6.3.1-6.3.2 直线的方向向量与平面的法向量和空间线面关系的判定（题型专练，6基础&4提升题型+培优）高二数学苏教版选择性必修第二册

6.3.1-6.3.2 直线的方向向量与平面的法向量 和空间线面关系的判定 题型一 求直线的方向向量 1.（25-26高二上·全国·课前预习）在直线l上，则直线l的一个方向向量为 . 2．（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林松原·月考）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高二上·河南濮阳·期中）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 题型二 求平面的法向量 1．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东佛山·月考）已知四边形ABCD是矩形，平面，，，点M、N在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 3．【多选题】（25-26高二上·广西百色·月考）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 4．【多选题】（25-26高二上·广东清远·月考）已知空间中三点，，，则下列结论正确的是（ ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．平面的一个法向量是 D．三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面． 5．【多选题】（23-24高二上·全国·课后作业）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D． 题型三 由法向量证明线面平行 1．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 2．（25-26高二上·四川南充·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，M为棱的中点．用向量方法证明： (1)； (2)平面． 3．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线 平面． 4．（25-26高二上·山东济宁·月考）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； 题型四 由法向量证明面面平行 1．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 2．（24-25高二上·宁夏·期中）如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 3．（24-25高二·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    题型五 由法向量证明线面垂直 1．（25-26高二上·河北邢台·月考）如图，在棱长为4的正方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，分别是棱的中点.    (1)求点的坐标. (2)证明：四点共面. (3)证明：平面. 2．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则 . 3．【多选题】（25-26高三上·安徽·月考）在正三棱柱中，为AB的中点，则下列结论一定成立的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面垂直，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 题型六 由法向量证明面面垂直 1．（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 2．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）如图，已知正方体中，E为棱上的动点． (1)求证：； (2)若平面平面，求证：E为的中点． 3．（25-26高二·全国·假期作业）在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面.求证： (1)； (2)平面平面. 题型一 由线面平行求参数 1．（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 2．（25-26高二上·北京·月考）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 3．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，．    (1)证明： 平面． (2)若是的中点.证明：平面. (3)若点为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 4．（25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正方体中，其棱长为2；    (1)求三棱锥外接球的体积； (2)M，N分别是的中点，过BD的平面平面，求平面截正方体所得截面的面积； (3)若是线段上的一点，若平面，试判断点在线段上的位置，并说明理由 5．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 题型二 由线面垂直求参数 1．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面． (1)判断A，B，D，E四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边BC的中线上确定一点Q，使得平面BCE，并求． 2．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25高二上·广东珠海·月考）如图，在三棱柱中，，，是棱的中点. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 4．（22-23高二上·福建泉州·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在长方体中，是上靠近点的三等分点.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的一个法向量； (2)在平面上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 题型三 由面面垂直求参数 1．（2026·重庆九龙坡·一模）如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，.    (1)若，证明：平面OCE； (2)若，平面平面PBC，求λ的值． 2．（25-26高三上·宁夏中卫·月考）如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．    (1)求多面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 3．（2025·浙江台州·一模）已知正方体的棱长为2，是空间中的一点.    (1)证明：直线平面； (2)若直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. (3)若点在平面内，且满足平面平面，请判断点的轨迹，并说明理由. 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，设，点分别在线段上，且. (1)证明：； (2)若平面平面，求的值； (3)设直线与平面相交于点，求线段的长度（用表示）. 5．（25-26高二上·河北·月考）如图，已知正四棱柱中，是的中点. (1)证明： 平面； (2)设，若在线段上存在点，使得平面平面，试确定点的位置. 题型四 由平行垂直求轨迹 1．（25-26高二上·河北保定·期中）在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为 . 2．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是 .    3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，当与垂直时，点的运动轨迹长度为 . 4．（24-25高二上·重庆·期中）已知长方体，，，，在上取一点，在上取一点，使得直线平面，则线段的最小值为 . 5．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，O为底面ABCD的中心，点S在正方体的表面上运动，且满足，则下列结论正确的是（）    A．点S可以是棱的中点 B．点S的轨迹是矩形 C．点S轨迹所围成的图形面积为 D．点S轨迹的长度为 1．（25-26高二上·江苏无锡·期中）在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：（1）过点，且以为方向向量的空间直线的方程为；（2）过点，且为法向量的平面的方程为．现已知平面，，则（    ） A． B． C． D．与相交 2．（25-26高二上·重庆·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面的位置关系为（   ） A． B．相交但不垂直 C． D． 3．（23-24高三下·四川·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，直线平面，是的中点，是线段上的动点，则直线与侧面的交点的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京·期末）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：    ①存在点，使； ②存在点，，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 5【多选题】．（25-26高二上·浙江湖州·月考）在长方体中，，分别是棱，上的动点（含端点），且，为棱的中点，则（   ） A．若是棱的中点，则平面 B．若是棱的中点，直线平面 C．线段长度的最大值为 D．若为线段的中点，则的最小值为 6．（25-26高二上·湖北武汉·期中）如图1，在梯形中，，，，点E是上的点，且.现将沿折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面； (2)设的中点为M，的中点为N. （ⅰ）经过C，M，N三点的平面交于点F，求； （ⅱ）在平面内取一点Q，使得直线平面，求的长. 7．（2025·广东江门·模拟预测）如图，在六面体中，侧面是直角梯形， ，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为. (1)求证：平面； (2)当时，求关于的函数解析式，并求的最大值； (3)若平面平面，当取得最大值时，求的值. 8.【多选题】（24-25高二上·广东广州·月考）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，有 B．当时，的周长为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 9．【多选题】（24-25高二上·重庆·期中）已知正方体棱长为1，动点满足，则（   ） A．当时，则三棱锥的体积为 B．当时，直线平面 C．当时，直线平面 D．当且时，点的轨迹长度为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.1-6.3.2 直线的方向向量与平面的法向量 和空间线面关系的判定 题型一 求直线的方向向量 1.（25-26高二上·全国·课前预习）在直线l上，则直线l的一个方向向量为 . 【答案】 【分析】求出向量的坐标即可. 【详解】由在直线l上，得直线l的一个方向向量为. 故答案为： 2．（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 3．（24-25高二上·吉林松原·月考）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求出，再利用，解得得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 4．（24-25高二上·河南濮阳·期中）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量，再利用空间向量共线的充要条件列式判断即得. 【详解】依题意，，，则， 所以点的坐标满足的关系式是. 故选：C. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的坐标，求得坐标，即可判断. 【详解】由题意得，则，所以为直线的一个方向向量. 故选：B 题型二 求平面的法向量 1．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量，利用，求得向量的坐标，进而判断选项所给向量是否与共线，即可得答案. 【详解】设平面的法向量，则， 因为，所以， 令，则，所以平面的一个法向量为． 所以平面的一个法向量的坐标为， 又，故坐标为的向量不与共线，故A错误； 又，故坐标为的向量与共线，故B正确； 又，故坐标为的向量不与共线，故C错误； 又，故坐标为的向量不与共线，故D错误. 故选：B． 2．（25-26高二上·广东佛山·月考）已知四边形ABCD是矩形，平面，，，点M、N在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据几何图形的性质，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，进而求出平面法向量； （2）根据向量共线的坐标表示，求出直线的方向向量，根据线面垂直判定的向量方法，求出结果即可. 【详解】（1） 如图所示，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意得，， 则， 设平面的法向量为， 可知，即， 令，解得，则平面的一个法向量为. （2）由图可知，设， 则， 代入得，解得， 代入得，解得， 可得， 因为平面为坐标平面，可知平面的一个法向量为， 当时，，方程无解，所以不存在，使是平面的法向量. 3．【多选题】（25-26高二上·广西百色·月考）如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据空间直角坐标系中法向量的求法，求出法向量，逐项判断即可. 【详解】因为； 所以， 设平面的法向量 则有，即 可得，即，故， 写出符合以上条件的向量即可，如：， 故选：CD 4．【多选题】（25-26高二上·广东清远·月考）已知空间中三点，，，则下列结论正确的是（ ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．平面的一个法向量是 D．三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面． 【答案】BCD 【分析】对于A：运用向量共线定理可判断；对于B：运用单位向量的定义可判断；对于C：利用平面法向量的求法可判断；对于D：利用四点共面的判定条件可判断. 【详解】对于A：， 与不是共线向量，故A错误； 对于B：， 则与同向的单位向量是，故B正确； 对于C：，     设平面的法向量为， 则， 取，得，故C正确． 对于D：若，且， 所以，，，四点共面，故D正确. 故选：BCD 5．【多选题】（23-24高二上·全国·课后作业）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用空间向量的线性运算、数量积运算的坐标形式以及法向量的性质计算求解. 【详解】， 由为平面的一个法向量，得 得 解得，故AC正确，BD错误. 故选：AC. 题型三 由法向量证明线面平行 1．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）利用空间向量法证明线面平行； 【详解】（1）证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 所以如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； （2）证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 2．（25-26高二上·四川南充·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，M为棱的中点．用向量方法证明： (1)； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．写出各点的坐标． （1）由即可证明； （2）求出平面的法向量，由法向量与数量积为零即可证明平面． 【详解】（1）∵，，∴． 由底面，得． 以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 又，M为棱的中点． 则，，，，，． ∵，， ∴， ∴，则． （2）∵，，∴． 由底面，得． 又，∴平面， 则向量是平面的一个法向量． ∵，且平面， ∴平面． 3．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线 平面． 【答案】(1)；； (2)（答案不唯一） (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. 【详解】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）由（1）可知，，所以，由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面，所以直线 平面. 4．（25-26高二上·山东济宁·月考）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法可证平面； （2）由（1）可求得平面的一个法向量，利用向量法可证平面. 【详解】（1）设正方体的边长为2， 以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， ， 所以，又，平面 所以平面. （2）由（1）可得，所以， 又由（1）可得平面的一个法向量为， 可得，所以， 又因为平面，所以平面． 题型四 由法向量证明面面平行 1．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； 方法二：建立空间直角坐标系，利用平行向量的性质，证明与平面中某一向量平行即可得证． （2）方法一：证明也是平面的一个法向量即可； 方法二：由（1）知平面，再证明平面，结合面面平行的判定即可得证. 【详解】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 方法一：设正方体的棱长为2，则. 由正方体的性质知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于，则，所以． 又平面，所以平面． 方法二：设正方体的棱长为2，，． 由于，，，故， 又平面，故平面． （2）方法一：由于，， 则， 所以也是平面的一个法向量， 又平面，则平面与平面不重合， 所以平面平面． 方法二：由于，，则，所以， 又平面，平面，所以平面． 由（1）知平面，又与相交于点， 所以平面平面． 2．（24-25高二上·宁夏·期中）如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，表示各点坐标，求两个平面的法向量，利用法向量平行可证平面平行. （2）求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量平行可得线面垂直. 【详解】（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以，即，故平面平面． （2）由，是线段，中点得，，， 所以， 由得，， 所以平面． 3．（24-25高二·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 题型五 由法向量证明线面垂直 1．（25-26高二上·河北邢台·月考）如图，在棱长为4的正方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，分别是棱的中点.    (1)求点的坐标. (2)证明：四点共面. (3)证明：平面. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据空间直角坐标系的概念直接写出点的坐标即可； （2）根据直线平行的向量坐标表示证明即可； （3）利用直线垂直的向量坐标表示和线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）由题意可得的坐标为，的坐标为， 的坐标为. （2）连接，    由题意可得 则 所以，所以 ， 故四点共面. （3）由题意可得 则 所以， 因为平面平面，且，所以平面. 2．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则 . 【答案】 【分析】根据直线与平面的位置关系知，当时，直线的方向向量与平面的法向量平行，利用向量共线关系即可求得. 【详解】因为直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，所以，所以，解得. 故答案为：. 3．（25-26高三上·安徽·月考）在正三棱柱中，为AB的中点，则下列结论一定成立的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量运算逐个判断线面关系即可. 【详解】分别取的中点,由正三棱柱的性质可知两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设底面棱长为，高为，则 ； 对于A，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即； 因为，所以不平行于平面，A不正确； 对于B，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即， 因为，且平面，所以平面，B正确； 对于C，,因为， 所以，因为，平面， 所以平面，C正确； 对于D，，因为，所以不与平面垂直，D不正确. 故选：BC 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面垂直，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面垂直得到与平行，设，得到方程组，求出. 【详解】因为直线与平面垂直，故与平行； 设且，即，解得. 故选：D 题型六 由法向量证明面面垂直 1．（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 2．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）如图，已知正方体中，E为棱上的动点． (1)求证：； (2)若平面平面，求证：E为的中点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）以D为原点，、、为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，计算即可证明； （2）求出面与面EBD的法向量，根据法向量垂直计算即可． 【详解】（1）以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则． 设，， ， ∴，即 （2）设平面和平面EBD的法向量分别为，． ， ，即，令，则，则， ，即，令，则，则． 由平面平面，得. ，即. ∴当E为的中点时，平面平面. 3．（25-26高二·全国·假期作业）在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量表示可得； （2）利用空间向量表示，再结合面面垂直的判定定理可证明. 【详解】（1）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.点分别是的中点，，. ，即. 又平面平面，所以平面. （2）证明：由（1）可知，， 因为， 所以，即. 又，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 4．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面.求证： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出，再由，即可证明； （2）求出平面和平面的法向量，由. ，即可证明. 【详解】（1）取的中点为，连接，因为， 所以，因为侧面底面， 因为侧面底面，平面， 所以底面，又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 所以，， ， 所以. （2）， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为， 则，令，则， 则可以求得面的一个法向量， 又因为， 所以，平面平面. 题型一 由线面平行求参数 1．（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点使得平面， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，证明，由此可得结论. （2）求平面的法向量，由条件可得，由方程求得. 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量. 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 2．（25-26高二上·北京·月考）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用直二面角的定义推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明列式求解. 【详解】（1）在直角梯形中，，即， 由直角梯形绕直线旋转得到直角梯形，得， 则是平面与平面所成二面角的平面角， 而平面平面，即平面与平面所成二面角是直角， 因此，所以. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 假设在线段上存在点P，使得直线平面，设， 则，，设平面的法向量， 于是，取，得，而， 由直线平面，得，则，解得， 所以在线段上存在点P，使得直线平面，点为线段上靠近的三等分点. 3．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，．    (1)证明： 平面． (2)若是的中点.证明：平面. (3)若点为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，为PC的中点 【分析】（1）先求平面的法向量，通过计算可得即可得 平面； （2）先求平面的法向量，通过计算可得即可得平面； （3）假设在棱上是否存在一点，使得平面，设 平面PDM，求出即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接，交于点，连接， 依题意得，，，，，. 设平面的法向量为， 又， 则有 ，即， 令，则，，可得， 且，可知， 平面. （2）设平面的法向量为, 因为， ，， 令，则，，， 又， ，， 又平面EDB，平面. （3）如图，， 设平面PDM的法向量为， 则，即 令，则，， 设，则，， 得， ，， 又， 又平面PDM， ，即， 即在棱PC上存在一点，且当为PC的中点时，使得平面PDM. 4．（25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正方体中，其棱长为2；    (1)求三棱锥外接球的体积； (2)M，N分别是的中点，过BD的平面平面，求平面截正方体所得截面的面积； (3)若是线段上的一点，若平面，试判断点在线段上的位置，并说明理由 【答案】(1) (2) (3)点是线段上靠近B的三等分点 【分析】（1）将锥体的外接球问题转化为正方体的外接球问题，求出球的半径，代入球的体积公式即可求解； （2）先作出平面截正方体的截面，再根据截面的形状和性质，求截面的面积即可； （3）建立空间直角坐标系，设得，求出平面的法向量，进而利用求出，即可判断点的位置. 【详解】（1）因为三棱锥的顶点也是正方体的顶点，所以正方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，由题意，正方体的棱长为2，则，所以三棱锥外接球的体积为. （2）根据题意，取的中点E，的中点F，连接，    则，所以，且， 故在同一平面内， 连接，因为分别为的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 即平面截该正方体所得截面为梯形； 又由梯形中， ， 即平面截该正方体所得截面为等腰梯形，又， 所以等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为， 即平面截正方体所得截面的面积为. （3）如图，建立空间直角坐标系，    则， 因为，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 设，则，所以， 所以， 若平面，则， 化简得，解得，所以， 所以点是线段上靠近B的三等分点时，满足平面. 5．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为线段的中点 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 题型二 由线面垂直求参数 1．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面． (1)判断A，B，D，E四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边BC的中线上确定一点Q，使得平面BCE，并求． 【答案】(1)共面，理由见解析 (2)Q为OA中点， 【分析】（1）取BC的中点O，取CD的中点H，以为原点建系，求证即可； （2）设，根据，求出点坐标即可计算. 【详解】（1）A，B，D，E四点共面．理由如下： 如图，取BC的中点O，连接AO，DO，取CD的中点H，连接EH， 在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形， 则在等边三角形DCE中，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理，得平面，平面， 所以OA，OB，OD两两垂直，且， 以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz． 则，，，，， 设，由，即， 解得，，，所以，所以． 又，，所以，则共面， 因为B为公共点，所以A，B，D，E四点共面． （2）如图，设，故． 若平面，则，，即，解得， 所以Q为OA中点时，平面． 当时，，又，，， 所以，，则． 2．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 3．（24-25高二上·广东珠海·月考）如图，在三棱柱中，，，是棱的中点. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据条件得到三角形全等，进而证明出线段相等，利用线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直推出线线垂直； （2）利用体积得出三棱柱的高，结合题目条件建立空间直角坐标系，写出各点坐标，设，表示出向量，根据线面垂直得出线线垂直，利用数量积等于计算的值，由与平面内的两个不共线向量垂直得出不同的，所以不存在点使得平面. 【详解】（1）如图，取中点，连接. ∵,∴, ∵,,, ∴与全等， ∴，∴， ∵，、平面， ∴平面， ∵平面，∴. （2）不存在，理由如下： 由（1）得，平面， ∵平面， ∴平面平面， 如图，过点作于点. ∵平面平面，平面， ∴平面 由题意得， ∴，设三棱柱的高为， ∵三棱锥的体积为， ∴三棱锥的体积为，即， ∴，即， ∴，∴点为中点. 取中点，则，∴. 故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ∴， ，，. 设，则， ∴， 要使平面，则需且， 由得，，解得， 由得，，解得， 由两个方程解出值不同可得在棱上不存在点使得平面. 4．（22-23高二上·福建泉州·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接交于点，证，即得平面； （2）由勾股定理证得，即可推得平面； （3）利用（2）结论建系，设，求出相关点和平面法向量坐标，由求出的值，即可判断求解. 【详解】（1） 如图，连接交于点，连接，由正方形可得： 因是的中点， 则， 又因平面，平面， 故平面. （2）因则, 故有,因平面，故平面. （3） 由题意和（2）的结论，如图，可以点为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 ，因E是的中点，则， 设，解得，则得,, 设平面的法向量为，则 故可取.由平面可得， 即，解得，即存在点时，满足平面， 此时，. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在长方体中，是上靠近点的三等分点.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的一个法向量； (2)在平面上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）写出三点坐标，再利用法向量定义即可求得结果； （2）假设存在点满足题意，利用垂直关系的向量表示可得答案. 【详解】（1）由题得， 则， 设平面的法向量为，则; 令，则，则平面的一个法向量为. （2）由题意得， 则， 设，则. 因为平面，所以为平面的一个法向量， 则，解得 所以存在点，使得平面. 题型三 由面面垂直求参数 1．（2026·重庆九龙坡·一模）如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，.    (1)若，证明：平面OCE； (2)若，平面平面PBC，求λ的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，根据几何性质可得，进而可证线面平行； （2）建系标点，分别求平面、平面PBC的法向量，根据面面垂直可得，运算求解即可. 【详解】（1）取中点F，设与交于点G，连接，， 由知D为中点，且F为中点，则， 则E为中点，且G为中点， 因为O为中点，则， 且平面，平面， 所以平面． （2）因为C在圆周上，为直径，则，同时，由圆锥知平面， 则以C为原点，、、过C与平行的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．    因， 则，，，，． 可得，，，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，可得； 设平面的一个法向量，则。 令，则，可得， 若平面平面，则，解得． 故的值为． 2．（25-26高三上·宁夏中卫·月考）如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．    (1)求多面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定定理证明平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）令，，分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直求出参数，即可得答案. 【详解】（1）因为，即, 又，，平面， 所以平面，又平面，所以. 又，，平面，所以平面， 在直角三角形中，，， 所以. （2）因为平面，，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，，， 假设存在线段上存在一点，使得平面平面，设点，，则，所以， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 设平面的法向量， 则，令，则，，所以， 若平面平面，则，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 3．（2025·浙江台州·一模）已知正方体的棱长为2，是空间中的一点.    (1)证明：直线平面； (2)若直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. (3)若点在平面内，且满足平面平面，请判断点的轨迹，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)点的轨迹为抛物线，理由见解析 【分析】（1）要证明线面垂直，则需要证明该直线与平面内的两条相交直线均垂直即可. （2）方法一：建立空间直角坐标系，根据平面，利用坐标列出方程组，然后计算，即可判断其是否是定值；方法二：取中点，连接，再取的中点，先证明，得出平面，然后求出的长. （3）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据面面垂直列出式子，即可得到轨迹是抛物线. 【详解】（1）在正方体中， 因为平面平面，所以. 又因为，平面. 所以平面. （2）法一：如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，    则. 设点，则， 因为平面，所以得* 设平面内存在点，满足长为定值， 则， 由*式得， 所以当时，长为定值，此时点. 法二：如图，取中点，连接，再取的中点，    因为平面，所以. 又因为平面，所以平面， 得平面. 在中，因为为定值， 所以在平面内存在点，使得的长为定值，且为的中点. （3）如图，以为坐标原点，以分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，则.    设点，平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 得， 由 取，得，即. 由得，取，得. 即. 又因为平面平面，所以， 得，故点的轨迹为抛物线. 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，设，点分别在线段上，且. (1)证明：； (2)若平面平面，求的值； (3)设直线与平面相交于点，求线段的长度（用表示）. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，进而利用线面垂直的性质可得，建立空间直角坐标系，利用向量法可得结论； （2）求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求的值； （3）设，求得，利用向量法可求得，进而可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 在矩形中，平面，所以平面. 又因为平面平面，所以. 以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系， 则，. 所以， 所以， 所以. （2）. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 若平面平面，则， 得，解得， 因为，所以. （3）设，则，所以. 由（2）可知，平面的一个法向量，所以， 得，解得. 所以，所以， 所以. 5．（25-26高二上·河北·月考）如图，已知正四棱柱中，是的中点. (1)证明： 平面； (2)设，若在线段上存在点，使得平面平面，试确定点的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2)点与点重合 【分析】（1）取中点，连接，利用正四标柱的性质得，再利用几何关系可得平面，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再结合条件，即可求解. 【详解】（1）取中点，连接，因为，且， 所以是平行四边形，则， 又，且，所以为平行四边形，则与相交， 且交点为线段与的中点，记， 又，且，所以为平行四边形，则与相交， 且交点为线段与的中点，所以，则平面， 平面，所以 平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，设， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 因为平面平面，则，所以， 解得，所以点与重合. 题型四 由平行垂直求轨迹 1．（25-26高二上·河北保定·期中）在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为 . 【答案】6 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用得到的关系式，再判断轨迹形状即可求解. 【详解】 以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设， 则，， ，， 即，， 当时，，此时为棱的中点； 当 时，，此时为棱的中点， 设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN， ，点的轨迹长度为6. 故答案为：. 2．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是 .    【答案】/ 【分析】首先建立空间直角坐标系并确立关键点坐标，然后根据线面平行推导代数条件，最后根据条件分析边界直线并计算区域的面积最大值. 【详解】以D为顶点，DA、DC、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，   , 线段EF满足，     设，，， 设平面的法向量为， ，， ，令得，则， 因为平面， 所以，， 因为点Q在线段EF上，所以，，所表示的范围为多边形，其中，面积为，    所以区域的面积最大值是. 故答案为： 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，当与垂直时，点的运动轨迹长度为 . 【答案】 【分析】建系标点，设，根据垂直关系可得轨迹方程，进而可得轨迹长度. 【详解】以为坐标原点，分别为，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 因为，则， 整理可得，即点的轨迹方程为， 令，则；令，则； 可知点的轨迹即为点与两点之间的线段， 所以轨迹长度为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·重庆·期中）已知长方体，，，，在上取一点，在上取一点，使得直线平面，则线段的最小值为 . 【答案】 【分析】以为轴建立空间直角坐标系发，写出各点坐标，求出平面的法向量，由向量与平面的法向量垂直可得关系式，从而表示出的模，然后可求得最小值． 【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，即， 设，， 则， 因为直线平面，则， 可得，解得， 则， 可得 当且仅当，时，取得最小值，即的长度的最小值为． 故答案为：． 5．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，O为底面ABCD的中心，点S在正方体的表面上运动，且满足，则下列结论正确的是（）    A．点S可以是棱的中点 B．点S的轨迹是矩形 C．点S轨迹所围成的图形面积为 D．点S轨迹的长度为 【答案】C 【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，再逐项判断，即可得出结果． 【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为2，分别为的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为，所以 所以，即， 令，当时，；当时，； 取，    连接，则， 则， ， 所以，， 又，且平面平面， 所以平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为正三角形，故B错误； 因此点不可能是棱的中点，故A错误； 正三角形边长为，则面积为，故C正确； 点轨迹的长度为，故D错误； 故选：C 1．（25-26高二上·江苏无锡·期中）在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：（1）过点，且以为方向向量的空间直线的方程为；（2）过点，且为法向量的平面的方程为．现已知平面，，则（    ） A． B． C． D．与相交 【答案】D 【分析】根据题设定义，结合条件，求出平面的法向量和直线的方程向量，再利用空间位置关系的向量法，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由，得，所以平面的一个法向量为，且过点， 又由可得，所以， 所以直线的一个方向向量为，且过点， 则，所以与不垂直，所以B和C错误，D正确， 又易知与不共线，则与不垂直，所以A错误， 故选：D. 2．（25-26高二上·重庆·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面的位置关系为（   ） A． B．相交但不垂直 C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件分别确定平面和直线的法向量和方向向量，结合已知点，再判断它们的位置关系. 【详解】由题设，平面的方程可写为， 所以平面经过点，且一个法向量为， 又直线的一个方向向量为， 所以，即，则或， 由于点在直线上，显然不在平面内，故，即. 故选：A 3．（23-24高三下·四川·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，直线平面，是的中点，是线段上的动点，则直线与侧面的交点的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先建立空间直角坐标系，设出点的坐标，保证四点共面，从而得到向量与平面的法向量垂直，进而分析得出的方程表示的轨迹是什么，求解即可. 【详解】分别以所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系； 其中点，， 由于直线平面，设，如图所示： 在矩形中，易得，可得：，    可得点满足，从而， 设平面的法向量为， 且，， 可得，即，不妨取， 由于直线与侧面的交点，设点， 可得四点共面， 且，显然， 得方程，显然方程在平面内表示一条直线， 当时，点，此时两点重合， 当时，，点，设线段的中点为，此时两点重合， 从而可得直线与侧面的交点在线段上， 又因为与重合时点与D重合，与重合时点与线段的中点H重合， 所以点的轨迹为线段，且， 故选：B.    4．（25-26高二上·北京·期末）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：    ①存在点，使； ②存在点，，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合距离公式、三棱锥体积公式逐项判断即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，    则有、、、、、， 设，，其中，， 对①：，则， 当，，时，有， 故存在点，使，故①正确； 对②：，， 若，则有， 由，，故当时，，， 此时有，即，即， 此时与重合，与重合，故不存在点，使，故②错误； 对③：点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即有，即，由， 故其轨迹为双曲线的一部分，即点有无数个，故③正确； 对④：，， 由，故有，则， 又， 故，故④正确. 故答案为：①③④. 5【多选题】．（25-26高二上·浙江湖州·月考）在长方体中，，分别是棱，上的动点（含端点），且，为棱的中点，则（   ） A．若是棱的中点，则平面 B．若是棱的中点，直线平面 C．线段长度的最大值为 D．若为线段的中点，则的最小值为 【答案】AC 【分析】在长方体中建立空间直角坐标系，写出点坐标，设 ，得到向量，由求得的值.由题意得，求出，即得到，证明线面垂直得到平面的一个法向量，由向量的数量积证明线面平行，判断A选项；由条件得，利用空间向量是否平行判断B选项；由得值求得的范围即可判断C选项；由题意得到点坐标，然后得到坐标即可求得，借助圆上的点到直线的最小值求得的最小值，判断D选项. 【详解】在长方体中，，，， 如图以为原点建立空间直角坐标系， 则， ∴设 ， ∵，∴. 若是棱的中点，则，即，∴， 即， 在正方形中，， 又∵平面，平面，∴， 且，平面，平面， ∴平面，即是平面的一个法向量， ∵，即，∴平面，A选项正确； 当是棱的中点时，，，则， 是平面的一个法向量， ∵不存在实数使得，故与不平行， ∴直线与平面不垂直，B选项错误； ，∵， ∴，即，C选项正确； 当为线段的中点时，， ∴，， 则， ∵， ∴， 设直线，点在圆上， 则圆心到直线的距离，∴点到直线的距离， 点到直线的距离， ∵， ∴，D选项错误. 故选：AC. 6．（25-26高二上·湖北武汉·期中）如图1，在梯形中，，，，点E是上的点，且.现将沿折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面； (2)设的中点为M，的中点为N. （ⅰ）经过C，M，N三点的平面交于点F，求； （ⅱ）在平面内取一点Q，使得直线平面，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）6；（ⅱ） 【分析】（1）在平面内过点作于点，连接，利用边长关系以及勾股定理可得， 从而可得平面，即可证明平面平面； （2）过点作的平行线交于点，易得. 以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. （ⅰ）设，即，分别表示出各点坐标，利用四点共面得，从而求出即可求解； （ⅱ）利用得到，利用线面垂直的空间向量关系即可求解. 【详解】（1）在平面内过点作于点，连接. 在梯形中，由，，， 易得，则，，即. 在中，由余弦定理，得 . ∵，且， ∴，又，得平面. ∵平面∴平面平面. （2）过点作的平行线交于点，易得. 以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. 由已知，得 ，，，， 则的中点，的中点. （ⅰ）设，即，由，得， 则. ∵，，，四点共面，∴，即 ， 得，解得，即. （ⅱ）设， 则，. ∵直线平面，得，解得. 则， ∴. 7．（2025·广东江门·模拟预测）如图，在六面体中，侧面是直角梯形， ，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为. (1)求证：平面； (2)当时，求关于的函数解析式，并求的最大值； (3)若平面平面，当取得最大值时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性质定理即可证明； （2）根据题意，由条件可得，然后分别表示出与，然后代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，建立空间直角坐标系，分别求得平面，平面的法向量，由可得的最大值，然后代入（2）中的体积公式计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为底面是矩形，所以，因为平面，平面，故平面， 在直角梯形中，，因为平面，平面，故平面， 又因，平面， 故平面平面，又因平面，故平面. （2） 由题意，在矩形中，，在直角梯形中，， 所以为二面角的平面角，即得，同理， 因为，平面，所以平面， 由（1）平面平面，则得平面， 过点作于，由平面，平面，所以， 且，平面，故平面，即是四棱锥的高， 由， 所以， 由，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且， 所以， 所以，， 当时，取得最大值. （3） 过点作的垂线，交于点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 因为平面和平面垂直，所以， 即，整理可得， 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值， 此时， 由，，，所以，则. 8.【多选题】（24-25高二上·广东广州·月考）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，有 B．当时，的周长为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】AD 【分析】由题意作图并建立空间直角坐标系，利用空间向量的共线、垂直以及线面垂直，可得答案. 【详解】取的中点为，取的中点为，连接， 在正中，易知，在正三棱柱中，易知平面， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间坐标系，如下图：    则，，， 则，. 对于A，由，则，， 由，则，故A正确； 对于B，，由，则， ，可得，，， 的周长为，不为定值，故B错误； 对于C，由，则， 又，则， 由，则，解得或1， 所以有两个符合题意的点，故C错误； 对于D，由，， 则，即，， 由，则，， 令，解得，此时，， 因为，平面，所以平面， 综上可得，有且仅有一个点符合题意，故D正确. 故选：AD. 【点睛】思路点睛：用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比. 9．【多选题】（24-25高二上·重庆·期中）已知正方体棱长为1，动点满足，则（   ） A．当时，则三棱锥的体积为 B．当时，直线平面 C．当时，直线平面 D．当且时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】当时，则为的中点，利用锥体的体积公式求三棱锥的体积即可判断A，先得到点为的中点，建立空间直角坐标系，计算出可判断B，利用向量法判线面平行，即可判断C，推出点在平面上，并得到平面，且，又，故，求出点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，求出轨迹长度可判断D. 【详解】 对于A，当时，，则为的中点， 则三棱锥的体积为，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 当时，，此时点为的中点， 又，则， 故与不垂直，故直线与平面不垂直，B错误； 对于C，当时，， 设平面的法向量为， 又， 则，解得，令，则，即， 由，且平面， 则直线平面，故C正确； 对于D，当时，， 故，即，故点在平面上， 连接，交平面于点， 由，，， 则，， 故⊥，且⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 又 ， 又，故， 故点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 故轨迹长度为，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： 立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； （1）解答方法：一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $