精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市2025-2026学年高一上学期1月教学质量检测数学试题

石嘴山市2025-2026学年第一学期高一年级教学质量检测 数学 本试卷共19题，共150分，共5页．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前、考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔记清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据交集的定义计算可得. 【详解】由，得， 因为， 所以. 故选：C 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析即可. 【详解】若，则由可得，充分性不成立； 若，则，所以可得，必要性成立，所以B正确. 故选：B 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数的性质判定选项即可. 【详解】由幂函数的性质可知是R上递增的奇函数，所以A正确； 是偶函数，所以B错误； 不具有奇偶性，所以C错误； 在上单调递减，所以D错误. 故选：A 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的定义域和单调性，再利用零点存在定理判断区间即可. 【详解】函数的定义域为， 因为在上都是单调递增函数， 所以在上单调递增，因此最多有一个零点. 根据零点存在定理，计算得， ，因此， 结合单调性可知的零点在区间内. 故选：. 5. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有条件的基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数满足， 所以， 当且仅当等号成立，将代入解得. 即时等号成立，所以的最小值为9. 故选：C 6. 已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据以及指数函数的性质得出，代入计算即可. 【详解】由题意可知，，，则， 则. 故选：A 7. 已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合诱导公式确定每个选项对应函数解析式，先由图象的周期进行排除不符合的选项，再结合函数的图象所过的特殊点进行排除错误的选项，从而找出正确的选项即可． 【详解】若， 则，， ，， 由已知图象可知，右图的周期是左图函数周期的，从而可排除选项B，C； 对于选项A，，当时函数值为，从而排除选项A. 故选：D． 8. 已知是定义在上的奇函数，且满足．当时，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可推导，进而得到，再根据周期性、奇偶性及对称性求值即可． 【详解】由题可知，，且为上的奇函数， ，，即， ，即函数的周期为4， ． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若扇形的半径为2，其弧长为，则此扇形的圆心角为 C. D 【答案】AB 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定规则可判断A；根据扇形的弧长公式计算可判断B；根据根式指数幂化简可判断C；根据诱导公式计算可判断D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A正确； 对于B，设扇形的弧长，半径，圆心角的弧度数为， 则，解得，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数为偶函数 C. 当时，函数在上单调递增 D. 当时，函数的最小值为0 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A根据对数有意义的条件可得；选项B根据偶函数的定义可得；选项C根据复合函数的单调性判断可得；选项D根据复合函数的单调性判断，即可得出最值情况. 【详解】函数， ，解得， 故函数的定义域为，故A正确， 又，函数为偶函数，故B正确， ， 令，在上单调递减，而当时，在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知函数在上单调递减，故C错误， 令，在上单调递增，在上单调递减， 而当时，在上单调递减， 当时，内函数取得最大值1，此时函数取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 11. 记函数的最小正周期为．若，且，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于点中心对称 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数的最小正周期为且，得，可求得判断选项A；由是的最大值点，求出判断选项B；C选项，代入验证的对称中心；D选项，由平移后的函数解析式判断对称性. 【详解】函数的最小正周期，有， ， 故，又，得，A选项错误； ，则是的最大值点， 有，得，由，得，B选项正确； ，则， 由正弦型函数的性质可知，函数的图象关于点中心对称，C选项正确； 函数的图象向左平移个单位长度，得函数的图象， 函数是偶函数，图象关于轴对称，D选项正确. 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图像过定点_________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数的性质直接得答案. 【详解】令得，， 所以函数过定点， 故答案为：. 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式化简求出即可. 【详解】因为 ， 所以， 则. 故答案为： 14. 记表示中的最小者．已知函数，若，使得成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意确定函数，的值域与函数，的值域，该题意等价于函数在上的值域是值域的子集，由此建立不等关系求解. 【详解】已知， 当时，分情况讨论的值域； 当时，的值域为，即， 当时，，即，此时的值域为， 当时，，即，此时的值域为， 令在上单调递减，在单调递增， 当时，，故， 则在单调递增，在单调递减， 故在的最大值为，即， 又，使得成立， 的值域是值域的子集， 当时， 恒成立， 当时， 恒成立， 当时， ，则，解得，则， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值：； （2）已知角的终边经过点，且，求的值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据指、对、幂运算法则直接计算即可； （2）由三角函数定义，列方程得到，再求三角函数即可． 【详解】（1）原式； （2）已知角的终边经过点， ，，解得， ，． 16. 已知函数的图象经过点． （1）求的值； （2）设； （i）判断函数的奇偶性，并说明理由； （ii）求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）（i）奇函数；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由求解； （2）（i）利用函数奇偶性的定义判断；（ii）易得是增函数，从而由，得到求解. 【小问1详解】 因为函数的图象经过点， 所以，解得或（舍）； 【小问2详解】 （i）由（1）知， 定义域为关于原点对称， 又， 所以是奇函数； （ii）任取，且， 则， 因为，且在R上是增函数， 所以，即， 所以，即，则是增函数， 由，得，解得或， 所以原不等式解集为． 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式，将化为的形式，再根据计算最小正周期． （2）令，解不等式即可得到单调递增区间． （3）先由得到，结合角的范围求，再用差角公式展开即可计算． 【小问1详解】 由题意可得， ． 所以函数的最小正周期为． 【小问2详解】 由（1）可知，函数， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． 【小问3详解】 由（1）结合已知，得，则， 又因为，所以，所以， 所以 ． 18. 喷绘在商业广告、宣传等领域应用广泛，喷绘画面是使用喷绘机打印出来的，喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布．一家广告公司在一个等腰梯形OABC的画布上使用喷绘机印刷广告，画布的底角为45°，上底长2米，下底长4米，如图所示，记梯形OABC位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为． （1）试求的解析式 （2）定义“”为“平均喷绘率”，求的峰值（最大值） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题，根据等腰梯形OABC的形状，将t分为，，求即可 （2）由（1）结论得出的解析式，讨论各分段函数的最大值，最后比较得出整体的最大值即可 【小问1详解】 由题意知梯形OABC的高为1米， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，． 【小问2详解】 设． 当时，单调递增，故； 当时，单调递增，故； 当时，， 因为，所以（当且仅当时取等号）， 故． 因为，所以的峰值为． 19. 已知函数，常数． （1）当时，求函数的值域； （2）讨论函数零点的个数； （3）若函数有两个不相等的零点，证明：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）化简函数令，，当时，计算值域； （2）分类讨论判断函数的零点个数； （3）根据题意是方程的两个不相等的实根，进而根据条件计算证明即可； 【小问1详解】 令，则 ，， 当时，， 所以的值域为. 【小问2详解】 令，则，， 当或时，有0个零点， 当时，有1个零点， 当时，有2个零点． 【小问3详解】 函数在区间上有两个不相等零点 所以是方程的两个不相等的实根； 即 ， ，， 在上单调递减，， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市2025-2026学年第一学期高一年级教学质量检测 数学 本试卷共19题，共150分，共5页．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前、考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔记清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若正实数满足，则最小值为（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 6. 已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，且满足．当时，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若扇形半径为2，其弧长为，则此扇形的圆心角为 C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数为偶函数 C. 当时，函数在上单调递增 D. 当时，函数的最小值为0 11. 记函数最小正周期为．若，且，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于点中心对称 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图像过定点_________. 13. 已知，则___________． 14. 记表示中的最小者．已知函数，若，使得成立，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值：； （2）已知角的终边经过点，且，求的值． 16. 已知函数的图象经过点． （1）求值； （2）设； （i）判断函数的奇偶性，并说明理由； （ii）求不等式的解集． 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数单调递增区间； （3）若，求的值． 18. 喷绘在商业广告、宣传等领域应用广泛，喷绘画面是使用喷绘机打印出来的，喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布．一家广告公司在一个等腰梯形OABC的画布上使用喷绘机印刷广告，画布的底角为45°，上底长2米，下底长4米，如图所示，记梯形OABC位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为． （1）试求的解析式 （2）定义“”为“平均喷绘率”，求的峰值（最大值） 19. 已知函数，为常数． （1）当时，求函数的值域； （2）讨论函数零点的个数； （3）若函数有两个不相等的零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $