5.5.1 第1课时两角差的余弦公式教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“两角差的余弦公式”，通过扇形花坛问题创设情境，对比cos(15°)与cos45°-cos30°的计算结果，打破错误认知，连接特殊角三角函数值与公式推导，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于以数学眼光观察实际问题，用向量数量积结合圆的旋转对称性推导公式，培养逻辑推理与数形结合思维，典例中角的拆分（如15°=45°-30°）强化转化能力。助力学生掌握公式应用，为教师提供清晰推导思路与分层例题，提升教学效率。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 5.5.1 第1课时两角差的余弦公式 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1. 理解两角差的余弦公式的推导过程，掌握公式的结构特征。 2. 能够熟练运用两角差的余弦公式进行简单的求值、化简与证明。 教学内容 教学重点： 1. 两角差的余弦公式的推导过程。 2. 两角差的余弦公式的熟练运用。 教学难点： 1. 利用向量数量积推导两角差的余弦公式的思路构建。 2. 公式应用中角的拆分与转化（如何将非特殊角转化为特殊角的差）。 教学过程 1、 情境导入 1. 情境呈现：教师通过PPT展示问题：“某广场有一个扇形花坛，已知扇形的圆心角为60°，现要在花坛内修建一个三角形区域，其中两个角分别为30°和45°，需要计算这两个角之差对应的余弦值，即cos(45°-30°)，大家能直接算出这个值吗？” 2. 问题引导： （1）提问学生：“cos(45°-30°)等于cos45°-cos30°吗？”让学生通过计算验证（cos45°≈0.707，cos30°≈0.866，cos45°-cos30°≈-0.159；而cos(15°)≈0.966，显然不相等）。 （2）进一步追问：“既然cos(α-β)≠cosα - cosβ，那么cos(α-β)应该等于什么呢？这就是我们今天要探究的问题——两角差的余弦公式。”（板书课题） 设计意图：通过实际情境创设问题，打破学生“cos(α-β)=cosα - cosβ”的错误认知，激发学生的探究欲望，自然引入课题。 2、 新知探究 1.两角差的余弦公式推导证明 如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？ 下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系 不妨令kπ＋β，k∈Z． 如图5.5.1，设单位圆与轴的正半轴相交于点A（1,0），以轴非负半轴为始边作角α，β，α—β， 它们的终边分别与单位圆相交于点（cosα，sinα）， （cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接，AP．若把扇形OAP，绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点 重合．根据圆的旋转对称性可知， 与重合，从而， 所以AP＝ 根据两点间的距离公式，得 +=+， 化简得: =+ 当kπ＋β （k∈Z）时，容易证明上式仍然成立． 所以，对于任意角α，β有 =+ （Ｃ（α－β）） 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系， 称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β). cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ（板书公式，强调公式中α、β为任意角）。 设计意图：从特殊到一般，通过猜想、证明的过程，培养学生的逻辑推理能力；借助向量工具，让学生体会数形结合思想，突破公式推导的难点。 2.公式结构分析 教师引导学生观察公式： （1）公式右边是“余余正正，符号相同”（cosαcosβ + sinαsinβ），与学生最初的错误认知形成对比，强化记忆。 （2）公式中α、β为任意角，可正可负、可大可小，适用范围广泛。 三、典例分析 1. 基础题型：特殊角的两角差余弦值计算 例1：计算cos15°的值。 解析：引导学生将15°拆分为特殊角的差，如15°=45°-30°或15°=60°-45°，代入公式计算。 解：cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+ sin45°sin30°=×+×=+=。 变式练习：计算cos75°的值（引导学生将75°拆分为45°+30°，为后续两角和的公式铺垫，或拆分为90°-15°，巩固诱导公式与本节课公式的结合应用）。 例2. 利用公式证明： （１）= ; （２）= ． 证明: (1)= +sinsinα =0＋1×=． (2)=+ =(-1)×0＝－． 2. 进阶题型：非特殊角的求值（角的转化） 例3：已知cosα=，α∈(0, )，sinβ=，β∈(, π)，求cos(α-β)的值。 解析： （1）提问学生：“要求cos(α-β)，根据公式需要知道哪些量？”（cosα、cosβ、sinα、sinβ） （2）已知cosα和α的范围，可求sinα；已知sinβ和β的范围，可求cosβ（注意三角函数值的符号）。 解：∵α∈(0, )，cosα=，∴sinα===. ∵β∈(, π)，sinβ=，∴cosβ===。 ∴cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ=×+×=+ = 变式练习：已知sinα=，α∈(, π)，cosβ=，β∈(-, 0)，求cos(α - β)的值（强化角的范围对三角函数值符号的影响）。 3.公式活用 例4.求coscos+cossin的值。 解析：coscos+cossin =coscos+sinsin =cos =cos . 设计意图：通过基础题型和进阶题型的讲解与练习，让学生熟练掌握公式的应用，突破“角的拆分与转化”这一难点，同时强化三角函数值符号的判断这一易错点。 四、课堂小结 1. 教师引导学生自主梳理本节课的知识点： （1）两角差的余弦公式：cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ（“余余正正，符号相同”）。 （2）公式的推导过程：特殊猜想→向量证明（数形结合思想）。 （3）公式应用：特殊角求值、非特殊角求值（关键是角的拆分与三角函数值符号的判断）。 2. 本节课的数学思想方法：数形结合思想、从特殊到一般的推理思想、转化与化归思想。 设计意图：帮助学生构建知识框架，梳理核心知识点与思想方法，提升学生的归纳总结能力。 五、课后作业 1. 课本P217 练习3、4、5题 2. 预习下节课内容。 学科网（北京）股份有限公司 $