；（2）含有未知数. 2.【例1】下列式子不是方程的是(　 　) A.2x＝0　 B.2x＋3y＝0 C.5x＋7　 D.3(2x－2)＝12 C　 小结：关键是找出未知数与已知数之间的相等关系. 3.【例2】根据题意列方程： (1)(人教7上P118)比a大5的数等于8； 　 　 (2)16.2减去x的2倍，差是8.2. 　 　 　16.2－2x＝8.2　  　a＋5＝8　  4.根据题意列方程： (1)x的4倍增加15是95； 　 　 (2)x与7的和比x与3的差的4倍少2. 　 　 　4(x－3)－(x＋7)＝2　  　4x＋15＝95　  小结：原正方形绿地的面积+新增加的绿地面积=扩大后的绿地面积，根据数量关系列方程即可. 5. (人教7上P113)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是500 m2，求正方形绿地的边长.如果设正方形绿地的边长为x m，根据题意，可得方程为 　 　.  　x2＋5x＝500 　 6.墙上钉着用一条彩绳围成的梯形状的饰物，如图实线所示(单位：cm).小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示.小颖所钉长方形的长为多少厘米？如果设长方形的长为x cm，根据题意，可得方程为　 　.  2(x＋10)＝10×4＋6×2　 通过本节课的学习，你对本节内容有哪些认识？ 课堂总结 25 基础性作业：教材练习第1~3题. 提高性作业：教材习题3.1第1~3题. 作业设计 26 感 谢 观 看 $