5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、教学目标 （1）.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式,培养数学抽象的核心素养； （2） 熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法，提升数学运算的核心素养。 2、教学重点与难点 （1）教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系； （2）教学难点：求值过程中角的范围分析及角的变换. 3、教学过程 环节1：复习导入 （1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：． （2）？ 环节2：两角和与差的正弦、余弦、正切公式 探究1：由公式 出发 ， 你能推导出两角和的余弦公式吗？ 在公式中，令－β代替β，则有 . 即.（） 两角和的余弦公式： ．简记作 ． 探究2：让学生动手完成两角和与差正弦公式. ． 两角和差的正弦公式： 探究3：你能根据正切函数与正弦函数 、 余弦函数的关系 ， 从 出发 ， 推导出用任意角 的正切表示tan(α＋β) ，tan(α－β) 的公式吗 ？ 当cos(α＋β)≠0时，将公式S(α＋β)，C(α＋β)的两边分别相除，有 tan(α＋β)＝＝. 当cos αcos β≠0时，将上式的分子、分母分别除以cos α·cos β，得 tan(α＋β)＝.(T(α＋β))，由于tan(－β)＝＝＝－tan β. 在T(α＋β)中以－β代替β，可得tan(α－β)＝＝. 即tan(α－β)＝.(T(α－β)) 探究4：公式中α，β为任意实数吗？ 不是，α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z. 两角和差的正切公式： T(α + β ) T(α - β ) 注意： 将、、称为和角公式，、、称为差角公式。 C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)、T(α－β)、T(α＋β)之间可以利用换角、诱导公式、同角关系式推导而来，其最基本公式为C(α－β)．它们之间的关系为： 环节3：新知应用 例1、已知是第四象限角，求的值. 解：因为是第四象限角，得， ， 于是有： 【设计意图】本题是公式的直接应用，目的为了让学生初步熟悉公式的应用，训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯. 思考：在本题中，，那么对任意角，此等式成立吗？若成立你能否证明？ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）；（2）； （3）． 解：（1）； （2）； （3）． 【设计意图】考察学生发现问题和解决问题的能力，让学生先自己思考从而体会到知识的形成过程，培养学生的数学思维和转化与化归的数学思想，充分调动学生学习的主动性和积极性. 例3、 化简下列函数：（1）； （2） 学生活动：以小组为单位，展开讨论，引导学生分析上述三个式子的化简过程，由学生自己归纳出规律，从而确定、、的值分别是多少？ 解：（1） （2） 【设计意图】考察学生发现问题和解决问题的能力，让学生先自己思考从而体会到知识的形成过程，培养学生的数学思维和转化与化归的数学思想，充分调动学生学习的主动性和积极性. 对于形如的式子可以引入辅助角变形为的形式．即 . 令，则 原式＝，其中. 重要结论：，其中. 环节4：课堂练习 （1）__________. （2）已知，，则　　． （3）化简：_____________ 【答案】（1）； （2）； （3） 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 环节5：课堂小结 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 板书设计 1、复习导入 两角差的余弦公式： 2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式探究 两角和与差的正弦、余弦、正切 余弦： 正弦： 正切： 3、例1、 例2、 例3 4、 课堂练习 5、 课堂小结 6、 作业 8 学科网（北京）股份有限公司 $