期末冲刺检测卷-2025-2026学年苏科版数学九年级上学期

2025-2026学年九年级上学期期末数学冲刺卷（苏科版2012） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（   ） A．“通常加热到时，水沸腾”是随机事件 B．重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为．在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上 D．小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为．在接下来的投篮练习中，小东10次投篮可能投中3次 2．在某次数学测试中，随机抽取了10份试卷，其成绩（单位：分）如下：85，81，89，81，72，82，77，81，79，83，则这组数据的众数与中位数分别为（    ） A．81分，分 B．81分，81分 C．81分，82分 D．83分，77分 3．如图，是的直径，是的切线，．则的度数等于 （   ） A． B． C． D． 4．若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B．-2025 C．2026 D． 5．的三边长分别为a，b，c，其中，b和c是关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根，若中只有两条边相等，则k的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．任意实数 6．若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 7．物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，则的长是（　　） A． B． C． D． 8．根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 10．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．当 时，分式的值为零． 12．某电动自行车厂十月份的产量为10000辆，由于市场需求量不断增大，十二月份的产量提高到14400辆，则该厂十一、十二月份的月平均增长率为 ． 13．已知为实数，且满足，则的值为 14．若样本，，，…，的平均数为10，方差为4，则对于样本，，，…，，平均数为 ，方差为 ． 15．如图，已知是的弦，点C在弦上，，，，则圆心O到的距离为 ． 16．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为 ． 三、解答题(每小题9分，共72分) 17．解方程： (1) (2) 18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 19．进行垃圾分类，既能有效减少垃圾焚烧和填埋带来的环境污染问题，还能“变废为宝”，实现资源利用最大化，重庆市某中学为了认真落实校园垃圾分类工作，举办了垃圾分类知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为：63，66，67，70，77，78，79，82，85，86，88，88，88，88，89，89，92，93，95，97． 九年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据：81，86，82，85，86，86， 85． 八、九年级被抽取学生的成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 83 83 中位数 87 m 众数 n 86 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级有800名学生，九年级有900名学生参加了此次垃圾分类知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次垃圾分类安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？ 20．如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 21．如图，为的直径，点C在直径上（点C与A，B两点不重合），，点D在上且满足，连接并延长到E点，使． (1)求证：是的切线； (2)当时，求半径的长． 22．为优化校园图书节活动设计，学校在图书节结束后，随机抽取120名学生和20名教师对活动进行满意度评分（满分100分），并将数据整理如下： A：120名学生所评分数的频数分布直方图（数据分成4组）： ①：频数15；②：频数30；③：频数45；④：频数30 B：20名教师所评分数为：76，78，80，82，84，85，85，86，87，88，88，88，90，91，92，93，94，95，95，97 C：学生和教师评分数据的平均数、中位数、众数部分信息如下表： 分类 平均数 中位数 众数 学生评分 p q 88 教师评分 87．4 88 m (1)求教师评分数据的众数m的值，并判断学生评分的中位数q位于第几组（填写组号①、②、③、④）； (2)根据频数分布直方图，计算学生评分的平均数p（结果保留一位小数）； (3)校方规定，满意度评定分为三个等级：低于70分为“不满意”，70分至85分为“一般”，高于85分为“满意”．根据上述师生评分数据，分别判断学生对本次图书节、教师对本次图书节的满意度评定等级，并说明理由． 23．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟． (1)求返回时A、B两地间的路程； (2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟． 24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，三个顶点的坐标分别为点，点，点． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出平移后的，并写出点的坐标； (2)将绕原点逆时针旋转，得到，画出旋转后的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末数学冲刺卷（苏科版2012） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（   ） A．“通常加热到时，水沸腾”是随机事件 B．重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为．在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上 D．小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为．在接下来的投篮练习中，小东10次投篮可能投中3次 【答案】D 【分析】本题考查概率与事件的概念，A选项为必然事件，B选项频率与概率不符，C选项忽略独立性，D选项符合概率的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： A、水在标准大气压下加热到必然沸腾，是必然事件，不是随机事件，故A错误； B、盖面向上的频率为，但估计概率为，与频率不符，故B错误； C、抛掷硬币每次独立，第四次结果不确定，不一定是正面朝上，故C错误； D、概率0.4表示每次投篮投中的可能性，10次投篮可能投中3次，符合概率的随机性，故D正确； 故选：D． 2．在某次数学测试中，随机抽取了10份试卷，其成绩（单位：分）如下：85，81，89，81，72，82，77，81，79，83，则这组数据的众数与中位数分别为（    ） A．81分，分 B．81分，81分 C．81分，82分 D．83分，77分 【答案】B 【分析】本题考查众数和中位数的定义，直接根据数据计算即可． 【详解】解：∵数据中81出现3次，其他数均出现1次， ∴众数为81分． 将数据从小到大排序：72，77，79，81，81，81，82，83，85，89． ∵数据个数为10，是偶数， ∴中位数为第5和第6个数的平均值，即（分）． ∴这组数据的众数与中位数分别为81分和81分， 故选：B． 3．如图，是的直径，是的切线，．则的度数等于 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理． 根据切线的性质求出，结合求出，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B．-2025 C．2026 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 5．的三边长分别为a，b，c，其中，b和c是关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根，若中只有两条边相等，则k的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．任意实数 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式，构成三角形的条件，可证明，则原方程有两个不相等的实数根，进而可得是原方程的一个解，把代入原方程求出k的值，进而求出对应情形下方程的两个根，再根据构成三角形的条件判断即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∵中只有两条边相等，b和c是关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根， ∴，即或， ∴是原方程的一个解， ∴， 解得或， 当时，原方程为，解得或， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当时，原方程为，解得或， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，或， 故选：B． 6．若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可． 【详解】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 故选：D． 7．物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式．利用弧长公式求解． 【详解】解：的长， 故选：A． 8．根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 通过观察代数式值在相邻x值之间的符号变化，确定方程解的区间． 【详解】解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时，（负数）； 当时，（正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 9．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理，首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， 点在以为直径的上，当、、共线时最小， 在中，，， ∴， ， ． 最小值为． 故选：A． 10．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【详解】 是的内切圆且半径为r，，， ， ， 则的面积为， 故选：C 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．当 时，分式的值为零． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解一元二次方程． 根据分式的值为零的条件得到且，进而求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴分子且分母． 解方程，得或； 解，得； 即或且， ∴． 故答案为：． 12．某电动自行车厂十月份的产量为10000辆，由于市场需求量不断增大，十二月份的产量提高到14400辆，则该厂十一、十二月份的月平均增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十一、十二月份的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该厂十一、十二月份的月平均增长率为， 故答案为：． 13．已知为实数，且满足，则的值为 【答案】1 【分析】本题考查解一元二次方程，把看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得：或， 当时，即，，此方程无实数根，不符合题意，舍去； 当时，即，，符合题意； 故答案为：1． 14．若样本，，，…，的平均数为10，方差为4，则对于样本，，，…，，平均数为 ，方差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数据平移变换对样本平均数与方差的影响，解题的关键在于掌握当每个数据都减去同一个常数时，新平均数等于原平均数减去该常数，方差保持不变，根据知识点，计算出平均数即可，方差不变． 【详解】原样本平均数为10，方差为4； 新样本中每个数据均减去3，则新平均数为， 方差是衡量数据波动程度的量，每个数据减去相同常数，数据间的波动性不变，因此方差仍为4； 故平均数为7，方差为4， 故答案为：7，4． 15．如图，已知是的弦，点C在弦上，，，，则圆心O到的距离为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，掌握这两个定理是关键；过点O作于点E，则，，由勾股定理即可求得，从而求得结果． 【详解】解：如图，过点O作于点E， 则， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即圆心O到的距离为； 故答案为：12． 16．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，圆周角定理以及扇形面积，连接，则，，由知是等腰直角三角形，求出，过点作求出，过点作于点，则四边形是矩形，所以，，分别求出扇形的面积和的面积，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是等腰三角形，，, ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 过点作则， ∴， ∴ 过点作于点，则四边形是矩形， 所以，， ∴, ∴． 故答案为：． 三、解答题(每小题9分，共72分) 17．解方程： (1) (2) 【答案】(1) 或 (2) 或 【分析】此题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题关键. （1）直接利用公式法即可解答. （2）直接利用因式分解法即可解答. 【详解】（1）解： （2）解： 或 18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查根与系数的关系及根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据方程有两个根可得，再结合即可解决问题； （2）利用根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵， ∴的取值范围是且． （2）解：∵该方程有两个实数根分别为、， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，但，不符合题意舍去， ∴． 19．进行垃圾分类，既能有效减少垃圾焚烧和填埋带来的环境污染问题，还能“变废为宝”，实现资源利用最大化，重庆市某中学为了认真落实校园垃圾分类工作，举办了垃圾分类知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩为：63，66，67，70，77，78，79，82，85，86，88，88，88，88，89，89，92，93，95，97． 九年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据：81，86，82，85，86，86， 85． 八、九年级被抽取学生的成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 83 83 中位数 87 m 众数 n 86 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级有800名学生，九年级有900名学生参加了此次垃圾分类知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次垃圾分类安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？ 【答案】(1)，， (2)八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好，理由见解析 (3)名 【分析】本题考查了扇形统计图，平均数、众数、中位数，样本估计总体，看懂题意是解题的关键． （）根据众数、中位数的定义可求出的值，根据组人数和扇形统计图可求出的值； （）根据平均数、众数、中位数判断即可； （）分别求出八年级和九年级竞赛成绩优秀的学生人数，再相加即可. 【详解】（1）解：由八年级名学生的竞赛成绩可知，分的人数最多， ∴众数， 由扇形统计图可知，九年级组成绩学生数为名， 又∵九年级组中的数据为：81，86，82，85，86，86，85， ∴中位数， ∵九年级组成绩学生数有名， ∴九年级组成绩的人数占比为， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好，理由如下：八、九年级学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于九年级的，所以八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好； （3）解：， 答：估计该校八、九年级参加此次垃圾分类知识竞赛成绩优秀的学生人数是名． 20．如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后，的面积等于 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是理解题意，列出方程． （1）根据题意，求出时间的取值范围，列出一元二次方程进行求解即可； （2）列出一元二次方程判断根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：． 当运动时间为（）时，． （1）依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：1秒后，的面积等于； （2）解：不能，理由如下： 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴该方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 21．如图，为的直径，点C在直径上（点C与A，B两点不重合），，点D在上且满足，连接并延长到E点，使． (1)求证：是的切线； (2)当时，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题考查了圆的切线的判定，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练地运用以上知识解题是关键． （1）先证明，再由，得，，进而得，于是有，从而即可证明结论成立； （2）设的半径为，在中，利用勾股定理得，求得． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为r， ， ， ， ， 在中，， ， ，（舍去）， ∴半径的长为5． 22．为优化校园图书节活动设计，学校在图书节结束后，随机抽取120名学生和20名教师对活动进行满意度评分（满分100分），并将数据整理如下： A：120名学生所评分数的频数分布直方图（数据分成4组）： ①：频数15；②：频数30；③：频数45；④：频数30 B：20名教师所评分数为：76，78，80，82，84，85，85，86，87，88，88，88，90，91，92，93，94，95，95，97 C：学生和教师评分数据的平均数、中位数、众数部分信息如下表： 分类 平均数 中位数 众数 学生评分 p q 88 教师评分 87．4 88 m (1)求教师评分数据的众数m的值，并判断学生评分的中位数q位于第几组（填写组号①、②、③、④）； (2)根据频数分布直方图，计算学生评分的平均数p（结果保留一位小数）； (3)校方规定，满意度评定分为三个等级：低于70分为“不满意”，70分至85分为“一般”，高于85分为“满意”．根据上述师生评分数据，分别判断学生对本次图书节、教师对本次图书节的满意度评定等级，并说明理由． 【答案】(1)，q在第③组 (2) (3)学生对图书节满意度为“一般”，教师对图书节满意度为“满意”，理由见解析 【分析】本题考查平均数，中位数，众数，掌握各统计量的计算方法是解题的关键． （1）根据众数，中位数的定义求解即可； （2）求出各组的组中值，再根据平均数的计算公式计算即可； （3）根据学生和教师对图书节评分的平均数进行判断即可． 【详解】（1）解：教师评分数据中出现次数最多的数是88，因此众数． 学生评分共120人，中位数q应为第60名与第61名的平均分所在的组． 频数累积：①：15人（累计15） ②：30人（累计45） ③：45人（累计90） ④：30人（累计120） 第60、61人都在第③组（），因此中位数q位于第③组． （2）解：各组组中值为65，75，85，95， 学生评分的平均数． （3）学生对图书节的评分的平均数，属于70分至85分区间，虽众数为88分，属“满意”等级，但平均数更能反映全体学生的整体评分水平，所以学生整体满意度为“一般”． 教师对图书节的评分平均数，所以整体评定为“满意”． 答：学生对图书节满意度为“一般”，教师对图书节满意度为“满意”． 23．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟． (1)求返回时A、B两地间的路程； (2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟． 【答案】(1)1800米 (2)52分钟 【分析】本题考查一元一次方程，一元二次方程的应用． （1）可设返回时两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解； （2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得： ， 解得， 答：返回时A、B两地间的路程为1800米； （2）解：设小明从A地到C地共锻炼了y分钟，由题意得： ， 整理得， 解得，（舍去）． 答：小明从A地到C地共锻炼52分钟． 24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，三个顶点的坐标分别为点，点，点． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出平移后的，并写出点的坐标； (2)将绕原点逆时针旋转，得到，画出旋转后的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3) 【分析】本题考查作图——平移变换、旋转变换、弧长的计算，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，． （2）解：如图，即为所求． 由图可得， （3）解：由勾股定理得，， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $