广东省珠海市香洲区2025--2026学年九年级上学期期末数学试题

香洲区2025一-2026学年度第一学期义务教育阶段质量监测 九年级数学 说明：1.全卷共6页.满分120分，考试用时120分钟. 2.用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上（在试卷上作答无效）. 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分)每小题给出四个选项中只有个是正确的，请把答题卡 上对应题目所选的选项涂黑。 1.“数学”的英文缩写为“math”,下列四个大写字母中，属于中心对称图形的是 M .A c T D. H 2.下列事件是必然事件的是 A.打开电视，正好在播新闻 B.掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是2 C.明天会下雨 D.在平面内任意画一个三角形，它的内角和等于180° 3.若反比例函数y=(k≠0)的图象过点(2，)，则k的值为 A.3 B.2 C.-2 D.4 4.将抛物线y=x2+2向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数解析式是 A.y=x2-1 B.y=x2+5 C.y=(x-3)2+2 D.y=(x+3)2+2 5.已知x=2是关于x的一元二次方程x2+x-3a=0的一个根，则a的值为 A.-2 B C.2 D.4 题6图 6.如题6图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，若∠BDC=50°，则∠ABC的大小为 A.30% B.40° C.50 D.60 7.粮食是人类赖以生存的重要物质基础.某农业基地现有杂交水稻种植面积20公顷，计划两年后将杂交水稻 种植面积增至24.2公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x,依题意列出方程正确的是 A.20(1+x)=24.2 B.201+x2)=24.2 C.20(1-x=24.2 D.24.2(1-x)2=20 D 8.如题8图，一条公路弯道处是一段圆弧AB,点O是这条弧所在圆的圆心，点C是B的 中点，OC与AB相交于点D.已知AB=120m,CD=20m,那么这段弯道的半径为 B A.200m B.200,3m c.100m D..100W3m 题8图 第1页（共6页） 9.如题9图，一次函数y=c+b与反比例函数y=”的图象相交于点A(-1,2), B(2,-1),则不等式+b>”的解集是 A.x<-1或x>2 B.-1<x<0或0<x<2 C.x<-1或0<x<2 D.-1<x<0或x>2 题9图 10.已知二次函数y=x2-2x+3,当0≤x≤m时，y的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围是 A.0<m≤1 B.1≤m≤2 C.2≤m≤3 D.0<m≤2 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上， 11.若二次函数y=mx2-2的图象开口向下，则m的取值范围是 12.设a,B是方程x2+4x-5=0的两个实数根，则a+B= 13.二维码已经成为人们生活中不可或缺的一部分，如题13图，小海将二维码打印在面积为400℃m2的正方形 纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的 频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为一 cm2. 14.如题14图，将△ABC绕点C顺时针旋转50°得到△AB'C,连接AA',若A'B⊥AC,则1AB的度数 为 B 题13图 题14图 题15图 15.如题15图，已知扇形BAC和扇形EDF的半径均为2，∠ABC=∠DEF=90°，F,C分别为AB,DE的 中点，EF,BC分别交AC,DF于点M,N,则FM.MC,CN和NF所围成阴影部分的面积为 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分) 16.解方程：x2-2x=2. 17.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4. (1)随机摸取一个小球，取出的小球的标号是偶数的概率为 (2)随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出另一个小球，请用列表法或画树状图法求两次取出的小 球标号的和等于5的概率. 第2页（共6页） 18.如题18图，已知AB是OO的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线与AB的延长线相交于点P, 且AC=PC,∠P=30°. (1)求证：PC是⊙O的切线： (2)若AB=4,求PB的长. 题18图 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 墙 19.如题19图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围一个矩形场地. (1)当AD为何值时，才能使矩形场地的面积为48m? (2)能否使所围矩形场地的面积为60m2?请说明理由. 题19图 20.如题20-1图，一小球从地面O点处抛出，到达最高处P点后，再重新落回地而至Q点，球的抛出路线可 以用二次函数y=-x2+4x刻画。 2 (1)求小球到达最高点P的坐标，以及小球落回地面点Q的坐标： (2)愿20-2图，若点0处有一斜坡，可以用一次函数y=2x刻画.小球从0点处抛出，其抛出路线 不变，小球落到斜坡上的A点，求出点A的坐标. 2+4x +4x 题20-1图Qx 题20-2图 第3页（共6页） 21.如题21-1图，小明房间平面示意图是一个300cm×240cm的矩形，靠墙放置了一张180cm×200cm的矩形 床，在墙EF上有一扇房门OP,门宽OP=80cm,OP可以绕点O在房间内自由转动，房门关闭时点P与 点M重合，房门开到最大时，点P与墙HE上的点N重合，房门OP转动的最大角度∠MOW=120. (1)求点O到墙HE的距离： (2)小明新买了一个书柜，尺寸为长150cm,宽50cm,打算放在房间的的右下角.但是如果床仍保持原 来的位置摆放，书柜将无法放入.因此，小明改变了床的摆放位置，如题21-2图所示.请通过计算说明， 换位摆放后，床的位置是否会影响到房门OP的自由转动. 300cm G H 300cm G δ A 200cm床 180cm床 240cm 240cm B 200cm A 180cm B 80cm' 书柜 50cm O 门M E 0 门M 150cm 题21-1图 题21-2图 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22.下面是某校九年级数学兴趣小组关于双曲面反射镜变形检测系统的设计研究过程，请认真阅读，并完成相 应的任务. 双曲面反射镜变形检测系统制设计 某精密光学设备使用一块双曲面反射镜（如右图所示)，其理 问 论设计形状为反比例函数曲线型.在实际使用中，反射镜可能因 题 提 应力，温度或材料老化而发生微小变形，影响光学性能。如何设 计一套双曲面反射镜变形检测系统，用来快速检测出反射镜是否 出 发生形变？ 双曲面反射镜 兴趣小组通过查阅资料，发现了反比例函数如下的性质，如 查 题22-1图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在 资 x轴正半轴上，连接AB与反比例函数y=k>0,x>0)的图象 料 O 相交于点C与，D,则恒有AC=BD成立.（任务三完成此性质的 证明) B x 题22-1图 第4页（共6页） 如题22-1图，利用上述性质作为判断双曲而镜是否变形的依 据，兴趣小组设计了一个检测系统，其工作原理如下： 检 第一步：将反射镜安装在平面直角坐标系中，使其理论中心 与坐标原点重合： 系 第二步：在y轴和x轴上安装可移动激光测距仪A和B.激 统 光测距仪A,B可分别沿y轴正半轴和x轴正半轴上移动，激光从 设 A发出，经反射镜上点C反射原路返回点A:同时，激光从B发 计 出，经反射镜上点D反射原路返回点B.系统通过测量往返时间 计算距离AC和BD,在移动过程中保持点A,B,C,D四点共线 (点C,点D不重合)，进行多组测量并采集数据比对. 学习任务 AC (cm) BD (cm (1)兴趣小组利用以上检测系统对一块双曲面反射镜进行检测， 4.031 4.030 任 共选取了5个不同的激光位置，测得的AC与BD长度如右表所 5.099 务 5.100 示.若允许测量识差为0.005cm,请根据表中数据判断该反射镜 6.083 6.082 是否存在明显变形？请直接写出结果， 7.071 7.073 8.062 8.061 (2)现检测一块理论设计形状为反比例函数y=41≤x≤4的 y 任 双曲面反射镜（如题22-2图）.在调节仪器过程中，先固定激光 务 测距仪A,再适当地移动调节激光测距仪B的位置.其中点A的 二 坐标为(0,3)，点B的坐标为(b,0).为保证检测系统能够测量 出AC和BD的距离，则b取值范围为 o 题2-2國 (3)请继续完成以下证明过程，或者你也可以选择其它方法完成 A 证明. E 性质的证明：如题22-3图，过点C分别向x轴和y轴作垂线 任 段CW和CE,过点D分别向x轴和y轴作垂线段DF和DM,连 D M 务 接CM,DN,MN. 三 由反比例函数k的几何意义，得： o S矩形OECN=S矩形OFDM=一（用含k的代数式填空)， 题22-3图 ∴.SACMN SADNM(选“<”，“=”或“>”填空)， C 任 务 (4)请你从操作性、有效性等方面对以上检测系统进行评估，列 四 举至少两点该系统的优点或不足，并简要说明理由。 备用图 第5页（共6页） 23.将两个大小不同的等腰直角三角板△AOB与△CDE如题23-1图放置，其中-AOB=∠CDE=90°， OA=OB,DC=DE,△AOB的直角顶点与△CDE斜边CE的中点重合，△CDE以点O为旋转 中心逆时针旋转，当DE所在直线首次经过点A时停止旋转（如题23-3图). 【初步感知】 (1)如题23-1图，当△CDE在初始位置时，连接AD,BE,则AD和BE的数量关系为 位置关系为 【类比探究】 (2)如题23-2图，在△CDE的旋转过程中，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证 明：若不成立，请说明理由： 【迁移应用】 (3)若OA=OB=2,DC=DE=V瓦，连接AE,BD, ①如题23-3图，当△CDE旋转至终止位置时，求AE的长： ②如题23-4图，在△CDE的旋转过程中，请问AE2+BD2是否为定值？若是，求出这个定值： 若不是，请说明理由. 题23-1图 题23-2图 题23-3图 题23-4图 第6页（共6页） 香洲区20252026学年度第一学期义务教育阶段质量监测 九年级数学参考答案及评分标准 1-5 DDBAC 6-10 BACCB 2 11.m<012.24013.-414.2515. π+V3-2 3 16.（公式法)解：a=1,b=-2,C=-21分 ∴.△=b2.4ac=(-2)2.4X1×（-2)=12>0.3分 x=-(-2±匝-1生5.5分 2×1 .X=1+V3,X2=1-37分 (配方法)解：X2-2x+1=3.1分 (X-1)2=33分 X-1=tV35分 X=1+V3,X2=1-V3…7分 17.解：(1) 2分 (2)依题意列表如下： 第一次第二次 2 3 4 1 (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (4,3) (1,4) (2,4) (3,4) 4分 由上表可知，摸取第一个小球后不放回再摸第二个小球，共有12种等可能的结果，其中“两次取出的小 球标号的和等于5”的结果有4种，5分 41 ∴P两次取出的小球标号的和等于5)= 123 7分 18.解：（1)证明：如图所示，连接O, ,AC=PC,∠P=30°， .∠A=∠P=30°， ∴.∠BOC=2∠A=60 0 ∴.∠PC0=180°-∠P-∠POC=90°，即OC⊥PC, :0C是⊙0的半径， 题18图 .PC是⊙0的切线：… .4分 (2)解：，AB=4且AB是⊙O的直径， .OC=0B=1AB=2, 在Rt△PO(巾，∠PC0=90°，∠P=30, ∴.0P=20C=4, .PB=0P-0B=4-2=2.… 7分 19.解：(1)设AD的长为x米，则长AB为（20-2x)米.1分 依题意，得x·(20-2x)=48, 即x2-10x+24=0, 解得X1=4,X2=6.4分 所以当AD长为4米或者6米时，才能使矩形的面积为48m2,.5分 （2)不能。理由如下. 6分 因为由x·(20-2x)=60得x2-10x+30=0. 又b-4ac=（-10)2-4×1×30=-20<0, 上述方程没有实数根。 因此，不能使所围矩形场地的面积为60m2, 9分 201由愿得，y=2+4x=x-4+8 2 故小球到达的最高点P的坐标为(4,8)：… …2分 当y=0时，-x产+4红=0，解得x1=0(不合题意，舍去)，=8 故小球落回地面点Q的坐标为(8,0)；4分 y=- (2)依题有，联立两解析式可得： 2+4x 1 y=zx 解得： x=0(x=7 0y=0或 7 y=2 故可得点A的坐标为(7,2)， 9分 21.(1)依题有：在Rt△NE0中，∠NE0=90°， ∠NOE=180°-∠MOW=180°-120°=60°，N0=OP=80cm, ÷E0=2N0=40 故点0到墙HE的距离为40cm.. 3分 (2)延长CB交EF于点K则在Rt△BKO中，∠BKO=90°， BK=HE-BC=240-180=60(cm);OK=HG-CD-E0=300-200-40=60(cm); .OB=60V2(cm)… …5分 .60√2>80 ∴.新床的位置不会影响到房门OP的自由转动… …9分 22.任务一：(1)该反射铭没有发生明显变形.… …2分 任务二：2)16<b≤6 …5分 3 任务三：(3)证明：如题22-3图，过点C分别向x轴和y轴作垂线段CN和CE,过点D分别向x轴和y 轴作垂线段DF和DM,连接CM,DN,MN. 由反比例函数k的几何意义，得： S范形OECw=S矩形OFDM=_k(用含k的代数式填空). ∴S&CAN=SDNM(选“<”，“=”或“>”填空)， 又，这个两个三角形同底‘MN) .它们高相等，故MN∥CD D ,MD∥OB.四边形MDBN为平行四边形， BD=MN,…9分 B x 题22-3图 同理可得：四边形MNCA为平行四边形，AC=MN,…I0分 AC=BD… …11分 任务四：(4)（评分建议：学生写对一点给一分，共2分） 优点： 1检测方法简单，只需测量两个距离并比较. 2.可通过调节激光发射器A,B的位置进行多次重复检测，提高可靠性. 3无需知道反射镜的具体参数k,因为对任意k该性质均成立 4非接触式测星，避免对反射镜表面造成损伤， (2)缺点：如果变形后的曲面仍然满足反比例函数（仅k值改变），则无法检测：该方法只能判断是否偏 离反比例函数形状，不能确定变形的具体形式和程度.…3分 23.证明：（1)AD=BE,AD⊥BE;… …2分 (2结论成立，证明如下 如图1，连接OD,记AD与BO,BE分别交于点F,G, DC=DE,点O为CE的中点， ∴.OD=OC=OE,∠D0E=∠DOC=90°， .∠AOB=90°， ∴.∠AOB=∠DOC ∴.∠AOB+∠BOD=∠DOE+∠BOD 即∠AOD=∠BOE, (OA=OB 在△AOD和△BOE中， ∠AOD=∠BOE OD-OE ∴.△AOD≌△BOE(SAS), ∴.AD=BE,∠OAD=∠OBE, G ,∠AFOH∠OAD=90°，∠AFO=∠BFG, ∴.∠BFG+∠OBE=90°， .∠AGB=90°， 图1 AD LBE:…· …6分 (3)①如图2，连接BE, 设AE=x,则AD=x+V瓦 由(2)得，BE=AD=x+√2.AD⊥BE, ./AEB=90°， 在R1..AOB中，OA=OB=2 E .AB=V0+0B2=V22+22=2W2 在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2 得x2+(x+V2)2=(2√2)2 图2 化简得x2+√2x-3=0 解得：=4-2 2 =西+E(含去， 2 :AE=4-2 y …10分 2 ! ②AE2+BD2=10,理由如下： G 如图3，连接AD,BE交于点G, 由(2)得，AG⊥BE, 0 B 在Rt△AGE中，AG2+GE2=AE2, C 在Rt△BGD中，BG2+GD2=BD2, 图3 :AE2+BD2=AG2+GE2+BG2+GD2,