6.1.2-6.1.3 空间向量的数量积与共面向量定理（题型专练，5基础&3提升题型+培优）高二数学苏教版选择性必修第二册

6.1.2-6.1.3 空间向量的数量积与共面向量定理 题型一 数量积的定义计算 1．（北京市朝阳区2025-2026学年高二上学期期末数学试题）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 2．（25-26高二上·湖南·月考）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 3．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则 . 5．（25-26高二上·安徽·期中）如图，平行六面体的底面是正方形， ，则 ． 题型二 数量积的投影及投影向量 1．（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课前预习）已知，在方向上的投影为，则 ． 5．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 题型三 由数量积求模长 1．（25-26高二上·山东德州·期末）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 4．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知异面直线所成角为60°，直线垂直于直线且分别与直线交于、两点.点直线a，点直线b，，，，则 . 5．（25-26高三上·河北·月考）空间内三条直线满足，，且，，记，，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型四 由数量积求夹角 1．（25-26高二上·宁夏银川·月考）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 3．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 4．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（24-25高二上·山西晋中·月考）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 题型五 判定空间向量共面 1．【多选题】（辽宁省丹东市2025-2026学年高二上学期期末数学试题）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 2．【多选题】（25-26高三上·福建三明·月考）关于空间向量，以下说法正确的有（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量，，是不共面的向量，则向量，，共面 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 3．（2025高三·上海·专题练习）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·期中）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 5．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 题型六 由空间向量共面求参数 1．（25-26高二上·河北张家口·期末）在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则 . 2．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有 ，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·月考）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 题型一 求数量积的最值与范围问题 1．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是 2．（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京通州·月考）正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的取值范围是 . 4．（25-26高二上·广东深圳·月考）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 5．（25-26高二上·云南·月考）在四棱锥中，底面，底面为矩形，，为棱的中点，为四棱锥外接球的球心，为球的球面上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 由空间向量的数量积求参数范围 1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在棱长为2的正方体中，点为底面ABCD中一动点（含边界），且，则线段PB的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 3．（24-25高二上·海南海口·月考）已知正四面体的所有棱长都为3，为空间中某一点，且，点在棱上(含端点)运动，则线段长度的取值范围为 ； 4．（23-24高二上·广东茂名·期末）正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为 . 5．（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 题型三 空间向量共面定理的推论及应用 1．（25-26高二上·河南周口·月考）如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且 ，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（    ）    A．4 B．2 C．3 D．不确定 2．（25-26高三上·河北·月考）已知三棱锥的体积为是空间内一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 3．（25-26高二上·江西·期中）已知直三棱柱的每条棱长均为2，为棱的中点，点满足，则的最小值为 ． 4．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）已知正四面体的棱长为，动点在面上运动，且满足，　则的值为 . 5．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）在直三棱柱中，，，.若点满足，且点在平面内，则（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·贵州·月考）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高二上·江西·月考）在三棱锥中，已知，则的最小值为 . 3．（25-26高二上·山西·期中）如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折至的位置，使得二面角为，则的最小值为 .    4．（25-26高二上·上海闵行·期中）从空间中一定点出发的两个向量满足：，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的表面积是 ． 5．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意， ； 6．（25-26高二上·河南·月考）已知空间向量，，的模均为1，，.若存在非零实数，，使得，，且，则 . 7．（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）已知正方体的棱长为，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积为 . 8．（23-24高二上·四川成都·期中）已知空间向量，，两两之间的夹角均为 ，且，，．若向量，分别满足与，则的最小值为 ． 8．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 9．（25-26高二上·河南新乡·月考）如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则 ．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1.2-6.1.3 空间向量的数量积与共面向量定理 题型一 数量积的定义计算 1．（北京市朝阳区2025-2026学年高二上学期期末数学试题）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积运算求得正确答案. 【详解】依题意可知, . 故选：B 2．（25-26高二上·湖南·月考）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中， 易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为 . 故选：B 3．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算即可求解． 【详解】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ． 故选：B． 4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则 . 【答案】0 【分析】根据题意，设，求得，，结合向量的数量积的定义与运算公式，即可求解. 【详解】设向量，则， 所以， 又由，， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高二上·安徽·期中）如图，平行六面体的底面是正方形， ，则 ． 【答案】2 【分析】利用空间向量的基底运算，即可求解. 【详解】设． ， ， . 故答案为： 题型二 数量积的投影及投影向量 1．（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 2．（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 3．（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 4．（24-25高二下·全国·课前预习）已知，在方向上的投影为，则 ． 【答案】/ 【分析】由投影向量的计算公式可得，再由数量积的定义即可得出答案. 【详解】在方向上的投影为， ， ． 故答案为：. 5．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D    题型三 由数量积求模长 1．（25-26高二上·山东德州·期末）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量将线段的长度转化为求解向量的模长度，结合条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】如图，由题知，， 又因为是平行六面体，则， 所以，则 ， ∴，即，    故选：A. 2．（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得，再利用共面定理，即可得解. 【详解】取，，， 所以，， ，则 ，， 设， 又， 所以， 由于共面，故存在使得 ， 所以，解得， 故. 故选：A. 3．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用数量积求模长即可； （2）设，根据向量垂直结合数量积可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：，，， 因为， 则 ， 即，所以的长为. （2）设，则 可得 ， 若，则，解得， 所以，即的长为2. 4．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知异面直线所成角为60°，直线垂直于直线且分别与直线交于、两点.点直线a，点直线b，，，，则 . 【答案】或2 【分析】利用向量的加法运算可得，再由向量的模长及数量积运算即可求解. 【详解】， 所以 ， 由题意得与的夹角为或， 当夹角为时，， 此时，所以； 当夹角为时，， 此时，所以； 故答案为：或2. 5．（25-26高三上·河北·月考）空间内三条直线满足，，且，，记，，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直关系和向量线性运算可求得，，结合向量数量积定义和角度关系可得；利用可求得，由可得结果. 【详解】， ，，，，， ，，，， ，， ， ，，，， ， ，即. 故选：A. 题型四 由数量积求夹角 1．（25-26高二上·宁夏银川·月考）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到，再由向量数量积的运算公式和模的计算公式，求得的值； （2）根据题意，求得，利用数量积的计算公式，求得，进而求得的值. 【详解】（1）解：因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 . （2）解：因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）14；（ⅱ） 【分析】（1）连接，取中点为，连接，结合空间向量的线性运算，以为基底表示向量即可求解； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，，即可得结论. 【详解】（1）连接，取中点为，连接．    因为底面是正六边形，所以，即， 所以，又因为，所以． （2）由题知，， 根据，可知， 因为底面是正六边形，所以，所以． （ⅰ） ． （ⅱ）因为， 所以 ，所以． 3．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为基底表示出可求出的值，即可求得结果； （2）根据向量数量积的运算律求得的长，再由向量夹角的计算公式可得结果. 【详解】（1）因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 （2）因为 ； 所以； 因为 ； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 4．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据、，应用向量数量积的运算律及夹角公式求直线与BM所成角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】设，， 由， 所以 ， 因为， 所以， ， 所以 ，直线与BM所成角的正弦值为. 故选：C 5．（24-25高二上·山西晋中·月考）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）， 所以 ； （2）， 所以 ， ，， ， ， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 题型五 判定空间向量共面 1．【多选题】（辽宁省丹东市2025-2026学年高二上学期期末数学试题）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义、共线向量的定义，结合共面定理逐一判断即可. 【详解】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 2．【多选题】（25-26高三上·福建三明·月考）关于空间向量，以下说法正确的有（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量，，是不共面的向量，则向量，，共面 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 【答案】AD 【分析】利用共线定理和共面定理可判断A；考虑同向共线可判断B；利用反证法判断C；利用空间向量共面的推论判断D. 【详解】对于A，空间中任意两个向量是共面的，三个向量中有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对于B，若，则与的夹角是锐角或者，故B错误； 对于C，假设是共面的向量，则存在实数使，即， 故向量是共面向量，与题设矛盾，故假设不成立，即向量不共面，故C错误； 对于D，因，则由空间向量共面的推论可知，四点共面，故D正确. 故选：AD 3．（2025高三·上海·专题练习）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABCD中的各组向量均先假设其共面，从而依据共面定理得向量的线性组合和等量关系，进而根据向量相等其相应向量系数相等得到方程组，再根据方程组有解还是无解即可判断向量是否共面. 【详解】对于A，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故A不符合； 对于B，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故B不符合； 对于C，假设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 则，故，所以，，共面，故C符合题意； 对于D，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故D不符合. 故选：C. 4．（25-26高二上·全国·期中）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】取，，，由向量的线性运算得与，共面可得答案. 【详解】取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 5．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【分析】利用向量线性运算得，由空间向量共面定理的推论求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 故，所以P，B，C，D四点共面. 故选：C． 题型六 由空间向量共面求参数 1．（25-26高二上·河北张家口·期末）在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则 . 【答案】 【分析】分析可知，，，，四点共面，根据四点共面的结论运算求解即可. 【详解】因为， 若，，共面，则，，，四点共面， 则，解得. 故答案为：. 2．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理得推论，得到，即可求解. 【详解】因为与三点共面，且， 根据空间向量的共面定理得推论，可得，解得. 故选：C． 3．（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有 ，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中四点共面的向量定理可求得的值. 【详解】由，得， 所以，动点在所在平面内运动，可知四点共面， 由空间中四点共面的向量定理可知，，解得， 故选：D. 4．（25-26高二上·重庆·月考）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案. 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 5．（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的和差整理得到与的关系式，由四点共面求得系数的值，然后由向量的数量关系求得，代入即可求得结果. 【详解】由，得， 所以． 由四点共面，知，解得． 又，， ∵， ∴ ． 故选：B． 题型一 求数量积的最值与范围问题 1．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是 【答案】/ 【分析】方法一：利用极化恒等式把转化为，再利用正方体性质，先确定，再确定最小值，最大值，从而可求得最小值； 方法二：利用空间向量的坐标运算，先研究关于三元函数最小值，再求剩下变量构造成两点间距离的最大值，最后确保它们能同时取到最值的条件是三点共面即可. 【详解】法一： 根据正方体的性质，可不妨设在下底面的棱上动点，又设中点为， 则 当与中点重合时，取到最小值， 当为底面对角线的顶点时，取到最大值， 所以当为底面中心，为底面对角线的顶点时, 取到最小值； 法二、如图建立空间直角坐标系， 设，，，其中，，. 则，. 则 ， 当在正方体同一面上时，则当，，时，取得最小值， ， 即当为正方体一面的对角线，为对角线中点时，取得最小值； 当、、不在正方体同一面上时，由对称性，不妨设，，不同时为0， 此时 ； 因为，，，则， 所以， 综上，的最小值是. 2．（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 3．（25-26高二上·北京通州·月考）正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据动点在线段上运动，设，用表示，根据向量数量积的运算律，及数量积的定义求得的取值范围. 【详解】由题可设，则. 所以. 因为，所以. 所以的取值范围是. 故答案是：.    4．（25-26高二上·广东深圳·月考）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】设，，根据向量的线性运算将用已知向量表示，再利用数量积运算得到的表达式，利用二次函数求出最小值. 【详解】如图，设，， 在中，， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 5．（25-26高二上·云南·月考）在四棱锥中，底面，底面为矩形，，为棱的中点，为四棱锥外接球的球心，为球的球面上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系可求得四棱锥的外接球半径和，结合向量数量积定义可求得结果. 【详解】连接交于点， 四边形为矩形，， 连接，则平面， 四棱锥的外接球半径， 又， ； ，. 故选：D. 题型二 由空间向量的数量积求参数范围 1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在棱长为2的正方体中，点为底面ABCD中一动点（含边界），且，则线段PB的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的数量积可得的轨迹圆，从而可求线段PB的长度的最小值. 【详解】取的中点为，的中点为，连接， 则平面，而平面，故. 而， 而，故， 而，故即， 由正方体的性质可得，故， 故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而， 故线段的长度的最小值为， 当且仅当三点共线且在之间时的长度取最小值， 故选：C. 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为6. 故选：B. 3．（24-25高二上·海南海口·月考）已知正四面体的所有棱长都为3，为空间中某一点，且，点在棱上(含端点)运动，则线段长度的取值范围为 ； 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示以及模长公式，可得，即可根据的取值范围，以及方向相同和相反，求解最小值以及最大值. 【详解】由可知在以为球心，半径为1的球面上运动， 由于，故， 由于点在棱上(含端点)运动，故，即, 因此，， 当方向相反时，且最大时，此时最小，故， 当方向相同时，且最小时，, 故，即， 故答案为：. 4．（23-24高二上·广东茂名·期末）正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为 . 【答案】 【分析】利用等体积法求得正面体内切球的半径为，取的中点为，利用向量的运算得到，易知当的长度最小时，取得最小值，由是的中点，则三点共线求解. 【详解】解：由正四面体的棱长为6，则其高为， 则其体积为， 设正四面体内切球的半径为， 则，解得， 如图，    取的中点为， 则， 显然，当的长度最小时，取得最小值， 设正四面体内切球的球心为，可求得， 则球心到点的距离， 所以内切球上的点到点的最小距离为， 是的中点，三点共线， ， 在中，边上的高为. . 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积运算求解. 【详解】因为，，的模均为1，他们之间的夹角均为，所以：，. 又 所以： 或. 故答案为： 题型三 空间向量共面定理的推论及应用 1．（25-26高二上·河南周口·月考）如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且 ，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（    ）    A．4 B．2 C．3 D．不确定 【答案】B 【分析】根据空间向量共面，可得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为点在平面内，所以， 又因为 所以； 又因为点在平面内， 所以， 因为， 所以， 由空间向量基本定理得：， 解得，即， 所以 ， 因为两两垂直， 所以， 所以， 故选:B． 2．（25-26高三上·河北·月考）已知三棱锥的体积为是空间内一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用空间向量线性运算及共面向量定理的推论得点共面，进而利用比例关系求解三棱锥. 【详解】，故， 令，则，又， 故点共面，故. 故选：B 3．（25-26高二上·江西·期中）已知直三棱柱的每条棱长均为2，为棱的中点，点满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由共面定理得点在平面内，则的最小值为点到平面的距离．求得点面距后可得结论. 【详解】，点在平面内，的最小值为点到平面的距离． 如图，设，的中点分别为，，连接，，，． 由题意，又平面 平面，平面 平面 ，平面， 所以平面，因为，平面，．，，又，平面． 而平面，所以，所以， 的最小值为． 故答案为：.    4．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）已知正四面体的棱长为，动点在面上运动，且满足，　则的值为 . 【答案】0 【分析】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得. 【详解】动点在平面上运动，且不共线， 则存在实数，使. 即， 所以. 又， 不共面， 由空间向量基本定理可知，故，解得. 即. 因为四面体正四面体，且棱长为. 所以，. 所以 . 故答案为：0. 5．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）在直三棱柱中，，，.若点满足，且点在平面内，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量面的推论可求出的值. 【详解】因为点在平面内，设，其中、， 所以， 整理可得， 因为、、不共面，且， 所以，故，因此， 故选：A. 1．（25-26高二上·贵州·月考）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【分析】利用向量的平行四边形法则，将转化为之间的关系，结合向量的数量积公式即可求解. 【详解】如图，设，则，所以，，， 又，，所以 ，因为，所以的值可能为4和5. 故选：BC. 2．（25-26高二上·江西·月考）在三棱锥中，已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，根据以及得到向量关系式，由此化简可得到的表达式，最后根据基本不等式可求解出最小值. 【详解】设， 因为，所以，所以， 所以 又因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 3．（25-26高二上·山西·期中）如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折至的位置，使得二面角为，则的最小值为 .    【答案】1 【分析】根据勾股定理得到，利用线性运算得到，然后平方得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】    设，，则. 如图，作，，垂足分别为，，连接， 则， 两边平方得 . 由图可知， ，，， ， 所以 ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据二面角的大小得到，然后利用线性运算、数量积的运算律和基本不等式求的最值即可. 4．（25-26高二上·上海闵行·期中）从空间中一定点出发的两个向量满足：，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的表面积是 ． 【答案】 【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得围成的空间几何体是以为顶点，高为4，母线长为的圆锥，从而根据圆锥的表面积公式求解. 【详解】由，得，即， 所以存在实数，使得， 则，解得， 又，，所以在方向上的投影是， 所以围成的空间几何体是以为顶点，高为，母线长为的圆锥， 则其底面半径为， 所以由构成的空间几何体的表面积是. 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意， ； 【答案】 【分析】问题等价于，当且仅当时取到最小值，通过平方的方法，结合最值的知识求得正确答案. 【详解】，又，所以， 对于任意成立， 等价于，当且仅当时取到最小值， 则，解得. 故答案为：. 6．（25-26高二上·河南·月考）已知空间向量，，的模均为1，，.若存在非零实数，，使得，，且，则 . 【答案】0 【分析】根据向量的线性运算和向量的数量积运算，列出参数的方程组，求出结果即可. 【详解】由，可得， 所以 ， 得， 因为， 得. 由，解得，所以. 故答案为：0. 7．（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）已知正方体的棱长为，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积为 . 【答案】 【分析】根据向量加减法运算、数量积的定义和运算律可求得，进而得到点在与垂直的平面上，且点到该平面的距离为；根据正方体的性质可证得平面，取中点，由面面平行的判定与比例关系可知所求区域面积为的面积，由长度关系可求得结果. 【详解】 ，，， ，， ，， 即在上的投影数量为， 点在与垂直的平面上，且点到该平面的距离为； 平面，平面， ，，平面，平面， 又平面，； 同理可证得：， ，平面，平面； ，， 又，， 点到平面的距离， 取中点， 则，又平面，平面，平面， 同理可得：平面， ，平面，平面平面， 则点到平面的距离为，即点的轨迹所形成的区域为， ，， 即点的轨迹所形成的区域的面积为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·四川成都·期中）已知空间向量，，两两之间的夹角均为 ，且，，．若向量，分别满足与，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由数量积的运算律得，令，则， ．利用数量积的性质可得，最后由模的三角不等式求解即可. 【详解】依题意得，，． 因为，所以， 所以，所以． 令，则，且． 由，得，所以， 所以 ， 当且仅当，共线同向时等号成立． 故答案为： 8．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】以空间向量为工具，将几何中的共面问题转化为向量系数关系，再将体积比问题转化为函数最值问题，通过代数方法求解即可. 【详解】设平面与棱分别交于点，设，其中， 直线与平面交于点， 由点为外接球的球心，有， 又由，得到， 因为四点共面，所以，即. 易知：，其中为棱之间的夹角， 下面求的取值范围， 由，又，可得，其中， 令，则，因此， 又因为，，所以. 故的最大值为， 故选：B. 9．（25-26高二上·河南新乡·月考）如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则 ．    【答案】24 【分析】根据题意，设的中点为，连接，由空间向量的运算结合四点共面定理代入计算，即可得到结果. 【详解】如图，设的中点为，连接．    因为点为的重心，所以点在线段上． 因为 ， 所以， 所以． 若四点共面，则，解得． 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $