6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量（课时跟踪检测）（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 1. 在空间直角坐标系O-xyz中，下列向量是y轴方向向量的是（　　） A.（1，1，1） B.（0，－1，0） C.（1，2，0） D.（0，1，1） 2.已知平面α内有一个点A（2，－1，2），α的一个法向量为n＝（3，1，2），则下列各点中，在平面α内的是（　　） A.P（1，－1，1） B.Q C.M D.N 3.从点A（2，－1，7）沿向量a＝（8，9，－12）的方向取线段长｜｜＝34，则B点的坐标为（　　） A.（18，17，－17） B.（－14，－19，17） C. D. 4.已知直线l1的方向向量a＝（2，4，x），直线l2的方向向量b＝（2，y，2），若｜a｜＝6，且a⊥b，则x＋y的值是（　　） A.－3或1 B.3或－1 C.－3 D.1 5.在三棱锥P-ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是（　　） A.（1，1，） B.（1，，1） C.（1，1，1） D.（2，－2，1） 6.〔多选〕在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是（　　） A.平面ABB1A1的一个法向量为（0，1，0） B.平面B1CD的一个法向量为（1，1，1） C.平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1） D.平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1） 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中： （1）直线AB的方向向量有　　　　个； （2）平面AA1B1B的法向量有　　　　个. 8.已知直线l1的一个方向向量为（－5，3，2），另一个方向向量为（x，y，8），则x＝　　　　，y＝　　　　. 9.已知平面α经过点O（0，0，0），且e＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　. 10.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线AE，AD的一个方向向量. 11.〔多选〕已知平面α内两向量a＝（1，1，1），b＝（0，2，－1），且c＝ma＋nb＋（4，－4，1），若c为平面α的一个法向量，则（　　） A.m＝－1 B.m＝1 C.n＝2 D.n＝－2 12.若A，B（1，－1，），C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝（x，y，z），则x∶y∶z＝　　　　. 13.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（－3，4），且法向量为n＝（1，－2）的直线方程为1×（x＋3）＋（－2）×（y－4）＝0，即x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B（1，2，3），且法向量为m＝（－1，－2，1）的平面α的方程为　　　　　　. 14.如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系. （1）求平面ABCD的一个法向量； （2）求平面SAB的一个法向量； （3）求平面SCD的一个法向量. 15.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1）. （1）求证：是平面ABCD的法向量； （2）求平行四边形ABCD的面积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3　空间向量的应用 6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 1.B　y轴方向向量可以表示为（0，k，0）（k≠0），所以（0，－1，0）是y轴方向向量. 2.B　对于B，＝，则n·＝（3，1，2）·＝0，∴n⊥，则点Q在平面α内. 3.A　设B点坐标为（x，y，z），则＝λa（λ＞0），即（x－2，y＋1，z－7）＝λ（8，9，－12），因为｜｜＝34，即＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17. 4.A　由题意得解得或故x＋y＝－3或x＋y＝1. 5.A　因为P（0，0，2），A（1，0，0），B（0，1，0），所以＝（1，0，－2），＝（－1，1，0），设平面PAB的一个法向量为n＝（x，y，1），由则解得所以n＝（2，2，1）.又（1，1，）＝n.因此，平面PAB的一个法向量为（1，1，）. 6.AC　∵＝（0，1，0），AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面ABB1A1，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝（－1，0，0），而（1，1，1）·＝－1≠0，∴（1，1，1）不是平面B1CD的法向量，∴ B不正确；∵＝（0，1，－1），＝（－1，0，1），（1，1，1）·＝0，（1，1，1）·＝0，B1C∩CD1＝C，B1C，CD1⊂平面B1CD1，∴（1，1，1）是平面B1CD1的一个法向量，∴C正确；∵＝（0，1，1），而·（0，1，1）＝2≠0，∴（0，1，1）不是平面ABC1D1的法向量，∴D不正确. 7.（1）8　（2）8　解析：（1）直线AB的方向向量有：，，，，，，，，共8个. （2）平面AA1B1B的法向量有：，，，，，，，，共8个. 8.－20　12　解析：∵直线的方向向量平行，∴＝＝，∴x＝－20，y＝12. 9.x＋2y－3z＝0　解析：由题意得e⊥，则·e＝（x，y，z）·（1，2，－3）＝0，故x＋2y－3z＝0. 10.解：＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋ ＝＋＋＝a＋b＋c， 所以直线AD的一个方向向量是a＋b＋c. ＝＋＝＋ ＝＋ ＝＋＝b＋c， 所以直线AE的一个方向向量为b＋c. 11.AC　c＝ma＋nb＋（4，－4，1）＝（m，m，m）＋（0，2n，－n）＋（4，－4，1）＝（m＋4，m＋2n－4，m－n＋1），由c为平面α的一个法向量，得得解得 12.2∶3∶－4　解析：∵A，B，C，∴＝，＝（－2，－1，－）.又∵∴解得∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶－4. 13.x＋2y－z－2＝0　解析：根据法向量的定义，得m⊥α，任取平面α内一点P（x，y，z），则⊥m.因为＝（1－x，2－y，3－z），m＝（－1，－2，1），所以（x－1）＋2（y－2）＋（3－z）＝0，即x＋2y－z－2＝0. 14.解：以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），S（0，0，1）. （1）∵SA⊥平面ABCD， ∴＝（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量. （2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面SAB， ∴AD⊥平面SAB， ∴＝（，0，0）是平面SAB的一个法向量. （3）在平面SCD中，＝（，1，0），＝（1，1，－1）. 设平面SCD的法向量是n＝（x，y，z）， 则n⊥，n⊥， ∴ 得方程组∴ 令y＝－1，得x＝2，z＝1， ∴n＝（2，－1，1）. ∴n＝（2，－1，1）是平面SCD的一个法向量. （答案不唯一） 15.解：（1）证明：因为·＝（－1，2，－1）·（2，－1，－4）＝0，·＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量. （2）因为｜｜＝＝， ｜｜＝＝2， ·＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6， 所以cos＜，＞＝＝， 故sin＜，＞＝， S▱ABCD＝｜｜·｜｜sin＜，＞＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $