5.5.2 简单的三角恒等变换 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“简单的三角恒等变换”，通过回顾两角和差、二倍角公式导入新课，搭建新旧知识联系，为半角公式、辅助角公式及变换技巧的探究提供学习支架。 以探究式教学为主线，引导学生通过小组讨论明确角、函数名、次数的变换要素，推导半角公式培养数学抽象能力，典例中扇形内接矩形面积问题渗透数学建模思想，助力学生提升变换与应用能力，为教师提供清晰教学路径与实例参考。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 5.5.1 简单的三角恒等变换 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1. 掌握利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式进行简单的三角恒等变换。 2. 能够运用三角恒等变换解决化简、求值、证明等常见问题。 3. 理解三角恒等变换的基本思想，体会化归与转化的数学思想方法。 教学内容 教学重点： 1. 利用两角和与差、二倍角公式进行简单的三角恒等变换。 2. 三角恒等变换在化简、求值、证明中的应用。 教学难点： 1. 根据题目条件选择合适的三角公式进行变换。 2. 三角恒等变换中角的变换、函数名的变换以及次数的变换技巧。 教学过程 1、 情境导入 1. 教师提问：同学们，我们之前已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角公式，谁能主动回顾一下这些公式的具体内容？ 2. 学生回答，教师在多媒体课件上展示相应公式： （1）两角和与差公式： sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ tan(α±β)＝ （2）二倍角公式： sin2α=2sinαcosα cos2α=cos²α−sin²α=2cos²α−1=1−2sin²α tan2α=2tanα/(1−tan²α) 3. 引入新课：这些公式是我们进行三角恒等变换的基础，今天我们就来学习如何运用这些公式进行简单的三角恒等变换，解决化简、求值、证明等问题。（板书课题：简单的三角恒等变换） 2、 新知探究 1. 恒等变换的基本思路探究 教师引导：三角恒等变换的本质是利用三角公式，将一个三角函数表达式转化为另一个形式更简单、更便于研究的表达式。在变换过程中，我们通常需要关注哪些方面呢？ 学生小组讨论后发言。 教师总结：三角恒等变换主要关注三个方面的变换：一是角的变换（如将未知角转化为已知角、将大角转化为小角等）；二是函数名的变换（如将正弦、余弦函数之间进行转化）；三是次数的变换（如将二次函数转化为一次函数）。 2. 半角公式探究： 试以 表示 ， ， 。 分析：角 是角的二倍角，因此可以利用二倍角公式进行变形。 ，将其中的 替换为 ，即令 ，代入得： ， ，同样令 ，则： ，所以， ，所以 综上可得： 由此得到半角公式： 3. 辅助角公式探究：将化为形式 推导依据：（1）三角函数平方关系：； （2）正弦和角公式：； （3）三角函数商数关系：。 令cos φ＝，sin φ＝ 则 所以asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝. 4. 常见的配角技巧探究： （1）2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β=(α+β)-(α-β) （2）α＝(α＋β)－β，α=(α-β)+β （3）β＝－ （4）α＝＋， （5）＝－． 三、典例分析 例1.求证：(1) ； (2) 。 将以上两式左右两边分别相加得 即 (2) 由(1)可知 设 那么α 所以 总结：① 熟记 展开式，并能对两个公式进行组合（如相加消去交叉项）； ② 在(2)中，关键是识别 可视为某个和差结构的结果，进而通过设辅助变量实现换元； ③ 换元后要准确反解出原变量，确保代入无误。 例2.求下列函数的周期、最大值和最小值： (1) ； (2) 。 解：(1) 因此所求函数的周期，最大值为，最小值为。 (2) 设 与原式对比得： 两边平方相加： 所以： 存在这样的 （例如第一象限角），因此 所以所求函数周期为，最大值为5，最小值为-5. 总结：① 提取振幅 ，构造两角和差公式形式； ② 利用和角公式逆向合并为一个正弦函数； ③ 注意相位角不需要具体求出，只需保证其存在即可用于最值判断； ④ 所有形如 的函数都是周期为 的正弦型函数。 例3.如图5.5-2，在扇形 中，半径 ，圆心角 ， 是扇形弧上的动点，矩形 内接于扇形。记 ，求当角 取何值时，矩形 的面积最大？并求出这个最大面积。 分析：目标是建立面积 关于角 的函数关系，并求其最大值。 解：在 中， 在 中，（因为是矩形对边） 设矩形ABCD的面积为S，则 由于 ，则 所以当时， 因此，时，矩形ABCD面积最大，最大面积为. 总结：① 正确建立平面几何模型，利用直角三角形边角关系表示线段长度； ② 利用矩形性质统一变量（如 ）； ③ 多次使用倍角公式降幂、合并项； ④ 最终通过化为 形式求最值，注意定义域对极值点的影响。 四、课堂小结 1. 教师引导学生回顾本节课的主要内容： （1）三角恒等变换的基础：两角和与差、二倍角公式。 （2）三角恒等变换的主要类型：化简、求值、证明。 （3）三角恒等变换的关键：角的变换、函数名的变换、次数的变换。 （4）数学思想方法：化归与转化思想。 2. 学生发言总结，教师补充完善，帮助学生构建完整的知识体系。 五、课后作业 1. 教材习题5.5第3、4、5题。 2.拓展练习：已知tanα=2，求sin2α+cos2α的值。（选做） 学科网（北京）股份有限公司 $