专题7.4 二项式定理（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第二册

本讲义聚焦二项式定理核心知识点，系统梳理二项展开式规律、通项公式及二项式系数性质，构建从基础定义到10类应用题型（求展开式、特定项、赋值法等）的递进式学习支架。 资料以“题型+变式”设计为亮点，通过整除问题、近似计算等实例培养数学思维，结合杨辉三角渗透数学文化，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺，提升数学应用意识与理性精神。

专题7.4 二项式定理（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 求二项展开式】 1 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 2 【题型3 用赋值法求系数和问题】 3 【题型4 多项式积的展开式中的特定项问题】 4 【题型5 求展开式中系数最大（小）的项】 4 【题型6 三项展开式的系数问题】 5 【题型7 利用二项式定理解决整除和余数问题】 5 【题型8 近似计算问题】 6 【题型9 证明组合恒等式】 7 【题型10 杨辉三角问题】 7 知识点1 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, …,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. 2．二项展开式的规律 (1)二项展开式一共有(n+1)项. (2)(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. (3)每一项中a和b的幂指数之和为n. 3．二项展开式中的通项问题的求解方法： 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. 【题型1 求二项展开式】 【例1】（24-25高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 【变式1-2】（24-25高二·全国·课后作业）用二项式定理展开 ． 【变式1-3】（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是 ． 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2】（24-25高二下·四川凉山·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．30 B．15 C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·北京朝阳·期中）的展开式中常数项为（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 【变式2-2】（24-25高二下·河北·期末）已知的展开式中的系数为20，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（24-25高二下·湖北武汉·月考）二项式的展开式中常数项为（    ） A．160 B． C． D． 知识点2 二项式系数的性质及应用 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,…时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=21，第二行的三个数之和为4=22，…，第六行的各数之和为26，…，第n行的(n+1)个数之和为2n. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 3．二项式系数的最值问题的求法 二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或. 【题型3 用赋值法求系数和问题】 【例3】（24-25高二下·新疆·月考）若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-1】（24-25高二下·福建厦门·月考）若，则的值为（ ） A．1 B．0 C． D．2 【变式3-2】（24-25高二下·湖南衡阳·期中）已知，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·全国·课后作业）设，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 多项式积的展开式中的特定项问题】 【例4】（24-25高二下·广西崇左·期末）展开式中的系数是（   ） A．15 B． C．30 D． 【变式4-1】（24-25高二下·重庆渝中·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．80 D．100 【变式4-2】（24-25高二下·江西·月考）的展开式中常数项为（    ） A． B．80 C． D．160 【变式4-3】（24-25高二下·福建莆田·期中）在的展开式中项的系数为（   ） A．36 B．45 C．60 D．72 【题型5 求展开式中系数最大（小）的项】 【例5】（24-25高二下·江苏南通·月考）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 【变式5-1】（24-25高二下·广东深圳·月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【变式5-2】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【变式5-3】（24-25高二下·青海西宁·期末）已知的展开式中第项为，且第三项和第九项的二项式系数相等. (1)求的值，并求二项式系数的最大值； (2)求第四项的二项式系数与系数； (3)的展开式中第几项的系数最大？并求系数的最大值. 【题型6 三项展开式的系数问题】 【例6】（24-25高二下·安徽宣城·期末）的展开式中，的系数是（   ） A．60 B．30 C．20 D．10 【变式6-1】（24-25高二下·重庆·期中）在的展开式中，常数项为（    ） A． B．31 C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·福建三明·期中）的展开式中含项的系数为（   ） A．240 B．160 C．-60 D．-160 【变式6-3】（24-25高二下·河南·期中）的展开式中含项的系数为（    ） A． B． C． D． 【题型7 利用二项式定理解决整除和余数问题】 【例7】（24-25高二下·河北·期中）已知能被11整除，则整数a的值可以是（   ） A．1 B．9 C．10 D．0 【变式7-1】（24-25高二下·河北承德·期中）如果今天是星期一，则天后是（    ） A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二 【变式7-2】（2025高三·全国·专题练习）求除以88的余数． 【变式7-3】（24-25高二上·甘肃白银·期末）（1）求除以15的余数； （2）证明：能被96整除. 【题型8 近似计算问题】 【例8】（24-25高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【变式8-1】（2025·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二下·全国·课后作业）求精确到0.001的近似值． 【变式8-3】（24-25高二·全国·课后作业）求下列各数的近似值（精确到0.001）： (1)； (2)． 【题型9 证明组合恒等式】 【例9】（24-25高二·全国·课后作业）求证：． 【变式9-1】（2025高三·全国·专题练习）求证：. 【变式9-2】（24-25高三下·全国·课后作业）求证：. 【变式9-3】（24-25高三下·全国·课后作业）求证： 【题型10 杨辉三角问题】 【例10】（24-25高二下·广东中山·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【变式10-1】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【变式10-2】（24-25高二下·广东东莞·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 【变式10-3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.4 二项式定理（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 求二项展开式】 1 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 3 【题型3 用赋值法求系数和问题】 5 【题型4 多项式积的展开式中的特定项问题】 7 【题型5 求展开式中系数最大（小）的项】 8 【题型6 三项展开式的系数问题】 11 【题型7 利用二项式定理解决整除和余数问题】 12 【题型8 近似计算问题】 14 【题型9 证明组合恒等式】 15 【题型10 杨辉三角问题】 17 知识点1 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, …,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. 2．二项展开式的规律 (1)二项展开式一共有(n+1)项. (2)(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. (3)每一项中a和b的幂指数之和为n. 3．二项展开式中的通项问题的求解方法： 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. 【题型1 求二项展开式】 【例1】（24-25高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由二项式定理求解. 【解答过程】二项式 ， . 故选：B. 【变式1-1】（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【解题思路】先将利用二项式定理展开，然后根据等式确定和的值即可得到答案. 【解答过程】利用二项式定理展开，得 ， ，， 即， 故选：． 【变式1-2】（24-25高二·全国·课后作业）用二项式定理展开 ． 【答案】 【解题思路】利用二项式定理展开即可. 【解答过程】． 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是 ． 【答案】 【解题思路】根据二项式定理可得答案. 【解答过程】 ． 故答案为：． 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2】（24-25高二下·四川凉山·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．30 B．15 C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得展开式的通项公式为，求解即可. 【解答过程】因为二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以， 所以的系数为. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高二下·北京朝阳·期中）的展开式中常数项为（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【解题思路】应用二项展开式的通项公式赋值，即可求出常数项. 【解答过程】二项式展开式通项为，， 由 ，则. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二下·河北·期末）已知的展开式中的系数为20，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】利用二项展开式的通项公式，结合条件，列方程求解. 【解答过程】设的展开式中，通项为 ，， 由 ，所以. 由 . 故选：D. 【变式2-3】（24-25高二下·湖北武汉·月考）二项式的展开式中常数项为（    ） A．160 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据二项式的通项公式展开，结合常数项的特征，即可求解. 【解答过程】因为二项式的展开式的通项为，令，得， 所以常数项为. 故选：C. 知识点2 二项式系数的性质及应用 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,…时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=21，第二行的三个数之和为4=22，…，第六行的各数之和为26，…，第n行的(n+1)个数之和为2n. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 3．二项式系数的最值问题的求法 二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或. 【题型3 用赋值法求系数和问题】 【例3】（24-25高二下·新疆·月考）若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】利用赋值法，即可求解. 【解答过程】令，得到， 令，得到， 则， 故选：C. 【变式3-1】（24-25高二下·福建厦门·月考）若，则的值为（ ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【解题思路】通过令，求得，再令，计算即得. 【解答过程】由， 令，可得， 再令时，可得， 故. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二下·湖南衡阳·期中）已知，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由赋值法逐项判断A，C，D即可，对于B，求展开式中第7项的系数即可. 【解答过程】对于A，取，得，故A错误； 对于B，的展开式中第7项为， 所以，故B错误； 对于C，取得， 所以，故C错误； 对于D，由， 取得， 取得， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高二下·全国·课后作业）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用赋值法，先求得的值，再赋值，即可出现所求式子，进而求解即可. 【解答过程】令，则， 易知皆为负值，皆为正值， 令，则， 故． 故选：C. 【题型4 多项式积的展开式中的特定项问题】 【例4】（24-25高二下·广西崇左·期末）展开式中的系数是（   ） A．15 B． C．30 D． 【答案】A 【解题思路】写出展开式通项，结合乘积形式求对应项，进而确定的系数. 【解答过程】对于，展开式通项为，， 当，即时，， 当，即时，， 所以展开式中的系数是. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二下·重庆渝中·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．80 D．100 【答案】A 【解题思路】先求出展开式的通项，从而得到展开式中的系数为.. 【解答过程】因为， 其中展开式的通项为， 当时，， 故，其他项均不合要求， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二下·江西·月考）的展开式中常数项为（    ） A． B．80 C． D．160 【答案】C 【解题思路】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【解答过程】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中常数项为. 故选：C. 【变式4-3】（24-25高二下·福建莆田·期中）在的展开式中项的系数为（   ） A．36 B．45 C．60 D．72 【答案】A 【解题思路】利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可得到答案. 【解答过程】的展开式的二项式通项为， 令，可得． 的展开式的二项式通项为，令，则． 故项的系数为． 故选：A. 【题型5 求展开式中系数最大（小）的项】 【例5】（24-25高二下·江苏南通·月考）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 【答案】B 【解题思路】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【解答过程】的通项公式为, 根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大， 第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二下·广东深圳·月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【解题思路】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【解答过程】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）结合题意建立方程，求解参数即可. （2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可. （3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可. 【解答过程】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 【变式5-3】（24-25高二下·青海西宁·期末）已知的展开式中第项为，且第三项和第九项的二项式系数相等. (1)求的值，并求二项式系数的最大值； (2)求第四项的二项式系数与系数； (3)的展开式中第几项的系数最大？并求系数的最大值. 【答案】(1)，最大值为 (2)二项式系数：，系数： (3)第项的系数最大，最大值为 【解题思路】（1）首先由第三项与第九项的二项式系数相等的条件可得：，求出的值，进而求解二项式系数的最大值； （2）直接根据二项式定理的通式进行求解即可； （3）首先由，得：，进而可知时，，时，，从而确定第8项的系数最大，进而求解出系数的最大值. 【解答过程】（1）记展开式的第项为的二项式系数为， 因为第三项的二项式系数与第九项的二项式系数相等， 即，故 因为10是偶数，故二项式系数的最大值为 （2），故， 所以第四项的二项式系数为， 系数为. （3）因为，故 因为，令， 得： 因为是正整数，故时，； 时，. 所以第8项的系数最大，最大值为. 【题型6 三项展开式的系数问题】 【例6】（24-25高二下·安徽宣城·期末）的展开式中，的系数是（   ） A．60 B．30 C．20 D．10 【答案】A 【解题思路】先对目标式合理变形，再利用二项式定理多次展开求解系数即可. 【解答过程】由题意得， 由二项式定理得的通项为， 欲求的系数，则令，此时对应项为， 后续我们再从找到只含的项即可， 由二项式定理得的通项为， 令，解得，此时对应项为， 故的系数为，故A正确. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二下·重庆·期中）在的展开式中，常数项为（    ） A． B．31 C． D． 【答案】C 【解题思路】变形得，再根据二项展开式的通项公式即可得到答案. 【解答过程】由题意变形得， 则根据展开式通项得，代入， 则常数项为. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二下·福建三明·期中）的展开式中含项的系数为（   ） A．240 B．160 C．-60 D．-160 【答案】D 【解题思路】先将变形为，那么，再根据二项式展开式的通项公式求出含项的系数. 【解答过程】因为，所以. 对于，则其展开式的通项公式为： （）. 令，解得. 将代入到通项公式中，可得含项为.即含项的系数为. 故选：D. 【变式6-3】（24-25高二下·河南·期中）的展开式中含项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】写出展开式通项，对照，求出参数值，代入通项即可得解. 【解答过程】在的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以，的展开式通项为， 由可得， 故展开式中项的系数为． 故选：C． 【题型7 利用二项式定理解决整除和余数问题】 【例7】（24-25高二下·河北·期中）已知能被11整除，则整数a的值可以是（   ） A．1 B．9 C．10 D．0 【答案】C 【解题思路】根据，展开后可得能被11整除余1，结合选项即可得答案. 【解答过程】因为， 能被11整除， 所以能被11整除， 由选项知当时，符合题意． 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二下·河北承德·期中）如果今天是星期一，则天后是（    ） A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二 【答案】B 【解题思路】根据二项式定理计算被7除余数后即可求解. 【解答过程】55 ， 而为7的倍数， 故被7除余数是6，所以天后是星期日. 故选：B. 【变式7-2】（2025高三·全国·专题练习）求除以88的余数． 【答案】1 【解题思路】逆用二项式定理得 ，再利用二项式定理展开处理，即可得. 【解答过程】因为 ， 所以原式除以88的余数为． 【变式7-3】（24-25高二上·甘肃白银·期末）（1）求除以15的余数； （2）证明：能被96整除. 【答案】（1）4； （2）证明见解析 【解题思路】（1）将转化为，然后根据二项式展开式求得正确答案. （2）将转化为然后利用二项式展开式求得正确答案. 【解答过程】（1） ， 除以15的余数为4. （2）证明： ， 原式能被96整除. 【题型8 近似计算问题】 【例8】（24-25高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【解题思路】利用二项式定理进行估值即可. 【解答过程】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C. 【变式8-1】（2025·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据二项式定理即可估算近似值. 【解答过程】由题意可知 故选：C. 【变式8-2】（24-25高二下·全国·课后作业）求精确到0.001的近似值． 【答案】0.951 【解题思路】根据给定条件可得，再利用二项式定理求解. 【解答过程】依题意， . 所以精确到0.001的近似值为. 【变式8-3】（24-25高二·全国·课后作业）求下列各数的近似值（精确到0.001）： (1)； (2)． 【答案】(1)1.008 (2)0.990 【解题思路】（1）（2）根据二项式定理展开式的性质，即可求解近似值. 【解答过程】（1）由二项式定理展开式得： ， 由于精确到0.001，所以； （2）由二项式定理展开式得 ， 由于精确到0.001，所以. 【题型9 证明组合恒等式】 【例9】（24-25高二·全国·课后作业）求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用二项式定理的展开式再令可证明. 【解答过程】由二项式定理：， 令得： ， 化简得：. 【变式9-1】（2025高三·全国·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析. 【解题思路】利用二项式定理直接证明. 【解答过程】左边= =1=右边. 即证. 【变式9-2】（24-25高三下·全国·课后作业）求证：. 【答案】证明见解析 【解题思路】根据，利用二项式定理分别求出等式左右两边含的项的系数即可证明. 【解答过程】证明： ， 当时，展开式中的系数为， 又， 当时，展开式中的系数为， ， . 【变式9-3】（24-25高三下·全国·课后作业）求证： 【答案】证明见解析 【解题思路】利用恒等式及二项式定理，左右展开后对应项系数相同，利用组合数性质计算即可. 【解答过程】考虑恒等式：， 有 ． 左边展开式中的系数为： ， 而右边展开式中项的系数为零． 所以. 即得所证等式． 【题型10 杨辉三角问题】 【例10】（24-25高二下·广东中山·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【解题思路】A选项，分别得到第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数，第9行的第8个数，得到A正确；B选项，第2023行中第1012个数为，第1013个数为，结合组合知识得到B正确；C选项，先得到，得到；D选项，第15个数与第16个数之比为. 【解答过程】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 【变式10-1】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ）． A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【答案】D 【解题思路】由杨辉三角及二项式定理、组合数性质求对应行列数字及相关行的数字之和. 【解答过程】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D. 【变式10-2】（24-25高二下·广东东莞·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 【答案】(1)256 (2)证明过程见解析 (3) 【解题思路】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为； （2）利用组合数运算公式得到； （3）含项的系数为，结合（2）中性质化简计算出结果. 【解答过程】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 ； （2）， ， 故； （3）的展开式中，含项的系数为 . 【变式10-3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2048； (2)166650； (3)存在，这三个数为. 【解题思路】（1）利用二项式系数的性质求和即可； （2）利用的性质进行化简求和，得到答案； （3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案. 【解答过程】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $