第12讲 四边形常见六大几何模型（6个模型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材人教版

第12讲 四边形常见六大几何模型 【模型1 “中点四边形”模型】 条件 E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点 图示 结论 ①四边形EFGH是平行四边形； ②C四边形EFGH=AC+BD； ③S四边形EFGH = S四边形ABCD 拓展方向 图形背景由一般四边形拓展为特殊四边形 类型 矩形的中点四边形 菱形的中点四边形 正方形的中点四边形 条件 E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点 图示 结论 四边形EFGH是菱形 四边形EFGH是矩形 四边形EFGH是正方形 【例1】定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． (1)如图1，在任意四边形中，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则中点四边形的形状是______． (2)在图1中，试判断与的关系，并说明理由． (3)如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 【答案】(1)平行四边形 (2)，理由见解析 (3)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理可得，据此可得，即可得证； （2）作于点，交于点，设交分别于点，推出四边形为平行四边形，取的中点，连接，证明重合，得到，根据三角形和平行四边形的面积公式得到，同理得到，即可得出结论； （3）连接，证得，由知，结合四边形是平行四边形即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵点E、H分别为边的中点， ∴， ∵点F、G、分别为的中点， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形； （2），理由如下： 如图，作于点，交于点，设交分别于点， 由（1）可知：四边形是平行四边形，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 取的中点，连接，则， ∴， ∴重合， ∴， ∴， 同理：， ∴，即：； （3）解：四边形是菱形，理由如下： 如图2，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E，F，G分别为边的中点， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【变式1-1】如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形． 其中正确的结论是（    ） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接，，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ， 四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形， ＝， ＝ ，＝ ， ＝， 四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形， ， ∵， ， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形， ＝，， ＝ ，＝ ， ＝， 四边形是菱形； ，， ， ， 四边形是正方形．（④正确） 正确的是①④． 故选：B． 【变式1-2】阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 【答案】(1)平行四边形；矩形 (2)菱形，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可推出，则可证明四边形是平行四边形；同理可证明四边形为平行四边形，由菱形的性质得到，则，即可证明平行四边形为矩形 （2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论； （3）连接交于O，连接，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再证明即可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 如图，四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，， ∴， 同理可得， ∴四边形为平行四边形， 又∵四边形是菱形， ∴，则， ∴平行四边形为矩形； （2）解：四边形为菱形．证明如下： 连接，，如图2所示： ∵和为等边三角形， ，，， ∴， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M，E分别是的中点， ∴， 同理可得， ∴； 又∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， 同理可得的最小值， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴； ∴， ∴． 【变式1-3】综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论； （3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4），理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 【模型2 “十字架”模型】 类型 过顶点型 不过顶点型 条件 在正方形ABCD中，点E,F分别在CD,AD上，AE⊥BF 在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在AB,CD,BC,AD上，EF⊥GH 图示 结论 ①△ABF≌△DAE;②BF=AE GH=EF 拓展方向 由正方形向矩形拓展 类型 过顶点型 不过顶点型 条件 在矩形ABCD中，点E在AD 上，CE⊥BD 在矩形ABCD中，点E,F,G,H分别在AD,BC,AB,DC上，EF⊥GH 图示 结论 ①△BCD∽△CDE；② = = 【例2】阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务： “十字架模型”的拓展研究有这样一道习题：如图①，四边形是一个正方形花园，，是它的两个门，要修建两条路和，且使得，那么这两条路等长吗？为什么？ 对于上面的问题，我是这样思考的： 四边形是正方形， ，． 又 ， ． ．（依据） ， ． 有趣的是，对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，这两条线段是否仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究： 如图②，在正方形中，若点，，，分别是，，，上的任意一点，且，垂足为，则仍然与相等，证明如下： 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则容易证明四边形和四边形均为矩形， ，， ， ． 在四边形中， ， …… 任务：根据上面小论文的点拨过程，解决下列问题： (1)画横线部分的“依据”是______． (2)在小论文的点拨过程中，主要运用的数学思想有______．（从下面选项中选出两项） A．转化思想                                B．方程思想 C．由特殊到一般的思想                    D．函数思想 (3)请根据小论文提供的思路，补全图②剩余的证明过程； (4)如图③，将边长为4的正方形纸片折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长为______． 【答案】(1)同角的余角相等 (2)A、C (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据证明过程分析即可； （2）在小论文的点拨过程中，体现了转化思想和由特殊到一般的思想； （3）通过等量代换和全等三角形的判定得到，即可得到． （4）连接，先由勾股定理求出，由折叠可知，，而在正方形的对边上，则由上可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴ ， 根据同角的余角相等即可得到， 故答案为：同角的余角相等； （2）解：在小论文的点拨过程中，体现了转化思想和由特殊到一般的思想， 故答案为：A、C； （3）解：补全如下， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵为中点， ∴，而， ∴， 由折叠可知，， ∵在正方形的对边上， ∴由上可得． 【变式2-1】如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为 ．    【答案】5 【分析】由正方形中“十字架”模型的解法可知，过点作于，可证()，可得，由勾股定理可求，再由“对角形互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半”，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，   ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， () ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【变式2-2】如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，连接AE，DF⊥AE交AB于点F，交AE于点G． （1）如图1，求证：AE＝DF； （2）如图2，设Q是线段BF上的动点，QH⊥AE于M，交DC于H． ①试猜想线段AQ，DH，BE间的数量关系； ②若M是AE的中点，且AB＝3，BE＝时，求CH的长． 【答案】（1）见解析；（2）①AQ＝BE＋DH；②1＋． 【分析】（1）由ASA可证△ABE≌△DAF，可得AE＝DF； （2）①由正方形的性质可得AB∥CD，QH⊥AE，DF⊥AE得QH//DF，可得出四边形DFQH是平行四边形，则DH＝FQ，可得出AQ＝AF＋FQ＝AF＋DH，由△ABE≌△DAF得AF＝BE，即可得AQ＝BE＋DH； ②根据勾股定理求出AE＝，则AM＝，连接EQ，利用勾股定理求出AQ长，由①的结论得DH＝AQ﹣BE＝2﹣，即可求得CH的长． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠DAF＝90°，AB＝DA， ∵DF⊥AE， ∴∠DGA＝90°， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ADF＋∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝∠ADF，且∠ABE＝∠DAF＝90°，AB＝DA， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴AE＝DF； （2）①AQ＝BE＋DH， 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB//CD，AB＝CD＝3， ∵QH⊥AE，DF⊥AE， ∴QH//DF， ∴四边形DFQH是平行四边形， ∴DH＝FQ， ∴AQ＝AF＋FQ＝AF＋DH， 由（1）知△ABE≌△DAF， ∴AF＝BE， ∴AQ＝BE＋DH； ②∵AB＝3，BE＝，∠ABE＝90°， ∴， ∵M是AE的中点， ∴AM＝AE＝， 连接QE， ∵QH⊥AE， ∴AQ=EQ， ∵∠B=90°， ∴BE2+BQ2=QE2， 即 ， ∴EQ=2， ∴AQ＝2， 由①的结论得DH＝AQ﹣AF=AQ-BE＝2﹣， ∴CH＝CD﹣DH＝3﹣（2﹣）＝1＋． 【变式2-3】【基础巩固】 （1）如图1，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的线段分别交于点E，F，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，点O是对角线的中点，分别交于点E，F，连结，试猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展提高】 （3）如图3，在矩形中，点M，N是对角线的三等分点，过点M作分别交于点E，F，连结，已知，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质证明即可； （2）延长交于点H，由（1）得，由，可得是直角三角形，再由直角三角形斜边中线的性质即可求证； （3）过点N作于点P，可得点N是的中点，点M是的中点，由直角三角形斜边中线可得，再证明，则，由等腰三角形性质可得，则，设，则，由勾股定理建立方程 ，求出，再求解． 【详解】（1）∵是矩形，是对角线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：延长交于点H， 由（1）得， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴； （3）过点N作于点P，则 ∵M，N是对角线的三等分点， ∴点N是的中点，点M是的中点， ∵， ∴，， ∵点N是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 设，则， 由勾股定理得： ∴， 解得：（舍负）， ∴． 【模型3 “垂美四边形”模型】 条件 在四边形ABCD中，AC⊥BD 图示 结论 ①AB2+CD2=AD2+BC2 ; ②S四边形ABCD=AC·BD 【例3】如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：，见解析；问题解决：1 【分析】（1）先利用证明，再根据全等性质的得出，然后证明，再根据垂美四边形的定义得出结论； （2）先证明，再利用勾股定理列出式子：，，，，然后分别求出，，证明； （3）先利用邻补角的意义求出，再利用三角形面积公式分别求得， ，再求出四边形的面积． 【详解】解：概念理解：四边形是垂美四边形；理由如下： 如图，连接、交于点， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ∴四边形是垂美四边形； 性质探究：； 证明如下： 记和交于点， 由题可知， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ； 问题解决： 如图，连接，过作于点， ， ， 在中，， ∴， ， ， ． 【变式3-1】如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为． （1）发现：由勾股定理得___________，___________． （2）猜想：___________．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，，相交于点． （3）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1），；（2）；（3）①四边形是垂美四边形；理由见解析；②． 【分析】（1）根据勾股定理进行求解即可； （2）由勾股定理列出等式即可求解； （3）①先证明可得，再根据三角形内角和定理列式整理可得，然后根据垂美四边形定义进行求解即可；②根据勾股定理，结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，． 故答案为：，． （2）在和中，根据勾股定理得：，， ，， ∴． 故答案为：． （3）①如图2：四边形是垂美四边形；理由如下： ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形． ②∵，，， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴． 【变式3-2】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，垂美四边形两组对边与之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (3)如图③，在中，点F为斜边的中点，分别以为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，分别交于点M，N．试猜想四边形的形状，并说明理由． (4)如图④，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)四边形是垂美四边形，理由见解析 (3)四边形是矩形，理由见解析 (4) 【分析】（1）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （2）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （3）根据在中，点F为斜边的中点，可得，再根据和是等腰三角形，可得，同理（2）可得，，从而判定四边形是矩形； （4）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接，交点为点E， ∵四边形是垂美四边形， ， ， 由勾股定理得： ， ， ， 故答案为：； （2）解：四边形是垂美四边形，理由如下： 连接， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴ ∴四边形是垂美四边形； （3）解：四边形是矩形，理由如下： 如图，连接， ∵在中，点F为斜边的中点， ， ∵和是等腰三角形， ， 同理（2）得：， ∵， ， ∴四边形是矩形； （4）解：连接， 正方形和正方形中，， ，即， 在和中， ， ， ∵，， ，即， ∴四边形是垂美四边形， 同理（2）得， ， ， ， ． 【变式3-3】（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ． （2）探索研究方法：如图1．已知四边形是垂美四边形，求证：． （3）尝试问题解决：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰； ①如图2，当，连接，求的长； ②如图3．当，点G、H分别是中点，连接．若，求的面积． 【答案】（1）②④；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据平行四边形，菱形，正方形和矩形的性质，结合垂美四边形的定义，进行判断即可； （2）运用勾股定理可得：，，，，即可证得结论； （3）①如图，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理可得，再证得 ，得出，，运用勾股定理即可求得答案．②分别过点A、D作于点M，于点N，连接，证明，得到，设，勾股定理求出的值，利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵菱形、正方形的对角线垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形， 故答案为：②④； （2）证明：∵四边形ABCD是垂美四边形， ，垂足为，如图， ，，，， ，， ． （3）解：①解：如图，过点作，交的延长线于点，则， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，． ②如图3，，分别过点A、D作于点M，于点N，连接， 又∵等腰和等腰，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵点G、H分别是中点，连接， ∴， 在和中，由勾股定理得： ， ∴，即， 解得：，即， ∴． 【模型4 “对角互补”模型】 类型 90°角的对角互补模型 60°,120°角的对角互补模型 条件 ∠ABC=∠ADC=90°,BD平分∠ABC ∠ABC=120°,∠ADC=60°,BD平分∠ABC 作辅助线 过点D分别作DE⊥BC于点E, DF⊥BA交BA的延长线于点F 过点D分别作DE⊥BC于点E, DF⊥BA交BA的延长线于点F 结论 ①AD=CD; ②AB+BC = BD ③S四边形ABCD=BD2 ①AD=CD; ②AB+BC=BD; ③S四边形ABCD=BD2 【例4】定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，求的度数； (2)如图，在四边形中，平分，，．求证：四边形是互补四边形； (3)如图，互补四边形中，，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； (4)如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)周长不变，周长为； (4)的长为或． 【分析】（1）由定义可得，设，，，解方程后即可求出的度数； （2）在上取，连接，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质得，，再由等量代换、等边对等角得出，根据即可证四边形是互补四边形； （3）延长使，连接、，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质得，，可证，再利用“边角边”证明，再结合全等三角形的性质得，即，证明后，结合全等三角形性质、含的直角三角形特征、勾股定理得到，即可得到周长； （4）分两种情况考虑：①四边形是平行四边形；②四边形是平行四边形，结合平行四边形性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含的直角三角形特征、勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：依题意得：， 设，，， 即， 解得， ，，， ． （2）解：在上取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 即对角互补，四边形是互补四边形． （3）解：周长不变，证明如下： 延长使，连接、， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 故周长不变，周长为． （4）解：分两种情况： ①如下图所示，四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 同（3）得，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 设， 作于点，则， 菱形的面积， 解得或（舍去）， ， ， ，， ； ②如下图所示，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ，， 作交于点，交于点， 设，则， 菱形的面积， 解得或（舍去）， ， ， ， 则中，，，， ，， ， 同①得：， ， 是的外角， ， ， ． 综上所述：的长为或． 【变式4-1】我们知道，四边形内角和为，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补．因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”．例如：在四边形中，若（或），则称四边形为“双补四边形”． (1)已知四边形是“双补四边形”． 若，则________； 如图1，若，，，，则________； (2)如图2，在四边形中，平分，．求证：四边形是“双补四边形”； (3)如图3，四边形是“双补四边形”，，点M，N分别在边EH，GH上，且满足．试探究和之间满足的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①；②6 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，几何图形中角度的计算，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据“双补四边形”的定义得到，，再根据角的大小关系可得到，则，据此求出的度数，进而求出的度数即可得到答案； ②根据“双补四边形”的定义得到，由勾股定理求出的长，进而可求出的长； （2）在上取一点T，使得，连接，证明，得到，证明，得到，根据，得到，则四边形是“双补四边形”； （3）延长到P，使得，连接，可证明；根据“双补四边形”的定义得到，则可证明，证明，得到，再证明，得到，则可证明，再由，可得． 【详解】（1）解：①∵四边形是“双补四边形”， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； （2）证明：如图所示，在上取一点T，使得，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是“双补四边形”； （3）解：，证明如下： 如图所示，延长到P，使得，连接， ∵，， ∴，即； ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∴． 【变式4-2】问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等方法是构造旋转全等，如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． (1)【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向，作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； (2)【问题探究】如图②，若，，，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线，交于点，连接，且，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据矩形的性质得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，过点作于，于，先判定，得到，，再判断，根据全等三角形的性质得到，求得，设，则，，求得，得到，在中，由含的直角三角形性质求解即可得到结论； （3）如图，延长到，使，连接，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 设，则，， ，解得， ， 在中，，，则， ； （3）解：延长到，使，连接，如图所示： 在四边形中，，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 四边形的面积的面积． 【变式4-3】（1）如图1，在中，，，为边的中点，为边上一动点（点不与、重合），将射线绕点逆时针，所得射线与交于点，连接，猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，若，（1）中其他条件不变，上面的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，矩形的对角线的交点是矩形的一个顶点，将矩形绕着点旋转，与直线相交于点，与直线相交于点，连接.已知矩形的边，，当时，则的长为_____cm． 【答案】（1）；证明见解析；（2）结论成立；理由见解析；（3）或 【分析】（1）连接，可证，再由，可将，转化到中，根据勾股定理证明即可． （2）做辅助线构造矩形，延长交于，可证，得， 由于为中点，，可证为的中垂线，得，根据勾股定理证明即可． （3）分类讨论在和在延长线的情况，借助辅助线证明三角形全等，然后进行线段转化，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，为边的中点，， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：成立，证明如下， 如图，过Ａ点做且，交于，连接、， O为中点， ， 在和， ， ， ，， ， 根据中垂线性质，， 在中，， ． （3）解：①当点Ｎ在上， 如图，连接，延长交于H，连接， O为矩形的对角线交点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ，，， ， 可得， 在中，． ②当点Ｎ在延长线上， 如图，延长使，过点O做的垂线，分别交、的延长线于M、G， 同①法可证，为的中垂线， ，， ，， ， ， 解得， ． 综上，MN的长度为或． 【模型5 “含60°角的菱形”模型】 条件 四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD交于点O,∠ABC=60° 图示 结论 ①∠ABD=∠CBD=30°； ②△ABC和△ACD均为等边三角形； ③AB:AC:BD=1:1:; ④S菱形ABCD=AC·BD=BC2 【例5】综合与实践课上，腾飞小组三位同学对含角的菱形进行了探究： 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点P、Q． (1)【感知】如图1，若点P是边的中点，小腾经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你写出这个关系式______，此时的形状是______． (2)【探究】如图2，小飞说“点P为上任意一点时，（1）中的两个结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由． (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1)，等边三角形； (2)同意，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接，根据菱形的性质，可得，根据可得，根据等边三角形的判定和性质可得，根据点是边的中点，可得，等量代换可得，故，根据全等三角形的判定和性质可得，是等边三角形； （2）连接，根据菱形的性质，可得，根据可得，根据等边三角形的判定和性质可得，等量代换可得，根据全等三角形的判定和性质可得，是等边三角形； （3）过点作于，连接，根据菱形的性质，可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据勾股定理可得，即可求得的值，计算面积即可． 【详解】（1）解：，是等边三角形； 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，且， ， ∴和都是等边三角形， ， ∵点是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴是等边三角形． （2）解：同意． 理由如下：连接， ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． （3）解：或（写成，也对） 同（2）可证， 过点A作于E，连接， ∵四边形是菱形，且，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴， 当时，（或）， 当时，（或）． 【变式5-1】如图，在菱形中，，，点在对角线上（不与点，重合），，． (1)若是线段中点，则四边形的周长为 ，四边形的面积为 ； (2)点在线段上运动时，四边形的周长是否为定值，请说明理由． (3)设，求四边形的面积（用含的代数式表示），并说明为何值时，四边形面积有最大值． 【答案】(1)，； (2)四边形的周长是定值，理由见解析； (3)当时，四边形面积的最大值为． 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定，勾股定理等知识点，理清题意，合理构造辅助线，灵活运用是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，，，，可证四边形是平行四边形，可得，，即可求解； （）易证四边形是平行四边形，可得，，由平行线的性质和菱形的性质可证，，即可求解； （）过点作于，由直角三角形的性质可求，，由平行四边形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的周长， ∵是线段中点， ∴点与点重合，如图， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：，； （2）解：四边形的周长是定值，理由如下， ∵，， ∴四边形是平行四边形，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的周长； （3）解：如图，过点作于， ∵，， ∴四边形是平行四边形，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形面积， ∴当时，四边形面积的最大值为． 【变式5-2】【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含60°角的菱形的性质．如图1，菱形的边长为，，则______，______． 【操作发现】（2）如图2，在图1的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点位置的改变，其它条件不变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1），12；（2）见解析；（3）不变，，理由见解析． 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练以上知识点是解题的关键． （1）根据菱形的对角线平分对角，计算，利用菱形的对角线互相垂直且平分，勾股定理计算即可． （2）根据菱形的性质，结合，，得到，继而得到，证明即可． （3）根据菱形的性质，得到，根据，得到，计算得． 【详解】解：（1）连接交于点，如图所示： 菱形的边长为，， ，，，， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：四边形，是菱形， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； （3）解：的大小不变，且，理由如下： 四边形是菱形，， ， ， ， ， ． 故的大小不变，且； 【变式5-3】在菱形中，，点E，F分别是边，上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，点G，H分别是边，上的点，连接与相交于点O且，求证： 【拓展延伸】 （3）如图3，若点E为的中点，，，． ①设，，请用关于x的代数式表示y； ②若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；②． 【分析】（1）连接，证明和都是等边三角形，可得，证明，即可得出结论； （2）连接，过点D作交于点P，交于点Q，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证； （3）①过点B作交于点M，过点D作交于点P，交于点Q，则四边形和四边形、四边形都是平行四边形，得出，，，，，由（1）可知，则，即可求解； ②过点B作于点N，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，根据可求，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵菱形、， ，，，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ； （2）如图2，连接，过点D作交于点P，交于点Q 则，四边形和四边形都是平行四边形， ，， 由（1）可知， （3）①如图3，过点B作交于点M，过点D作交于点P，交于点Q， 则四边形和四边形、四边形都是平行四边形， ，，，， ∵点E为的中点，， ， ， ，， ，， 由（1）可知， ， ，， ， ， ②过点B作于点N， ， ， ，， ，即， ， ， ， ， ． 【模型6 “半角”模型】 拓展方向 特殊四边形中的“半角”模型 类型 90°含45° 120°含60° 特点 正方形ABCD，∠EAF=45° 菱形ABCD,∠BAD=120°，∠EAF=60° 图示 变形 结论 ①△ABG≌△ADF, △AGE≌△AFE; ②EF=BE+DF ①△ABE≌△ADG, △AEF≌△AGF; ②△AEF为等边三角形(连接AC,可得△AEC≌△AFD) 【例6】【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 【答案】(1) (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）延长到点H，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （2）延长到点M，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （3）延长到点P，使，连接，先证明，再证明，可得，从而得到的周长，即可解答． 【详解】（1）解：延长到点H，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 延长到点M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点P，使，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为： 【变式6-1】综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3），见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）沿着小李的思路，先证，再证，即可得出结论； （2）设，则，然后计算周长即可； （3）在上截取，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：（1）， 理由如下： 沿着小李的思路进行证明， 在正方形中，有，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）设，则， ∴ 的周长为：， 故答案为：8； （3），理由如下： 如下图中，在上截取，使，连接，    ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴． 【变式6-2】问题背景： 在一次数学活动课上，老师让同学们根据所学的知识去了解“半角模型”，并探究“半角模型”的相关结论． (1)初步探究：如图①，小明将一张正方形纸片折叠，使得，恰好都落在对角线上，展开正方形纸片后得到折痕，，求的度数； (2)深入探究：如图②，小华在图①的基础上，将绕点逆时针旋转一定的角度，使的两边分别交，于点，，连接，请你帮助小华判断线段，和之间存在怎样的数量关系，并证明； (3)拓展延伸：如图③，在正方形中，是上的一点，是延长线上一点，且，连接，过点作，垂足为点，交边于点．若，，求的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用折叠的性质，得到，， 即可得到，最后求解； （2）把绕点顺时针旋转得到，结合全等三角形的性质和角度和差关系通过证明，根据全等三角形对应边相等和等量代换即可求解； （3）连接，，，通过证明，由全等三角形的性质得到为等腰直角三角形，设，分别用含的代数式表示，，再结合勾股定理和三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质，得，， ， 即：； （2）解：， 证明如下：如下图所示，把绕点顺时针旋转得到， 点的对应点为点， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如下图所示：连接，，， 四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， 垂直平分， ， 设，则，， ， 在中，根据勾股定理可得：， 即：，解得， ，， ． 【变式6-3】【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）不成立，理由见解析（3） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是旋转三角形，构造全等三角形． （1）由旋转的性质可得，进而证得，从而得出，进一步得出结论； （2）把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合，可证得，进而证得，进一步得出结果； （3）与（2）的证法类似，可得到结论； 【详解】解：（1）证明：由旋转的性质可得， ． 又，三点共线． ， ， ， ． 又， ， ． （2）不成立． 理由：如图，把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合． ， F，G，D三点共线． 由旋转的性质可知， ， ． 又， ， ； ∴（1）中的结论不成立． （3）． 理由：如图，把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ， B，G，E三点共线． 同理可证：， ∴， ． 1．如图，、是矩形边上的两点，．    (1)若，则______°； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据四边形是矩形得，，根据得，根据平行线的性质即可得； （2）根据四边形是矩形得，，根据可证明，得，即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴． 2．如图．一个锐角等于的菱形，将一个的的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个的，使它的两边分别交、于点E，F． (1)如图1，当时，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)旋转，如图2，当时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)成立，证明见解析； 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定方法是解题关键. （1）根据菱形性质，可得，结合已知，可证，可得； （2）连接，由菱形的性质可得，，可证是等边三角形，是等边三角形，可得，，证明，可得. 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， 在和中， （）， . （2）解：仍然成立，理由如下： 如图，连接， 四边形是菱形，， ， 是等边三角形，是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ． 3．如图1，将一把含角的三角尺放在边长为2的正方形上，并使它的直角顶点始终与点重合，其一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点． (1)在三角尺绕着点A旋转的过程中． ①请判断与的数量关系，并加以证明． ②四边形AECF的面积是否为定值？如果是，求出这个值；如果不是，试说明理由． (2)如图2，将这把三角尺角的顶点始终与点重合，角的一边与交于点，另一边与交于点．在旋转的过程中，求点到线段的距离． 【答案】(1)①；详见解析；②四边形的面积的值始终保持不变，值为4；详见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识： （1）①由四边形为正方形可以得到，又，而由此可以推出，，进一步得到，由证明，即可得出结论；②由，得出，那么它们都加上四边形的面积，即可四边形的面积=正方形的面积，从而求出其面积； （2）延长至G，使，连接，作于M，由证明，得出，，证出，由证明，得出全等三角形对应边上的高相等即可． 【详解】（1）解：①；理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②四边形的面积的值始终保持不变，值为4；理由如下： ∵正方形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 即四边形的面积的值始终保持不变，值为4； （2）解：延长至G，使，连接，作于M，如图2所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即点A到线段的距离为2． 4．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． (1)【思路梳理】延长至，使， ，， ， ，， 又， ， 根据______，易证______，得 (2)【类比引申】如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有． (3)【联想拓展】如图3，在中，，，点、均在边上，且；猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）延长至，使，证明可得，，则，进而根据证明可得，进而即可证明； （2）当时，，同（1）进行证明即可； （3）作，并使，连接，证明，推出是直角三角形，利用勾股定理和等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：延长至，使， ，， 在和中， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：当时，，理由如下： 延长至，使，如图， ∵，， ∴， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：； （3）解：猜想：．理由如下： 作，并使，连接，如图， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ， ， ， 是直角三角形， ， ． 5．我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．如图1，且，则四边形是至善四边形．          (1)下列四边形一定是至善四边形的有________． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)如图2，四边形为至善四边形，，，，求的长． (3)如图3，正方形中，，D为中点，在右边作等边，F为中点，连接交于点，交于点G． ①求的度数； ②直接写出线段的长． 【答案】(1)④ (2)3 (3)①；② 【分析】本题是四边形的综合题，考查了新定义，特殊平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．正确理解新定义、通过作辅助线构造全等三角形、直角三角形是解题的关键． （1）根据至善四边形的定义及特殊平行四边形的性质进行判断即可； （2）如图，延长至点，使，根据至善四边形的定义推出，证明，得，，证明为等边三角形，即可得出答案； （3）①延长至点，使得，连接，证明，得，，推出是等腰直角三角形，得，由正方形的性质和等边三角形的性质可得的度数，据此由三角形内角和定理可得答案；②由正方形的性质求出的长，再利用勾股定理和等边三角形的性质求出的长，则可求出，再利用勾股定理即可求出的长。 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，邻角互补，对边相等，它的对角不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不是至善四边形； ②矩形四个内角是直角，对边相等，它的对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不是至善四边形； ③菱形对角相等邻角互补，它的一组邻边相等，但对角不一定互补，故菱形不是至善四边形； ④正方形四个内角是直角，它的对角互补且有一组邻边相等，故正方形是至善四边形； 故答案为：④； （2）解：如图，延长至点，使，连接 ∴； ∵四边形为至善四边形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为； （3）解：①延长至点，使得，连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，即，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②由正方形的性质可得， ∵为等边三角形，为的中点， ∴，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴。 6．如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得出，解得，则可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， 理由如下：，N为的中点， 为的中位线， ，， 同理可得，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形． （3）解：延长交于点S， 由对称性可知，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 7．定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用： （1）如图1，四边形是垂美四边形，若，则___________； 性质变式： （2）如图2，图3，是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图2为例将此重要结论证明出来． 应用变式： （3）①如图4，在矩形中，为对角线交点，为中点，则___________； ②如图5，在中，是内一点，且，则的最小值是___________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①10；② 【分析】本题主要考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，理解“垂美”四边形的性质是解题的关键． （1）将代入计算即可； （2）如图：过于，交的延长线于，由（1）性质可知：，即，再结合勾股定理可得；同理可得： ，则，进而证明结论； （3）如图：以、为边作矩形，连接、，则，由题意得，再结合题中数据可得；C、D、E三点共线时，最小，最后根据矩形的对角线相等即可解答． 【详解】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形， ， ， ， ． （2）证明：如图：过于，交的延长线于， 由（1）性质可知：， 即： ， 又 ， ，即． （3）解：①设，则， 由（2）可得， ， ； ②如图：以、为边作矩形，连接、，则， 由题意得：，即，解得：， 当、、三点共线时，最小， 的最小值的最小值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 四边形常见六大几何模型 【模型1 “中点四边形”模型】 条件 E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点 图示 结论 ①四边形EFGH是平行四边形； ②C四边形EFGH=AC+BD； ③S四边形EFGH = S四边形ABCD 拓展方向 图形背景由一般四边形拓展为特殊四边形 类型 矩形的中点四边形 菱形的中点四边形 正方形的中点四边形 条件 E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点 图示 结论 四边形EFGH是菱形 四边形EFGH是矩形 四边形EFGH是正方形 【例1】定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． (1)如图1，在任意四边形中，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则中点四边形的形状是______． (2)在图1中，试判断与的关系，并说明理由． (3)如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 【变式1-1】如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形． 其中正确的结论是（    ） A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【变式1-2】阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长． 【变式1-3】综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【模型2 “十字架”模型】 类型 过顶点型 不过顶点型 条件 在正方形ABCD中，点E,F分别在CD,AD上，AE⊥BF 在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在AB,CD,BC,AD上，EF⊥GH 图示 结论 ①△ABF≌△DAE;②BF=AE GH=EF 拓展方向 由正方形向矩形拓展 类型 过顶点型 不过顶点型 条件 在矩形ABCD中，点E在AD 上，CE⊥BD 在矩形ABCD中，点E,F,G,H分别在AD,BC,AB,DC上，EF⊥GH 图示 结论 ①△BCD∽△CDE；② = = 【例2】阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务： “十字架模型”的拓展研究有这样一道习题：如图①，四边形是一个正方形花园，，是它的两个门，要修建两条路和，且使得，那么这两条路等长吗？为什么？ 对于上面的问题，我是这样思考的： 四边形是正方形， ，． 又 ， ． ．（依据） ， ． 有趣的是，对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，这两条线段是否仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究： 如图②，在正方形中，若点，，，分别是，，，上的任意一点，且，垂足为，则仍然与相等，证明如下： 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则容易证明四边形和四边形均为矩形， ，， ， ． 在四边形中， ， …… 任务：根据上面小论文的点拨过程，解决下列问题： (1)画横线部分的“依据”是______． (2)在小论文的点拨过程中，主要运用的数学思想有______．（从下面选项中选出两项） A．转化思想                                B．方程思想 C．由特殊到一般的思想                    D．函数思想 (3)请根据小论文提供的思路，补全图②剩余的证明过程； (4)如图③，将边长为4的正方形纸片折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长为______． 【变式2-1】如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为 ．    【变式2-2】如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，连接AE，DF⊥AE交AB于点F，交AE于点G． （1）如图1，求证：AE＝DF； （2）如图2，设Q是线段BF上的动点，QH⊥AE于M，交DC于H． ①试猜想线段AQ，DH，BE间的数量关系； ②若M是AE的中点，且AB＝3，BE＝时，求CH的长． 【变式2-3】【基础巩固】 （1）如图1，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的线段分别交于点E，F，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，点O是对角线的中点，分别交于点E，F，连结，试猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展提高】 （3）如图3，在矩形中，点M，N是对角线的三等分点，过点M作分别交于点E，F，连结，已知，，求线段的长． 【模型3 “垂美四边形”模型】 条件 在四边形ABCD中，AC⊥BD 图示 结论 ①AB2+CD2=AD2+BC2 ; ②S四边形ABCD=AC·BD 【例3】如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 【变式3-1】如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为． （1）发现：由勾股定理得___________，___________． （2）猜想：___________．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，，相交于点． （3）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【变式3-2】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，垂美四边形两组对边与之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (3)如图③，在中，点F为斜边的中点，分别以为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，分别交于点M，N．试猜想四边形的形状，并说明理由． (4)如图④，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求的长． 【变式3-3】（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ． （2）探索研究方法：如图1．已知四边形是垂美四边形，求证：． （3）尝试问题解决：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰； ①如图2，当，连接，求的长； ②如图3．当，点G、H分别是中点，连接．若，求的面积． 【模型4 “对角互补”模型】 类型 90°角的对角互补模型 60°,120°角的对角互补模型 条件 ∠ABC=∠ADC=90°,BD平分∠ABC ∠ABC=120°,∠ADC=60°,BD平分∠ABC 作辅助线 过点D分别作DE⊥BC于点E, DF⊥BA交BA的延长线于点F 过点D分别作DE⊥BC于点E, DF⊥BA交BA的延长线于点F 结论 ①AD=CD; ②AB+BC = BD ③S四边形ABCD=BD2 ①AD=CD; ②AB+BC=BD; ③S四边形ABCD=BD2 【例4】定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，求的度数； (2)如图，在四边形中，平分，，．求证：四边形是互补四边形； (3)如图，互补四边形中，，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； (4)如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长． 【变式4-1】我们知道，四边形内角和为，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补．因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”．例如：在四边形中，若（或），则称四边形为“双补四边形”． (1)已知四边形是“双补四边形”． 若，则________； 如图1，若，，，，则________； (2)如图2，在四边形中，平分，．求证：四边形是“双补四边形”； (3)如图3，四边形是“双补四边形”，，点M，N分别在边EH，GH上，且满足．试探究和之间满足的数量关系，并证明你的结论． 【变式4-2】问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等方法是构造旋转全等，如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． (1)【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向，作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； (2)【问题探究】如图②，若，，，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线，交于点，连接，且，求四边形的面积． 【变式4-3】（1）如图1，在中，，，为边的中点，为边上一动点（点不与、重合），将射线绕点逆时针，所得射线与交于点，连接，猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，若，（1）中其他条件不变，上面的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，矩形的对角线的交点是矩形的一个顶点，将矩形绕着点旋转，与直线相交于点，与直线相交于点，连接.已知矩形的边，，当时，则的长为_____cm． 【模型5 “含60°角的菱形”模型】 条件 四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD交于点O,∠ABC=60° 图示 结论 ①∠ABD=∠CBD=30°； ②△ABC和△ACD均为等边三角形； ③AB:AC:BD=1:1:; ④S菱形ABCD=AC·BD=BC2 【例5】综合与实践课上，腾飞小组三位同学对含角的菱形进行了探究： 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点P、Q． (1)【感知】如图1，若点P是边的中点，小腾经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你写出这个关系式______，此时的形状是______． (2)【探究】如图2，小飞说“点P为上任意一点时，（1）中的两个结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由． (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出的面积． 【变式5-1】如图，在菱形中，，，点在对角线上（不与点，重合），，． (1)若是线段中点，则四边形的周长为 ，四边形的面积为 ； (2)点在线段上运动时，四边形的周长是否为定值，请说明理由． (3)设，求四边形的面积（用含的代数式表示），并说明为何值时，四边形面积有最大值． 【变式5-2】【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含60°角的菱形的性质．如图1，菱形的边长为，，则______，______． 【操作发现】（2）如图2，在图1的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点位置的改变，其它条件不变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【变式5-3】在菱形中，，点E，F分别是边，上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，点G，H分别是边，上的点，连接与相交于点O且，求证： 【拓展延伸】 （3）如图3，若点E为的中点，，，． ①设，，请用关于x的代数式表示y； ②若，求的长． 【模型6 “半角”模型】 拓展方向 特殊四边形中的“半角”模型 类型 90°含45° 120°含60° 特点 正方形ABCD，∠EAF=45° 菱形ABCD,∠BAD=120°，∠EAF=60° 图示 变形 结论 ①△ABG≌△ADF, △AGE≌△AFE; ②EF=BE+DF ①△ABE≌△ADG, △AEF≌△AGF; ②△AEF为等边三角形(连接AC,可得△AEC≌△AFD) 【例6】【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 【变式6-1】综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 【变式6-2】问题背景： 在一次数学活动课上，老师让同学们根据所学的知识去了解“半角模型”，并探究“半角模型”的相关结论． (1)初步探究：如图①，小明将一张正方形纸片折叠，使得，恰好都落在对角线上，展开正方形纸片后得到折痕，，求的度数； (2)深入探究：如图②，小华在图①的基础上，将绕点逆时针旋转一定的角度，使的两边分别交，于点，，连接，请你帮助小华判断线段，和之间存在怎样的数量关系，并证明； (3)拓展延伸：如图③，在正方形中，是上的一点，是延长线上一点，且，连接，过点作，垂足为点，交边于点．若，，求的面积． 【变式6-3】【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 1．如图，、是矩形边上的两点，．    (1)若，则______°； (2)求证：． 2．如图．一个锐角等于的菱形，将一个的的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个的，使它的两边分别交、于点E，F． (1)如图1，当时，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)旋转，如图2，当时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 3．如图1，将一把含角的三角尺放在边长为2的正方形上，并使它的直角顶点始终与点重合，其一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点． (1)在三角尺绕着点A旋转的过程中． ①请判断与的数量关系，并加以证明． ②四边形AECF的面积是否为定值？如果是，求出这个值；如果不是，试说明理由． (2)如图2，将这把三角尺角的顶点始终与点重合，角的一边与交于点，另一边与交于点．在旋转的过程中，求点到线段的距离． 4．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． (1)【思路梳理】延长至，使， ，， ， ，， 又， ， 根据______，易证______，得 (2)【类比引申】如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有． (3)【联想拓展】如图3，在中，，，点、均在边上，且；猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 5．我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．如图1，且，则四边形是至善四边形．          (1)下列四边形一定是至善四边形的有________． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)如图2，四边形为至善四边形，，，，求的长． (3)如图3，正方形中，，D为中点，在右边作等边，F为中点，连接交于点，交于点G． ①求的度数； ②直接写出线段的长． 6．如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 7．定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用： （1）如图1，四边形是垂美四边形，若，则___________； 性质变式： （2）如图2，图3，是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图2为例将此重要结论证明出来． 应用变式： （3）①如图4，在矩形中，为对角线交点，为中点，则___________； ②如图5，在中，是内一点，且，则的最小值是___________． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $